Métodos Quantitativos Matemáticos (UniFatecie)

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<p>Métodos</p><p>Quantitativos</p><p>Matemáticos</p><p>Professor Me. Arthur Ernandes Torres da Silva</p><p>EduFatecie</p><p>E D I T O R A</p><p>EQUIPE EXECUTIVA</p><p>Editora-Chefe</p><p>Profa. Dra. Denise Kloeckner</p><p>Sbardeloto</p><p>Editor Adjunto</p><p>Prof. Dr. Flávio Ricardo</p><p>Guilherme</p><p>Assessoria Jurídica</p><p>Profa. Dra. Letícia Baptista</p><p>Rosa</p><p>Ficha Catalográfica</p><p>Tatiane Viturino de</p><p>Oliveira</p><p>Zineide Pereira dos</p><p>Santos</p><p>Revisão Ortográfica</p><p>e Gramatical</p><p>Profa. Esp. Bruna</p><p>Tavares Fernandes</p><p>Secretária</p><p>Geovana Agostinho</p><p>Daminelli</p><p>Setor Técnico</p><p>Fernando dos Santos</p><p>Barbosa</p><p>Projeto Gráfico, Design</p><p>e Diagramação</p><p>André Dudatt</p><p>www.unifatecie.edu.br/</p><p>editora-edufatecie</p><p>edufatecie@fatecie.edu.br</p><p>Reitor</p><p>Prof. Ms. Gilmar de Oliveira</p><p>Diretor de Ensino</p><p>Prof. Ms. Daniel de Lima</p><p>Diretor Financeiro</p><p>Prof. Eduardo Luiz</p><p>Campano Santini</p><p>Diretor Administrativo</p><p>Prof. Ms. Renato Valença Correia</p><p>Secretário Acadêmico</p><p>Tiago Pereira da Silva</p><p>Coord. de Ensino, Pesquisa e</p><p>Extensão - CONPEX</p><p>Prof. Dr. Hudson Sérgio de Souza</p><p>Coordenação Adjunta de Ensino</p><p>Profa. Dra. Nelma Sgarbosa Roman</p><p>de Araújo</p><p>Coordenação Adjunta de Pesquisa</p><p>Prof. Dr. Flávio Ricardo Guilherme</p><p>Coordenação Adjunta de Extensão</p><p>Prof. Esp. Heider Jeferson Gonçalves</p><p>Coordenador NEAD - Núcleo de</p><p>Educação à Distância</p><p>Prof. Me. Jorge Luiz Garcia Van Dal</p><p>Web Designer</p><p>Thiago Azenha</p><p>Revisão Textual</p><p>Kauê Berto</p><p>Projeto Gráfico, Design e</p><p>Diagramação</p><p>André Dudatt</p><p>2021 by Editora Edufatecie</p><p>Copyright do Texto C 2021 Os autores</p><p>Copyright C Edição 2021 Editora Edufatecie</p><p>O conteúdo dos artigos e seus dados em sua forma, correçao e confiabilidade são de responsabilidade</p><p>exclusiva dos autores e não representam necessariamente a posição oficial da Editora Edufatecie. Permi-</p><p>tidoo download da obra e o compartilhamento desde que sejam atribuídos créditos aos autores, mas sem</p><p>a possibilidade de alterá-la de nenhuma forma ou utilizá-la para fins comerciais.</p><p>Dados Internacionais de Catalogação na Publicação - CIP</p><p>Catalogação na publicação: Zineide Pereira dos Santos – CRB 9/1577</p><p>S586m Silva, Arthur Ernandes Torres da</p><p>Métodos quantitativos matemáticos / Arthur Ernandes</p><p>Torres da Silva. Paranavaí: EduFatecie, 2022.</p><p>107 p. : il. Color.</p><p>ISBN nº 978-65-5433-031-2</p><p>1. Matemática. 2. Análise Matemática. I. Centro Universitário</p><p>UniFatecie. II. Núcleo de Educação a Distância. II. Título.</p><p>CDD : 23 ed. 515</p><p>EduFatecie</p><p>E D I T O R A</p><p>UNIFATECIE Unidade 1</p><p>Rua Getúlio Vargas, 333</p><p>Centro, Paranavaí, PR</p><p>(44) 3045-9898</p><p>UNIFATECIE Unidade 2</p><p>Rua Cândido Bertier</p><p>Fortes, 2178, Centro,</p><p>Paranavaí, PR</p><p>(44) 3045-9898</p><p>UNIFATECIE Unidade 3</p><p>Rodovia BR - 376, KM</p><p>102, nº 1000 - Chácara</p><p>Jaraguá , Paranavaí, PR</p><p>(44) 3045-9898</p><p>www.unifatecie.edu.br/site</p><p>As imagens utilizadas neste</p><p>livro foram obtidas a partir</p><p>do site Shutterstock.</p><p>https://orcid.org/0000-0001-5409-4194</p><p>AUTOR</p><p>Professor Me. Arthur Ernandes Torres da Silva</p><p>● Bacharel em Física na Universidade Estadual de Maringá (UEM)</p><p>● Licenciatura em Física na Universidade Estadual de Maringá (UEM).</p><p>● Mestre em Física pela Universidade Estadual de Maringá (UEM).</p><p>● Doutorando em Física - Universidade Estadual de Maringá (UEM)</p><p>● Professor Formador UniFatecie</p><p>● Professor de Física no Colégio Educacional Noroeste Paranavaí.</p><p>Professor e pesquisador. Tem experiência na área de física da matéria con-</p><p>densada, impedância elétrica (teórica e experimental) e dinâmica de íons em células</p><p>eletrolíticas. Possui experiência como docente no Ensino Médio e Ensino Superior. Nos</p><p>cursos de Engenharia Civil, Engenharia de produção e Arquitetura, já foi professor das</p><p>disciplinas de Cálculo Diferencial e Integral, Física Geral e Laboratório de Física Geral.</p><p>CURRÍCULO LATTES: http://lattes.cnpq.br/4605782782813159</p><p>APRESENTAÇÃO DO MATERIAL</p><p>Seja muito bem-vindo(a)!</p><p>Prezado(a) aluno(a), se você se interessou pelo assunto desta disciplina, isso já é</p><p>o início de uma grande jornada que vamos trilhar juntos a partir de agora. Neste material</p><p>foram abordados diversos assuntos com muitos exemplos e comentários para facilitar os</p><p>estudos do material de Métodos Quantitativos Matemáticos.</p><p>Proponho, junto a você, construir nosso conhecimento sobre diversos tópicos os</p><p>quais serão essenciais para sua formação acadêmica. A proposta da ementa é trazer se-</p><p>gurança em diversos ramos da Matemática teórica para aqueles que optarem pela carreira</p><p>acadêmica, assim como para aqueles que atuaram diretamente no mercado de trabalho.</p><p>Na Unidade I, começaremos a nossa jornada definindo o conjunto dos números</p><p>que usaremos em nossa disciplina, a proporção direta e indireta entre grandezas, represen-</p><p>tação de funções e como analisar o domínio e imagem de uma função.</p><p>Já na Unidade II, vamos tratar especificamente algumas funções, como as polino-</p><p>miais, tanto de primeiro como de segundo grau, as exponenciais e modulares. Junto com</p><p>a análise algébrica de cada uma delas vamos analisar essas funções do ponto de vista</p><p>gráfico também.</p><p>Depois, na Unidade III, vamos tratar especificamente de um novo formalismo mate-</p><p>mático, os de limites e derivadas. Iremos aprender a interpretar geometricamente a derivada</p><p>de uma função bem como o valor que a mesma tende ao aproximar de um valor limite.</p><p>Por fim, na última unidade, vamos aprender introduzir o conceito de primitivas e</p><p>integrais. Qual é a diferença entre uma integral definida e indefinida e a relevância desse</p><p>conceito para diversas áreas da ciência.</p><p>Aproveito para reforçar o convite a você, para junto conosco percorrer esta jornada</p><p>de conhecimento e multiplicar os conhecimentos sobre tantos assuntos abordados em</p><p>nosso material. Esperamos contribuir para seu crescimento pessoal e profissional.</p><p>Muito obrigado e bom estudo!</p><p>SUMÁRIO</p><p>UNIDADE I ...................................................................................................... 3</p><p>Matemática Básica e Conjuntos Numéricos</p><p>UNIDADE II ................................................................................................... 31</p><p>Funções Polinomiais, Exponencial e Modular</p><p>UNIDADE III .................................................................................................. 62</p><p>Limites e Derivadas</p><p>UNIDADE IV .................................................................................................. 86</p><p>Integrais</p><p>3</p><p>Plano de Estudo:</p><p>● Grandezas e proporções;</p><p>● Teoria dos conjuntos;</p><p>● Representação de funções;</p><p>● Domínio e imagem de funções.</p><p>Objetivos da Aprendizagem:</p><p>● Aprender relações de proporcionalidades;</p><p>● Conhecer os conjuntos numéricos;</p><p>● Compreender o Plano Cartesiano;</p><p>● Entender o domínio, contra domínio e imagem de uma função.</p><p>UNIDADE I</p><p>Matemática Básica e</p><p>Conjuntos Numéricos</p><p>Professor Me. Arthur Ernandes Torres da Silva</p><p>4UNIDADE I Matemática Básica e Conjuntos Numéricos</p><p>INTRODUÇÃO</p><p>Caro(a) aluno(a), seja bem-vindo à primeira unidade de nosso material. Esta unidade</p><p>será dedicada ao estudo das grandezas diretamente proporcionais e inversamente propor-</p><p>cionais, bem como algumas regras de três que serão de grande utilidade para os exercícios.</p><p>Na sequência, vamos entrar na teoria dos conjuntos, os quais descrevem os núme-</p><p>ros em algumas classes. Na terceira parte o estudo será direcionado a representação de</p><p>funções e por fim, vamos aprender a calcular o domínio e imagem de uma função.</p><p>Aproveite ao máximo seus estudos. Vamos lá então!</p><p>5UNIDADE I Matemática Básica e Conjuntos Numéricos</p><p>1. GRANDEZAS E PROPORÇÕES</p><p>Na natureza, tudo aquilo que pode ser medido e estudado é uma grandeza. A</p><p>física divide as grandezas em duas grandes vertentes. A primeira refere-se as grandezas</p><p>escalares, suponha que você esteja comprando uma determinada quantidade de carne no</p><p>açougue. Como exemplo hipotético, você diz “por favor, gostaria de 1 Kg de alcatra”. Por</p><p>outro lado, seria estranho se fosse dito “por favor, gostaria de 1 Kg de alcatra na horizontal</p><p>para direita”. Note que, dizendo apenas a quantidade da grandeza já foi suficiente para</p><p>deixar claro o que queria. Essas grandezas que são caracterizadas</p><p>mais inclinada é a curva, caso o</p><p>coeficiente angular seja igual a zero, então a curva não possui inclinação e, se o coeficiente</p><p>de inclinação for negativo, então a curva é orientada para baixo. Tome como exemplo o</p><p>gráfico da função afim (função de primeiro grau):</p><p>74UNIDADE III Limites e Derivadas</p><p>FIGURA 8 – DIFERENTES INCLINAÇÕES DE UMA RETA</p><p>Fonte: PHET. Inclinação e Intersecção. Disponível em: https://phet.colorado.edu/sims/html/graphing-slope-in-</p><p>tercept/latest/graphing-slope-intercept_pt_BR.html. Acesso em: 09 dez. 2021.</p><p>O ponto destacado em rosa indica onde a curva toca o eixo das coordenadas, no</p><p>exemplo é no ponto y= 2. Como mencionado, no primeiro caso f(x)= y =2x+2, ou seja, o coe-</p><p>ficiente angular é positivo. No segundo gráfico f (x) = y = -2x+2, logo a inclinação é negativa</p><p>e a reta aponta para baixo. No terceiro caso, não há inclinação f(x) = y= 0.x+2→f(x)= y =2.</p><p>Entretanto, como uma curva que possui vários altos e baixos pode ser descrita</p><p>como crescente ou decrescente?? Vamos ver um exemplo:</p><p>FIGURA 9 – RETAS TANGENTES SEM INCLINAÇÃO NOS MÁXIMOS E MÍNIMOS</p><p>Fonte: STEWART, 2016.</p><p>Ao longo da curva da figura anterior, em alguns pontos, foram traçadas retas tan-</p><p>gentes, que nada mais são do que retas que tocam em um único ponto. Logo, uma reta</p><p>tangente foi traçada no ponto A, em B, no ponto C e em P. Note que nos três primeiros</p><p>casos a inclinação da reta tangente é igual a zero e no ponto P a inclinação é positiva, pois</p><p>é direcionada para cima. Sendo assim, ao traçar uma reta tangente em um ponto, calcu-</p><p>lando a inclinação da reta tangente, podemos dizer que a função localmente é crescente,</p><p>decrescente ou é um ponto de máximo e mínimo.</p><p>75UNIDADE III Limites e Derivadas</p><p>Porém, o que é um ponto de máximo e mínimo? O ponto de B é um ponto de má-</p><p>ximo e o ponto A e C são de mínimo, já o ponto P não é nenhum dos dois casos. Outro fato</p><p>importante, é que na maioria dos casos, os pontos de máximos e mínimos são de reversão.</p><p>Assim, vamos definir a derivada de um ponto em uma função como a variação ins-</p><p>tantânea da função em relação a x nesse ponto. Sendo assim, a derivada mede a inclinação</p><p>da curva em um dado ponto. Em nosso exemplo, a derivada nos pontos A, B e C é nula, por</p><p>outro lado, no ponto P ela é positiva.</p><p>Em que ponto uma função não é diferenciável? Quando a reta tangente possui tal</p><p>inclinação que fica posicionada na vertical.</p><p>FIGURA 10 – PONTO EM QUE A FUNÇÃO É NÃO DIFERENCIÁVEL</p><p>Fonte: STEWART, 2016.</p><p>Outro cenário é se a função é descontínua em um ponto. Logo, nesse valor, a</p><p>derivada não é bem definida.</p><p>FIGURA 11 – FUNÇÃO DESCONTÍNUA</p><p>Fonte: STEWART, 2016.</p><p>76UNIDADE III Limites e Derivadas</p><p>Matematicamente como é escrita a derivada de uma função?</p><p>A notação de derivada é essa e o termo não é um valor d dividido por d vezes x.</p><p>É um operador e o x em baixo indica a variável em que estamos derivando. Ou seja, é</p><p>a derivada da função em relação a a derivada da função em relação a z e assim pode</p><p>ser feito para qualquer função em relação a qualquer variável.</p><p>Contudo, existem casos particulares, um deles é quando derivamos um número em</p><p>relação a uma variável ou uma função que depende de outra variável. Nesse caso é dito</p><p>que estamos derivando uma constante!</p><p>Nesse caso, todas as derivadas são nulas pois os termos a serem derivadas são</p><p>constantes em relação as variáveis em questão.</p><p>Outro caso bem definido é quando temos a variável derivada em relação a ela</p><p>mesma, ou seja:</p><p>Vamos agora aprender a primeira regra de derivada.</p><p>77UNIDADE III Limites e Derivadas</p><p>4. REGRAS DE DERIVADA</p><p>Nessa última parte vamos aprender algumas regras da derivada. Em todo cálculo</p><p>diferencial e integral, uma das mais clássicas são a regra da potência, exponenciais e as</p><p>derivadas trigonométricas. Sendo assim, em nosso curso, que serve como base introdutória</p><p>para o cálculo, vamos aprender essas três.</p><p>4.1 Regra da potência</p><p>Essa regra é atribuída para funções do tipo polinomiais. Considere n um número</p><p>inteiro positivo, então:</p><p>No ditado popular, essa regra é conhecida como regra do tombo, pois seu princípio</p><p>é baseado em tombar o número do expoente para frente da base, passando a multiplicá-la</p><p>e quando ele “cai”, o número do expoente perde uma unidade. Vamos entender isso com</p><p>alguns exemplos:</p><p>78UNIDADE III Limites e Derivadas</p><p>Ex. 01</p><p>Calcule a derivada f (x) = x 4.</p><p>Resolução:</p><p>Ex. 02</p><p>Determine a derivada de .</p><p>Resolução:</p><p>Quando há um termo elevado ao expoente 1 é o mesmo que não o escrever.</p><p>Em alguns casos, ao invés representarmos a derivada em sua forma por exemplo,</p><p>podemos apenas escrever . Vamos para mais alguns exemplos:</p><p>Ex. 03</p><p>Calcule a derivada da função:</p><p>Resolução:</p><p>Nesse exemplo, o terceiro termo é nulo pois estamos derivando um valor que</p><p>depende de x em relação a r , ou seja, é mesmo que derivar uma constante em relação a</p><p>variável, e isso vale zero.</p><p>Ex. 04</p><p>Determine a derivada da função:</p><p>Resolução:</p><p>79UNIDADE III Limites e Derivadas</p><p>Observe que o segundo e o terceiro termo estão elevados à um expoente negativo,</p><p>isso significa que quando o expoente tombar, então ela ficará mais negativo ainda -3 -1 =</p><p>-4 e -2 -1 = -3. Ademais, atente-se ao jogo de sinais quando o expoente é negativo e passa</p><p>multiplicar a base. O segundo termo ficou positivo pois (-3) multiplicou - x -4.</p><p>Ex. 05</p><p>Calcule a derivada da função:</p><p>Resolução:</p><p>Primeiro, nesse caso, é preciso carregar a variável que está no denominado no</p><p>segundo caso para o numerador. Porém, lembre-se de que ao fazer esse procedimento o</p><p>sinal do expoente se altera. Assim:</p><p>Agora vamos derivar a função:</p><p>4.2 Derivadas trigonométricas</p><p>Na trigonometria existem algumas funções bem definidas como sen(x), cos(x), tg(x),</p><p>cotg(x), sec(x), cossec(x), entre outras. As derivadas base são as do seno e cosseno, as</p><p>quais são calculadas usando os conceitos de limites. Entretanto, não vamos entrar nessas</p><p>deduções matemáticas, uma vez que será de grande aplicabilidade para você saber lidar</p><p>com as derivadas e não como deduzi-las.</p><p>Deste modo, existe uma tabela das derivadas trigonométricas:</p><p>TABELA 2 – TABELA DE DERIVADAS</p><p>Fonte: STEWART, 2016.</p><p>80UNIDADE III Limites e Derivadas</p><p>Outro detalhe importante é a periodicidade das derivadas trigonométricas. Veja que</p><p>quando f(x) = sen(x), então:</p><p>Consequentemente</p><p>A terceira derivada é:</p><p>Logo, se uma função for trigonométrica, a sua segunda derivada é igual ao mesmo</p><p>valor da função a menos de um sinal, bem como para retornar à função primária sem alterar</p><p>o sinal é precisar derivar pela quarta vez. Veja alguns exemplos:</p><p>Ex. 01</p><p>Calcule a derivada da função</p><p>Resolução:</p><p>Ex. 02</p><p>Calcule a derivada de</p><p>Resolução:</p><p>Veja que não é tão complicado trabalhar com derivadas trigonométricas, mas faça</p><p>dessa tabela como seu principal apoio na resolução de exercícios.</p><p>81UNIDADE III Limites e Derivadas</p><p>4.3 Derivada da função exponencial</p><p>A função exponencial natural é escrita na forma f (x) = ex</p><p>FIGURA 12 – FUNÇÃO EXPONENCIAL E A INCLINAÇÃO DA</p><p>RETA TANGENTE EM ALGUNS PONTOS</p><p>Fonte: STEWART, 2016.</p><p>E a sua derivada é dada por:</p><p>Note então que a derivada da função exponencial é ela mesma. Vamos fazer alguns</p><p>exemplos:</p><p>Ex. 03</p><p>Calcule a derivada da função</p><p>f (x)= ex - x2</p><p>Resolução:</p><p>f (x) = e x - 2x</p><p>A derivada do primeiro termo é ele mesmo, pois é uma função exponencial e a do</p><p>segundo termo usamos a regra do expoente.</p><p>Ex. 04</p><p>Determine a derivada da função</p><p>Resolução:</p><p>82UNIDADE III Limites e Derivadas</p><p>SAIBA MAIS</p><p>Uma das aplicações mais básicas do cálculo diferencial em física é como calcular a ex-</p><p>pressão da velocidade de um corpo e aceleração, partindo da função horária das posições.</p><p>No movimento retilíneo uniformemente variado, aprendemos que a função do espaço é</p><p>dada por:</p><p>Ao derivar a função do espaço, obtemos a função da derivada, esse é o significado da</p><p>derivada na cinemática! Ou seja</p><p>Logo:</p><p>Ou seja:</p><p>Que é exatamente a expressão da velocidade</p><p>em função do tempo. Caso você derive</p><p>mais uma vez esse resultado, encontrará o valor da aceleração, uma vez que a derivada</p><p>da função da velocidade resulta na aceleração do sistema:</p><p>Assim:</p><p>O que nos leva ao valor da aceleração instantânea do movimento.</p><p>Fonte: O Autor (2021).</p><p>83UNIDADE III Limites e Derivadas</p><p>REFLITA</p><p>“De que irei me ocupar no céu, durante toda a eternidade, se não me derem uma infini-</p><p>dade de problemas de matemática para resolver”</p><p>“O homem morre, mas suas obras ficam”</p><p>Fonte: Augustin Louis Cauchy (1789-1857).</p><p>84UNIDADE III Limites e Derivadas</p><p>CONSIDERAÇÕES FINAIS</p><p>Começamos a unidade abordando o conceito de limite de uma função de variável</p><p>real e função contínua. Dessa forma, podemos introduzir brevemente o formalismo da de-</p><p>rivada de uma função. Sendo assim, no tópico 3 abordamos a interpretação geográfica da</p><p>derivada, os máximos e mínimos e o que é a derivada em um ponto da curva.</p><p>Na sequência, aprendemos algumas regras de derivadas, como a regra do ex-</p><p>poente, algumas derivadas trigonométricas e a derivada da função exponencial. Existem</p><p>inúmeras outras regras de derivadas e resultados tabelados. Contudo esse aprofundamento</p><p>em derivadas será feito na disciplina de cálculo diferencial e integral.</p><p>Aguardamos você no próximo módulo. Até mais.</p><p>85UNIDADE III Limites e Derivadas</p><p>MATERIAL COMPLEMENTAR</p><p>LIVRO</p><p>Título: Em busca do Infinito</p><p>Autor: Ian Stewart.</p><p>Editora: Zahar.</p><p>Sinopse: O autor apresenta a história da matemática de forma</p><p>clara e simples, passando dos primeiros símbolos numéricos</p><p>da Mesopotâmia aos grandes problemas ainda insolúveis que</p><p>desafiam a mente dos maiores cientistas de nosso tempo. Com</p><p>ajuda de mais de 100 ilustrações, desmistifica ideias essenciais da</p><p>matemática, explicando um tema de cada vez.</p><p>FILME / VÍDEO</p><p>Título: Gênio Indomável</p><p>Ano: 1997.</p><p>Sinopse: Em Boston, um jovem de 20 anos servente de uma uni-</p><p>versidade que já teve algumas passagens pela polícia, revela-se</p><p>um gênio em matemática e, por determinação legal, precisa fazer</p><p>terapia, mas nada funciona, pois ele debocha de todos os analis-</p><p>tas, até se identificar com um deles.</p><p>86</p><p>Plano de Estudo:</p><p>● Primitivas;</p><p>● Integrais;</p><p>● Integral Indefinida;</p><p>● Integral Definida.</p><p>Objetivos da Aprendizagem:</p><p>● Interpretar o significado da integral de uma função;</p><p>● Aprender a calcular integrais definidas e indefinidas;</p><p>● Estudar as principais técnicas de integração.</p><p>UNIDADE IV</p><p>Integrais</p><p>Professor Me. Arthur Ernandes Torres da Silva</p><p>87UNIDADE IV Integrais</p><p>INTRODUÇÃO</p><p>Prezado(a) aluno(a), essa unidade será direcionada para o estudo das integrais,</p><p>assunto esse que é o carro chefe do cálculo. Ademais, é indispensável que qualquer aluno</p><p>das ciências deixe de saber como funciona o cálculo de integrais.</p><p>Vamos começar estudando o Teorema Fundamental do Cálculo e entender grafi-</p><p>camente o seu significado. Nos tópicos posteriores abordaremos as integrais definidas e</p><p>indefinidas, as quais se diferem somente através pela presença do limite de integração,</p><p>além de a primeira resultar em um valor numérico e a segunda em uma expressão algébrica.</p><p>Esse módulo em específico prepara você para inúmeros conceitos físicos que são</p><p>escritos em teoremas de integrais, como por exemplo no eletromagnetismo em que aborda-</p><p>mos as equações de Maxwell, Princípio de Bernoulli, entre outras leis físicas.</p><p>Esperamos que esta unidade seja imensamente proveitosa e seja de bom uso na</p><p>sua formação acadêmica.</p><p>Bons estudos!</p><p>88UNIDADE IV Integrais</p><p>1. PRIMITIVAS</p><p>Na física cinemática quando sabemos o valor da velocidade de um movimento</p><p>retilíneo uniformemente variado e precisamos obter a expressão do espaço, precisamos</p><p>“retroceder” a equação da velocidade. Na física elétrica, quando estudamos campo o campo</p><p>elétrico gerado por uma partícula puntiforme, podemos generalizar uma forma de encontrar</p><p>esse valor a partir da Lei de Gauss, escrita matematicamente como uma integral de super-</p><p>fície que caracteriza uma superfície imaginária em torno da carga pontual. Em cada caso, é</p><p>preciso encontrar uma função F cuja a derivada é uma função que já conhecemos. Se essa</p><p>função F existir, então ela é batizada de primitiva de f.</p><p>Vamos primeiro ver o caso mais simples do cálculo da primitiva de uma função</p><p>polinomial. Vimos na unidade passada que para obter a derivada de uma função desse tipo,</p><p>seguíamos a seguinte ideia matemática:</p><p>f (x) = x n→f' (x) = n . x n-1</p><p>Essa regra ficou conhecida como regra da potência, ou também conhecida como regra</p><p>do tombo. O expoente “cai” para frente multiplicando a base e o expoente perde uma unidade.</p><p>Como vamos estudar a primitiva de uma função, nada mais intuitivo do que pensar</p><p>que se a derivada o expoente tomba e perde uma unidade, então a primitiva, é como se um</p><p>expoente “ganhasse” uma unidade. Porém, depois que acrescentarmos uma unidade do</p><p>expoente, precisamos dividir a base por esse novo expoente:</p><p>89UNIDADE IV Integrais</p><p>Veja a importante da necessidade desse denominador, a ideia é pensar “qual a</p><p>função que devemos obter que derivando retorna a essa inicial?” Se não tivesse esse</p><p>denominador, a primitiva seria assim:</p><p>Agora, para verificar se está certo, vamos derivar F (x) para ver se retorna a f (x):</p><p>Ou seja, antes f (x) = x 3 e agora f (x) = 4x3 ? Isso não faz sentido. Mas se for feito</p><p>da forma correta:</p><p>Então:</p><p>Agora está correto! Essa é a justificativa por dividir a primitiva por n + 1, pois serve</p><p>para “cancelar” o expoente ganho durante o processo do retrocesso da função. Vamos ver</p><p>alguns exemplos:</p><p>Ex. 01</p><p>Resolução:</p><p>Veja que foi simplificado o segundo termo para facilitar as contas</p><p>No primeiro termo pense assim “o que eu devo derivar e que resulta em 4 x ?” Essa</p><p>função é o 2 x2.</p><p>Ademais, a constante C, surge para constituir a nova função primitiva. Para entender</p><p>isso melhor, pense no seguinte exemplo. Determine a derivada da função f (x) = 2x 3+3. Como</p><p>já aprendemos, a derivada é f (x) = 6x2, veja que a derivada de uma constante é igual a zero.</p><p>Contudo, se calcularmos a primitiva de f '(x), como fica? f '(x) = 6x2→ f (x)=2x3, até o momento</p><p>tudo bem, mas para onde foi a constante 3 ? O resultado não deveria ser f (x) = 2x 3+3 ? Note</p><p>que se não colocarmos então uma constante a função original perde um termo importante.</p><p>90UNIDADE IV Integrais</p><p>Ex. 02</p><p>Encontre a primitiva de f ''(x) = 12x 2 + 6x -4</p><p>Resolução:</p><p>Nesse caso vimos que a primitiva de uma constante passa a multiplicar a variável x.</p><p>TABELA 1 – EXEMPLOS DE FUNÇÕES E SUAS PRIMITIVAS</p><p>Fonte: STEWART, 2016.</p><p>Na tabela anterior temos alguns exemplos de algumas primitivas.</p><p>91UNIDADE IV Integrais</p><p>2. INTEGRAIS</p><p>Nós começamos tentando resolver o problema da área: encontre a área da região</p><p>que está sob a curva do ponto até . Isso significa que a área S, ilustrada na figura está</p><p>limitada pelo gráfico de uma função contínua , pelas retas verticais , e pelo eixo .</p><p>FIGURA 1 – FUNÇÃO DELIMITADA PELOS PONTOS a E b.</p><p>Fonte: STEWART, 2016.</p><p>92UNIDADE IV Integrais</p><p>Na matemática, aprendemos como encontrar a área de um quadrado, de um triân-</p><p>gulo, um trapézio. Porém, e quando é uma área que não é conhecida? Na qual um dos</p><p>lados tem um formato desconhecido? Neste caso, o cálculo diferencial e integral faz uso de</p><p>um princípio denominado soma de Riemann, que consiste em você somar vários pequenos</p><p>retângulos abaixo da curva ou que excedam um pouco ela a cima. O que acontece é que</p><p>quanto menor a largura desses retângulos, mais você pode somar a fim de preencher toda</p><p>a área abaixo da curva, com isso sua aproximação da soma de retângulos fica cada vez</p><p>mais próximo do valor da área total.</p><p>FIGURA 2 – SOMA DE RETÂNGULOS PARA CORRESPONDER A ÁREA ABAIXO DA CURVA</p><p>Fonte: STEWART, 2016.</p><p>Observe que quando o número de retângulos é igual a 10, ficam alguns espaços</p><p>em branco, o que leva a um erro considerável da área verídica. À medida que aumenta o</p><p>número de retângulos, de 30 para 50, mais bem preenchida fica a área abaixo da curva,</p><p>tanto quando</p><p>os retângulos ficam abaixo ou a cima da curva. Assim, definimos a integral de</p><p>uma função da seguinte forma:</p><p>Se f é uma função contínua definida em a ≤ x ≤ b , dividimos o intervalo em n</p><p>subintervalos de comprimentos iguais ∆x = (b-a) / n. Sejam x0 , x1 , x2 ,…, xn as extremidades</p><p>desses subintervalos e x1*, x2*,…, xn* os pontos amostrais arbitrários nesses subintervalos,</p><p>de forma que o i-ésimo subintervalo. Então a integral definida de f de a até b é dada por:</p><p>93UNIDADE IV Integrais</p><p>Desde que o limite exista e dê o mesmo valor para todas as possíveis escolhas de</p><p>pontos amostrais. Se ele existir, dizemos que é integrável em .</p><p>FIGURA 3 – INTEGRAL COMO UMA SOMA DE RIEMANN</p><p>Fonte: STEWART, 2016.</p><p>Contudo, não fique preocupado com esse formalismo matemático, pois não será</p><p>necessário trabalhar com somas e limites. O conteúdo apresentado até aqui trata-se de</p><p>uma explicação da ideia de integrais. O que você realmente precisará saber para continuar</p><p>a partir desse momento é calcular as primitivas, pois realizar uma integral é calcular a</p><p>primitiva de uma função. Entenda que a integral é a área resultante, ou seja:</p><p>FIGURA 4 – PARTES POSITIVAS E NEGATIVAS DA INTEGRAL DE UMA FUNÇÃO.</p><p>Fonte: STEWART, 2016.</p><p>Em um ditado popular, costuma-se dizer que o símbolo de integral é uma cobrinha</p><p>para cima, como se fosse um S esticado, indicando que é uma soma da área. Vamos ver</p><p>nos próximos capítulos que a integral de uma função pode resultar em um número (inte-</p><p>grais definidas) e em uma expressão algébrica (integrais indefinidas). Antes de adentramos</p><p>nessas classes de integrais, vamos aprender algumas propriedades.</p><p>A integral da mesma função em intervalos consecutivos pode ser a soma da integral</p><p>de cada trecho:</p><p>94UNIDADE IV Integrais</p><p>FIGURA 5 – A INTEGRAL DE UMA FUNÇÃO DIVIDIDA EM</p><p>DUAS INTEGRAIS QUE DIVIDEM O INTERVALO</p><p>Fonte: STEWART, 2016.</p><p>Podemos também multiplicar a integral por uma constante c.</p><p>E também verificar que a integral de uma constante é o mesmo que fazer:</p><p>Agora, com esses conceitos bem explicados, vamos definir o Teorema Fundamental</p><p>do Cálculo:</p><p>Se f for uma função contínua restringida no intervalo [a , b], então:</p><p>Em que F é qualquer primitiva de f, isto é, uma função tal que F' = f . Veja que</p><p>integral a função em um intervalo definido é o mesmo que aplicar a primitiva no intervalo</p><p>superior menos a primitiva aplicada no intervalo inferior.</p><p>Outro detalhe é que as integrais sempre devem ter o símbolo junto com o seu</p><p>diferencial</p><p>Como o operador derivada:</p><p>95UNIDADE IV Integrais</p><p>3. INTEGRAL INDEFINIDA</p><p>Podemos definir a integral indefinida de uma função f como uma outra função. Ou seja:</p><p>Observe que as integrais indefinidas não possuem limites de integração e sempre</p><p>junto ao resultado final, a constante de integração deve estar presente. Abaixo consta uma</p><p>tabela de algumas integrais prontas e na sequência alguns exemplos.</p><p>TABELA 2 – ALGUNS RESULTADOS DE INTEGRAIS INDEFINIDAS</p><p>Fonte: STEWART, 2016.</p><p>96UNIDADE IV Integrais</p><p>Ex. 01</p><p>Calcule a integral indefinida</p><p>Resolução:</p><p>Ex. 02</p><p>Determine o valor da integral</p><p>Resolução:</p><p>Ex. 03</p><p>Faça a integral</p><p>Resolução:</p><p>Vamos reescrever a raiz quadrada de x como x 1/2</p><p>Ex. 04</p><p>Resolução:</p><p>97UNIDADE IV Integrais</p><p>Atenção nesse exemplo pois no expoente é somado uma unidade, logo x -2 → - x -1.</p><p>O sinal negativo provém do fato de .</p><p>Ex. 05</p><p>Resolução:</p><p>Ex. 06</p><p>Resolução:</p><p>Ex. 07</p><p>Resolução:</p><p>Lembre-se na transformação entre expoente e uma raiz:</p><p>98UNIDADE IV Integrais</p><p>Ex. 08</p><p>Resolução:</p><p>Ex. 09</p><p>Resolução:</p><p>Ex. 10</p><p>Resolução:</p><p>99UNIDADE IV Integrais</p><p>4. INTEGRAL DEFINIDA</p><p>A integral definida é dada de forma genérica como:</p><p>Note agora, que há intervalos de integração e no fim do cálculo não devemos</p><p>adicionar a constante de integração C. Ademais, tome cuidado com os sinais, uma vez</p><p>que depois de você fazer a integral, devemos aplicar o resultado no intervalo superior e</p><p>subtrair do resultado aplicado no intervalo inferior, da forma como foi definido no Teorema</p><p>Fundamental do Cálculo:</p><p>Ex. 01</p><p>Resolução:</p><p>100UNIDADE IV Integrais</p><p>Ex. 02</p><p>Resolução:</p><p>Ex. 03</p><p>Resolução:</p><p>Ex. 04</p><p>Resolução:</p><p>101UNIDADE IV Integrais</p><p>Ex. 05</p><p>Resolução:</p><p>Ex. 06</p><p>Resolução:</p><p>Ex. 07</p><p>Resolução:</p><p>102UNIDADE IV Integrais</p><p>Ex. 08</p><p>Resolução:</p><p>103UNIDADE IV Integrais</p><p>SAIBA MAIS</p><p>Um estudo posterior ao cálculo diferencial e integral de uma variável diz respeito às</p><p>múltiplas variáveis. No caso das derivadas, quando aplicadas em uma função de duas</p><p>variáveis por exemplo, usamos as derivadas parciais.</p><p>Já no caso das integrais, surgem as integrais duplas e integrais triplas. Em conjunto com</p><p>essa nova classe de integrais, os teoremas mais refinados do cálculo são abordados,</p><p>Teorema de Green, Teorema de Stokes e Teorema do Divergente.</p><p>Fonte: O Autor (2021).</p><p>REFLITA</p><p>Segundo Richard Feynman “A ideia é fornecer todas as informações, para que os outros</p><p>possam julgar o valor de sua contribuição, e não apenas as informações que dirijam o</p><p>julgamento para uma direção específica”. Portanto, como podemos julgar as informa-</p><p>ções vistas nessa unidade? Em que parte do nosso dia a dia as integrais são utilizadas?</p><p>Fonte: Feynman (1985).</p><p>104UNIDADE IV Integrais</p><p>CONSIDERAÇÕES FINAIS</p><p>Parabéns por ter chegado ao fim dessa unidade e ao término desta apostila. Até</p><p>aqui, um breve formalismo matemático foi passado para você. Em especial nas duas últi-</p><p>mas unidades as quais caracterizam o cálculo diferencial e integral, permite que você esteja</p><p>capacitado para entender um curso de cálculo diferencial e integral.</p><p>Começamos essa unidade apresentado o que são as integrais e onde podemos</p><p>aplicá-las. Na sequência, aprendemos como calcular uma integral que não possui limites de</p><p>integração (as indefinidas) e a outra classe que tem os limites de integração (as definidas).</p><p>Note que a diferença entre essas duas classes de integrais é o resultado, uma fornece um</p><p>valor numérico, correspondente a área abaixo da curva entre dois pontos. Por outro lado, as</p><p>indefinidas servem para resolver problemas algébricos, como aquele que foi apresentação</p><p>ao término da seção envolvendo a física cinemática.</p><p>O estudo das integrais prepara você para novas técnicas de integração, como por</p><p>exemplo a técnica de substituição, integração por partes e integrais trigonométricas. Além dis-</p><p>so, uma vez que aprendemos as integrais de uma função que depende de uma única variável,</p><p>torna-se intuitivo quando você se deparar com as integrais iteradas no cálculo avançado.</p><p>Esperamos que você tenha aproveitado ao máximo esse momento de estudo. Até</p><p>a próxima!</p><p>105UNIDADE IV Integrais</p><p>MATERIAL COMPLEMENTAR</p><p>LIVRO</p><p>Título: Elementos de Cálculo Diferencial e Integral</p><p>Autor: Giovani Manzeppi Faccoin</p><p>Editora: Inter Saberes</p><p>Sinopse: Do tempo de Arquimedes até a criação do Teorema</p><p>Fundamental do Cálculo por Newton e Leibniz, quase 2 mil anos</p><p>se passaram. Durante esse tempo, gerações de matemáticos tra-</p><p>balharam ao longo de vidas inteiras para chegar a resultados que,</p><p>atualmente, o leitor pode determinar em apenas alguns minutos,</p><p>amparado pelas ferramentas modernas de cálculo. Considerando</p><p>a importância dessas ferramentas para a ampliação da percepção</p><p>sobre a prática de engenharia, a presente obra revisita as princi-</p><p>pais funções usadas no cotidiano, a noção de limites, derivadas</p><p>e integrais de uma variável real a uma variável real, e aplicações.</p><p>FILME / VÍDEO</p><p>Título: Aplicação de Integral na Física #Cálculo 1 – Cálculo Dife-</p><p>rencial e Integral</p><p>Ano: 2018.</p><p>Sinopse: Neste vídeo é feito um exemplo da aplicação de integrais</p><p>à física, em específico no tópico de cinemática.</p><p>Link de acesso: https://www.youtube.com/watch?v=gc3na4DaGEw</p><p>106</p><p>REFERÊNCIAS</p><p>ALVAREZ, T. G. A matemática da reforma Francisco Campos em ação no cotidiano escolar.</p><p>2004. 270 f. Dissertação (Mestrado em Educação Matemática) – Departamento de Mate-</p><p>mática, Pontifícia Universidade Católica de São Paulo, São</p><p>Paulo, 2004.</p><p>BETHLEM, A. Curso de mathematica. 5ª série. Porto Alegre: Livraria Globo, 1935.</p><p>BIANCHINI, E. Curso de Matemática. São Paulo, Moderna, 2010.</p><p>DANTE, L. R. Matemática-Contextos e Aplicações. São Paulo: Ática, 2011.</p><p>GIOVANNI, J.; CASTRUCCI, B. A Conquista da Matemática. São Paulo: FTD, 2010.</p><p>GONGORRA, M.; SODRÉ, U. Ensino fundamental: Origem dos números. 2016. Disponível</p><p>em: http://www.uel.br/projetos/matessencial/fundam/numeros/numeros.htm. Acesso em: 12</p><p>nov. 2021.</p><p>GUIDORIZZI, HAMILTON L. Um Curso de Cálculo. v. 1. Rio de Janeiro: Editora LTC, 2001.</p><p>PAIVA, M. Matemática. São Paulo: Moderna, 2010.</p><p>PEREIRA, M. do C. Matemática e música de Pitágoras aos dias de hoje. 2013. 95 f. Disser-</p><p>tação (Mestrado em Matemática) – Universidade Federal do Estado do Rio de Janeiro, Rio</p><p>de Janeiro, 2013.</p><p>SANTOS, V. S. dos. Anéis de crescimento. 2020. Disponível em: https://brasilescola.uol.</p><p>com.br/biologia/aneis-crescimento.htm. Acesso em: 09 dez. 2021.</p><p>STEWART, J. Cálculo. 7. ed. São Paulo: Cengage Learning, 2013.</p><p>STEWART, James, Cálculo: Volume 1, São Paulo Cengage Learning, 2016.</p><p>THOMAS, George B. Cálculo: Volume 1, São Paulo Pearson Education, 2009THOMAS,</p><p>George B. Cálculo: Volume 1. São Paulo Pearson Education, 2009</p><p>107</p><p>CONCLUSÃO GERAL</p><p>Prezado(a) aluno(a),</p><p>Neste material, busquei trazer para você os principais tópicos da matemática.</p><p>Nossa jornada começa nos conjuntos numéricos, foi apresentado a você o básico de</p><p>cada conjunto e posteriormente, a proporção direta entre grandezas e a proporção in-</p><p>direta. Para auxiliarmos nos cálculos, aprendemos as regras de três simples, inversa e</p><p>composta. Junto a essa unidade, vimos também a representação de funções usando os</p><p>conjuntos de domínio e imagem.</p><p>Na sequência, revisamos as funções que serão as mais corriqueiras em nossos es-</p><p>tudos, a de primeiro grau, segundo grau, modular e exponencial. Vimos também a análise</p><p>gráfica de cada uma delas.</p><p>Após isso, adentramos as funções contínuas e o conceito de limite, como a função se</p><p>comporta quando tende a um determinado valor. Ainda nesta mesma unidade, aprendemos</p><p>a interpretar graficamente a derivada de uma função e uma das regras de diferenciação, a</p><p>regra do expoente.</p><p>Finalizamos a disciplina com uma breve introdução as integrais, começando com</p><p>as primitivas e na sequência as integrais indefinidas, que resultam em uma expressão</p><p>algébrica. Depois as integrais definidas que resultam em um valor numérico.</p><p>A partir de agora acreditamos que você já está preparado para seguir em frente</p><p>desenvolvendo ainda mais suas habilidades em matemática e suas aplicabilidades.</p><p>Até uma próxima oportunidade. Muito Obrigado!</p><p>+55 (44) 3045 9898</p><p>Rua Getúlio Vargas, 333 - Centro</p><p>CEP 87.702-200 - Paranavaí - PR</p><p>www.unifatecie.edu.br/editora-edufatecie</p><p>edufatecie@fatecie.edu.br</p><p>EduFatecie</p><p>E D I T O R A</p><p>UNIDADE I</p><p>Matemática Básica e</p><p>Conjuntos Numéricos</p><p>UNIDADE II</p><p>Funções Polinomiais,</p><p>Exponencial e Modular</p><p>UNIDADE III</p><p>Limites e Derivadas</p><p>UNIDADE IV</p><p>Integrais</p><p>pelo seu módulo, ou se</p><p>preferir, pelo valor da mesma, são batizadas de grandezas escalares. Outro exemplo é a</p><p>temperatura, provavelmente nunca você presenciou a apresentadora da previsão do tempo</p><p>falando “amanhã fará sol com uma temperatura de 35o C na vertical para cima”, basta dizer</p><p>“amanhã fará sol com uma temperatura de 35O C”. Diversos outros exemplos podem ser</p><p>usados, como por exemplo tempo, potência, energia e entre outros.</p><p>Contudo, quando você está trabalhando em uma estrutura e precisa especificar um</p><p>eixo que sustenta o sistema de forma estável, será necessário um estudo da distribuição</p><p>de forças. Toda vez que trabalhar com essa grandeza é necessário especificar além do seu</p><p>módulo, sua direção (vertical ou horizontal) e sentido (direita, esquerda, sentido positivo,</p><p>sentido negativo, leste, oeste). Dessa forma, a grandeza força é chamada de grandeza</p><p>vetorial. De forma geral, sejam grandezas escalares ou vetoriais, elas podem se relacionar</p><p>entre em, seguindo uma proporção direta ou indireta.</p><p>6UNIDADE I Matemática Básica e Conjuntos Numéricos</p><p>Proporção entre grandezas</p><p>Vamos iniciar nossos estudos de proporções com o seguinte exemplo: Júlio está</p><p>dirigindo seu carro veloz pela rodovia, o qual executa um movimento uniforme (movimento</p><p>este em que a velocidade é constante) durante todo o trajeto. Vamos ver uma tabela que</p><p>mostra a relação entre tempo de viagem e distância percorrida:</p><p>TABELA 1 – PROPORÇÃO DIRETA</p><p>TEMPO (horas) DISTÂNCIA (Quilômetros)</p><p>½ h 50 km</p><p>1h 100 km</p><p>2h 200 km</p><p>3h 300 km</p><p>Fonte: O autor (2021).</p><p>Observe que quando a cada uma hora, a distância percorrida é de 100 km. A conta</p><p>obvia que você deve ter feito foi, por exemplo, entre os tempos de 1h e 2h:</p><p>Simplificando as unidades no denominado e numerador de cada fração:</p><p>Portanto, a proporção é a mesma, ou seja, ao duplicar o tempo também é duplicado</p><p>o espaço percorrido. Nesse caso em que as razões variam de acordo com as grandezas é</p><p>dito que são diretamente proporcionais.</p><p>Entretanto, vamos ver outro exemplo: suponha que o destino de Júlio seja o mesmo</p><p>que de seus dois outros amigos, Pedro e Fabio, cada um em seu carro. Vamos ver em uma</p><p>tabela o tempo que cada um leva para se deslocar ao longo da rodovia.</p><p>TABELA 2 – PROPORÇÃO INVERSA</p><p>Condutor Velocidade (Km/h) Tempo (horas)</p><p>Júlio 50 Km/h 6h</p><p>Pedro 100 Km/h 3h</p><p>Fábio 150 Km/h ½ h</p><p>Fonte: O autor (2021).</p><p>7UNIDADE I Matemática Básica e Conjuntos Numéricos</p><p>Veja que Júlio gasta seis horas para chegar ao destino, uma vez que sua velocidade</p><p>é de 50 km/h. Já Pedro a 100 km/h leva metade do horário. Por consequência, Fábio que</p><p>está a uma velocidade maior de 150 km/h executa o mesmo trajeto com meia hora. Vamos</p><p>ver a relação de dois deles:</p><p>Simplificando as unidades no denominado e numerador de cada fração:</p><p>Nesse caso, quando duas grandezas variam uma na razão inversa da outra, é</p><p>denominado inversamente proporcionais.</p><p>Vamos fazer alguns exemplos para compreendermos relações de proporção. Quan-</p><p>do a proporção for direta, vamos fazer uma regra de três simples. Já se forem inversamente</p><p>proporcionais, utilizaremos a regra de três inversa. Para a resolução, iremos adotar um</p><p>processo padrão:</p><p>1) Construir uma tabela com dados especificando cada coluna e a variável que</p><p>queremos encontrar;</p><p>2) Identificar se é uma correlação diretamente ou inversamente proporcional entre</p><p>as grandezas;</p><p>3) Escrever a proporção e resolver a equação.</p><p>Ex. 01</p><p>Anderson comprou 2 camisas para um final de semana na praia e pagou R$100,00.</p><p>Quanto ele gastaria se comprasse 7 camisas da mesma marca e valor?</p><p>Resolução:</p><p>TABELA 3 – PROPORÇÃO ENTRE CAMISAS E PREÇO</p><p>Camisas Preço (R$)</p><p>2 100</p><p>7 x</p><p>Fonte: O autor (2021).</p><p>Reescrevendo em termos de uma razão:</p><p>8UNIDADE I Matemática Básica e Conjuntos Numéricos</p><p>Multiplicando cruzado:</p><p>Logo:</p><p>Ex. 02</p><p>No parque de exposições de Paranavaí, um dos brinquedos do parque é o carros-</p><p>sel. Supondo que o brinquedo execute 40 voltas em 10 minutos. Quantas voltas ele irá fazer</p><p>em 18 minutos?</p><p>Resolução:</p><p>TABELA 4 – PROPORÇÃO ENTRE VOLTAS E TEMPOS</p><p>Voltas Tempo</p><p>40 10</p><p>x 18</p><p>Fonte: o autor (2021).</p><p>Reescrevendo em termos de uma razão:</p><p>Multiplicando cruzado:</p><p>Logo:</p><p>Ex. 03</p><p>Durante uma vistoria de segurança em uma cozinha de restaurante, Cleiton verifica</p><p>que uma torneira está pingando. O proprietário afirma que em 25 minutos, foi desperdiçado</p><p>3 litros de água. Qual a quantidade de água desperdiçada em uma hora?</p><p>9UNIDADE I Matemática Básica e Conjuntos Numéricos</p><p>Resolução:</p><p>TABELA 5 – PROPORÇÃO ENTRE TEMPO E QUANTIDADE DE ÁGUA</p><p>Tempo Quantidade de água</p><p>25 min 3 Litros</p><p>60 min x</p><p>Fonte: O autor (2021).</p><p>Reescrevendo em termos de uma razão:</p><p>Multiplicando cruzado:</p><p>Logo:</p><p>Ex. 04</p><p>Fátima é uma costureira muito requisitada, em uma de suas encomendas teve que</p><p>usar 4 metros de um determinado tecido que custa 82,00 R$. Qual o preço de 11,5 metros?</p><p>Resolução:</p><p>TABELA 6 – PROPORÇÃO ENTRE TAMANHO E VALOR</p><p>Tamanho Valor</p><p>4 metros 82,00 R$.</p><p>11,5 metros x</p><p>Fonte: O autor (2021).</p><p>Reescrevendo em termos de uma razão:</p><p>Multiplicando cruzado:</p><p>10UNIDADE I Matemática Básica e Conjuntos Numéricos</p><p>Logo:</p><p>Desse modo, vimos até aqui algumas relações de grandezas diretamente propor-</p><p>cionais. Contudo, como fica o caso de relações inversamente proporcionais? Para resolver</p><p>esse problema é de forma muito parecida, mas quando reescrevemos a equação, devemos</p><p>alterar a ordem de uma das frações, veja os exemplos:</p><p>Ex. 05</p><p>Um automóvel está em movimento à uma velocidade média de 60Km/h e realiza</p><p>um determinado percurso em 2 horas. Em quanto tempo faria esse mesmo percurso, se a</p><p>velocidade utilizada fosse de 100km/h? Resolução:</p><p>TABELA 7 – PROPORÇÃO ENTRE VELOCIDADE E TEMPO</p><p>Velocidade Tempo</p><p>60 Km/h 2h</p><p>100 Km/h x</p><p>Fonte: o autor (2021).</p><p>Reescrevendo em termos de uma razão:</p><p>Multiplicando cruzado:</p><p>Logo:</p><p>Ex. 06</p><p>Para encher um reservatório de água, uma torneira demora 4 horas. Porém, e</p><p>se fossem utilizadas 5 torneiras, quanto tempo levaria para preencher o reservatório no</p><p>mesmo nível de antes?</p><p>11UNIDADE I Matemática Básica e Conjuntos Numéricos</p><p>Resolução:</p><p>TABELA 8 - PROPORÇÃO ENTRE NÚMERO DE TORNEIRAS E TEMPO</p><p>Nº de torneiras Tempo</p><p>1 4</p><p>5 x</p><p>Fonte: O autor (2021).</p><p>Reescrevendo em termos de uma razão:</p><p>Multiplicando cruzado:</p><p>Logo:</p><p>Para finalizar nossa análise das relações de proporção, vamos estudar uma situa-</p><p>ção em que existam três grandezas ou mais e relacioná-las entre sim. Para isso, vamos</p><p>fazer uso da regra de três composta. Veja alguns exemplos:</p><p>Ex. 07</p><p>Um armazém para o estoque de soja é construído em 10 dias com 15 operários,</p><p>os quais trabalham 4 horas por dia. O mestre de obras decide na próxima obra contratar</p><p>20 operários e que eles trabalhem 8 horas por dia. Logo, em quantos dias a obra ficaria</p><p>concluída? Assumindo que o armazém seja o mesmo.</p><p>Resolução:</p><p>TABELA 9 – PROPORÇÃO ENTRE NÚMERO DE OPERÁRIOS, DIAS E HORAS POR DIA</p><p>Nº de operários Dias Horas por dia</p><p>15 10 4</p><p>20 x 8</p><p>Fonte: O autor (2021).</p><p>12UNIDADE I Matemática Básica e Conjuntos Numéricos</p><p>Para resolver esse problema vamos considerar a grandeza incógnita como refe-</p><p>rência e as demais constante. Veja que aumentando o número de funcionários, então a</p><p>quantidade de dias deve diminuir, logo o número de operários e dias são inversamente</p><p>proporcionais. Por outro lado, diminuído as horas por dia e pensando em número de dias,</p><p>é intuitivo concluir que menor a quantidade de horas por dia, logo mais dias necessários.</p><p>Assim, horas por dia e dias também são inversamente proporcionais.</p><p>Matematicamente para resolver o problema, deixamos a coluna da incógnita isolada</p><p>e escrevemos a proporção das demais como produto de frações.</p><p>Observe que as frações da esquerda, foram invertidas, por serem inversamente</p><p>proporcionais. Fazendo as multiplicações:</p><p>Ex. 08</p><p>João Carlos trabalha em sua fazenda colhendo laranjas. Sozinho ele colhe 1000</p><p>laranjas em 6 horas. Devido à grande quantidade de trabalho, ele pretende aumentar a</p><p>produção e contrata</p><p>mais 2 funcionários que iriam trabalhar com ele por 8 horas. Quanto</p><p>de laranja o grupo vai colher?</p><p>Resolução:</p><p>TABELA 10 – PROPORÇÃO ENTRE NÚMERO DE PESSOAS, NÚMERO DE LARANJAS E HORAS</p><p>Nº de pessoass Nº de laranjas Horas por dia</p><p>1 1000 6</p><p>3 x 8</p><p>Fonte: O autor (2021).</p><p>Note que aumentando as pessoas, tende a aumentar a colheita de laranjas e, aumen-</p><p>tando o tempo de trabalho, também aumenta o número de frutos colhidos. Logo, todas são</p><p>grandezas proporcionais e podemos organizar a relação da matemática da seguinte forma:</p><p>13UNIDADE I Matemática Básica e Conjuntos Numéricos</p><p>Note que sempre isolamos de um lado a fração da incógnita.</p><p>14UNIDADE I Matemática Básica e Conjuntos Numéricos</p><p>2. TEORIA DOS CONJUNTOS</p><p>Caro leitor, essa primeira unidade será dedicada para o estudo de conjuntos nu-</p><p>méricos. Não pretendo apresentar todo o assunto de forma morosamente ou ser leviano,</p><p>mas para entendermos o rigor matemático das próximas unidades, é justo que revisemos</p><p>o básico antes.</p><p>2.1 Conjunto dos números</p><p>Vamos iniciar definindo o conjunto dos números naturais N:</p><p>= {0,1,2,3,4,…}</p><p>se preferir, os naturais podem ser definidos a partir do número um.</p><p>*= {1,2,3,4,…}</p><p>A representação dos números naturais junto ao (*) indica que estamos “excluindo”</p><p>o número zero, ou seja, naturais não nulos.</p><p>Veja que a adição de números naturais resulta em outro número natural, ou seja:</p><p>0+3=3</p><p>2+8=10</p><p>Bem como a multiplicação dos números naturais resulta em outro natural:</p><p>0 .2=0</p><p>6 .4=24</p><p>15UNIDADE I Matemática Básica e Conjuntos Numéricos</p><p>Contudo, a subtração de qualquer natural com outro resulta em um número natural?</p><p>5-3=2</p><p>3-9=-6</p><p>0-2=-2</p><p>Observe que podem haver uma infinidade de operações de subtração que nos</p><p>computam um número negativo e, como você viu recentemente, o conjunto dos naturais</p><p>não englobam os números negativos, e agora? Surge então a necessidade de um novo</p><p>conjunto numérico, os inteiros :</p><p>= {…,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,…}</p><p>Note que esse novo conjunto engloba o conjunto dos números naturais N:</p><p>Portanto, podemos escrever que o conjunto dos números naturais está contido no</p><p>conjunto dos números inteiros:</p><p>Ademais, podemos classificar o conjunto dos inteiros de diversas formas:</p><p>*= {…,-3,-2,-1,1,2,3,…}→ Inteiros não nulos</p><p>+= {0,1,2,3,…}→ Inteiros não negativos</p><p>+ = {1,2,3,…}→ Inteiros positivos</p><p>__ = {…,-3,-2,-1,0}→ Inteiros não positivos</p><p>__ = {…,-3,-2,-1}→ Inteiros negativos</p><p>Vamos fazer alguns exemplos para classificar os números entre e .</p><p>Ex. 01</p><p>Marque verdadeiro ou falso nas sentenças abaixo e justifique a resposta</p><p>Resolução:</p><p>O primeiro item é verdadeiro, pois</p><p>= {…,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,…}</p><p>Ou seja, o elemento zero pertence ao conjunto dos números inteiros 0 .</p><p>*</p><p>*</p><p>16UNIDADE I Matemática Básica e Conjuntos Numéricos</p><p>II)</p><p>A segunda alternativa está falsa, na verdade é ao contrário. Pois como estudamos,</p><p>é o conjunto dos naturais que estão contido no conjunto dos números inteiros:</p><p>III) Verdadeira. A união de é o mesmo que “juntar”</p><p>= {0,1,2,3,4,…}</p><p>Com</p><p>__={…,-3,-2,-1,0}</p><p>Isso resulta em um conjunto de números: {…,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,…} que é o conjunto</p><p>dos inteiros .</p><p>IV) (-2)2 ∈ *</p><p>Isso significa que o número (-2)2 = 4 pertence aos inteiros negativos? Não! A alter-</p><p>nativa está errada.</p><p>V) (12-16) ∈ *</p><p>Dessa vez, a operação 12-16 resulta em -4, um número negativo e este pertence</p><p>aos inteiros negativos? Sim! Portanto, a alternativa está correta.</p><p>Vamos retomar nossos estudos sobre o conjunto dos números. Observe que a adi-</p><p>ção, subtração e multiplicação de números inteiros pertencem aos números inteiros. Ou seja:</p><p>-5+2=-3</p><p>-1-4=-5</p><p>Contudo, e se a operação for uma divisão?</p><p>Nos dois primeiros exemplos o resultado foi um número inteiro, mas o terceiro resulta</p><p>em um número inteiro? Não, veja que é um número não inteiro. Portanto, isso exige um novo</p><p>conjunto que englobe as divisões, a esse conjunto foi dado o nome de racionais .</p><p>A definição desse novo conjunto é dada por:</p><p>2.(-8)=-16</p><p>17UNIDADE I Matemática Básica e Conjuntos Numéricos</p><p>Ou seja, temos um numerador que pode assumir qualquer valor numérico contido</p><p>no conjunto dos números inteiros. Entretanto, o denominador não pode ser igual a zero,</p><p>pois não existe divisão por zero. Sendo assim, b deve pertencer aos inteiros, mas exceto o</p><p>valor de zero, então b *. Vamos à alguns exemplos dos números racionais:</p><p>Note que</p><p>Pois um número sozinho é o mesmo que estar sendo dividido por 1! Ou seja:</p><p>Dentro do conjunto dos racionais, podemos ter dois tipos de divisões:</p><p>1) Decimal Exato: Isso significa que o resultado da divisão é um número exato, ou seja:</p><p>2) Decimal Periódico: Nesse caso o resultado da divisão é uma sequência repetitiva</p><p>de números, denominada dízima periódica:</p><p>Outro conjunto muito importante são dos números irracionais , que são valores</p><p>decimais não exatos que possuem uma representação infinita e não periódica:</p><p>√2 = 1,4142135…</p><p>√3 = 1,7320508…</p><p>π = 3,14159265</p><p>Por fim, mas não menos importante, a união do conjunto dos números racionais</p><p>com o conjunto dos irracionais , gera o conjunto dos números reais . A definição deste</p><p>último conjunto pode ser escrita como:</p><p>18UNIDADE I Matemática Básica e Conjuntos Numéricos</p><p>FIGURA 1 – CONJUNTO DE NÚMEROS</p><p>Fonte: O Autor (2021).</p><p>A representação da junção dos conjuntos é essa, dessa forma, podemos mensurar</p><p>o domínio de cada um dos conjuntos.</p><p>19UNIDADE I Matemática Básica e Conjuntos Numéricos</p><p>3. REPRESENTAÇÃO DE FUNÇÕES</p><p>Para definir uma função matemática, vamos inicialmente entender com clareza</p><p>todas as ferramentas que serão utilizadas, começamos pelo plano gráfico no qual vamos</p><p>usar a partir desse momento.</p><p>3.1 Plano Cartesiano</p><p>Chama-se de Sistema de Coordenadas no plano cartesiano, um esquema</p><p>usado para especificar pontos no plano. Ele é formado por dois eixos perpendiculares, um</p><p>horizontal, chamado abscissa, é representado por x, e outro vertical, chamado de ordena-</p><p>da, e representado por y. Os eixos são enumerados e orientados conforme o conjunto dos</p><p>números reais com o encontro dos eixos sendo o zero, chamado de origem do sistema. A</p><p>seguir temos uma figura que representa esse plano cartesiano. Esse sistema recebe esse</p><p>nome por ter sido criado por René Descartes.</p><p>20UNIDADE I Matemática Básica e Conjuntos Numéricos</p><p>FIGURA 2 – PLANO CARTESIANO</p><p>Fonte: GEOGEBRA. Disponível em: https://www.geogebra.org/calculator. Acesso em: 12 nov. 2021.</p><p>A indicação de uma localização, as chamadas coordenadas cartesianas, é da forma</p><p>( x, y). Assim, se queremos o ponto P(a , b), primeiramente observamos o valor a no eixo x,</p><p>fazemos uma linha r paralela à y, passando por a, e, em seguida, observamos o valor b no</p><p>eixo y, traçamos outra linha t paralela à x, passando por b. O encontro de r e t é o ponto P.</p><p>Por exemplo, vamos localizar o ponto P(2,1).</p><p>FIGURA 3 - LOCALIZAÇÃO DE P</p><p>Fonte: GEOGEBRA. Disponível em: https://www.geogebra.org/calculator. Acesso em: 12 nov. 2021.</p><p>21UNIDADE I Matemática Básica e Conjuntos Numéricos</p><p>Ex. 01</p><p>Indique no plano cartesiano os seguintes pontos:</p><p>A(2,3), B(–2,1), C(–4,3), D(–1,–2), E(4,0) e F(0,–3)</p><p>Resolução:</p><p>Prosseguindo de forma equivalente ao exemplo do ponto P indicado anteriormente temos:</p><p>FIGURA 4 – PONTOS NO PLANO CARTESIANO</p><p>Fonte: GEOGEBRA. Disponível em: https://www.geogebra.org/calculator. Acesso em: 12 nov. 2021.</p><p>3.2 Conjuntos</p><p>Agora, você, estudante, terá contato com a definição de função. Um conceito</p><p>matemático importante para várias ciências, tais como Engenharia, Física, Economia,</p><p>Biologia entre outras.</p><p>Exemplos: o crescimento de bactérias se dá através de uma função que associa</p><p>o tempo com o número de bactérias, a compra de um item no supermercado também é</p><p>uma função do dinheiro que você leva para tal fim, o consumo de gás em sua cozinha</p><p>dentre outros casos.</p><p>Mas o que é uma função? Sejam dois conjuntos não vazios A e B, chamamos de</p><p>Função de A em B toda relação que associa cada elemento de A,</p><p>a um único elemento em</p><p>B. x1, x2 , x3 , x4 , y1 , y2 , y3 , y4.</p><p>22UNIDADE I Matemática Básica e Conjuntos Numéricos</p><p>FIGURA 5 – CORRESPONDÊNCIA DO CONJUNTO A E B</p><p>Fonte: O Autor (2021).</p><p>Todo elemento de uma função é da forma (x , y), por efeito de notação usamos:</p><p>( x,f (x)).</p><p>Ex. 02</p><p>Sejam os conjuntos A = {0,1,2,3} e B = { x ∈ N / 2x – 9 < 7}. Considere a função f: A</p><p>→ B definida por y = f(x) = 2x + 1. Calcule f(0), f(1), f(2) e f(3). Faça um diagrama de flechas</p><p>indicando a função.</p><p>Resolução:</p><p>Vemos que 2x – 9 < 7, então 2x < 7 + 9. Assim 2x < 16 implica em x < 8. Logo B =</p><p>{0,1,2,3,4,5,6,7}. Desta forma:</p><p>f(0) = 2.0 + 1 = 0 + 1 = 1</p><p>f(1) = 2.1 + 1 = 2 + 1 = 3</p><p>f(2) = 2.2 + 1 = 4 + 1 = 5</p><p>f(3) = 2.3 + 1 = 6 + 1 = 7</p><p>FIGURA 6 – RELAÇÃO ENTRE CONJUNTOS A E B</p><p>Fonte: O Autor (2021).</p><p>23UNIDADE I Matemática Básica e Conjuntos Numéricos</p><p>4. DOMÍNIO E IMAGEM DE FUNÇÕES</p><p>Em várias áreas das ciências, como matemática, física, engenharias, química,</p><p>biologia, economia e outras, as funções estão presentes. O objetivo de uma função é ca-</p><p>racterizar um termo que pode ser escrito em função de outro. Por exemplo:</p><p>A área de um quadrado é dada por lado vezes lado. Isso escrito como função é:</p><p>A( l ) = l 2</p><p>O que isso significa? A função é a área A, os parênteses na frente incluem a variá-</p><p>vel da função, que neste caso é o lado do quadrado l. Dessa forma a função é como uma</p><p>máquina que quando embutimos nela uma moeda e giramos a alavanca, ela nos fornece</p><p>um resultado. Para cada valor de l, teremos um resultado diferente para a área, veja:</p><p>A (l) = l2</p><p>A(1) = (1)2 =1</p><p>A(4) =(4)2 =16</p><p>A(-3) = (-3)2 =9</p><p>Veja no último caso que podemos ter um resultado positivo mesmo que o valor</p><p>assumido pela variável é negativo. Contudo, quando as funções são aplicadas em sistemas</p><p>reais, alguns resultados não tem sentido, nesse caso, não temos um lado negativo de um</p><p>quadrado.</p><p>24UNIDADE I Matemática Básica e Conjuntos Numéricos</p><p>4.1 Domínio e Imagem de uma Função</p><p>Quando se trata de funções, existem algumas características fundamentais. O</p><p>primeiro será chamado de domínio. Basicamente domínio de uma função são todos os pos-</p><p>síveis valores que podemos atribuir as variáveis da função para que forneça um resultado</p><p>bem definido. Vejas alguns exemplos:</p><p>Ex. 01</p><p>Encontre o domínio da função f (x) = 5 x</p><p>Resolução:</p><p>Veja que podemos atribuir qualquer valor para x, seja ele negativo, nulo, positivo,</p><p>uma fração ou mesmo uma dízima. Portanto, dizemos que o x pertence ao conjunto dos</p><p>números reais:</p><p>D = {x ∈ }</p><p>Ex. 02</p><p>Dada a função abaixo, encontre seu domínio</p><p>Resolução:</p><p>Inicialmente, vamos fazer uma experiência. Nesse exato momento, pegue uma</p><p>calculadora, seja ela científica, comum, do celular ou do computador, e faça a divisão de 5</p><p>por zero. O que acontece?</p><p>Muito provável que alguma resposta como: “não é possível dividir por zero” ou</p><p>“erro” apareceram em seu visor da calculadora. Isso significa que não podemos dividir um</p><p>número por zero. Logo, x = 0 não faz parte do domínio da função, pois fazendo:</p><p>Logo, dizemos que:</p><p>Lendo essa última expressão: O domínio da função é x que pertence ao conjunto</p><p>de todos os reais, tal que x deve ser diferente de zero. Ou seja, qualquer valor de x está no</p><p>domínio da função, menos quando x=0.</p><p>25UNIDADE I Matemática Básica e Conjuntos Numéricos</p><p>Ex. 03</p><p>Encontre o domínio da função</p><p>Resolução:</p><p>Nesse caso, vamos analisar outro fator, a raiz quadrada. Sabemos que dentro do</p><p>conjunto dos números reais, não existe raiz de números negativos. Logo:</p><p>Assim, qualquer valor da incógnita que seja nulo ou maior do que zero, está dentro</p><p>do domínio da função.</p><p>Agora que compreendemos o que significa o domínio de uma função, vamos en-</p><p>tender outro conceito simples, a Imagem de uma função. Basicamente a imagem de uma</p><p>função é o valor assumido pela função quando encolhemos um valor para a incógnita. Veja:</p><p>Ex. 04</p><p>Determine a imagem da função quando x = 6.</p><p>f(x) = 3x-8</p><p>Resolução:</p><p>f (6) = 3.(6)-8</p><p>f (6) = 18-8</p><p>f (6) = 10</p><p>Logo Im =10.</p><p>Ex. 05</p><p>Determine a imagem da função quando z = -4.</p><p>g(z) = 4z</p><p>Resolução:</p><p>g(-4) = 4.(-4)</p><p>g(-4)= -16</p><p>Portanto Im = -16.</p><p>Para que uma relação binária seja função, cada x do domínio deve estar associado</p><p>com um único y no contradomínio. Assim, podemos identificar se um gráfico cartesiano re-</p><p>presenta uma função traçando retas paralelas ao eixo y. Então você pode notar que se todas</p><p>essas retas verticais interceptam o gráfico em apenas um ponto, então, temos uma função.</p><p>Observe as figuras a seguir:</p><p>26UNIDADE I Matemática Básica e Conjuntos Numéricos</p><p>FIGURA 7 – GRÁFICO QUE NÃO REPRESENTA UMA FUNÇÃO</p><p>Fonte: STEWART, 2016.</p><p>Nessas figuras note que a lei de formação de ambas tem domínio o intervalo D =</p><p>[x1 , x2]. Mas a Figura 7 não representa função pelo fato existir um x D com mais de uma</p><p>imagem, enquanto a Figura 8 representa uma função.</p><p>FIGURA 8 – GRÁFICO QUE REPRESENTA UMA FUNÇÃO</p><p>Fonte: STEWART, 2016.</p><p>4.2 Crescimento e Decrescimento de Função</p><p>Suponha que F seja uma função real pertencente ao domínio do conjunto D. Se R</p><p>é um subconjunto de D, logo é possível classificar as funções em crescente, decrescente e</p><p>constante mediante o gráfico.</p><p>27UNIDADE I Matemática Básica e Conjuntos Numéricos</p><p>● CRESCENTE: f é crescente em R, para quaisquer valores x_1 e x_2</p><p>pertencentes a R, sendo x 1 < x 2, temos f (x_1) < f (x_2).</p><p>● DECRESCENTE: f é decrescente em R, para quaisquer valores x_1 e x_2</p><p>pertencentes a R, sendo x1 < x 2, temos f (x1) > f (x2).</p><p>● CONSTANTE: f é constante em R, para quaisquer valores x 1 e x 2</p><p>pertencentes a R, sendo x 1 ≠ x 2 , temos f (x1) = f (x2).</p><p>É válido ressaltar que uma função real de variável real diz respeito a uma função</p><p>que apresenta números reais tanto nos elementos do conjunto de partida ou domínio, como</p><p>no conjunto imagem. Desse modo, em razão dos números pertencerem ao conjunto R, a</p><p>função é dada por f: R → R.</p><p>Como exemplos de funções reais de variáveis reais, veja as sentenças a seguir:</p><p>f(x) = 5x + 7, f(x) = x3 + 2x + 4, f(x) = -12x + ¾. Note que, quando resolvermos as funções,</p><p>chegaremos em um número real, isso se trocarmos o x por um valor real.</p><p>O conjunto constituído pelos números reais que possuem imagem denomina-se</p><p>domínio real. Ademais, uma função real de variável real normalmente é dada por f: A → R,</p><p>onde A é um subconjunto dos números reais. Porém, é importante destacar que nem todos</p><p>os números reais tenham imagem pela função. De modo a se chegar ao domínio real, é</p><p>necessário refletir acerca da condição de existência da lei de formação da função.</p><p>28UNIDADE I Matemática Básica e Conjuntos Numéricos</p><p>REFLITA</p><p>Pitágoras dizia que o “Universo deve ser visto como um todo harmonioso, onde tudo</p><p>emite um som ou vibração e obedece a uma ordem criada pelos números”. Os números</p><p>estão muito enraizados em nosso dia a dia que nem pensamos mais sobre eles, mas</p><p>o que eles representam? São formas apenas de medir ou quantificar o que existe ao</p><p>nosso redor?</p><p>Fonte: Pereira (2013).</p><p>SAIBA MAIS</p><p>Quando o tronco de uma árvore é cortado, é fácil notar que existem círculos escuros.</p><p>Cada círculo desse é chamado de anel de crescimento. Cada anel corresponde a um</p><p>ano de vida. Nas espécies de regiões tropicais, como é o caso do Brasil, os anéis são</p><p>difíceis de definir. Os anéis são contados de dentro para fora, a partir da medula. Nas ár-</p><p>vores que vivem em regiões de clima temperado esses anéis são bem fáceis de contar.</p><p>Podemos associar essa contagem a uma função do primeiro grau.</p><p>Fonte: Santos (2020).</p><p>29UNIDADE I Matemática Básica e Conjuntos Numéricos</p><p>CONSIDERAÇÕES FINAIS</p><p>Pronto! Você chegou ao final da Unidade I de nosso material, foi possível estudar</p><p>e abordar uma série de tópicos da matemática envolvendo proporção entre grandezas, as</p><p>quais variam de forma direta ou inversa entre si. Na sequência adentramos nos conjuntos</p><p>numéricos e classificamos os números em naturais, inteiros, racionais, irracionais</p><p>e reais.</p><p>Iniciamos nossos estudos sobre funções, a representação de conjuntos, como</p><p>calcular o domínio e imagem de uma função.</p><p>Espero que você tenha aproveitado ao máximo esse material e que ele sirva como</p><p>referência para futuras consultas.</p><p>30UNIDADE I Matemática Básica e Conjuntos Numéricos</p><p>MATERIAL COMPLEMENTAR</p><p>FILME/VÍDEO</p><p>Título: Donald No País Da Matemágica</p><p>Ano: 1959.</p><p>Sinopse: É uma aventura voltada para o mundo infantil, mas tam-</p><p>bém é muito interessante para adultos. Espécie de documentário,</p><p>com 27 minutos, no qual Disney usa a animação para explicar</p><p>como a matemática pode ser fácil de entender e como ela está</p><p>aplicada em coisas muitos simples do cotidiano.</p><p>LIVRO</p><p>Título: Matemática Básica Para Cursos Superiores</p><p>Autor: Sebastião Medeiros da Silva.</p><p>Editora: Atlas.</p><p>Sinopse: Esta obra tem como principal objetivo oferecer uma revi-</p><p>são dos conhecimentos de Matemática para os alunos ingressan-</p><p>tes no Ensino Superior, apresentando as ferramentas necessárias</p><p>para o desenvolvimento de seu raciocínio lógico. Ele apresenta</p><p>exercícios e incentivos para o uso de recursos eletrônicos, como</p><p>calculadoras programáveis e tabelas em Excel. Livro-texto para</p><p>a disciplina Matemática do ciclo básico de cursos nas áreas de</p><p>Ciências Humanas e Ciências Sociais Aplicadas.</p><p>31</p><p>Plano de Estudo:</p><p>● Funções do primeiro grau;</p><p>● Funções de segundo grau;</p><p>● Funções modulares;</p><p>● Funções exponenciais.</p><p>Objetivos da Aprendizagem:</p><p>● Estudar as funções polinomiais de primeiro e segundo grau;</p><p>● Aprender a calcular e aplicar funções exponenciais;</p><p>● Compreender funções modulares.</p><p>UNIDADE II</p><p>Funções Polinomiais,</p><p>Exponencial e Modular</p><p>Professor Me. Arthur Ernandes Torres da Silva</p><p>32UNIDADE I Matemática Básica e Conjuntos Numéricos 32UNIDADE II Funções Polinomiais, Exponencial e Modular</p><p>INTRODUÇÃO</p><p>Olá, caro(a) aluno(a), nesta segunda unidade, vamos ver em específico algumas</p><p>funções que compõe uma vasta aplicação nas ciências exatas, principalmente nas enge-</p><p>nharias. Vamos começar estudando as funções de primeiro e segundo grau, assim como</p><p>suas representações gráficas.</p><p>Na sequência, vamos entrar em duas funções características, as exponenciais</p><p>e as modulares, as quais são vagamente aplicadas em outros ramos como em ciências</p><p>biológicas e economia.</p><p>Esperamos que essa unidade tenha grande proveito para você.</p><p>33UNIDADE I Matemática Básica e Conjuntos Numéricos 33UNIDADE II Funções Polinomiais, Exponencial e Modular</p><p>INTRODUÇÃO</p><p>Olá, caro(a) aluno(a), nesta segunda unidade, vamos ver em específico algumas</p><p>funções que compõe uma vasta aplicação nas ciências exatas, principalmente nas enge-</p><p>nharias. Vamos começar estudando as funções de primeiro e segundo grau, assim como</p><p>suas representações gráficas.</p><p>Na sequência, vamos entrar em duas funções características, as exponenciais</p><p>e as modulares, as quais são vagamente aplicadas em outros ramos como em ciências</p><p>biológicas e economia.</p><p>Esperamos que essa unidade tenha grande proveito para você.</p><p>34UNIDADE I Matemática Básica e Conjuntos Numéricos 34UNIDADE II Funções Polinomiais, Exponencial e Modular</p><p>1. FUNÇÕES DE PRIMEIRO GRAU</p><p>Quando um sistema pode ser descrito por uma igualdade em que temos números</p><p>e uma variável a se determinar, temos uma equação. O objeto desconhecido na literatura</p><p>pode ser chamado de incógnita, parâmetro ou variável. Em termos básicos, o problema</p><p>de uma equação simples de primeiro grau é encontrar o valor da variável que satisfaça a</p><p>equação. Veja um exemplo:</p><p>12x - 36 = 12</p><p>Para encontrar o valor da variável x que satisfaça essa equação, devemos isolá-lo</p><p>na expressão. Portanto, primeiro passamos para a direita , que se torna positivo:</p><p>12x = 12 + 36</p><p>12x = 48</p><p>Agora, para finalizar, o número 12 está multiplicando a incógnita. Logo, passamos o</p><p>12 dividindo para o lado direito da igualdade. Assim encontramos o valor da variável.</p><p>Contudo, uma equação deve ser classificada quanto a ordem da sua variável:</p><p>ax + b = 0</p><p>Note que a variável x está elevado ao expoente 1 (por isso não está especifica-</p><p>do). Já os termos a e b são constantes que pertencem ao conjunto dos números reais (o</p><p>conjunto que engloba praticamente todos os números, como negativos, zero, positivos,</p><p>frações, raízes e dízimas).</p><p>35UNIDADE I Matemática Básica e Conjuntos Numéricos 35UNIDADE II Funções Polinomiais, Exponencial e Modular</p><p>Caso a variável x estivesse elevado ao expoente dois, a equação seria de segundo</p><p>grau. Se estivesse elevado ao expoente 7, seria de sétimo grau, e assim por diante. Nesse</p><p>capítulo, vamos dar ênfase a equação de primeiro grau. Vamos à alguns exemplos.</p><p>Ex. 01</p><p>Resolva a equação</p><p>3x + 3 = 12</p><p>Resolução:</p><p>Começamos fazendo algumas operações algébricas. Primeiro, o que está soman-</p><p>do (ou subtraindo) vai para o outro lado da igualdade. Como se tivéssemos que deixar</p><p>variáveis de um lado da igualdade e números do outro.</p><p>3x = 12-3</p><p>3x = 9</p><p>Passando o termo que está multiplicando a incógnita:</p><p>Ex. 02</p><p>Resolva a equação</p><p>9y - 2y = 12 + 4y</p><p>Resolução:</p><p>Separando a variável de um lado da igualdade:</p><p>9y - 2y - 4y = 12</p><p>3y = 12</p><p>Portanto:</p><p>y = 4</p><p>Ex. 03</p><p>Resolva a equação</p><p>Resolução:</p><p>Separando a variável de um lado da igualdade:</p><p>Nesse caso, para somar uma fração om um número (ou uma fração com outra</p><p>fração), é necessário que o denominador seja o mesmo. Existem algumas maneiras de</p><p>resolver essa soma, a mais conhecida é o MMC (mínimo múltiplo comum). Contudo, nesse</p><p>caso, vou apresentar uma forma diferente.</p><p>36UNIDADE I Matemática Básica e Conjuntos Numéricos 36UNIDADE II Funções Polinomiais, Exponencial e Modular</p><p>Multiplicando o segundo termo por é o mesmo que multiplicar por 1. Uma vez</p><p>que e a unidade vezes um termo é ele mesmo. Assim, não estamos alterando em nada</p><p>o segundo termo, mas conseguimos deixa-lo com o mesmo denominador que o primeiro:</p><p>Isolando a variável, ou seja, passando o 2 multiplicando e o 9 subtraindo:</p><p>Ex. 04</p><p>Resolva a equação</p><p>Resolução:</p><p>Devemos começar isolando variáveis e números na equação:</p><p>Nesse momento caro leitor(a), fique à vontade para fazer a soma de frações como</p><p>achar mais fácil e prático.</p><p>37UNIDADE I Matemática Básica e Conjuntos Numéricos 37UNIDADE II Funções Polinomiais, Exponencial e Modular</p><p>Ex. 05</p><p>Encontre o valor da variável que satisfaça a equação</p><p>Resolução:</p><p>Isolando os termos:</p><p>Veja que ambos os lados da igualdade temos o sinal negativo. Assim, podemos</p><p>simplificar. Ficando apenas:</p><p>Passando o número 4 que está multiplicando na esquerda da igualdade, para a</p><p>direita dividindo junto ao 3:</p><p>1.1 Gráfico da equação do primeiro grau</p><p>A função do primeiro grau tem sua forma genérica dada por:</p><p>f (x) = ax + b</p><p>Aprendemos que é o coeficiente angular e o coeficiente linear. Contudo, grafica-</p><p>mente, qual o significado desses parâmetros?</p><p>O coeficiente angular mede a inclinação da reta, em outras palavras, quanto maior</p><p>o coeficiente angular de uma função, mais inclinada é a curva. Caso o coeficiente angular</p><p>seja igual a zero (a = 0), então, a curva não possui inclinação e, se o coeficiente de inclina-</p><p>ção for negativo (a < 0), então a curva é orientada para baixo. Tome como exemplo o gráfico</p><p>da função afim (função de primeiro grau):</p><p>38UNIDADE I Matemática Básica e Conjuntos Numéricos 38UNIDADE II Funções Polinomiais, Exponencial e Modular</p><p>FIGURA 1 – FUNÇÃO DO PRIMEIRO GRAU COM DIFERENTES</p><p>VALORES PARA O COEFICIENTE ANGULAR</p><p>Fonte: PHET. Inclinação e Intersecção no Eixo Y. Disponível em: https://phet.colorado.edu/sims/html/graphin-</p><p>g-slope-intercept/latest/graphing-slope-intercept_pt_BR.html. Acesso em: 09 dez. 2021.</p><p>O ponto destacado em rosa indica onde a curva toca o eixo das coordenadas.</p><p>Portanto, o ponto em que a bolinha está mostrando no gráfico é o coeficiente linear b, nesse</p><p>exemplo, é no ponto y =2.</p><p>Como mencionado, no primeiro caso f (x) = y = 2x+2, ou seja, o coeficiente angular</p><p>é positivo. No segundo gráfico f(x) = y =-2x+2, logo a inclinação é negativa e a reta aponta</p><p>para baixo. No terceiro caso, não há inclinação f (x) = y =0.x+2 → f (x)</p><p>= y = 2.</p><p>39UNIDADE I Matemática Básica e Conjuntos Numéricos 39UNIDADE II Funções Polinomiais, Exponencial e Modular</p><p>2. FUNÇÕES DO SEGUNDO GRAU</p><p>Toda a equação que tem o formato x2+bx+c = 0 , em que a, b e c são números</p><p>reais é dita equação do segundo grau e o motivo para essa nomeação é devido ao fato da</p><p>variável da função apresentar o maior expoente igual a 2.</p><p>A solução de uma equação do é obtida através de um método desenvolvido por</p><p>Bhaskara, matematicamente escrito como:</p><p>Em que:</p><p>Analisando o valor de delta podemos tirar três conclusões:</p><p>Δ > 0 → têm-se duas raízes reais e diferentes</p><p>Δ = 0 → têm-se duas raízes reais e iguais.</p><p>Δ < 0 → têm-se duas raízes imaginárias.</p><p>Além disso, veja com muita atenção que quando o coeficiente que multiplica o</p><p>termo quadrático for igual a zero, ou seja a = 0, então não será uma equação de segundo</p><p>grau, mas sim de primeiro. Pois o que restará será apenas bx + c = 0, que é a expressão</p><p>genérica de uma equação de segundo grau. Vamos resolver alguns exemplos para que</p><p>você compreenda o método de Bhaskara.</p><p>40UNIDADE I Matemática Básica e Conjuntos Numéricos 40UNIDADE II Funções Polinomiais, Exponencial e Modular</p><p>Ex. 01</p><p>Resolva a equação</p><p>4x 2 - 5x - 6 = 0</p><p>Resolução:</p><p>Primeiro, identifique o termo a, b e c:</p><p>4x 2 - 5x - 6 = 0</p><p>ax2 + bx + c = 0</p><p>Portanto:</p><p>Veja que o sinal negativo deve ser levado em conta também. Vamos calcular o valor</p><p>de delta agora:</p><p>Atente-se aos sinais no cálculo do valor de delta. Outro ponto importante é que o</p><p>ideal é que o resultado de delta seja um valor que tenha raiz quadrática exata. Nesse caso,</p><p>a raiz quadrada de 121 é 11, o que é um bom sinal que sua resolução está caminhando</p><p>para o resultado certo.</p><p>Vamos calcular as raízes da equação. Da expressão genérica temos:</p><p>O sinal positivo para a raiz quadrada de delta é para uma das raízes, por outro lado,</p><p>o sinal negativo diz respeito a segunda raiz. Vamos calculá-las separadamente:</p><p>Já a segunda raiz:</p><p>Portanto, as raízes da equação são x1 = 2 e .</p><p>41UNIDADE I Matemática Básica e Conjuntos Numéricos 41UNIDADE II Funções Polinomiais, Exponencial e Modular</p><p>Ex. 02</p><p>Resolva a equação</p><p>x2 -12x + 36 = 0</p><p>Resolução:</p><p>Primeiro, identifique o termo a, b e c:</p><p>Observe que quando não tem “nada” multiplicando uma variável, não importa o seu</p><p>expoente, é o mesmo que o número 1 multiplicando o termo. Portanto, x2 = 1. x 2 → a = 1.</p><p>Esse caso é muito importante! Quando delta for nulo, as raízes são idênticas, pois</p><p>o que faz x1 ser diferente de x2 é ±√Δ na equação genérica da raiz. Dessa forma:</p><p>Como √0=0, resta apenas</p><p>Ex. 03</p><p>Resolva a equação</p><p>x2 - 9x =0</p><p>Resolução:</p><p>Nesse caso não precisamos fazer o processo de Bhaskara. Basta isolar a variável:</p><p>x2 - 9x</p><p>Podemos simplificar em ambos os lados, deixando da forma:</p><p>x = 9</p><p>Essa portanto é a solução da equação.</p><p>42UNIDADE I Matemática Básica e Conjuntos Numéricos 42UNIDADE II Funções Polinomiais, Exponencial e Modular</p><p>Ex. 04</p><p>Encontre as raízes da equação:</p><p>Resolução:</p><p>Comparando a expressão de segundo grau com a equação genérica, temos os</p><p>coeficientes dados por:</p><p>Assim:</p><p>Observe que elevar uma raiz quadrada ao quadrado é o mesmo que simplificar a</p><p>raiz, restando apenas o número.</p><p>Já a segunda raiz:</p><p>Portanto, as raízes da equação são x1 = 1,3 e x2 = -2,7.</p><p>43UNIDADE I Matemática Básica e Conjuntos Numéricos 43UNIDADE II Funções Polinomiais, Exponencial e Modular</p><p>Ex. 05</p><p>Calcule as raízes da equação</p><p>(2x -3)2 = (4x-3)2</p><p>Resolução:</p><p>Primeiro, para deixar essa equação com a forma de uma equação de segundo</p><p>grau, fazemos uma expansão dos termos:</p><p>Soma pela diferença: (a-b)2 = a2 - 2ab + b2. No nosso caso</p><p>4x2-12x+9 =16x2-24x+9</p><p>Passando todos os termos da esquerda para a direita:</p><p>0 = 16x2-26x + 9 - 4x2+12x-9</p><p>0 = 12x2 -12x</p><p>Agora retornando o -24x para a esquerda:</p><p>12x = 12x2</p><p>Como temos em ambos os lados da equação:</p><p>12x = 12x</p><p>Isolando a incógnita, ou seja, passando o 12 dividindo:</p><p>Para verificar se o resultado está certo, basta substituir na expressão original e</p><p>verificar se a igualdade é satisfeita:</p><p>Lembrando que qualquer número ou incógnita elevado à um expoente par fica</p><p>positivo. Assim, temos:</p><p>1=1</p><p>O que comprova a validade do nosso resultado.</p><p>2.1 Vértice de uma Parábola</p><p>Observando que o gráfico da função quadrática é uma parábola com concavidade</p><p>voltada para cima ou para baixo, então temos um ponto máximo ou mínimo dependendo</p><p>do sinal do coeficiente a. Esse ponto é chamado de vértice da parábola y = ax2 + bx + c. É</p><p>no vértice que o gráfico muda de crescente para decrescente ou vice-versa. O vértice da</p><p>função é dado pelo ponto V (xV , yV), cujas coordenadas são:</p><p>44UNIDADE I Matemática Básica e Conjuntos Numéricos 44UNIDADE II Funções Polinomiais, Exponencial e Modular</p><p>O gráfico da função f: R→ R quadrática é simétrica em relação à reta R vertical que</p><p>passa pela abscissa do vértice.</p><p>Quando o valor do coeficiente a é maior que zero, a ordenada do vértice da parábola</p><p>é também chamado de valor mínimo. Se o valor do coeficiente a é menor que zero, então</p><p>dizemos que a ordenado do vértice é o valor máximo.</p><p>Ex. 06</p><p>Considere a função f: R→ R definida por f (x) = x2 – 5x + 6. Obter o vértice do gráfico de f.</p><p>Resolução:</p><p>Para obtermos o vértice dessa parábola iremos usar a fórmula</p><p>Então:</p><p>Logo temos</p><p>FIGURA 2 – VÉRTICE DE UMA PARÁBOLA</p><p>Fonte: PHET. Gráfico de Quadráticas. Disponível em: https://phet.colorado.edu/sims/html/</p><p>graphing-quadratics/latest/graphing-quadratics_pt_BR.html. Acesso em: 09 dez. 2021.</p><p>45UNIDADE I Matemática Básica e Conjuntos Numéricos 45UNIDADE II Funções Polinomiais, Exponencial e Modular</p><p>2.2 Análise gráfica da equação de segundo grau</p><p>Para finalizar nossos estudos sobre equações do segundo grau, vamos examinar</p><p>cara parâmetro do ponto de vista gráfico. A equação do segundo grau é dada por:</p><p>ax2 + bx+c = 0</p><p>1) Termo quadrático a:</p><p>Esse número está multiplicando x 2, isso significa que se a > 0 então o gráfico da</p><p>equação de segundo grau tem concavidade voltada para cima. Mas se a < 0, então a con-</p><p>cavidade é para baixo.</p><p>Tome como exemplo a equação x2 + x -2 = 0 e - x2 + x + 2 = 0 :</p><p>FIGURA 3 – PARÁBOLA VARIANDO O COEFICIENTE a</p><p>Fonte: PHET. Gráfico de Quadráticas. Disponível em: https://phet.colorado.edu/sims/html/</p><p>graphing-quadratics/latest/graphing-quadratics_pt_BR.html. Acesso em: 09 dez. 2021.</p><p>2) Coeficiente b:</p><p>Esse coeficiente multiplica o termo que multiplica x e é responsável por deslocar a</p><p>parábola no sentido positivo ou negativo do eido das abcissas. Observe a equação x2+0x-2</p><p>= 0, ou seja, com coeficiente b = 0.</p><p>FIGURA 4 – PARÁBOLA CENTRADA</p><p>Fonte: PHET. Gráfico de Quadráticas. Disponível em: https://phet.colorado.edu/sims/html/</p><p>graphing-quadratics/latest/graphing-quadratics_pt_BR.html. Acesso em: 09 dez. 2021.</p><p>46UNIDADE I Matemática Básica e Conjuntos Numéricos 46UNIDADE II Funções Polinomiais, Exponencial e Modular</p><p>Note que a concavidade está centralizada. Agora vamos aumentar o termo b gra-</p><p>dativamente:</p><p>FIGURA 5 – PARÁBOLA DECENTRALIZADA PARA A ESQUERDA</p><p>Fonte: PHET. Gráfico de Quadráticas. Disponível em: https://phet.colorado.edu/sims/html/</p><p>graphing-quadratics/latest/graphing-quadratics_pt_BR.html. Acesso em: 09 dez. 2021.</p><p>Agora reduzindo gradativamente o termo :</p><p>FIGURA 6 – PARÁBOLA DECENTRALIZADA PARA A DIREITA</p><p>Fonte: PHET. Gráfico de Quadráticas. Disponível em: https://phet.colorado.edu/sims/html/</p><p>graphing-quadratics/latest/graphing-quadratics_pt_BR.html. Acesso em: 09 dez. 2021.</p><p>Deixando claro que o termo é responsável por deslocar o gráfico, fazendo com que</p><p>o vértice ora se situe em um quadrante, ora no seu simétrico.</p><p>47UNIDADE I Matemática Básica e Conjuntos Numéricos 47UNIDADE II Funções Polinomiais, Exponencial e Modular</p><p>3) Coeficiente c:</p><p>Esse termo é um número real e basicamente sua função é mostrar em que ponto</p><p>do eixo das coordenadas a parábola intercepta. Vamos analisar alguns exemplos, dada a</p><p>equação de segundo grau do tipo x2 + 5x + 1</p><p>FIGURA 7 – PARÁBOLA INTERCEPTANDO O EIXO</p><p>DAS COORDENADAS EM y = 1</p><p>Fonte: PHET. Gráfico de Quadráticas. Disponível em: https://phet.colorado.edu/sims/html/</p><p>graphing-quadratics/latest/graphing-quadratics_pt_BR.html. Acesso em: 09 dez. 2021.</p><p>Observe no marcador que a parábola passa pelo ponto y = 1. Vamos ver mais</p><p>algumas funções:</p><p>FIGURA 8 – PARÁBOLA INTERCEPTANDO O EIXO DAS COORDENADAS EM y = -4</p><p>Fonte: PHET. Gráfico de Quadráticas. Disponível em: https://phet.colorado.edu/sims/html/graphing-quadrati-</p><p>cs/latest/graphing-quadratics_pt_BR.html. Acesso em: 09 dez. 2021.</p><p>48UNIDADE I Matemática Básica e Conjuntos Numéricos 48UNIDADE II Funções Polinomiais, Exponencial e Modular</p><p>FIGURA 9 – PARÁBOLA INTERCEPTANDO O EIXO DAS COORDENADAS EM y = 3</p><p>Fonte: PHET. Gráfico de Quadráticas. Disponível em: https://phet.colorado.edu/sims/html/</p><p>graphing-quadratics/latest/graphing-quadratics_pt_BR.html. Acesso em: 09 dez. 2021.</p><p>FIGURA 10 – PARÁBOLA INTERCEPTANDO O EIXO DAS COORDENADAS EM y = -2</p><p>Fonte: PHET. Gráfico de Quadráticas. Disponível em: https://phet.colorado.edu/sims/html/</p><p>graphing-quadratics/latest/graphing-quadratics_pt_BR.html. Acesso em: 09 dez. 2021.</p><p>https://phet.colorado.edu/sims/html/graphing-quadratics/latest/graphing-quadratics_pt_BR.html</p><p>https://phet.colorado.edu/sims/html/graphing-quadratics/latest/graphing-quadratics_pt_BR.html</p><p>49UNIDADE I Matemática Básica e Conjuntos Numéricos 49UNIDADE II Funções Polinomiais, Exponencial e Modular</p><p>3. FUNÇÕES MODULARES</p><p>Suponha que você está em uma nova cidade e pergunta a alguém onde fica o</p><p>shopping. É provável que a pessoa responda que o shopping está a uma quantidade de</p><p>quilômetros de distância. Esse valor é positivo, dado que as medidas vinculadas à distância</p><p>apresentam um valor positivo.</p><p>Note, portanto, que a distância é conceituada como a medida da separação de</p><p>dois pontos. Ao tratarmos da distância entre dois pontos, discorremos sobre o mínimo</p><p>comprimento entre os prováveis trajetos, saindo de um ponto A e alcançando um ponto B.</p><p>Percebe-se assim que a distância é sempre uma medida positiva. Além disso, a distância</p><p>de um ponto A até um ponto B é a mesma distância do ponto B até o ponto A.</p><p>Com base nessas reflexões, faz-se agora uma análise do conceito de módulo ou</p><p>valor absoluto de um número real x, o qual relaciona-se à distância de um ponto da reta à</p><p>origem. É válido ressaltar que, para a definição do módulo ou valor absoluto de um número</p><p>real, a exemplo de |x|, são utilizadas essas duas barras | | a fim de representar o módulo de</p><p>x. Outrossim, mostra-se a distância de x a zero na reta real ao trabalhar com o módulo de x.</p><p>Matematicamente o módulo é compreendido como:</p><p>50UNIDADE I Matemática Básica e Conjuntos Numéricos 50UNIDADE II Funções Polinomiais, Exponencial e Modular</p><p>A partir disso, pode-se constatar que o módulo (ou valor absoluto) de um número</p><p>real positivo é o próprio número, e o módulo (ou valor absoluto) de um número real negativo</p><p>é o oposto do número simetricamente em relação ao eixo das coordenadas.</p><p>Ex. 01</p><p>a) |+6| = 6 e |–6| = –(–6) = 6</p><p>b) |8| = 8 e |–8| = –(–8) = 8</p><p>3.1 Equações Modulares</p><p>As equações modulares são aquelas em que a incógnita se encontra dentro do mó-</p><p>dulo. De modo a solucionar as equações modulares, é necessário levar em consideração</p><p>as condições do módulo de um número.</p><p>Observe alguns exemplos de equações modulares abaixo.</p><p>Ex. 02</p><p>Solucione a equação |x + 3| = 6.</p><p>Resposta:</p><p>Aplicando as regras da função módulo |x + 3| = 6 ou x + 3 = - 6, vamos resolvê-las</p><p>individualmente.</p><p>x+3 = 6→ x = 6-3→ x =3</p><p>x+3 =-6→ x =-6-3→x =-9</p><p>Assim, a equação modular tem solução S = {-9 ; 3}</p><p>Findado o exemplo, agora, iniciaremos a explicação sobre a função modular, a</p><p>qual refere-se à função disposta dentro de um módulo. Isto posto, sua lei de formação</p><p>apresenta pelo menos uma variável no interior do módulo, de modo que o seu formato</p><p>seja retratado por y = | f (x)| . Vale ressaltar que sua aplicabilidade no cotidiano se dá, por</p><p>exemplo, na comparação das temperaturas entre duas ou mais cidades. Portanto, é uma</p><p>função bastante importante.</p><p>O gráfico de uma função modular pode ser formado a partir da substituição dessa</p><p>função por outras duas funções análogas.</p><p>É importante destacar ainda que todas as funções modulares podem ser expressas</p><p>por mais de uma sentença. Veja abaixo alguns exemplos de funções modulares.</p><p>51UNIDADE I Matemática Básica e Conjuntos Numéricos 51UNIDADE II Funções Polinomiais, Exponencial e Modular</p><p>Ex. 04</p><p>Elaborar o gráfico da função real f(x)= |x|.</p><p>Resposta:</p><p>Com base na definição de módulo, tem-se que:</p><p>Quando x ≥ 0 tem-se a bissetriz do 1º quadrante e, quando x < 0, a bissetriz do</p><p>2º quadrante.</p><p>Indo um pouco além, pode-se também considerar que g (x) = x é uma reta que</p><p>passa pela origem.</p><p>Assim sendo, elabore o gráfico e estabeleça a projeção da parte negativa para positiva.</p><p>FIGURA 11 - GRÁFICO DE f(x) = |x|</p><p>Fonte: GEOGEBRA. Disponível em: https://www.geogebra.org/calculator. Acesso em: 09 dez. 2021.</p><p>Ex. 05</p><p>Se a função f: R → R é definida por f (x) = |x2 – 4|, construa o gráfico dessa função.</p><p>Resposta:</p><p>A partir da definição de módulo, tem-se que:</p><p>Assim sendo, é possível elaborar o gráfico da função e estabelecer a projeção da</p><p>parte negativa para a positiva.</p><p>https://www.geogebra.org/calculator</p><p>52UNIDADE I Matemática Básica e Conjuntos Numéricos 52UNIDADE II Funções Polinomiais, Exponencial e Modular</p><p>FIGURA 12 - GRÁFICO DA FUNÇÃO f(x) = |x2 – 4|</p><p>Fonte: GEOGEBRA. Disponível em: https://www.geogebra.org/calculator. Acesso em: 09 dez. 2021.</p><p>53UNIDADE I Matemática Básica e Conjuntos Numéricos 53UNIDADE II Funções Polinomiais, Exponencial e Modular</p><p>4. FUNÇÕES EXPONENCIAIS</p><p>Quando estudamos crescimento de bactérias, ou mesmo de preço de ações na</p><p>bolsa de valores, até em física quando fazemos um estudo de um movimento em queda</p><p>livre e precisamos determinar a velocidade limite de queda, nos deparamos nesses casos</p><p>com a função exponencial.</p><p>Vamos definir a função exponencial:</p><p>Seja um número real a (a>0 e a ≠1), denomina-se função exponencial de base e</p><p>que essa base seja necessariamente positiva.</p><p>f (x) = ax</p><p>Abaixo está o gráfico da função exponencial para diferentes valores do expoente.</p><p>FIGURA 13 - FUNÇÃO EXPONENCIAL COM TERMO a = 2 E a = 0,5</p><p>Fonte: STEWART, 2016.</p><p>54UNIDADE I Matemática Básica e Conjuntos Numéricos 54UNIDADE II Funções Polinomiais, Exponencial e Modular</p><p>Não é possível que a base seja um número negativo, igual a zero ou igual a 1.</p><p>Por isso o domínio da função vai dos reais para os reais positivos .</p><p>Vamos à alguns exemplos:</p><p>Ex. 01</p><p>Classifique se as funções abaixo são exponenciais.</p><p>Resolução:</p><p>I. f (a) = 2a, como a base é maior do que , então é uma função exponencial.</p><p>II. f (x) = 4x, veja que 4 >1, então a função é exponencial.</p><p>III. , dessa vez temos o número 1/2 que se localiza entre 0 < a < 1, logo,</p><p>também é uma função exponencial.</p><p>IV. f (x) = (-1)x , nesse caso a base é negativa, isso significa que não é uma</p><p>função exponencial.</p><p>V. f (x) = (1)x , como a base é igual a 1, isso não é uma função exponencial.</p><p>VI. f (x) = (x)4, observe que a base é a variável, isso caracteriza uma função polinomial.</p><p>A função exponencial a variável vai no expoente. Logo f (x) = (x)4 não é exponencial.</p><p>Agora no próximo exemplo, vamos trabalhar com as regras de potencialização e</p><p>de base dez visto no capítulo anterior.</p><p>Ex. 02</p><p>Dada a função exponencial f (x) = 3x, calcule:</p><p>I) f (3);</p><p>II) f (-2);</p><p>III) f (0,5).</p><p>55UNIDADE I Matemática Básica e Conjuntos Numéricos 55UNIDADE II Funções Polinomiais, Exponencial e Modular</p><p>Resolução:</p><p>Vamos calcular o valor da incógnita em funções exponenciais.</p><p>Ex. 03</p><p>Determine o valor da variável na equação</p><p>3x+1 = 81</p><p>Resolução:</p><p>Para calcular o valor da variável, primeiro devemos deixar o lado direito da igualda-</p><p>de na mesma base que o lado esquerdo, ou seja</p><p>3x+1 = 34</p><p>Uma vez que 34 = 3.3.3.3=81. Agora, podemos simplificar as bases e sobra apenas:</p><p>Ex. 04</p><p>Resolva a equação</p><p>Resolução:</p><p>Vamos transformar o termo de dentro da raiz na base 2:</p><p>Note que ainda as bases não são iguais. Mas vamos verificar a seguinte propriedade:</p><p>Portanto:</p><p>Simplificando as bases:</p><p>56UNIDADE I Matemática Básica e Conjuntos Numéricos 56UNIDADE II Funções Polinomiais, Exponencial e Modular</p><p>Ex. 05</p><p>Resolva a equação exponencial</p><p>7x</p><p>2</p><p>- 4 = 1</p><p>Resolução:</p><p>Observe que as bases não são iguais e não tem como modificar isso. Contudo,</p><p>lembre-se que qualquer coisa elevada a zero é igual a 1. Ou seja, podemos trocar o lado</p><p>direita da igualdade por:</p><p>7x</p><p>2</p><p>- 4 = 70</p><p>Assim a base é a mesma, podemos simplificar, ficando da seguinte forma</p><p>x2-4 = 0</p><p>x2 = 4</p><p>∴x = ±2</p><p>Ex. 06</p><p>Determine o valor da incógnita</p><p>Resolução:</p><p>Vamos colocar todos os termos na mesma base, podemos ver que 36 e 216 são</p><p>múltiplos de 6, assim:</p><p>Do lado direito da igualdade, invertemos a ordem, com isso o expoente fica negativo.</p><p>Ademais, o lado esquerdo podemos usar a propriedade de multiplicação , ficando</p><p>da seguinte forma:</p><p>Como a base é a mesma, podemos fazer:</p><p>57UNIDADE I Matemática Básica e Conjuntos Numéricos 57UNIDADE II Funções Polinomiais, Exponencial e Modular</p><p>Ex. 07</p><p>Determine o valor da variável na igualdade abaixo</p><p>Resolução:</p><p>Primeiramente 0,75 = 75/100. Então:</p><p>Simplificando o lado esquerdo da igualdade por 25:</p><p>Comparando os dois lados</p><p>x = 2</p><p>Ex. 08</p><p>Resolva a equação</p><p>Resolução:</p><p>Como a base é a mesma:</p><p>Multiplicando cruzado:</p><p>58UNIDADE I Matemática Básica e Conjuntos Numéricos 58UNIDADE II Funções Polinomiais, Exponencial e Modular</p><p>4.2 Crescimento e Decrescimento</p><p>Nas construções que fizemos, você deve ter notado que a função f (x) = 2x é cres-</p><p>cente e a função é decrescente. Em uma função exponencial, não existe a</p><p>necessidade da construção do gráfico para constatarmos isso. A função pode ser crescente</p><p>ou decrescente conforme o valor de sua base. Se ela for maior que 1, a função é crescente;</p><p>se a base for um número real entre 1 e 0, temos uma função decrescente.</p><p>Indiferente da função exponencial f (x) = a x ser crescente ou decrescente, seu</p><p>gráfico sempre cruza o eixo das ordenadas, eixo y, no ponto (0, 1). Outro fator a ser notado</p><p>é que, pelo fato de termos , o seu gráfico não toca o eixo x.</p><p>4.3 Inequações exponenciais</p><p>Como existem equações com incógnitas no expoente, também existem inequa-</p><p>ções. Contudo, os processos de resolução são muito parecidos. Você deve sempre buscar</p><p>determinar uma desigualdade com elementos de mesma base.</p><p>Definimos como inequação exponencial toda desigualdade que possui variável no</p><p>expoente. Como por exemplo, 3 x-1 > 81.</p><p>Toda inequação tem como referência funções, adotamos as mesmas condições</p><p>para as funções exponenciais. Para resolvermos uma inequação exponencial devemos nos</p><p>preocupar com as seguintes propriedades:</p><p>● Se a >1 temos ax2 > ax1 gerando x2 > x1 (conserva o sentido da desigualdade).</p><p>● Se 0 < a < 1 temos ax2 > ax1 gerando x2 < x1 (inverte o sinal da desigualdade).</p><p>Os processos de resoluções de inequações exponenciais necessitam e muito que</p><p>você tenha consolidado os conceitos de potenciação para expressões de mesma base.</p><p>Também é importante ter um suporte de outras inequações, em especial as do primeiro e</p><p>segundo graus.</p><p>Ex. 09</p><p>Determine o conjunto solução da inequação 2x-1 > 128.</p><p>Resolução:</p><p>Na fatoração de 128 temos 27, assim</p><p>2x-1 > 27 => x – 1 > 7= > x > 8.</p><p>Logo, a solução da inequação é o conjunto S = {x ∈ R/ x > 8}.</p><p>59UNIDADE I Matemática Básica e Conjuntos Numéricos 59UNIDADE II Funções Polinomiais, Exponencial e Modular</p><p>Ex. 08</p><p>Obter o conjunto solução da inequação .</p><p>Resolução:</p><p>Note que podemos escrever 27 = 33 ou ainda . Então temos:</p><p>Assim, temos x > –3. Verifique que mudamos o sentido da desigualdade pelo fato da</p><p>base ser entre 0 e 1. Concluímos que a solução da inequação é o conjunto S = {x ∈ R / x > –3}.</p><p>REFLITA</p><p>Como dizia Ketely Almela “O conhecimento científico é uma ciência que permite-nos</p><p>ampliar a semântica e o aprendizado que temos em relação ao mundo em que somos</p><p>compostos”. Os assuntos abordados nessa unidade, permite que possamos descrever</p><p>diversos fenômenos da natureza, caracterizado por funções. Você é capaz de pensar</p><p>em algum?</p><p>Fonte: Ketely Almela (2013).</p><p>SAIBA MAIS</p><p>Quando o tronco de uma árvore é cortado, é fácil notar que existem círculos escuros.</p><p>Cada círculo desse é chamado de anel de crescimento. Cada anel corresponde a um</p><p>ano de vida. Nas espécies de regiões tropicais, como é o caso do Brasil, os anéis são</p><p>difíceis de definir. Os anéis são contados de dentro para fora, a partir da medula. Nas ár-</p><p>vores que vivem em regiões de clima temperado esses anéis são bem fáceis de contar.</p><p>Podemos associar essa contagem a uma função do primeiro grau.</p><p>Fonte: Santos (2020).</p><p>60UNIDADE I Matemática Básica e Conjuntos Numéricos 60UNIDADE II Funções Polinomiais, Exponencial e Modular</p><p>CONSIDERAÇÕES FINAIS</p><p>Olá, caro(a) aluno(a), nessa segunda unidade vimos em detalhes alguns casos</p><p>e os mais corriqueiros de funções polinomiais, especificamente falando, da função de</p><p>primeiro grau e de segundo grau. Ademais, analisamos como essas funções são repre-</p><p>sentadas graficamente.</p><p>Junto a essas funções polinomiais, adentramos nas exponenciais, as quais pos-</p><p>suem grande aplicabilidade em qualquer área das ciências exatas e as funções modulares.</p><p>Esperamos que essa unidade tenha sido de grande proveito para sua formação</p><p>acadêmica. Aguardamos você na próxima unidade.</p><p>61UNIDADE I Matemática Básica e Conjuntos Numéricos 61UNIDADE II Funções Polinomiais, Exponencial e Modular</p><p>MATERIAL COMPLEMENTAR</p><p>FILME / VÍDEO</p><p>Título: Cruzada</p><p>Ano: 2005</p><p>Sinopse: Ainda em luto pela repentina morte de sua esposa, o</p><p>ferreiro Balian junta-se ao seu distante pai, Baron Godfrey, nas</p><p>cruzadas a caminho de Jerusalém. Após uma jornada muito difícil</p><p>até à cidade santa, o jovem valente entra no séquito do rei leproso</p><p>Balduíno IV, que deseja lutar contra os muçulmanos para seu</p><p>próprio ganho político e pessoal. O filme mostra os rudimentos de</p><p>um sistema de coordenadas perpendiculares e suas vantagens.</p><p>No filme, é retratada a retomada de Jerusalém pelos muçulmanos,</p><p>em 1187; mesmo em menor número, o jovem francês Balian cria</p><p>um sistema de coordenadas para defender Jerusalém, o que lhe</p><p>permite obter maior precisão e otimização de seus recursos bélicos</p><p>LIVRO</p><p>Título: Guias de estudo de Matemática: Relações e Funções</p><p>Editora: Ciência Moderna</p><p>Autores: Estela Kaufman Fainguelernt e Franca Cohen Gottlieb</p><p>Sinopse: O livro apresenta conceitos referentes à relação e função,</p><p>fazendo uma sequência didática com maestria. O objetivo principal</p><p>deste livro é conduzir o aluno na construção do significado dos</p><p>conceitos de relação e função, bem como na compreensão de sua</p><p>utilidade como instrumento de trabalho nos diferentes contextos</p><p>em que são utilizados. Ele inicia abordando o conceito de relações</p><p>e conforme vai avançando a leitura ele constrói os conceitos de</p><p>funções e apresenta alguns casos particulares.</p><p>62</p><p>Plano de Estudo:</p><p>● Conceito de limite;</p><p>● Função contínua;</p><p>● Derivada e interpretação geométrica;</p><p>● Regras de derivada.</p><p>Objetivos da Aprendizagem:</p><p>● Compreender os tipos de limites e suas propriedades;</p><p>● Estabelecer a importância do limite para compreender</p><p>o comportamento de uma função contínua;</p><p>● Aprender a interpretação geométrica da derivada de uma função;</p><p>● Estudar as regras de derivada.</p><p>UNIDADE III</p><p>Limites e Derivadas</p><p>Professor Me. Arthur Ernandes Torres da Silva</p><p>63UNIDADE III Limites e Derivadas</p><p>INTRODUÇÃO</p><p>Na segunda unidade, ao trabalharmos funções, fomos preparados para estudar o</p><p>conceito de limite de funções de uma variável. Agora neste módulo vamos aprofundar os</p><p>conhecimentos sobre limites.</p><p>Iremos estudar os conceitos de limites com essa bagagem será apresentado a</p><p>você algumas propriedades de limites, que visam facilitar a resolução de exercícios.</p><p>Será</p><p>preciso entender o que acontece com uma determinada função quando a</p><p>variável tende a um valor real e está compreensão, para ser aplicada derivadas e integrais,</p><p>é fornecida pelo conceito de limite.</p><p>No terceiro capítulo compreenderemos graficamente o que é a derivada e como</p><p>derivar funções polinomiais. Na sequência, iremos aprender as regras de derivadas trigo-</p><p>nométricas, exponenciais e a mais utilizada, a regra da potência.</p><p>Desejamos uma boa leitura e seja bem-vindo ao conhecimento de uma matemática,</p><p>já não considerada básica.</p><p>64UNIDADE III Limites e Derivadas</p><p>1. CONCEITO DE LIMITE</p><p>Suponha que uma pedra seja solta do alto de um prédio. Através da cinemática,</p><p>podemos calcular a função horária das posições pela seguinte equação:</p><p>Assumindo que o ponto de referência inicial S0=0 e que a velocidade inicial é nula v0</p><p>, então a função horária se resume em:</p><p>Contudo, o valor da aceleração da gravidade é de aproximadamente g = 10 m/s2.</p><p>Desse modo:</p><p>Com essa expressão matemática podemos determinar a velocidade da partícula.</p><p>Entretanto, se não soubermos o tempo total de queda, a expressão fica mais complicada de</p><p>se resolver. Assim, podemos calcular a posição em um tempo ligeiramente maior, pratica-</p><p>mente uma fração de segundos, ou seja, a posição no tempo de S(t) e em S (t+0,1) , vamos</p><p>usar como exemplo 6 segundos. A velocidade média é dada por:</p><p>65UNIDADE III Limites e Derivadas</p><p>À medida que diminuímos os períodos em que estamos calculando, a velocidade</p><p>se aproxima de um valor limite. Veja mais alguns exemplos:</p><p>Para ∆t=0,05</p><p>Para ∆t=0,01</p><p>Para ∆t=0,001</p><p>TABELA 1 – VELOCIDADE INSTANTÂNEA</p><p>∆t=0,1 Vm = 60,5 m/s</p><p>∆t=0,05 Vm = 60,25 m/s</p><p>∆t=0,01 Vm = 60,05 m/s</p><p>∆t=0,001 Vm = 60,005 m/s</p><p>Fonte: o autor (2021).</p><p>66UNIDADE III Limites e Derivadas</p><p>Note que à medida que o intervalo de tempo tende a um valor cada vez menor a</p><p>velocidade tende a um valor limite de 60 m/s 2 . Graficamente podemos pensar na inclinação</p><p>da reta tangente que indica a velocidade do corpo e que à medida que o intervalo de tempo</p><p>se restringe em um valor cada vez menor, a velocidade aproxima de um valor limite.</p><p>FIGURA 1 – LIMITE DA INCLINAÇÃO DA RETA TANGENTE</p><p>Fonte: STEWART, 2016.</p><p>Vamos analisar o comportamento da função f (x) = x2 - x+2 definida por para valores de</p><p>x próximos de 2. A tabela a seguir fornece os valores de para valores de próximos de 2, mas</p><p>não iguais a 2.</p><p>FIGURA 2 – LIMITES DA FUNÇÃO QUANDO</p><p>Fonte: STEWART, 2016.</p><p>Note que à medida que aproximamos o valor da variável por vindo de ambos os</p><p>lados, o resultado tende ao mesmo valor, ou seja y = f (x) = 2, matematicamente isso é</p><p>escrito como:</p><p>67UNIDADE III Limites e Derivadas</p><p>Por definição, temos:</p><p>Suponha que f(x) seja definido quando está próximo ao número a. (Isso significa</p><p>que f(x) é definido em algum intervalo aberto que contenha a, exceto possivelmente no</p><p>próprio a.) Então escrevemos</p><p>é dito que “o limite de f (x), quando x tende a a , é igual a L”. se pudermos tornar os</p><p>valores de arbitrariamente próximos de (tão próximos de L quanto quisermos), tornando x</p><p>suficientemente próximo de a (por ambos os lados de a), mas não igual a .</p><p>1.1 Limites Laterais</p><p>No exemplo dado anteriormente na função</p><p>Temos que o quando x tende a x = 2 pela esquerda e pela direta resulta no mesmo</p><p>valor. Sendo assim, para especificar por onde nos aproximamos do valor limite, devemos</p><p>usar a seguinte notação:</p><p>Ex. 01</p><p>Determine o limite abaixo:</p><p>Resolução:</p><p>Ex. 02</p><p>Calcule o valor do limite</p><p>Resolução:</p><p>68UNIDADE III Limites e Derivadas</p><p>Ex. 03</p><p>Calcule</p><p>Resolução:</p><p>Note que, substituindo y = 0 na expressão, vai resultar em , esse resul-</p><p>tado é inconclusivo, pois não existem divisão por zero e nem zero por zero, então vamos</p><p>expandir o denominador:</p><p>Aplicando os limites:</p><p>Ex. 04</p><p>Determine o limite de</p><p>Resolução:</p><p>Fazendo x → 0 resulta em , que é um resultado inconclusivo. Sendo assim,</p><p>vamos reescrever o numerador da seguinte forma:</p><p>69UNIDADE III Limites e Derivadas</p><p>2. FUNÇÃO CONTÍNUA</p><p>O limite de uma função quando x tende a a pode muitas vezes ser encontrado</p><p>simplesmente calculando o valor da função em a. Funções com essa propriedade são</p><p>chamadas de contínuas em a. Veremos que a definição matemática de continuidade tem</p><p>correspondência bem próxima ao significado da palavra continuidade no uso comum.</p><p>Mas afinal de contas, o que vem a ser uma função contínua? De maneira simples,</p><p>podemos dizer que uma função contínua é aquela na qual quando desenhamos o gráfico, a</p><p>função não possui saltos ou quebras em seu domínio, ou ainda, função contínua é quando</p><p>conseguimos desenhar o gráfico completo sem precisar interromper a linha desenhada.</p><p>Uma função f (x) é contínua em x = a se satisfazer as três condições a seguir:</p><p>a) f (a) está definida existir</p><p>b) existir</p><p>c)</p><p>Quando pelo menos uma destas condições não for satisfeita, a função f (x) é</p><p>descontínua em x = a.</p><p>70UNIDADE III Limites e Derivadas</p><p>FIGURA 3 – FUNÇÃO CONTÍNUA</p><p>Fonte: STEWART, 2016.</p><p>Ex. 01:</p><p>Verifique a continuidade da função f(x) em x= 1</p><p>Está função possui valor quando x = 1 , pois f (1) = 1. Então, a primeira condição de</p><p>continuidade foi satisfeita, pois é definida no ponto. Precisamos agora determinar o limite</p><p>para quando x →1.</p><p>Encontramos uma das situações na qual o limite é indeterminado. Precisamos</p><p>usar alguma das técnicas para conseguir calcular o limite. Neste caso, vamos escrever o</p><p>numerador de outra maneira e encontrar o limite:</p><p>Portanto, o limite de , isto é, existe limite, satisfazendo a segunda condição.</p><p>Por fim, precisamos verificar a terceira e última condição .</p><p>No exemplo,</p><p>71UNIDADE III Limites e Derivadas</p><p>Como a última condição de continuidade não é satisfeita, podemos concluir que</p><p>a função f (x) é descontinua em x =1. Uma maneira conforme foi dito no início do tópico é</p><p>desenhar o gráfico da função. Ao fazê-lo, ficará evidente que no ponto onde x =1, a função</p><p>possui uma descontinuidade. A Figura 4 ilustra esse fato.</p><p>FIGURA 4 - GRÁFICO DA FUNÇÃO USADA NO EXEMPLO DE LIMITES LATERAIS</p><p>Fonte: Adaptado de: Guidorizzi (2001).</p><p>Ex. 02:</p><p>Verifique a continuidade da função f (x) em x = -1.</p><p>A primeira condição é que a função deve estar definida no ponto analisado. Aqui,</p><p>quando x = -1, temos:</p><p>Assim, a função satisfaz a primeira condição de continuidade. Para verificar a se-</p><p>gunda condição, vamos analisar os limites laterais. Pela esquerda:</p><p>Pela direita:</p><p>Note que os limites laterais existem e resultam no mesmo valor, isto quer dizer que:</p><p>72UNIDADE III Limites e Derivadas</p><p>E para finalizar, verificamos a terceira condição. Temos:</p><p>Portanto, a função analisada é sim uma função contínua em x = -1. Para ficar mais</p><p>evidente, temos o gráfico da função a seguir (Figura 5).</p><p>FIGURA 5 - GRÁFICO DA FUNÇÃO USADA NO EXEMPLO DE LIMITES LATERAIS</p><p>Fonte: Adaptado de: Guidorizzi (2001).</p><p>Contudo, quando uma função não é contínua? Para verificar isso é muito simples,</p><p>basta você desenhar a curva do gráfico sem tirar a ponta do lápis do papel. Entretanto,</p><p>quando isso não é possível, é dito que a função é descontínua.</p><p>FIGURA 6 – EXEMPLOS DE FUNÇÕES DESCONTÍNUAS</p><p>Fonte: STEWART, 2016.</p><p>Em cada um desses casos, a função revela um caso de continuidade. Na primeira e</p><p>na segunda figura, é descontinua por um ponto da curva, na segunda figura a função tende</p><p>a infinito e no quarto gráfico é uma descontinuidade em saltos.</p><p>73UNIDADE III Limites e Derivadas</p><p>3. DERIVADA E INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA</p><p>Suponha que uma dada função seja expressada graficamente da seguinte forma:</p><p>FIGURA 7 – FUNÇÃO NO PLANO CARTESIANO</p><p>Fonte: STEWART, 2016.</p><p>Observe que a função faz um movimento de altos e baixos, porém existem pontos</p><p>específicos dessa curva, aquelas em que ela inverte seu movimento. Estudamos no capítulo</p><p>de funções qualquer curva tem uma taxa de inclinação, descrita pelo coeficiente angular da</p><p>função. Quanto maior o coeficiente angular de uma função,</p>