Lista 2 algebra linear

Prévia do material em texto

Quarta Lista de Exerc��cios de SMA304 - �Algebra Linear
Professora: Maria do Carmo Carbinatto 31.08.2017
Exerćıcio 1. Sejam u = (1+ i, i), v = (1− i, 2i) e w = (2, 3+ i) em C2.
(a) Considere C2 como um espa�co vetorial sobre R. Existe um α ∈ R tal que v = αu? Justi�que
sua resposta. Se sua resposta for a�rmativa, determine um α.
(b) Considere C2 como um espa�co vetorial sobre C. Existe α ∈ C tal que v = αu? Justi�que
sua resposta. Se sua resposta for a�rmativa, determine um α.
Exerćıcio 2. Considere C3 como um espa�co vetorial sobre R. Quais dos vetores de C3 s~ao
combina�c~oes lineares de (1, 0,−1), (0, 1, 1) e (1, 1, 1)? Justi�que sua resposta.
Exerćıcio 3. Considere C3 como um espa�co vetorial sobre C. Quais dos vetores de C3 s~ao
combina�c~oes lineares de (1, 0,−1), (0, 1, 1) e (1, 1, 1)? Justi�que sua resposta.
Exerćıcio 4. Sejam u = (1+ i, i), v = (1− i, 2i) e w = (2, 3+ i) em C2.
(a) Considere C2 como um espa�co vetorial sobre R. Os vetores u, v, w s~ao LI ou LD?
(b) Considere C2 como um espa�co vetorial sobre C. Os vetores u, v, w s~ao LI ou LD?
Exerćıcio 5. Considere C3 como um espa�co vetorial sobre C. Considere W o subespa�co de C3
gerado pelos vetores z1 = (1, 0, i) e z2 = (1+ i, 1,−1).
(a) Mostre que { z1, z2 } �e uma base de W.
(b) Mostre que os vetores w1 = (1, 1, 0) e w2 = (1, i, 1+ i) est~ao em W e que {w1, w2 } �e tamb�em
uma base de W.
(c) Quais as coordenadas de z1 e z2 em rela�c~ao �a base {w1, w2 }?
Exerćıcio 6. Em C3 sejam z1 = (1, 0,−i) e z2 = (1 + i, 1 − i, 1) e z3 = (i, i, 1). Mostre que esses
vetores formam uma base de C3. Quais as coordenadas do vetor (a, b, c) ∈ C3 em rela�c~ao a essa
base?
Exerćıcio 7. Determine uma base do seguinte subespa�co vetorial de C3 (sobre C):
W = [(1, 0, i), (1, 1+ i, 1− i), (1,−1− i,−1+ 3i)].
Exerćıcio 8. Considere C como um espa�co vetorial sobre R. Mostre que { 1 − i, 1 + i } �e uma
base de C e determine as coordenadas de 1− 2i em rela�c~ao a essa base.
Exerćıcio 9. Considere C como um espa�co vetorial sobre C. Mostre que { 1− i } �e uma base de
C e determine as coordenadas de 1− 2i em rela�c~ao a essa base.
1
Exerćıcio 10. Sejam A ∈Mn×m(R) e B ∈Mn×1(R) e suponha que B 6= 0.
(a) Mostre que W = {X ∈Mm×1(R)} | AX = 0} �e um espa�co vetorial sobre R.
(b) Se n = m, analise a dimens~ao de W.
(c) Sejam X1, X2 ∈Mm×1(R) tais que AX1 = B e AX2 = B. Mostre que X1 − X2 ∈W.
(d) Seja Xp ∈Mm×1(R) tal que AXp = B. Se X̃p ∈Mm×1(R) �e tal que AX̃ = B, mostre que existe
um X∗ ∈W tal que X̃ = X∗ + Xp.
(e) Interprete o resultado demonstrado em (d).
Exerćıcio 11. Seja ω 6= 0 e considere W = { f ∈ F(R,R) | f ′′ +ω2f = 0 }.
(a) Mostre que f(t) = cosωt e g(t) = senωt est~ao em W.
(b) Mostre que {f, g} �e um conjunto linearmente independente.
(c) Mostre que dim(W) ≥ 2.