toaz info-variaveis-complexas-e-aplicaoes-by-james-ward-brown-ruel-v-churchill-9ed-pr_b572956d5e707f29e78495c5f8f55e2a (1)

Prévia do material em texto

SEÇÃO 14 A APLICAÇÃO w = z 2 43 
dois semieixos reais do plano z, o positivo e o negativo, são levados sobre o semiei­
xo 11eal positivo do plano w. 
Se n for um inteiro f ositivo maior do que 2, muitas das propr ,edades da apl. ca­
ção w = ,ti, ou w = r'1ein , são análogas às da aplicação w = z2. ma aplicação dessas 
leva todo o plano z sobre o plano w, s ndo cada ponto ão nulo do p ano w a · magem 
de n pon~o di tintos do plano z. O círculo r = r0 é levado no círculo p = r;, e o · etor 
r v-
(a) lin1 Re z = Re zo; 
.,. -(1 
(c lim:.... = O • 
•-o -
2. Sejam a, b e e constantes complexas. 1 se a definição de limites (2) da Seção 15 para 
provar que 
(a) lim (az + b = azo+ b· (b) lim ("': 2 + e = zl + e; 
. --,. ! ( 1 i~ ::o 
(e) lim [x+i(2x+ y)]= l+i z=x+ iy. 
l-+ 1-i 
3. Sejam n um "nteí, o po itivo ,e P(z) ,e Q(z) polinômio , endo Q(z0) # O. Use o ,eorema 
2 da Seção 16, bem como os limite, que ap~ecem naquela seção, para obter 
( ) 
'
. 1 ( 0 (b) 1. i z
3 
- 1. , ) 1. P(z) a 1m - zo # ); 1m ---, e 1m --. 
z-.Z(1 -ti /(' 
12. Explique por que ão únicos o limit,es envolvendo o ponto no infinito. 
13. Mostre que um ,conjunto S é ilimitado ( •eção 12) ·e. ,e ó e, qualquer vizinhança do 
ponto no infinito contém algum ponto de S. 
1'9 DERIVADAS 
Seja/ u a função cujo domínio de definição contenha uma v· zinhança lz - z01 é contínua no ponto w0 = f(z0). Logo, a 
composição 4>[/(z)] é contí , ua em z0 ,e, já que ·cl>( w0) = O, segue 
hm,expre são na equação (6) 
quando z tende a z0• 
EXERCÍCIOS 
L I e a definição (3) da Seção 9 para demon "trar diretamente que 
dtv ., 
- - 2- e w = z-. 
dz - " 
2. 1 se o re ultado: da Seção 20 para encontrar/' (z) e 
(a) /(z)=3z2 -2z+4; (b) f(z)= 2-2 +i)-; 
(e) J(z) = 
2
\- \ ( z =I= -~); (d) .f(z) = (I ::t)4 
(z =I= O). 
3.. sando r ultados da Seção 20, mostre que 
(.a) um polinômio 
P (z) = ao ª"~O) 
de grau n (n :::: ) é de ivável em toda parte, ,com derivada 
P '(z) = a 1 + 2a.,-: + · · · na11 z'1-
1
; 
(b) os ooeficientes do polinômio P(r,) da parte (a) podem ser escrito como 
P' (0) P" (0 p M 0) 
ao = P (O) , a1 = - 1,
1
-, a2 = 2!' ... , an = n. 
4.. Suponha que f(z0) = g(zo) = O e que exi tam J' (zo) e g'(zo), sendo g' (z.o) # O. Use a 
de, nição de derivada (1) da Seção 19 para mootrar que 
1
. /(z) .f'Czo) 
lill -- = --. 
; ZIJ g(z.) gl(-o) 
5.. Deduza a expressão da derivada da sorna de duas f mções (3) da Seção 20. 
6. Deduza a ,expressão da derivada de z11 (2) da Seção 20 se n for um in~eiro positivo usando 
(a) indução matemática e a expressão da derivada do produto de duas funções (4) da 
Seção20· 
(b) a defini,ção da derivada (3) da Seção 19 e a fórmula do binômio (Seção 3). 
i .. Prov,e que a expressão da deri ada de Z71 (2) da Seção 20 permanece álida •e n for um 
inteiro negati o (n = - 1, - 2, ... ), de, de que z =I= O. 
Si,gestão: esc1,eva m = -n eu e a regra da derivada do quociente de duas funções. 
8. 1 se o método do EXiempLo 2 da Seção t9 para mostrar que/' (z) não existe em ponto z 
algum se 
62 CAPIÍ.TULO 2 FUNÇÕES AINAL,TICAS 
(a) f(z) =Rez; (b)f(z) = Imz. 
9. ejaf a fiunção definida pelos valores 
l z) = {:'lz e z =fO., 
e z = O.. 
Mostre que se z = o. então l:l. w / /:l.z = l em cada pomo não nulo dos eixos real e imagi­
nário do plano l:!.,z ou l:l.x l:l.y. Em eguida, mo tre que l:l.w/ l:l.z = -1 em ,cada ponto não 
nulo (6.x, ~) da reta l:l.y = ~ ne: e plano (Figura 29). Conclua des as observações 
que não existe!' ~O). Observe que para obte esse resultado, não é ufic'ente considerar 
omente tendências hori2ion1.aL e verticai. para a origem do plano 6z. ~Compare com o 
Exercício S da Seção 18, bem como com o Ex, mplo 2 da Seção 19.) 
f).y 
( X, ~X) 
(O, ê.y) 
(0,0) ( X, 0) 
Figura 29 
10. Usando a fórmula do binômio (13) da S·cção 3, indique exatamente por que cada uma 
das funçõe 
dlf , n 
P11 ' z) = ----(-:- - 1 
nl2'' d z1 
(n = O, J, 2, ... ) 
é um polinômio de grau ri (Seção 13). * ( samos a convenção de que a derivada de or­
dem zem de uma função ,é a rópria função.) 
2'1 EQUAÇÕES DE CAUCHY-RIEMANN 
e ta eção, obtemos um par de equações ,que devem ser ati foitas pelas derivadas 
parcial' de primeira ordem das :fünçõ,es c,omponente u ,e v de uma função 
(1) /(z) = u(x ) + iv(x, y) 
em cada ponto Zo = (x0, y0) em que exi tir a derivada de f Também veremos como 
expressar a derivada f'(z0) em termos dessas derivadas parciai ". 
Começamos "upondo que exista /' (zo), e escvev,emos 
zo = xo + i yo, fl. z = .ô.x + i fl. y , 
* Es ·es são os po.linDmios de Le,ge.ndre, de importância na Matemática Aplicada. Ver, por 
exemplo, o Capítulo 10 do livro (2012) do autores li tado na bibliografia. 
70 CftJPÍTUl:O 2 FUNÇÕESANALÍTIICAS 
com z # O, as funç,ões componentes são 
cos20 sen20 
v=--­,.2 . u= -­
r 2 
e 
Corno 
2 cos 20 2 en 20 
rur = - --- = VJ, UQ = - --- = - rVr re ,2 
e como as demais condições do teorema ,e tão satisfeita. em cada ponto não nulo 
 O, a O.Oto, pois sua de ivada /' (z) = - 1/z2 existe um tal ponto. A funçãof(z) = lzl2 não é 
analítica ,em ponto a[gum, pois ua derivada existe apenas em z - O, e não em todos 
os pontos de alguma vizinhança. (Ver emplo da Seção 19.) Finalmente, como 
a derivada de um polinômio existe em toda parte, egue que qualquer polinômio é 
uma função inteira. 
Uma cond:ção necessária, mas de modo algum suficiente, para uma função ser 
analítica em um domínio D é, claramente, a continuidade des a função ,em cada 
ponto de D . (~er afirmação em itálico per o do final da Seção 19 .. ) A validade das 
equações de Cauchy-Riemann também ,é nece sária mas não uficiente. Condiçõe 
· uficiente para a analiticidade em D são dadas nas Seçõe 23 e 24. 
Outras condições uficiente útei são obtida das regras de derivação da Seção 
20. As derivadas da soma e do produto de duas funções existem ,em cada ponto em 
que cada uma dessas fünçõe tiv,er d ivada. ssim, se duas funções ão analftica 
em um domínio D, então a soma e o produto dessas funções são funções anallti­
cas em D. Analogamente, o quociente dessas funções é uma função analítica ,em 
D, desde que a função no denominador não se anule em ,algum ponto de D. m 
* a literatura também ão utilizado os rermo regular ou holornorfa, em vez de analítica. 
76 CAPÍTULO 2 FUNÇÕES ANALÍTICAS 
em ,que e é uma constante real. Se e = O, · egue que /(z) = O em cada z de D. Se 
e f: O, a propriedade z = 171 2 dos números complexos nos diz que 
f(z)A = c2 # O 
e que portanto /(z) não se anula em D. Logo 
2 
f (z) = .; (z ,em cada z de D, 
e egue di o que /(z) é analítica em D. O principal re ultado que acabamo de 
obter no E~emplo 3 agora gar'an_e que /(z) é cons ante em D. 
EXEROÍCIIOS 
1. Aplique o teorema da Seção 23 pa_ra verificar que cada uma des a funções é inteira. 
(a) /(z) = 3x + y + i(3y - x); (b) f(z) = ooshx,cos y i senh x en y; 
(e) f(z) = .e- >' sen x - ie- y cos x; (d) J(z) = (C - 2)e-x .e- 1>'. 
2. U ando o teorema da Seçã,o 21, mo tre que cada uma de as funções não ,é analítica ,em 
ponto algum. 
(a) J(z) = xy + iy; (b) f(z) = 2xy + i(x" - y2)· 
(e) f( z) = f!.eix. 
3. Justifique por que a ,compo içilo de dua funçõe inteiras é uma função inteira. Ju tifi­
que ainda por que é uma função inteira qualquer comhin.Of,ã O, - rr 1. 
com deri ada 
/ 1 
G (-:) = (?.,, - ? .) g _., - + l 
Sugestão: observe que Re(2z - 2 + i) > O ex > 
77 SEÇÃO 27 1FUNÇÕES HAIRIMÔNICAS _______________ ___.;;._ ----
6. se resultados da Seção 24 para verificar que a função 
,S?(Z) = ln r + i0 (r > O, O O, y > O, 
com derivada 
G' (~) = 2z 
- 1 ' 
Sugestão: observe ,que lm(.r + l) > O se x > O, y > O. 
7. Seja fuma fiunção analítica em cada ponto de um domínio D. Pt-ove que e f(z) tiver 
valor real em cada z de D, então f (z) deve er uma função oon tante em D. 
27 FUNÇÕES HARMÔNICAS 
Dizemos que uma função real H de duas variáveí reais x e y é harmônica em um 
dado domínio do plano xy · e as derivadas parciais de segunda ordem de H ex.islirem 
e for m contínuas em cada ponto do domfuio e sati f~er m a ,equação diferencial 
parcial 
(1) HxAx , y) + Hy ,(. y) = O, 
conhec' da como equação de Laplace .. 
As funções harmônicas desempenham um papel importante na Matemática 
Aplicada. Por e emplo,. as temp ratu as T(x, y) de placas fi , as do plano xy ão, 
muitas vezes, harmônicas. Também é hannônica uma função V(x, y) que repres,enta 
um potencial eletrostático que varia · omente com x e y no interior de alguma região 
do e paço tridimensional livre de cargas. 
EXEMPLO 1. 1 fáci v,e ·ficar que a função T(x, y) = e- >' sen x é armônica em 
qualquer domínio do plano xy e, em particular, na faixa vertical semi-infinita 
O O. Os valores de a iunção nas are tas da faixa estão indicados na 
Figura 31. Mais preci amente, essa função satisfaz todas as condiçõe 
T.rx(X, y ) + Ty .(x , y) = O, 
T(O , y) = O, T(lí , y) = O, 
T ( . O) = . en x lim T (x, , ) = O, 
)'-
que desc ev, m as temperatu as estacionárias T(x, y) de uma placa homogên a fina 
do plano xy, em fontes ou poços de ca.lor e que esteja isolada, exceto pelas condie 
ções indicada ao longo •das aresta . 
79 SEÇÃO 27 1FUNÇÕES HAIRIMÔNICAS ----------------~ ---
EXEMPLO 2. A função f(z) = ,e- Y sen x -ie- Y cos x é ínteira conforme Exercí­
cio l(c) da Seção 26. Segue que o componente lieal, que é a função temperatura 
T(x, y) = .e- Y sen x do · xemplo 1, é harmônico ,em qualquer donúnio do plano xy. 
EXEMPLO 3. Co , o a função /(z) - 1 / z2 é a alítfoa em cada ponto z não nulo, e 
como 
I z2 z z2 (x2 - y2) - i2xy 
z - -2 - (z z)2 - lz 12 - (x + 2) 2 
as duas funçõe0s 
u(x e 
2 y 
v(x, ') = - (x2 + y2)2 
são harmônicas ,en qualque domínio do plano xy que não contenha a orig,em. 
o Cap~tulo 9 e 10, etomamo nos· a discu · ão de funçõe harmônica em 
relação à teoria de fiunções de uma variávd complexa para resolver problemas da 
Fí . ica como o do Exemplo 1 de ta seção. 
EXERCÍCIOS 
1. Seja/(z) = u(r, 8) + iv(r, 0) uma função analítica em um domínio D que não inclua a 
origem. sando as equações de Cauchy-Riemann em coordenadas polar-es (Seção 24) 
e supondo a continuidade das derivadas parciais, mos re que em cada ponto de D, a 
função u(r, 0) satisfaz a equação diferencial parcial 
r 2urr(r, 0) + ru,- r, 0) + ueo r , 0) = O, 
que é aforma pQ/ar da equação de Laplace. Mostre que o mesmo vale para a função 
v(r, 0). 
l . Sejaf(z) = u(x, y) + iv(x, y) uma função analítica em um domínio D e considere as fa­
mílias de curvas de nti el u(x, y) = c 1 ,e v(x, y) = c2, em que c 1 e c2 ão con tante rea· 
arbitrárias. Prove que ,essas famílias são ortogonais. Mai precisamente, mostre que se z0 
= (xo, y0) for um ponto de D que está na duas ,curva e pecíficas u(x y) = c1 ,e v(x, y) = 
cz e se/' (zo) # O, então as reta tangente a es as curvas em (.to, y0) são erpendiculares. 
Sugestão: observe ,que, do par de equações u(x, y) = ct e v(x, y) = c2, segue que 
ôu au d y O - + -- -ª a dx 
3 .• Mostre que se/(z.) = z2, então as curvas de nív,el u(x, y) = c 1 e v(x., y) = c2 das funções 
componentes são as hipérboles ·ndicadas na Figura 32. Note a ortogonalidade das duas 
facru1ias. descrita no Exercício 2. Observe que as cur as u(x, y) = O e v(x, y) - O se 
intersectam na origem, mas não são ortogonais nesse ponto. Por que isso não contradiz 
o resultado do Exercício 2 '? 
80 CAPIÍ.TULO 2 FUNÇÕES AINAL,TICAS 
y 
X 
Figura 32 
4. Esboce a, famílias de curvru de nível das funç,õe. componentes u e v da função /(z) = 
l / z e observe a ortogonalidade descrita no xercício 2, 
S. Refaça ,o E~ercfcio 4 u ando ,coordenadas polar,es .. 
6. Esboce as famílias de curvas de nível das funções componente i, e v da função 
z- 1 
f( z ) = z + 1 , 
e observe como o resultado do E~ercício 2 é exemplificado nesse caso. 
28 UN CIDADE DE IFUINÇÕES ANAL(T CAS 
Conclu' · os e te capítulo com duas seçõe ,em que estudamos a maneira pela qual 
os valores de uma função analítica ,em um domínio D ão afetados pelos valo11e " 
dessa função em algum subdomínio de D ou em algum segmento de reta ,contido 
em D. Es· a seções ão de ,con iderável interesse teórfoo, ma, não são ,centrais para 
o nosso desenolvimento de funções analítica • de modo que o leitor pode passar 
diretamente para o Capítulo 3 e só voltar quando julgar nece áxio. 
Lema. Suponha q.ue 
(a) uma/unção f sej,a analítica em um domínio D e que 
(b) f(z) = O.em e.ada ponto z de algum subdonúnio ou segmento de reta contido em D. 
Então, f(z) = O em D; ou seja, f(z) é identicamente igual a zero em D. 
Para pmvar ,esse lema, suponha que f seja uma função sati fazendo as hipóteses 
e eja/(z) = O um ponto qualquer do ubdonúnio ou segmento de re a em ,que/(z) 
= O. Com o D é um conjunto aberto conexo (S ção 12), existe alguma linha poli­
gonal L consistindo em um número finito de segmentos de rnta justapostos inteira­
mente ,co tido em D ,que inicia em z0 e termina em um outro ponto P qualquer de