Definição de função

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Lauro de Freitas - Ba 
2015 
 
 
 
 
 
 
UNIME – UNIÃO METROPOLITANA PARA O 
DESENVOLVIMENTO DA EDUCAÇÃO E CULTURA 
ENGENHARIA ELÉTRICA 
 
 
 
DEFINIÇÕES DE FUNÇÕES 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3 
 
Curso Engenharia Elétrica - Noturno 
Wiliam Francisco Macena de Santana 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4 
 
DEFINIÇÕES DE FUNÇÕES 
 
Introdução 
 
Este estudo destina-se aos (às) alunos (as) dos cursos de diversas áreas das 
Engenharias, com a finalidade de servir de orientação aos estudos da disciplina 
de Cálculo Diferencial e Integral II. 
Para que Serve o Cálculo Diferencial e Integral II ? 
I. Estudar por exemplo; o estudo do espaço de uma galáxia, um planeta, um 
asteroide uma distância entre eles. 
II. Para estudar a cobertura do Pavilhão Atlântico. 
III. Para perceber o Eletromagnetismo. 
IV. Para perceber a Mecânica. 
V. Para perceber a Mecânica dos Fluidos 
VI. Para perceber a Mecânica Quântica 
VII. Para um bom trabalho numérico 
 
O objetivo de fornecer ferramentas para ampliar os conhecimentos e auxiliar o 
(a) aluno (a) de engenharia... 
Espera-se, contribuir de forma expressiva, especulativa no aprendizado dos (as) 
alunos (as), de Engenharia propriamente dita ou estudos de exatas. Porém sua 
participação nas aulas e exercícios práticos, realização das atividades e 
interação em sala de aula, são fundamentais para o seu sucesso. 
DEFINIÇÕES DE FUNÇÕES 
Dados dois conjuntos A e B, se f é uma correspondência entre A e B e se a 
cada elemento de A corresponde um e um só elemento de B, então f é uma 
função ou aplicação de A para B. 
 
5 
 
Considere os seguintes conjuntos A e B 
 
 
 
 
 
 
• A esta correspondência chama-se função . 
• Ao conjunto A chamamos conjunto de partida ou dominio e representa-
se por df. Df = { 1,2,3,4,5 } 
• A todo o elemento de A chamamos objetos. 
• Ao conjunto B chamamos conunto de chegada da função. 
 Conjunto de chegada de f = { 5,6,7,8,9 } 
• A todo o elemento de B ao qual corresponde um elemento de A 
chamamos imagem. 
 Estabelece o conjunto C formado pelas imagens dos elementos de A 
• Ao conjunto C chamamos imagem da função e representa-se 
 por lmf D’f = { 5,6,7 } 
 
Simboliza-se do seguinte modo: 
f: A B 
• x é variável independente e y a variável dependente. 
• Ao conjunto A chamamos Domínio e representa-se por Df. 
• Ao conjunto B chamamos Contradomímnio. 
• Ao conjunto das imagens chama-se Imagem da função e representa-se 
por Imf. 
• A cada objecto x corresponde uma e uma só imagem y = f(x). 
Exemplo 1 
 A correspondência não é uma função porque o 
objecto 1 tem duas imagens, 4 e 5, logo mais do que uma imagem. 
 
1 
2 
3 
4 
 5
 6
7
8
9
A Bf
C
6 
 
Exemplo 1 
 
 
A correspondência não é uma função porque o objecto 2 não tem 
imagens. 
 Num determinado dia registaram-se as temperaturas de ar na cidade de 
Aveiro, de hora em hora e, a partir delas, elaborou-se o gráfico das 
temperaturas em função da hora do dia. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Indique: 
• o domínio; [ 0;24 ] 
• a imagem;[ -3,6 ] 
• as horas do dia em que se registou a temperatura 0 ºC 
• os intervalos de tempo onde a temperatura: é positiva; é negativa; 
• os intervalos onde a temperatura: aumenta; aumenta e é positiva; 
diminui; diminui e é positiva; é constante. 
 
Representação gráfica de uma Função 
Como averiguar se é, ou não, uma função 
Um gráfico de uma função só pode ser intersectado no máximo uma vez por 
uma qualquer recta vertical. 
 
 
Temperatura 
º C 
 
 
Horas 
 
7 
 
Exemplos; 
 Não se trata de uma representação de uma 
função 
 
 
 
 
 
 
 
 
Trata-se de uma representação de uma função 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O domínio 
O domínio de uma função obtém-se projetando o seu gráfico sobre o eixo dos x. 
 
8 
 
 
Imagem 
A Imagem de uma função obtém-se projectando o seu gráfico sobre o eixo dos 
y. 
 
Zeros de uma função 
 
Definição: Zero de uma função é todo o objecto que tem imagem nula. 
 Determinação dos zeros de uma função: 
 Graficamente 
Averiguar as abcissas dos pontos do gráfico para os quais o gráfico da função 
intersecta o eixo das abcissas (x) 
 Analiticamente 
Determinar os valores de x para os quais f(x)=0 
isto é, x: f (x) = 0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
9 
 
Sinal de uma função 
 
Definição: Seja f uma função de domínio D, dizemos que : 
 - f é positiva em I (I  D) se e só se f(x) > 0, para todo o x  I. 
 - f é negativa em I (I  D) se e só se f(x) < 0, para todo o x  I. 
 Determinação do sinal de uma função: 
 Graficamente 
- A função é positiva para todos os valores de x cujas 
 imagens estão acima do eixo das abcissas. 
- A função é negativa para todos os valores de x 
 cujas imagens estão abaixo do eixo das abcissas. 
 
 
Monotonia de uma função 
 
 
 
 
 
 
 
 
A função f é crescente A função g é decrescente estritamente crescente num intervalo 
E. 
 
 
 
O a b 
f 
f(a) 
f(b) 
O a b 
g 
g(a) 
g(b) 
a b 
f 
f(a) 
f(b) 
10 
 
 
A função g é estritamente decrescente num intervalo 
E. 
 
 
 
 
 
Definição: Diz-se que f é crescente / estritamente crescente em E  Df se 
para todos os números reais a e b pertencentes a E, se a < b, então f(a)  f(b) 
/ se a < b, então f(a) < f(b). 
Definição: Diz-se que g é decrescente / estritamente decrescente em E  Df se 
para todos os números reais a e b pertencentes a E, se a < b então g(a)  g(b) 
/ se a < b, então g(a) > g(b). 
Definição: Uma função crescente ou decrescente diz-se monótona. 
Observação: Uma função constante é considerada crescente e decrescente. 
 
Definição : Seja f uma função de domínio D. 
 f(a) é um máximo absoluto de f se, para todo o x pertencente a D, f(a)  f(x) 
 f(b) é um mínimo absoluto de f se, para todo o x pertencente a D, f(b) f(x) 
Definição : Seja f uma função de domínio D. 
 f(a) é um máximo relativo de f se existir um intervalo aberto E contendo a 
tal que f(a)  f(x), qualquer que seja o x  E  D 
 f(b) é um mínimo relativo de f se existir um intervalo aberto E contendo a tal 
que f(b) f(x), qualquer que seja o x  E  D 
 
Definição : Aos valores do domínio a que correspondem os máximos / mínimos 
relativos da função chamam-se maximizantes / minimizantes 
Injetividade de uma função 
Definição: Uma função f é injetiva num intervalo E  Df se para dois valores 
quaisquer de E, x1 e x2, se x1  x2 então f(x1)  f(x2). 
Definição: Uma função f é não injetiva num intervalo E  Df se existem pelo 
menos dois objectos distintos com a mesma imagem. 
 
a b 
g 
g(a) 
g(b) 
11 
 
 Graficamente 
 
 
 
 
 
 
Vê-se que uma função é não injetiva se existir pelo menos uma recta horizontal 
que intersecte o gráfico da função em mais do que um ponto. 
Sobrejetividade de uma função 
Definição: Uma função g é sobrejetiva se o seu contradomínio coincide com o 
conjunto de chegada. 
 
Taxa de Variação Média 
A taxa de variação média (t.v.m) entre a e b traduz a rapidez de variação da 
função e obtém-se dividindo a variação da função pela amplitude do intervalo, 
isto é: 
 
 
Estudo do limiteO Limite é o primeiro conhecimento ou contato que o aluno de extas, diga-se de 
passagem, Engenharia, tem a estudar em Cálculo Diferencial e Integral. 
O limite é um simples número real, obtido por certas técnicas, que representa 
determinadas situações práticas e teóricas. Com apoio em seu conceito, são 
estudadas as derivadas e as integrais, as quais veremos com detalhes nas 
disciplinas Cálculo II e Cálculo III. 
 
 
12 
 
Definição 
A definição de limite foi obtida no decorrer de um caminho muito longo, que teve 
início com preocupações acerca do problema do movimento, no qual foi 
necessário encontrar uma explicação usando uma teoria quantitativa que nos 
permitisse, por meio do cálculo, obter resultados. Para isso, foi criado o conceito 
de infinitésimo, para responder à questão de que o que se passa em um ponto, 
se passa em pontos vizinhos. Com base nesse conceito, estabelece-se o de 
limite. 
Na linguagem cotidiana, referimo-nos ao limite de uma velocidade, ao limite do 
capacidade de volume d´água de uma represa, o limite de esforço físico de um 
atleta, ao limite da resistência humana, ao limite de uma carga em tonelada em 
uma grua em uma construção, desconto que pode ser oferecido na venda de 
uma mercadoria, ao limite de material que pode ser usado ao produzir uma 
embalagem ... Todas essas expressões sugerem que limite é uma cota, que, em 
certas ocasiões, pode não ser atingida, mas em outras pode. 
História 
O símbolo de limite para apresentarmos matematicamente a operação solicitada 
só foi utilizado pela primeira vez por Cauchy, no século XIX. Vamos ver, então, 
um exemplo de como é esse símbolo que representa esse número real 
denominado limite. 
Para a função y= x2 - 25 /x-5 , é possível achar o valor de y, menos quando x = 
5. No entanto, é possível fazer y ficar tão próximo de 10 quanto se queira, 
bastando tomar x a uma distância conveniente de 5, quer pela sua esquerda, 
como em 4,99, quer pela direita, como em 5,01. 
Escreve-se; 
 
 Então temos; 
 
 
 
Tendo ainda como exemplo a função do tópico 1.1, poderíamos fazer diversos 
questionamentos, como, por exemplo: Sendo f definida de ℜ→ℜ, para x ≠ 5, com 
 
 Quando x = 3, y vale? Resposta: 8. Isso pode ser observado no gráfico dessa 
função, assim como pelo cálculo do valor da função no ponto 3. b. Quando x se 
aproxima de 3, de qual valor y se aproxima? Resolução: Podemos responder a 
13 
 
essa questão que foi apresentada em linguagem natural, usando registros de 
representações diferentes, como, por exemplo: registro gráfico, registro 
numérico e registro algébrico. 
 
Gráfico desta função; 
 
Exemplo 
 
Considere o gráfico da função 
 
a) esboce o gráfico dessa função. 
b) determine o domínio e a imagem de f. 
 c) qual o comportamento de f, quanto ao crescimento e decrescimento? 
d) Calcule: f(-1); f(0); f(1/2) e f(1). 
e) complete a tabela a seguir (essa tabela se encontra na resolução dessa 
alternativa) e responda às seguintes perguntas: 
f) Quando nos aproximamos de x = 0 pelo lado esquerdo, o valor de f(x) 
aproxima-se de qual valor? 
g) Quando nos aproximamos de x = 0 pelo lado direito, o que acontece com o 
f(x)? 
 
 
Resolução 
14 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
f) Quando nos aproximamos de x = 0 pelo 
lado direito, o que acontece com o f(x)? A 
f(x) se aproxima de 2. 
 
 
Propriedades do Limite 
 
 
15 
 
 
 
 
 
 
 
 
Limite da Função Racional 
Uma função racional é aquela que pode ser escrita como quociente de 
polinômios. Ela se diz imprópria se o grau do polinômio do numerador for maior 
ou igual ao do polinômio do denominador; caso contrário, ela se diz própria. 
Exemplos 1. Escreva quais são os limites de funções racionais impróprias e 
próprias. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ao ler um exemplo no qual a função que o representa é uma função racional 
(caso você ainda não o tenha lido, agora é um excelente momento para fazê- -
16 
 
lo). Trata-se de um exemplo em que, para resolver o seu limite, não basta fazê-
lo da forma que acabamos de proceder no exercício anterior. Isso ocorre pois, 
pelo procedimento anterior, vamos “encontrar” que o 
Não possui significado numérico. No entanto, o exemplo 
mostra que ao fatorarmos o numerador, vamos poder 
simplificar os fatores 
que anulam o numerador e o 
denominador, ou seja, 
de onde vamos obter que 
 
 
Limites Infinitos 
 
Nos limites infinitos, os valores das funções aumentam ou diminuem sem 
limitações quando a variável se aproxima cada vez mais de um número fixo. 
Vamos ver na Figura 3 o que isso quer dizer? 
 
Exemplo responda: 
 
a) Na Figura 3(a), o comportamento da função é o mesmo se x tende a 2 pela 
esquerda e pela direita? Por quê? 
 b) Na Figura 3(b), o comportamento da função é o mesmo se x tende a 1 pela 
direita e pela esquerda? Por quê? 
c) Na Figura 3 (c), o comportamento da função é o mesmo se x tende a zero? 
 
17 
 
 
Resolução: 
a) Sim, pois, nos dois casos, quando x se aproxima de 2 pela direita ou de 2 pela 
esquerda, o y está tendendo ao infinito positivo. Como infinito não é número, 
devemos dizer que y está indo para o infinito. 
b) Sim, pois, nos dois casos, quando x se aproxima de 1 pela direita ou de 1 pela 
esquerda, o y está tendendo ao infinito negativo. Como infinito não é número, 
devemos dizer que y está indo para o infinito negativo. 
c) Não, pois, quando x tende a zero pela esquerda, o y está indo para o infinito 
negativo e, quando x tende a zero pela direita, o y está indo para o infinito 
positivo. 
Limite no Infinito Nos limites no infinito, é a variável independente que cresce ou 
diminui indefinidamente. Vamos ver na Figura 4 o que isso quer dizer? 
 
18 
 
 
Podemos observar que, quando x cresce ou decresce arbitrariamente, ou seja, 
quando x → ±∞, o (x – 2)² cresce arbitrariamente; logo, 2 1 ( 2) x − se aproxima 
de zero (se você não entendeu essa última afirmação, veja: 
 
 
 
 
Derivada e Integração. 
Agora abordarei a derivada de uma função, mas com o objetivo de melhor 
entender, antes de apresentar o que é e como é possível determiná-la, 
mostraremos como é que ela deve ser interpretada tanto geometricamente 
quanto fisicamente. 
19 
 
A derivada mede a taxa de variação de uma função e é um conceito muito 
importante do cálculo, pois é utilizada com frequência em diversas ciências. A 
derivada pode ser interpretada, geometricamente, como a inclinação de uma 
curva e, fisicamente, como uma taxa de variação. 
Um exemplo comum de taxa média de variação é a velocidade média e você 
deve estar lembrado que estudou esse assunto em Física. 
 
Exemplo 
Suponha que você faça uma viagem da Capital de Salvador a Feira de Santana 
(BA), pela BR 324. Quando parte de Salvador, você zera o velocímetro e começa 
a cronometrar o tempo. Considere s a distância percorrida pelo carro, dada em 
km, como uma função do tempo decorrido t, dado em horas. Veja a Tabela 1.1, 
que indica, para algumas localizações do carro durante o percurso, o tempo 
transcorrido e a distância percorrida. Tabela 1 – Distâncias de Salvador a Feira 
de Santana. Percurso Salvador a Feira de Santana (BA)t 0 1 1,2 1,6 s(t) 0 67 88 
110 A partir dos dados desta tabela, é possível calcular a velocidade média desta 
viagem. Lembramos que a velocidade média é definida como: 
Tabela 1 – Salvador a Feira de Santana (BA) 
Salvador Simões 
Filho(BA) 
Entroncamento 
Candeias e S. 
Sebastião do 
Passé(BA) 
Entroncamento de Sto 
Amaro da 
Purificação 
(BA) 
Feira de 
Santana (BA) 
t 0 1 1,2 1,6 
s(t) 0 67 88 110 
 
A partir dos dados desta tabela, é possível calcular a velocidade média desta 
viagem. Lembramos que a velocidade média é definida como: 
 
Onde, Ds é a variação do espaço, ou seja, espaço final menos o espaço inicial, 
e Dt é a variação do tempo, ou seja, tempo final menos o tempo inicial. Neste 
caso, portanto, a velocidade média desenvolvida pelo automóvel, no percurso 
completo de Salvador a Feira de Santana (BA)t, foi de 110 68,75 1,6 ≅ km/h. 
façamos uma análise da viagem estudando o gráfico da distância como função 
do tempo, traçado no gráfico. 
20 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Note que essas velocidades médias correspondem à inclinação das retas que, 
no gráfico, ligam os pontos (0,0) a (1,67); (1,67) a (1,2; 88); (1,2; 88) a (1,6; 110), 
cujas coordenadas fornecem, respectivamente, o tempo transcorrido e a 
distância percorrida pelo automóvel, para cada cidade assinalada no percurso. 
Por exemplo, no percurso de Salvador (BA) – que corresponde, no gráfico, ao 
ponto (0,0) = (0,s(0) – a Feira de Santana (BA) t – ponto (1,67) = (1, s(1)), no 
gráfico – a velocidade média desenvolvida pelo automóvel foi de 67 km/h, pois 
(1) (0) 67 D km/h. 
 
 
Geometricamente, esse valor representa a inclinação da reta que liga os pontos 
(0,0) a (1,67). De modo geral, como é que você escreveria uma fórmula para 
representar a velocidade média? Na situação que estamos estudando, a 
velocidade média desenvolvida pelo automóvel no percurso Salvador (BA) t (t0 , 
s(t0 )), a cada uma das cidades destacadas na tabela, ponto (t, s(t)), pode ser 
dada pela fórmula: 
 
Agora questionamos: o que é que a velocidade média nos fornece? 
A velocidade média nos fornece uma medida da velocidade desenvolvida pelo 
automóvel durante todo o trajeto ou parte dele. Mas como determinar a 
velocidade que o velocímetro do automóvel indicava no exato instante em que 
ele passava por um determinado ponto do percurso? A leitura do velocímetro 
mede o que chamamos de velocidade instantânea ou, simplesmente, velocidade 
do automóvel e é esse conceito que abordaremos no exemplo estudado no 
tópico. 
 
21 
 
Taxa Média de Variação e Retas Secantes 
Dada a função arbitrária y = f(x), calculamos a taxa média de variação de y em 
relação a x no intervalo [a,b] dividindo a variação do valor de y, Dy = f(b) – f(a), 
pelo comprimento Dx = b – a = h do intervalo ao longo do qual a variação ocorre. 
Definição de Taxa Média de Variação A taxa média de variação de y = f(x) em 
relação a x no intervalo [a,b] é 
 
Observe, na Figura, que a taxa de variação de f no intervalo [a,b] é o coeficiente 
angular da reta que passa nos pontos P(a, f(a)) e Q(b, f(b)). A reta que passa por 
esses dois pontos está sendo denominada de “s” e trata-se de uma reta secante 
à curva y = f(x). Portanto, a taxa média de variação de f desde “a” até “b” é igual 
ao coeficiente angular da secante PQ, ou seja, secante “s”. 
 
 
Exemplo Determine a taxa média de variação da função f(x) = 2x² - 5 no intervalo 
[0,3]. Resolução: A taxa média de variação é dada por 
 
Como f(3) = 2.3² - 5 = 18 - 5 = 13 e f(0) = 2.0² - 5 = 0 - 5 = - 5, vamos ter que a 
taxa média de variação será: 
 
Também podemos observar isso por meio do gráfico dessa função e da reta 
secante a essa curva pelos pontos P(0,-5) e Q(3,13). A taxa média de variação 
dessa função no intervalo [0,3] é dada pela inclinação da reta secante, que se 
calcula pelo quociente da variação do y pela variação do x. Essas variações 
22 
 
podem ser observadas na altura e na base do retângulo em cinza da Figura 
abaixo; 
 
Taxa Instantânea 
 
Você sabe o que é velocidade instantânea, não é? Isso você estudou em Física, 
lembra? Vamos rever, então. 
Um exemplo de taxa instantânea é a velocidade de um móvel em um 
determinado ponto. Vamos observar isso no exemplo estudado anteriormente, 
na viagem de São Paulo a Extrema. Para calcular a velocidade média realizada 
na viagem em questão, de São Paulo a Extrema, devemos pegar o ponto final 
(1,6;110) e o ponto inicial (0,0). Veja essa distância representada no gráfico da 
Figura 8 com o segmento pontilhado. A velocidade média será dada por: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para calcular a velocidade 
média realizada na viagem em questão, de Salvador (BA), até 100 km 
percorridos, podemos observar, no gráfico da Figura 9(a) o tempo utilizado para 
percorrer essa quilometragem e anotar esse ponto (1,4;100) e o ponto inicial 
23 
 
(0,0). Observando o gráfico da Figura (b), podemos calcular essa velocidade, 
que será dada por: 
 
Velocidade média de SSA até o quilômetro 100. 
 
Mas o fato é que queremos calcular a velocidade em pontos específicos, por 
exemplo, a velocidade do automóvel exatamente no quilômetro 100 dessa 
viagem. Note que em cada trecho apresentado na Tabela 1 e no gráfico da 
Figura 5, ou seja, de Salvador (Ba) a Feira de Santana (Ba), do entroncamento 
de Candeias (Ba) e Sã Sebastião do Passé (Ba) ao entroncamento Santo Amaro 
da Purificação (Ba) a Feira de Santana (Ba), os segmentos de retas apresentam 
inclinações diferentes. Isso significa que, em cada um desses trechos, as 
equações das retas que passam por esses segmentos são diferentes e, 
consequentemente, vamos ter que observar cada um desses trechos para 
determinar a velocidade média entre eles. Como o ponto que estamos querendo 
determinar a velocidade instantânea (velocidade no ponto) está entre Candeias 
sto Amaro e Feira de Santana, então devemos fazer esse cálculo tendo como 
referência a equação da velocidade entre os pontos (1,2;88) e (1,6; 110). Vamos 
tentar entender esse conceito de velocidade instantânea por meio de um novo 
exemplo, adaptado de Simões Filho e Candeias, citados no início deste material. 
Suponha que uma bola é lançada verticalmente para cima. Sua distância até o 
solo em cada instante t (em segundos) é conhecida e dada por s(t) = - t² + 4t 
metros. Antes de determinarmos os espaços percorridos pela bola, devemos 
lembrar que não existe espaço negativo, ou seja, s(t) ≥ 0. Como s(t) = - t² + 4t, 
então - t² + 4t ≥ 0. Ao resolvermos essa inequação, vamos ter todos os possíveis 
valores de t para que essa situação exista. - t² + 4t ≥ 0 ⇒ t(-t + 4) ≥ 0 Estamos 
“querendo” determinar os valores de t que tornem esse produto positivo ou igual 
a zero. A raiz de cada fator é: t = 0 e t = 4. 
24 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para determinar em quais valores de t esse produto é positivo ou igual a zero, 
devemos estudar o sinal de cada um dos fatores e, em seguida, multiplicá-los. 
 
 
 
 
 
 
 
Para obter aproximações cada vez melhores para a velocidade instantânea em 
t = 1, basta calcularmos a velocidade média sobre intervalos de tempo 
progressivamente mais curtos. Essas observações indicam que é possível definir 
a velocidade em t = 1 como o limite dessas velocidades médias. Assim, temos: 
 
Esse limite é precisamente a derivada da função s(t) calculada em t = 1. Assim, 
podemos escrever, simplesmente: 
 
 
Onde s’(t) significa a derivada da função s(t), a qual significa velocidade 
instantânea, ou seja, velocidade da função em um determinado ponto. Portanto, 
no problema que estamos estudando, a velocidade da bola em t = 1 segundo é 
dada por v(t) = s’(t) = -2t +4. No ponto t = 1, vamos ter v(1) = -2.1 + 4 = 2. Veja 
que esse valor coincide com o valor que estávamos nos aproximando. Porém, 
25 
 
aprenderemos um pouco mais adiante como derivar a função s(t) = -t² + 4t para 
chegarmosem v(t) = -2t + 4. De um modo geral, a velocidade instantânea em 
um ponto t0 qualquer é definida por: 
 
Como vimos na resolução desse exemplo, conhecendo-se a função s(t), que 
fornece para cada instante de tempo t a distância percorrida por uma partícula 
em movimento, a velocidade média dessa partícula, calculada em um intervalo 
de tempo Dt = t – t0 , coincide com a inclinação da reta secante ao gráfico da 
função s(t), que passa pelos pontos (t0 ,s(t0 )) e (t,s(t)). Acompanhe essa 
situação na Figura 11 para (2,s(2)) e (1,s(1)). Sabemos que, à medida que esses 
dois pontos se aproximam, isto é, quando Dt → 0, a inclinação da reta secante 
ao gráfico de s(t) se aproxima da inclinação da reta tangente à curva em t = t0 
(veja isso na Figura 13). Assim, o valor da velocidade instantânea coincide com 
o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de s(t) no instante t = t0 . 
Resumindo, se a função s(t) fornece, para cada instante de tempo t0 , a distância 
percorrida por uma partícula em movimento, a sua derivada s’(t0 ) fornece a 
velocidade da partícula nesse instante e essa velocidade pode ser interpretada, 
geometricamente, como a inclinação da reta tangente ao gráfico da função s no 
ponto t0 . 
 
26 
 
Bom, mas o que é uma reta tangente? Vamos estudar um pouquinho sobre isso? 
O problema básico do cálculo diferencial é o problema das tangentes: calcular o 
coeficiente angular da reta tangente ao gráfico num ponto dado P. 
Derivação e Continuidade 
Teorema: Se f(x) é derivável em a, então f(x) é contínua em a. Hipótese: f(x) é 
derivável em a Tese: f(x) é contínua em a Rascunho Se uma função é derivável 
em a, então existe f’(a). 
 
 
Como o domínio de f é o conjunto de todos os números reais e f’(x) = 10x existe 
se x for um número real qualquer, f é uma função derivável. iii) Note também que 
2 2 lim(5 3) 5 3 ( ) x a x a fa → + = += , para ∀a∈R, ou seja, essa função é 
contínua para qualquer x real. Interpretação O gráfico a seguir representa a 
função f definida por f(x) = 5x² + 3, e conforme foi estudado na disciplina de 
Cálculo: Limites e continuidade, observa-se tratar-se de um gráfico de uma 
função contínua em R. Observe, também, que em todos os pontos desse gráfico 
é possível traçar uma reta tangente e, como a inclinação da reta tangente à curva 
por um determinado ponto x = a fornece a derivada da função em x = a, pode-se 
afirmar que a função é derivável em todos os pontos de seu domínio. 
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Racionalizando o numerador para obter um fator comum h no numerador e no 
denominador, vamos obter 
Interpretação 
O gráfico a seguir representa a função f definida por e trata-se de 
um gráfico de uma função contínua em R. Observe, também, que em todos os 
pontos desse gráfico, com exceção de x = 0, é possível traçar uma reta tangente 
e, como a inclinação da reta tangente à curva por um determinado ponto x = a 
fornece a derivada da função em x = a, pode-se afirmar que a função é derivável 
em todos os pontos de seu domínio com exceção do x = 0. 
 
 
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Veja que em x = 0, a reta tangente à curva forma um ângulo de 45º com o eixo 
Ox e como a tag 45º não existe, a derivada para esse ponto não existe. 
 
Conclusão 
 f é contínua em todos os valores do domínio; 
 f é derivável em todos os valores do domínio com exceção do x = 0; ƒ o 
gráfico de f tem uma reta tangente vertical no ponto onde x = 0. 
 
 
Conclusão 
 
No primeiro tema, vimos a definição de função no segundo tema o estudo do 
limite de diversos tipos de função. Vimos que o limite é um número real e que 
esse assunto será fundamental para o estudo das derivadas e das integrais. 
Também foi apresentado que, embora a ideia de limite e os cálculos relacionados 
a ele datem da Idade Antiga, a notação e a formalização dele se deram apenas 
no século XIX. Para conceituar o limite, foi utilizada uma função racional com 
resolução indeterminada, inicialmente, e, a partir desse exemplo, vários outros 
foram resolvidos. 
Assim, foi apresentado que, embora a ideia de limite e os cálculos relacionados 
a ele datem da Idade Antiga, a notação e a formalização dele se deram apenas 
no século XIX. Para conceituar o limite, foi utilizada uma função racional com 
resolução indeterminada, inicialmente, e, a partir desse exemplo, vários outros 
foram resolvidos. 
Vimos exemplos de taxa de variação média, sendo o mais conhecido: a 
velocidade. Vimos, ainda que a taxa de variação pode ser comparada com a 
inclinação de uma reta tangente, ou seja, que geometricamente representa a 
inclinação da retas tangente e que para uma função y = f(x) em um determinado 
intervalo [a,b] é dado pelo quociente de Dy por Dx, ou se preferir, por [f(a+h) – 
f(a)]/h, com h ≠ 0. Um outro ponto importante aqui estudado foi sobre a taxa 
instantânea, em que foi observado que se trata de um estudo a ser feito em 
pontos estabelecidos, por exemplo, se a questão for sobre velocidade a 
velocidade instantânea é a velocidade do móvel em um ponto específico e que 
uma forma de se determinar a taxa instantânea é de cada vez mais nos 
aproximarmos de um número específicos e que isso nos levará a derivada de 
uma função. Uma das representações da derivada de uma função f definida for 
f(x) pode ser dada por f’(x). Também estudamos a equação de uma reta tangente 
e a definição de derivada. 
Demonstramos algumas regras de derivação que serão usadas ao longo das 
disciplinas de Cálculo. Todas as regras de derivação foram demonstradas a 
partir da definição de derivada estudada neste artigo. 
 
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BIBLIOGRAFIA BÁSICA 
 
01. STEWART, James Cálculo, Vol 1 e 2, sexta edição, São Paulo: Pioneira – Thomson 
Learning, 
2009. 
BIBLIOGRAFIA COMPLEMENTAR 
01. ANTON, Howard Cálculo, um novo horizonte, Vol 1 e 2, 8a ed., Porto Alegre: Bookman, 
2007. 
02. NETTO, João Cardoso Pereira, Física, Matemática e Química – Um Modelo de 
Interdisciplinaridade, vol. 1, 2, 3 4, 1ª ed., Editora e Gráfica Brasil, 2003. 
 
03. 
Livro de Cálculo 2 : 
Um novo horizonte - (Howard Anton). 
04. 
http://www.math.ist.utl.pt/~jpnunes/AMIII/whyam3/porquecii.html 
05. 
http://www.joinville.udesc.br/portal/professores/ivanete/materiais/Apostila_2012_01.pdf 
06. 
http://www.mat.ufmg.br/~proin/c2.html 
07. http://www.oblogdomestre.com.br/2012/03/conceito-basico-de-funcoes.html