Apostila Eletricidade II JR.pdf

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8ª Edição - 2012 
 
 
Engº José Roberto Pereira 
 
 
 
 
 
 
 
1 Eletricidade II – Engº. José Roberto Pereira - 8ª Edição - 2012 1 
e_mail: jroberto_rio@yahoo.com.br 
 
APRESENTAÇÃO 
 
Este trabalho é o resultado de muitos dias (e noites) de pesquisa, estudo, 
planejamento, organização, redação, desenho, compilação, cálculos, etc., e foi 
elaborado sem finalidade comercial ou sequer para obtenção de qualquer espécie de 
remuneração ou lucro financeiro. 
Seu objetivo é, unicamente, divulgar e propagar o seu conteúdo entre o maior 
número possível de pessoas, de modo a fomentar o saber e estimular o 
conhecimento. Espero assim que, de alguma forma, ele seja uma forma de 
contribuição para o aprimoramento e a elevação do espírito humano, e da evolução 
da nossa espécie. 
Por esta razão, o seu conteúdo não está protegido por qualquer tipo de patente ou 
“copyright”, sendo a sua cópia, distribuição e divulgação não apenas permitida, 
mas também (e principalmente) estimulada, no todo ou em parte, em qualquer tipo 
de mídia, seja ela física, eletrônica ou qualquer outra que, futuramente, possa 
surgir, desde que não seja vendida ou comercializada de qualquer forma e que a 
fonte seja devidamente citada. 
Acredito que, com este pequeno legado, estarei contribuindo, mesmo que 
humildemente, para fazer deste nosso mundo um lugar melhor para se viver. 
Serão muito bem-vindas quaisquer colaborações apontando eventuais erros ou 
sugerindo melhorias para este trabalho, que poderão ser enviadas para o e-mail do 
autor, indicado no rodapé. 
 
Rio de Janeiro, março de 2011. 
José Roberto Pereira 
 
 
 
“A principal meta da educação é criar homens que sejam capazes de fazer coisas 
novas, não simplesmente repetir o que outras gerações já fizeram. Homens que 
sejam criadores, inventores, descobridores. A segunda meta da educação é formar 
mentes que estejam em condições de criticar, verificar e não aceitar tudo que a 
elas se propõe.” 
(Jean Piaget) 
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Advertência 
 
Para a perfeita compreensão do conteúdo deste trabalho é necessário o conhecimento prévio 
de alguns conceitos básicos de matemática, cujo domínio é fundamental para o 
acompanhamento e a resolução dos exercícios propostos. Listamos abaixo os principais 
conceitos considerados pré-requisitos: 
 
- Quatro Operações Aritméticas Fundamentais: Adição, Subtração, Multiplicação e Divisão 
- Números Decimais e Operações com Números Decimais 
- Frações e Operações com Frações 
- Razões e Proporções – Regra de Três 
- Porcentagem 
- Potenciação 
- Radiciação 
- Sistemas de Medidas – Múltiplos e Submúltiplos 
- Notação Científica (Potência de 10) 
- Equações do Primeiro Grau 
- Sistemas de Equações do Primeiro Grau 
- Noções de Cálculo Vetorial 
- Trigonometria 
- Números Complexos (Forma Polar e Retangular) 
- Logaritmos 
- Resolução de Triângulos Retângulos (Teorema de Pitágoras) 
 
Os conteúdos acima podem ser obtidos na bibliografia sugerida no final deste trabalho. 
Recomandamos enfaticamente o seu estudo, conhecimento e domínio. 
 
 
 
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SUMÁRIO 
 
CAPÍTULO 1 – Corrente Alternada 04 
CAPÍTULO 2 – Reatância e Impedância 12 
CAPÍTULO 3 – Circuitos de C.A. Monofásicos Ideais 15 
CAPÍTULO 4 – Circuitos Monofásicos de C.A. 20 
CAPÍTULO 5 – Filtros Passivos 48 
CAPÍTULO 6 – Sistemas Trifásicos 61 
BIBLIOGRAFIA 73 
ÍNDICE 74 
 
 
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CAPÍTULO 1 
CORRENTE ALTERNADA 
 
1.1 - Análise gráfica e matemática da função seno 
Uma função periódica senoidal genérica pode ser representada graficamente de duas formas: 
no domínio temporal (em função do tempo) ou no domínio angular (função do ângulo), como 
mostra a figura abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
No caso dessa função expressar o comportamento de uma tensão elétrica, a amplitude máxima 
que esta tensão senoidal pode atingir é denominada tensão de pico (Vp), ou tensão máxima 
(Vmáx) e a amplitude total entre os valores máximos positivo e negativo, é denominada tensão 
pico a pico (Vpp), sendo: 
 
Vpp = 2 . Vp = 2 . Vmáx 
 
O tempo que a função necessita para completar um ciclo é chamado de período (T) e o 
número de vezes que o ciclo se repete por segundo é chamado de freqüência (f), sendo a 
relação entre eles a seguinte: 
 
 f = 
 
 
onde: [ T ] = s segundo 
 [ f ] = Hz ou c/s Hertz ou ciclos / segundo 
α = ωt
1 
T
v(t)
v(α)
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Matematicamente, os gráficos de uma tensão senoidal nos domínios temporal e angular podem 
ser representados, respectivamente, por: 
 
v = Vp . sen ωt ou v = Vp . sen α 
 
onde: v(t) = v(α) = valor da tensão no instante t ou para o ângulo α 
 Vp = Valor de pico ou valor máximo da tensão (em Volts) 
 ω = velocidade angular ou freqüência angular (em rd/s) 
 α = ângulo (em rd) 
 
A freqüência angular ou velocidade angular, representada pela letra grega ω (ômega) , 
corresponde ao valor do ângulo α do sinal em função do tempo. Das expressões matemáticas 
anteriores, tiramos a relação: α = ωt. 
Comparando os gráficos dos domínios temporal e angular, notamos que quando α = 2π, tem-se 
que t = T. Assim, é válida a relação ωT = 2π. Portanto, a freqüência angular ω pode ser 
calculada por: 
 
 ω = ou ω = 2π.f 
 
 
1.2 - Fase inicial 
Nos circuitos elétricos, nem sempre um sinal senoidal inicia o seu ciclo no instante t=0. neste 
caso, dizemos que o sinal possui uma fase inicial θ0. 
Assim sendo, a expressão completa para representar o sinal senoidal deve incluir esta fase 
inicial: 
 
v = Vp . sen (ωt + θ) 
 
 
 
Se o sinal inicia o seu ciclo adiantado, 
θ0 é positivo. 
 
Se o sinal inicia o seu ciclo atrasado, 
θ0 é negativo, como mostra a figura ao lado: 
 
 
 
 
2π 
 T 
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1.3 - Produção de uma tensão alternada senoidal 
No capítulo 12 da Apostila de Eletricidade I, estudamos a f.e.m. induzida num condutor que se 
movimenta num campo magnético, conforme a figura abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
Vimos também que o seu valor instantâneo é dada pela expressão 
 
e = β . L . v . sen α 
 
onde: 
e = valor instantâneo da f.e.m. induzida no condutor, em Volts (V) 
β = densidade do fluxo magnético, em Teslas (T) 
L = comprimento da parte do condutor submetida ao campo magnético, em Metros (m) 
v = velocidade com que o condutor atravessa o campo, em (m/s) 
sen α = seno do ângulo entre a direção do movimento do condutor e a direção do campo 
 
Esse valor será zero quando α = 0º ou α = 180º, uma vez que sen 0º = sen 180º = 0. 
Por outro lado, esse valor será máximo quando α = 90º, resultando em sen 90º = 1. 
Nesta condição, podemos dizer que e = β . L . v = Emáx 
 
A equação da f.e.m. instantânea pode então ser escrita como:e = Emáx . sen α 
 
Esta f.e.m. pode assim ser representada por um vetor girante ou fasor, cujo raio ou amplitude é 
igual ao valor de pico ou valor máximo dessa f.e.m. e que gira no sentido anti-horário com 
velocidade angular ω. 
 
e = Emáx . sen ωt 
N SEmáx 
α 
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A projeção de Emáx (ou Vmáx) no eixo vertical é uma função seno, reproduzindo, portanto, a 
tensão senoidal v(t) ou v(α), dependendo do domínio. Isso é mostrado na figura abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Analisemos agora o caso de uma espira móvel, da figura abaixo, que roda com velocidade 
constante, no sentido indicado pela seta F, num campo magnético uniforme: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Na posição indicada na figura, os condutores AB e CD se deslocam perpendicularmente com as 
linhas de força do campo, as quais têm o sentido H. 
Aplicando-se aos dois condutores uma das regras da mão esquerda antes mencionadas, 
observar-se-à que o sentido das f.e.m. nos mencionados condutores é respectivamente (e) e 
(e1). Estas duas f.e.m., embora de sentido oposto, somam seus efeitos no circuito da própria 
espira. Nestas condições, nos bornes da mesma existe no instante considerado a diferença de 
potencial igual a 2e. 
Na posição indicada na mesma figura, os dois condutores se deslocam perpendicularmente às 
linhas de força do campo (α = 90o) e por isso a f.e.m. que neles se gera é máxima, pois é 
máximo o número de linhas de fôrça cortadas pelos condutores, por cada unidade de 
comprimento percorrido. 
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O valor da f.e.m. vai decrescendo sucessivamente até reduzir-se a zero quando, depois de uma 
rotação de 90°, a espira alcança o plano YY, onde os condutores deslocam-se paralelamente 
com as linhas de fôrça do campo (α = 0o), sem cortar nenhuma delas. 
Deste instante em diante, a f.e.m. induzida volta a crescer mas o seu sentido, em relação aos 
bornes da espira, fica invertido, pois o condutor AB irá deslocar-se no sentido em que antes 
deslocava-se o condutor CD e vice-versa. 
No instante em que a bobina passa pela posição que alcança depois de meia volta, a f.e.m. 
nela induzida adquire um valor igual, mas em sentido contrário ao alcançado com a espira na 
posição indicada na figura anterior. 
Desta posição em diante a f.e.m. induzida na espira volta a diminuir para anular-se, outra vez 
mais, quando a espira passa pelo plano YY. 
O fenômeno processa-se conforme está indicado na figura abaixo, na qual está representado o 
diagrama de variação da f.e.m., constituído tomando-se como abcissas os ângulos de rotação e 
como ordenadas os valores que a f.e.m. adquire quando passa por cada uma das posições 
definidas pelas abcissas. Consideram-se positivas as f.e.m. dirigidas num sentido, prefixado 
arbitràriamente, e negativas as dirigidas no sentido contrário. 
O processo se repete identicamente em cada volta e se a espira estiver ligada a um circuito 
fechado, a f.e.m. nela induzida lança neste uma corrente que sofre variações análogas às da 
f.e.m. que a produz. As f.e.m. e as correntes dêste tipo são chamadas f.e.m. e correntes 
alternadas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
9 Eletricidade II – Engº. José Roberto Pereira - 8ª Edição - 2012 9 
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1.4 - Valores Médio e Eficaz de uma f.e.m. Senoidal 
O valor médio de uma função periódica geral é dado pela integral abaixo: 
 
 
Ymed = y(t) dt 
 
 
Para uma função senoidal, podemos escrever: 
 
 
Ymed = Ymax sen (ωt) d(ωt) 
 
 
Substituindo-se o termo genérico “Y” pela tensão, uma vez que esta é uma função senoidal, e 
integrando para os dois semiciclos, uma vez que a senóide foi retificada em meia onda (o valor 
médio não é mais igual a zero), temos que: 
 
 
Vmed = Vmax sen (ωt) d(ωt) 
 
 
Resolvendo a integral, temos: 
 
Vmed = . (cos 0 – cos 2π) 
 
Sendo cos 0 = 1 e cos 2π = 1, podemos então escrever: 
 
Vmed = . (1 – 1) = . 0 = 0 
 
 
Desta forma, verificamos que o valor médio de uma função senoidal é igual a zero, o que faz 
sentido, uma vez que o semiciclo positivo é igual ao semiciclo negativo. 
No entanto, sabemos que uma corrente alternada circulando numa resistência produz trabalho, 
sob a forma de calor, o que nos leva a deduzir que existe um valor responsável pela realização 
deste trabalho. 
Este valor é chamado de Valor Eficaz e é obtido calculando-se a raiz quadrada da média dos 
quadrados dos valores instantâneos (eleva-se ao quadrado para converter o semiciclo negativo 
em positivo e assim calcular a média). Por esta razão, este valor também é chamado de 
Valor RMS (de ROOT – MEAN – SQUARE). 
A sua fórmula geral está indicada abaixo: 
 
 
Yef = y2 (t) dt 
 
 
 
1 
T 
 
 T 
∫0
 1 
2π 
 
 2π
∫0 
 1 
2π 
 
 2π 
∫0 
Vmax 
 2π 
Vmax 
 2π 
Vmax 
 2π 
1 
T 
 
 T 
∫0 
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Para uma função senoidal, podemos escrever: 
 
 
Vef = (Vmax sen ωt)2 d(ωt) 
 
 
Resolvendo a integral, temos: 
 
 
Vef = ou Vef = 0,707 Vmáx 
 
 
 
O valor eficaz de uma tensão ou corrente é definido como o valor que ela deveria ter, se fosse 
constante (como uma C.C. constante) para produzir uma certa quantidade de calor num 
determinado tempo. 
Quando dizemos que uma corrente alternada tem, por exemplo, o valor eficaz de 1A, isto quer 
dizer que ela é capaz de produzir tanto calor por segundo quanto uma corrente contínua 
constante de 1A. 
Em geral, quando se fala de uma tensão ou corrente alternada, faz-se referência ao seu valor 
eficaz, e os medidores indicam comumente valores eficazes. Assim, salvo observação em 
contrário, sempre que nos referirmos a um valor de tensão ou corrente alternada, estaremos 
nos referindo ao seu valor eficaz. 
Existe, no entanto, uma forma de se calcular o valor médio de uma função senoidal evitando 
que o mesmo seja zero. Isso é feito considerando somente um semi-ciclo, porque o valor médio 
da onda completa é zero. O valor médio é dado pela fórmula abaixo: 
 
 
Vmed = Vmax sen (ωt) d(ωt) 
 
 
Resolvendo a integral, temos: 
 
 
Vmed = . (cos 0 – cos π) 
 
 
Sendo cos 0 = 1 e cos π = – 1, podemos então escrever: 
 
 
Vmed = . (1 + 1) = 
 
 1 
2π 
 
 2π
∫0 
Vmáx 
 
√ 2 
1 
π 
 
 π 
∫0 
Vmax 
 π 
Vmax 
 π 
2Vmax 
 π 
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Então: 
 
 
Vm = ou Vm ≅ 0,636 Vmáx 
 
 
 
Um gráfico mostrando os valores de uma tensão 
senoidal pode ser visualizado abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2.Vmáx 
 π 
 
V 
t 
Vmáx 
v = Vmáx . sen ωt 
- Vmáx 
0 
T 
Vef = 0,707 Vmáx 
Vm = 0,636 Vmáx 
Vpp
Vmáx = Tensão máxima (ou tensão de pico) 
Vef = Tensão eficaz 
Vm= Tensão média 
v = Tensão instantânea 
Vpp = Tensão pico–a–pico ( Vpp = 2.Vmáx ) 
ω = 2 . π . f 
T = Período 
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CAPÍTULO 2 
REATÂNCIA E IMPEDÂNCIA 
 
 
2.1 - Reatância Indutiva 
Segundo a Lei de Lenz (Apostila de Eletricidade I – Capítulo 10), a f.e.m. de auto-indução 
oferece uma oposição às variações de corrente. Esta oposição tem o nome de REATÂNCIA 
INDUTIVA (XL) e num circuito de C.A., é dada pela fórmula 
 
XL = 2.π.f.L ou XL = ω.L 
 
XL = reatância indutiva em Ohms (Ω) 
f = freqüência em Hertz (Hz) 
L = coeficiente de auto-indutância em Henrys (H) 
 ω = freqüência angular da corrente (rd/s) 
 
 
2.2 - Reatância Capacitiva 
Por sua vez, um capacitor se opõe às variações de tensão e neste caso, esta oposição chama-
se REATÂNCIA CAPACITIVA (XC), que num circuito de C.A. é dada pela expressão 
 
 
XC = ou XC = 
 
 
XC = reatância capacitiva em Ohms (Ω) 
f = freqüência em Hertz (Hz) 
 C = capacitância em Farads (F) 
 ω = freqüência angular da corrente (rd/s) 
 
 
2.3 - Impedância ( Z ) 
Esta grandeza é o conjunto de todos os fatores que devem ser vencidos pela f.e.m. aplicada ao 
circuito de corrente alternada, para que se possa estabelecer uma corrente elétrica. 
Compreende, portanto, a resistência efetiva do circuito e as reatâncias indutiva e capacitiva. Em 
outros termos, a impedância é a soma vetorial das reatâncias com a resistência, como pode ser 
melhor compreendido na figura abaixo: 
 1 
2 . π . f . C 
 1 
ω.C 
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 XL 
 
 XL - XC Z 
 
 R 
 XC 
 
Em conseqüência do exposto, é fácil concluir que a Lei de Ohm, quando aplicada a circuitos de 
C.A., passa a ter o seguinte enunciado: 
 
"A INTENSIDADE DA CORRENTE ELÉTRICA É DIRETAMENTE PROPORCIONAL À 
FORÇA ELETROMOTRIZ E INVERSAMENTE PROPORCIONAL À IMPEDÂNCIA." 
 
I = 
 
Z = impedância em Ohms (Ω) 
V = tensão em Volts (V) 
I = corrente em Ampères (A) 
 
Obs.: As equações para o cálculo das reatâncias indutiva e capacitiva só são válidas para 
correntes alternadas senoidais. 
 
 
2.4 - Potência em C.A. 
A energia aplicada por segundo a um circuito de corrente alternada (potência do circuito) é 
destinada a vencer as três dificuldades normalmente presentes no mesmo: a resistência efetiva, 
a reatância indutiva e a reatância capacitiva. 
A parte destinada a vencer a resistência efetiva do circuito é denominada POTÊNCIA REAL (P) 
ou POTÊNCIA ATIVA do circuito. É expressa em WATTS. Esta potência corresponde à energia 
elétrica que está realizando trabalho elétrico, ou sendo transformada em calor, em cada 
segundo, e costuma ser chamada também de POTÊNCIA EFETIVA. 
A parcela gasta para sobrepujar a reatância do circuito é denominada POTÊNCIA REATIVA 
(Q), sendo expressa em VOLTS-AMPÈRES REATIVOS (VAr). 
A soma vetorial das potências real e reativa é igual ao produto da tensão aplicada ao circuito 
pela intensidade da corrente no mesmo. Este produto é conhecido como POTÊNCIA 
APARENTE (S) do circuito, e corresponde, como dissemos no início deste item, à energia 
aplicada por segundo ao circuito. A potência aparente é dada em VOLTS-AMPÈRES (VA). 
V 
Z 
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O cálculo da potência em C.A. é feito com as mesmas equações estudadas em C.C., 
observados apenas os seguintes fatos: 
 
- a potência aparente refere-se à energia gasta por segundo para vencer a dificuldade 
total do circuito; para calculá-la devemos considerar a impedância (Z) e a tensão total 
aplicada ao circuito (V) 
S = V . I = I2 . Z = V2 / Z VOLTS-AMPÈRES (VA) 
 
- a potência real é a energia gasta por segundo para vencer apenas a resistência efetiva. 
No seu cálculo é considerada simplesmente a resistência efetiva (R) e a tensão ER: 
P = VR . I = I2 . R = VR2 / R WATTS (W) 
 
- a potência reativa é a energia gasta por segundo unicamente para vencer a reatância do 
circuito. Para calculá-la, consideramos a reatância (X) e a parcela da tensão destinada a 
vencê-la (VX): 
Q = VX . I = I2 . X = VX2 / X VOLTS-AMPÈRES REATIVOS (Var) 
 
 
2.5 - Fator de Potência 
Como vimos, a potência em WATTS (POTÊNCIA REAL) é apenas uma percentagem da 
POTÊNCIA APARENTE. 
A relação entre a potência real e a potência aparente é denominada FATOR DE POTÊNCIA do 
circuito: 
 
 
Fator de Potência = 
 
 
O fator de potência do circuito é igual a 1 quando a única dificuldade no circuito é a resistência 
efetiva. 
Quando há reatância de qualquer espécie, é um número decimal. É muito comum se referir ao 
fator de potência como “coseno fi” , pois ele exprime o valor do coseno do ângulo “φ” formado 
por P e S. 
 
Posteriormente, veremos este assunto com mais detalhes. 
 
P 
S 
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CAPÍTULO 3 
CIRCUITOS DE C.A. MONOFÁSICOS IDEAIS 
 
3.1 - Circuito Puramente Resistivo 
Trata-se de um circuito como a figura abaixo, em que a única dificuldade a ser vencida pela 
tensão aplicada é a resistência efetiva, e, portanto, Z = R 
 
 
 
 
 
 
 
 
Convém esclarecer que “R” não é apenas a resistência de um resistor, e sim A RESISTÊNCIA 
EQUIVALENTE DE TODOS OS ELEMENTOS QUE CONSTITUEM O CIRCUITO. 
A intensidade da corrente fornecida pela fonte é 
 
I = V / Z = V / R 
 
A tensão VR e a intensidade da corrente atingem valores correspondentes ao mesmo tempo: 
 
 
 
Quando isto ocorre com duas grandezas, dizemos que estão EM FASE. Em outras palavras, a 
tensão VR e a intensidade da corrente no circuito atingem seus valores máximos, mínimos e 
quaisquer outros valores no mesmo instante. 
Como as duas grandezas VR e I são senoidais e estão em fase, podemos representá-las 
vetorialmente conforme a figura abaixo: 
 
 
 
 I VR 
 
V ~ R
I
VR
VR 
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Toda a energia aplicada a este circuito é usada para vencer apenas sua resistência. Assim, 
podemos concluir que: 
Potência reativa = 0 
Potência real = Potência aparente 
 
Como vimos, o circuito que está sendo considerado não apresenta reatância, e a potência 
reativa é nula. 
O fator de potência do circuito é igual a 1 ou 100%; isto porque toda a energia aplicada ao 
circuito está sendo gasta para vencer sua resistência. Também pela expressão abaixo 
chegamos à mesma conclusão: 
 
Fator de potência = P / S = 1 
 
 
3.2 - Circuito Puramente Indutivo 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Neste circuito, a única dificuldade apresentada para o estabelecimento de uma corrente elétrica 
é a reatância indutiva. Desta forma, podemos escrever que: 
 
Z = XL = 2.π.f.L = ω.L 
 
XL simboliza a reatância total do circuito; é a reatância oferecida pela auto-indutância 
equivalente do circuito. 
A intensidade da corrente no circuito é: 
 
I = V / Z = V / XL = V / 2.π.f.L 
 
V ~ L
I
VL
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Estudamos que a indutância no circuito se opõe às variações da corrente, ou seja, retarda seu 
crescimento e sua queda; vimos também que a f.e.m. de auto-indução (f.c.e.m.) é máxima 
quando I é igual a zero, e vice-versa. Portanto, VL e I estão sempre defasadas de 90 graus 
elétricos, o que pode ser representado como mostra a figura: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Neste caso, dizemos que I está atrasada 90° em relação a VL. 
Vetorialmente, podemos representar estas duas grandezas do seguinte modo: 
 
 VL 
 φ = ângulo de defasagem 
 φ 
 
 I 
 
A energia aplicada ao circuito tem a exclusiva finalidade de vencer a reatância indutiva, donde 
concluímos que: 
Potência reativa = Potência aparente 
Potência real = 0 
 
As potências aparente e reativa podem ser calculadas com qualquer das expressões abaixo: 
 
Q = S = V . I = VL . I = I2 . Z = I2 . XL = V2 / Z = VL2 / XL 
 
O fator de potência do circuito é zero, porque não está sendo gasta energia para vencer 
resistência. Chega-se à mesma conclusão pela expressão abaixo: 
 
Fator de potência = P / S = 0 / S = 0 
 
 
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3.3 - Circuito Puramente Capacitivo 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Neste caso, o único obstáculo ao estabelecimento de uma corrente no circuito é a reatância 
capacitiva. Assim, podemos escrever que: 
 
Z = XC = 
 
XC simboliza a reatância capacitiva total do circuito, isto é, a reatância oferecida pela 
capacitância equivalente do circuito. 
A intensidade da corrente no circuito é 
 
I = V / Z = V / XC = V.2.π.f.C 
 
Sabemos que a d.d.p. entre as placas de um capacitor é zero quando a corrente de carga é 
máxima, e vice-versa. Neste circuito, VC e I não atingem valores correspondentes ao mesmo 
tempo, como mostra a figura abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
V ~ C
I
VC
 1 
2.π.f.C 
19 Eletricidade II – Engº. José Roberto Pereira - 8ª Edição - 2012 19 
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Dizemos então que VC e I estão DEFASADAS de 90 graus elétricos; como os valores de I se 
antecipam aos valores de VC, afirmamos que I está adiantada de 90 graus elétricos em relação 
a VC. 
Como estas duas grandezas são senoidais e estão defasadas de 90°, podemos representá-las 
vetorialmente de acordo com a figura 
 
 I 
 φ 
 
 VC 
 φ = ângulo de defasagem 
 
Toda a energia aplicada a este circuito é usada para vencer sua reatância capacitiva. 
Concluímos que: 
 
Potência real = 0 
Potência reativa = Potência aparente 
 
As potências aparente e reativa podem ser calculadas com qualquer das expressões abaixo: 
 
Q = S = V . I = VC . I = I2 . Z = I2 . XC = V2 / Z = VC2 / XC 
 
O fator de potência do circuito é zero, pois não há gasto de energia para vencer resistência, ou, 
como mostra a expressão abaixo: 
 
Fator de potência = P / S = 0 / S = 0 
 
 
 
20 Eletricidade II – Engº. José Roberto Pereira - 8ª Edição - 2012 20 
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CAPÍTULO 4 
CIRCUITOS MONOFÁSICOS DE C.A. 
 
4.1 - Circuito R-L em Série 
 
 
 
 
 
 
 
 
Na prática, diferentemente do indutor ideal, visto em 3.2, um indutor real apresenta indutância e 
resistência elétrica (devido à resistividade do fio do indutor). Portanto, a corrente elétrica, ao 
percorrer um indutor, encontra dois tipos de oposição: a reatância indutiva e a resistência 
ôhmica do fio. O circuito equivalente de um indutor real é um indutor ideal em série com a sua 
resistência ôhmica interna, como na figura acima. 
Quando uma tensão alternada é aplicada a um circuito R-L série, a corrente continua atrasada 
em relação à tensão, só que de um ângulo menor que 90° pois, enquanto a indutância tende a 
defasá-la em 90°, a resistência tende a mantê-la em fase com a tensão. 
A figura acima mostra um circuito R-L em série, no qual R e L simbolizam, respectivamente, a 
resistência equivalente de todas as resistências em série com o indutor (inclusive a resistência 
ôhmica do fio do indutor) e a auto-indutância equivalente do circuito. A impedância do circuito é 
a soma vetorial de R e XL. 
A intensidade de corrente fornecida pelo gerador é a mesma que circula pelo resistor e pelo 
indutor e sua fórmula pode ser expressa por: 
 
i = v / Z 
 
A tensão aplicada ao circuito pelo gerador (v) é a soma vetorial das tensões no resistor (vR)e no 
indutor (vL), como mostra o diagrama abaixo: 
 
 
 vL v 
 
 
 φ 
 
 vR i 
O valor de φ depende da razão entre vR e vL, ou da razão entre R e XL (as razões são iguais). 
 
v ~ 
L
i
vL
vR R
φ = arctg vL vR 
21 Eletricidade II – Engº. José Roberto Pereira - 8ª Edição - 2012 21 
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Pelo diagrama fasorial, vê-se que a corrente (i) está em fase com (vR) mas no indutor está 
atrasada de 90° em relação à tensão (vL). Como tensão e corrente num resistor estão sempre 
em fase, (vR) e (i) estão representadas no mesmo eixo. 
A tensão (v) do gerador é a soma vetorial de (vL) com (vR), resultando numa defasagem φ 
menor que 90° em relação à corrente. A figura abaixo mostra a representação das formas de 
ondas de um circuito RL série: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4.1.1 - Impedância Indutiva (ZL) 
A oposição total que um circuito R-L oferece à passagem da corrente elétrica depende de R e 
de XL e é chamada de Impedância Indutiva. O seu valor é o da soma vetorial de R + XL. A 
figura abaixo facilita essa compreensão: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Podemos dizer, então, que: 
 
 ZL = R + j XL 
 
Na forma polar, o seu módulo será: E o seu ângulo de fase será igual a: 
 
|ZL| = √ R2 + XL2 φ = arctg 
 
R 
ZLXL 
φ 
VRVL 
V 
i 
XL 
 R 
φ 
22 Eletricidade II – Engº. José Roberto Pereira - 8ª Edição - 2012 22 
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Exemplos: 
1 – Uma bobina, quando ligada a uma fonte CC de 10V, consome uma corrente de 100mA e, 
quando ligada a uma fonte CA de 10Vrms / 500Hz, consome uma corrente de 20mA. Calcular: 
a) A resistência da bobina 
b) A reatância e a indutância da bobina 
c) A impedância complexa da bobina 
d) O diagrama fasorial do circuito (considerando a corrente como referência de fase nula) 
Resolução: 
a) Quando a bobina é ligada à fonte CC, só existe o efeito da sua resistência ôhmica. Portanto: 
R = V / I = 10V / 100 x 10-3A R = 100 Ω 
 
b) Quando a bobina é ligada à fonte de CA, além da resistência ôhmica há o efeito da reatância 
indutiva. Então, o módulo da impedância será: 
ZL = v / i = 10V / 20 x 10-3A = 500 Ω 
Como ZL2 = R2 + XL2, temos que: XL2 = ZL2 – R2 ou XL = √ ZL2 – R2 
 
XL2 = √ 5002 – 1002 XL = 490 Ω 
 
XL = 2.π.f.L Logo, L = 
 
L = 490 / 2 x 3,14 x 500 L = 156 mH 
 
c) ZL = R + j XL ZL = 100 + j 490 
 
d) A tensão estará em fase com a impedância total e a corrente estará em fase com a resistência. 
Então, o ângulo de fase entre a tensão e a corrente será dado por: 
φ = arctg = arctg 490 / 100 = arctg 4,9 φ = 78,5° 
 
 
 |vL| = v senφ = 10 sen 78,5° = 10 x 0,978 = 9,78 V 
 
 |vR| = v cos φ = 10 cos 78,5° = 10 x 0,199 = 1,99 V 
XL 
2πf 
XL 
 R 
v 
i 
78,5° 
vL 
vR 
23 Eletricidade II – Engº. José Roberto Pereira - 8ª Edição - 2012 23 
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2 – Dado o circuito a seguir, determinar: 
a) A impedância do circuito e o valor de L 
b) A corrente no circuito 
c) O diagrama fasorial 
 
Resolução: 
a) Na forma cartesiana: Z = 30 + j 40 Ω 
 Na forma polar: |Z| = √ R2 + XL2 = √ 302 + 402 = 50 Ω (Módulo) 
 Fase: φ = arctg 40 / 30 = 53° 
 Portanto: Z = 50 53° Ω 
 
Pela reatância indutiva, calcula-se L: 
XL = 2 π f L L = XL / 2 π f L = 40 / 2 π .60 L = 106 mH 
 
b) A corrente no circuito será: 
 
i = i = = 2,2 37° Arms 
 
 
c) Uma vez que, pelo enunciado, a tensão está a 90°, o seu vetor deverá ficar nesta direção 
(vertical). A corrente, 53° atrasada em relação à tensão, ou seja, a 90 – 53 = 37º. vR está em fase 
com a corrente e vL adiantado de 90° em relação a vR, ou seja 90 + 37 = 127° 
Cálculo de |vL| e |vR|: 
|vL| = XL x i = 40 |90° x 2,2 |37° = 88 |127° V 
|vR| = R x i = 30 | 0° x 2,2 |37° = 66 |37° V 
 
37° + 53° + 37° = 127° 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
~
R = 30 Ω
XL = 40 Ω 
v 
ZL 
110 90° 
 
 50 53° 
V = 110V
VR = 66V
VL = 88V 
37°
53°
I = 2,2 A
37°
v = 110 90° Vrms 
 60 Hz 
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Obs.: Se tomássemos a corrente como referência (φ = 0°), o diagrama ficaria como abaixo (o 
mesmo diagrama, rotacionado de 37° no sentido horário): 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4.2 – Potência em Circuitos Indutivos 
Consideremos o circuito R-L série da figura abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
A sua representação fasorial ficaria como a figura abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
Multiplicando-se as tensões por (i), obtemos as potências: 
 
 
 
 
 
 
 
V = 110V
VR = 66V
VL = 88V
37°
53°
I = 2,2 A
v ~ 
L
i
vL
vR R
vL v
vR
φ 
Q S
P
φ 
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P = vR . i = Potência Ativa ou Potência Real ou Potência Útil => Watt (W) 
Q = vL . i = Potência Reativa => Volt-Ampère Reativo (VAr) 
S = v . i = Potência Aparente ou Potência Total => Volt-Ampère (VA) 
 
Pelo Teorema de Pitágoras, temos: 
 
S2 = P2 . Q2 ou S = √ P2 + Q2 
 
A relação entre a potência real P e a potência aparente S é chamada FATOR DE POTÊNCIA 
(FP), cuja expressão é mostrada abaixo: 
 
 
Fator de potência = = cos φ donde P = S . cos φ 
 
 
 
 
Como S = v . i temos: P = v . i . cos φ 
 
 
- É comum chamar o fator de potência de ”cosseno fi”, devido à sua expressão. 
- O fator de potência dá uma medida do aproveitamento da energia fornecida à carga pelo 
gerador. 
- Se a carga é puramente resistiva, não há potência reativa e, portanto, S = P, ou seja, FP = 1. 
Neste caso, a carga aproveita toda a energia fornecida pelo gerador (dissipa potência por efeito 
Joule). 
- Se a carga é puramente indutiva (ou reativa), não há potência ativa e, portanto, S = Q, ou seja, 
FP = 0. Neste caso, a carga não aproveita nenhuma energia fornecida pelo gerador (não dissipa 
potência). 
- Em um circuito R-L, há potência ativa e reativa e, portanto, S2 = P2 + Q2, ou seja, 0 ≤ FP ≤ 1. 
Neste caso, a carga aproveita uma parte da energia fornecida pelo gerador, ou seja, somente a 
parte resistiva dissipa potência. Neste tipo de circuito, como a corrente está atrasada em 
relação à tensão, dizemos que o circuito apresenta FATOR DE POTÊNCIA ATRASADO. 
- O fator de potência de um circuito deve ser mantido o mais próximo de 1 quanto possível. Um 
fator de potência baixo significa que o gerador e as linhas de transmissão estão fornecendo 
energia maior do que aquela que está sendo efetivamente aproveitada pela carga. Em outras 
palavras, é necessário um superdimensionamento tanto do gerador quanto das linhas de 
transmissão, implicando em maior custo e maior perda de energia, pois são necessárias maior 
corrente e maior potência aparente para a obtenção de uma determinada potência real.. 
P 
S 
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Por esta razão, a legislação vigente permite que as concessionárias de energia elétrica 
obriguem, sob pena de multa, que os consumidores mantenham o fator de potência de suas 
unidades consumidoras acima de 0,92. 
Como, na maioria das instalações industriais, as maiores cargas são predominantemente 
indutivas (transformadores, motores, reatores de lâmpadas fluorescentes, etc.), é necessário 
corrigir o fator de potência para o nível exigido pela concessionária. 
Isto é conseguido instalando-se capacitores, que corrigem o fator de potência, adequando-o às 
exigências da legislação. A fim de facilitar o cálculo da correção, os capacitores especialmente 
construídos para essa finalidade são especificados em KVAr. 
 
 
4.3 – Circuito R-L em Paralelo 
Para análise deste tipo de circuito, consideraremos o indutor como ideal. 
No circuito R-L em paralelo, a tensão do gerador (v), é a mesma do resistor (vR) e do indutor 
(vL). No entanto, a corrente fornecida pelo gerador (i) é igual à soma vetorial das correntes no 
resistor (iR) e no indutor (iL). A corrente no resistor (iR) está em fase com a tensão (v), assim 
como a corrente no indutor (iL) está atrasada de 90° em relação à tensão, como mostra a figura 
abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A representação senoidal do circuito está mostrada na figura abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
~ R XL
iR 
v iR iL 
i 
v = vR = vL
i iL
φ 
V 
iR 
iL
i
φ 
27 Eletricidade II – Engº. José Roberto Pereira - 8ª Edição - 2012 27 
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4.3.1 – Impedância num Circuito R-L Paralelo 
Existem diversas formas para se calcular a impedância em um circuito R-L paralelo. A mais 
simples, no entanto, é através da tensão e da corrente totais no circuito. 
 
 
Z = 
 
 
 
Exemplo: 
1 - Calcular a impedância total de um circuito constituído de um resistor de 200 Ω em paralelo 
com um indutor de 1,06 H ligados a uma fonte de 400V x 60Hz. 
 
iR = v / R = 400 / 200 = 2A 
XL = 2 π f L = 2 x 3,14 x 60 x 1,06 = 400 Ω 
iL = v / XL = 400 / 400 = 1A 
|i| = √ iR2 + iL2 = √ 22 + 12 = √ 5 = 2,24 A 
φ = arc tg iL / iR = arc tg -1 / 2 
φ = - 26,6° 
Z = v / i = 400 | 0° / 2,24 | -26,6º 
 
 Z = 179 26,6° Ω 
 
 
2 – Dado o circuito ao lado, calcular: 
a) A expressão da corrente total 
b) A impedância total 
c) O diagrama fasorial 
 
 
iR = 110 / 60 = 1,83 A 
iL = 110 / 80 = 1,37 A 
|i| = √ 1,832 + 1,372 
|i| ≈ 2,3 A 
φ = arc tg iL / iR = arc tg -1,37 / 1,83 
φ ≈ - 37° 
i = 2,3 - 37º A 
 
Z = v / i = 110 | 0° / 2,29 | -37° 
 
Z = 48 37° Ω 
 
v 
 i 
~ R = 60 Ω XL = 80 ΩiR iL 
i
v = 110 0° Vrms 
 60 Hz 
φ = -37° 
 iR 
1,83 A 
 v 
110 V 
 iL 
1,37 A 
 i 
2,3 A 
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4.4 – Circuito R-C em Série 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Quando uma tensão alternada é aplicada a um circuito R-C série, a corrente fica adiantada em 
relação a ela, só que de um ângulo menor que 90°, pois enquanto a capacitância tende a 
defasá-la em 90°, a resistência tende a colocá-la em fase com a tensão. Pelo diagrama fasorial, 
representado acima, vê-se que a corrente i (que é a mesma no resistor e no capacitor) está 
adiantada em relação à tensão vC. Como a tensão e a corrente num resistor estão sempre em 
fase, vR e i estão representadas no mesmo eixo. 
A figura abaixo mostra as formas de onda de um circuito R-C série: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4.4.1 – Impedância Capacitiva (ZC) 
A oposição total que um circuito R-C oferece à passagem da corrente elétrica depende de R e 
de XC, e é chamada de impedância indutiva. O seu valor é a soma vetorial de R + XC. A figura 
abaixo facilita essa compreensão: 
 
 
 
 
 
 
 
v ~ 
C 
i 
vC 
vR R 
vC 
v
vR
φ 
i
vR 
i 
v 
vC 
φ 
XC Z
R
φ 
φ = – arctg vC vR 
29 Eletricidade II – Engº. José Roberto Pereira - 8ª Edição - 2012 29 
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Podemos dizer, então, que: 
 
 ZC = R – j XC 
 
Na forma polar, o seu módulo será: E o seu ângulo de fase será igual a: 
 
|ZC| = √ R2 + XC2 φ = – arctg 
 
 
4.5 – Potência em Circuitos Capacitivos 
Consideremos o circuito R-C série da figura abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
A sua representação fasorial ficaria como a figura abaixo: 
 
 
 
 
 
 
Multiplicando-se as tensões pela corrente i, obtemos as potências: 
 
 
 
 
 
 
P = vR . i = Potência Ativa ou Potência Real ou Potência Útil => Watt (W) 
Q = vC . i = Potência Reativa => Volt-Ampère Reativo (VAr) 
S = v . i = Potência Aparente ou Potência Total => Volt-Ampère (VA) 
 
Como, num circuito R-C série, a corrente está adiantada em relação à tensão, dizemos que o 
circuito apresenta FATOR DE POTÊNCIA ADIANTADO. 
XC 
 R 
v ~ 
C
i
vC
vR R
vC 
v
vR
φ 
Q 
S
P
φ 
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4.6 – Circuito R-C Paralelo 
No circuito R-C em paralelo, a tensão do gerador (v), é a mesma do resistor (vR) e do capacitor 
(vC). No entanto, a corrente fornecida pelo gerador (i) é igual à soma vetorial das correntes no 
resistor (iR) e no capacitor (iC). A corrente no resistor (iR) está em fase com a tensão (v), assim 
como a corrente no capacitor (iC) está adiantada de 90° em relação à tensão, como mostra a 
figura abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A figura abaixo mostra as formas de onda de um circuito R-C paralelo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4.6.1 – Impedância num Circuito R-C Paralelo 
Da mesma forma que no circuito R-L paralelo, a maneira mais simples de calcular é através da 
tensão e da corrente totais no circuito. 
 
 
Z = 
 
 
 
~ R XCv iR iC 
i 
iC 
i 
iR 
φ 
v = vR = vC
v 
iR iC 
i 
φ 
v 
 i 
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Exemplo: 
1 - Calcular a impedância total de um circuito constituído de um resistor de 100 Ω em paralelo 
com um capacitor de 2 µF, ligados a uma fonte de 120V x 994Hz. 
 
iR = v / R = 120 / 100 = 1,2A 
XC = 1 / 2 π f C = 1 / 2 x 3,14 x 994 x 2 x 10-6 = 80 Ω 
iC = v / XC = 120 / 80 = 1,5 A 
|i| = √ iR2 + iC2 = √ 1,22 + 1,52 = √ 3,69 = 1,92 A 
φ = arc tg iC / iR = arc tg 1,5 / 1,2 => φ = 51,34° 
Z = v / i = 120 | 0° / 1,92 | 51,34° 
 
 Z = 62,4 -51,34° Ω 
 
 
 
 
4.7 – Circuito R-L-C Série 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Neste tipo de circuito, três situações podem ocorrer: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
vL > vC vL < vC vL = vC 
porque porque porque 
XL > XC XL < XC XL = XC 
 
~
R 
L
C 
v 
i 
vR 
vL 
vC 
i
vL 
φ
vC 
vL – vC v 
vR 
i
vL 
φ 
vC 
vL – vC 
v 
vR 
vR = v i
vL 
vC 
32 Eletricidade II – Engº. José Roberto Pereira - 8ª Edição - 2012 32 
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No primeiro caso, o circuito se comporta como um circuito indutivo (R-L); no segundo, torna-se 
capacitivo e no último caso, apresenta praticamente as características de um circuito puramente 
resistivo. 
 
Os diagramas fasoriais das impedâncias, nos três casos, ficam como mostrado abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4.7.1 – Ressonância nos Circuitos em Série 
 
Quando é estabelecida a igualdade entre a reatância indutiva e a reatância capacitiva (caso 3), 
caso esse em que as tensões vC e vL são iguais, dizemos que o circuito está em 
RESSONÂNCIA. 
Esta condição é desejável em diversos circuitos eletrônicos, mas pode trazer conseqüências 
desagradáveis, com danos para os elementos de um circuito, quando não é prevista. 
Sabemos que a reatância indutiva é diretamente proporcional à freqüência, enquanto que a 
reatância capacitiva é função inversa da mesma. Assim, quando alimentamos um circuito com 
uma fonte de C.A. e fazemos a freqüência variar desde um valor praticamente nulo até um valor 
bem alto, podemos observar o crescimento da reatância indutiva e a queda da reatância 
capacitiva. Numa determinada freqüência, as duas grandezas tornam-se iguais e o circuito 
apresenta características especiais que correspondem à condição denominada “ressonância”. 
A figura abaixo ilustra essa condição. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Z 
XC XL
Z, X, R 
f fr
R 
XL
φ
XC 
XL – XC Z 
R 
XL 
φ 
XC 
XL – XC 
Z 
R 
Z = R 
XL 
XC 
33 Eletricidade II – Engº. José Roberto Pereira - 8ª Edição - 2012 33 
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As características de um circuito série na freqüência de ressonância são as seguintes: 
 
a) A impedância do circuito torna-se mínima, ficando reduzida ao valor da resistência; 
b) A intensidade da corrente é máxima, como conseqüência do item anterior, e limitada 
apenas pelo valor da resistência; 
c) O circuito torna-se resistivo; 
d) Toda a energia aplicada ao circuito é gasta para vencer a sua resistência; 
e) O fator de potência (cos φ) é igual a 1. 
 
A freqüência de ressonância de um circuito em série é dada pela equação abaixo: 
 
 
 
 fo = 
 
 
 
fo = freqüência de ressonância, em HERTZ (Hz) 
L = auto-indutância do circuito, em HENRYS (H) 
C = capacitância do circuito, em FARADS (F) 
 
Com efeito, se XL = XC, temos: 
 
2 π fo L = 4 π2 fo2 L C = 1 
 
 
fo = fo = 
 
 
Observando esta equação, constatamos que a resistência do circuito não influi na sua 
freqüência de ressonância, e que esta depende somente do produto LC. Isso significa que 
circuitos com valores diferentes de L e de C podem entrar em ressonância na mesma 
freqüência, desde que os produtos LC sejam iguais. 
Por outro lado, a resistência do circuito influi no que é conhecido como FATOR DE 
QUALIDADE (ou FATOR Q) do circuito ressonante, que é definido como a relação entre a 
energia armazenada nas reatâncias e a energia dissipada na resistência do circuito. Como,na 
freqüência de ressonância XL = XC, podemos usar apenas uma delas, como mostrado abaixo: 
 1 
 
2 π √ LC 
 1 
2 π f C 
 1 
 
4 π2 L C 
 1 
 
2 π √ LC 
34 Eletricidade II – Engº. José Roberto Pereira - 8ª Edição - 2012 34 
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 Q = Q = 
 
 
Como, normalmente, a resistência do circuito é constituída, principalmente, pela resistência do 
fio da bobina, é comum referenciar-se à resistência da bobina e à sua reatância indutiva. 
A variação da corrente num circuito R-L-C série, quando a freqüência da fonte é variada, pode 
ser representada graficamente, constituindo o que chamamos de uma CURVA DE 
RESSONÂNCIA, e que é mostrada na figura abaixo. Nota-se que, quanto menor a resistência, 
maior o fator “Q” e mais estreita (ou mais seletiva) é a curva. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4.7.2 – Largura de Faixa em um circuito série 
 
A Largura de Faixa, ou Banda de Passagem (BW – do inglês Band Width) é definida como a 
faixa de freqüências na qual a potência dissipada é maior do que a metade da potência 
máxima. 
 
Como a potência fornecida ao circuito é igual a R.I2, quando I = 0,707 Io a potência é igual à 
metade do valor máximo. Na figura abaixo, f1 e f2 são os pontos de meia potência, nos quais a 
corrente I = 0,707 Io. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
I2 XL t 
 
 I2 R t 
XL 
 
R
f 
i 
fr 
f1 f2 fo 
Io 
0,707 Io 
BW 
f (Hz) 
35 Eletricidade II – Engº. José Roberto Pereira - 8ª Edição - 2012 35 
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A largura de faixa (BW) será, neste caso, definida como: 
 
 
 
 
 BW = 
 
 
 
 
 
4.8 – Circuito R-L-C em Paralelo 
 
 
 
 
 
 
 
 
Neste circuito vigoram as mesmas características gerais já estudadas nos circuitos paralelos: 
 
- A tensão aplicada ao circuito é igual à tensão entre os terminais de cada braço do circuito; 
- A intensidade da corrente total fornecida pela fonte é igual à soma vetorial das correntes nos 
diversos braços em paralelo; 
- O inverso da impedância total é igual à soma vetorial dos inversos das impedâncias dos 
diversos braços em paralelo; 
- A corrente no resistor está em fase com a tensão; 
- A corrente no indutor está atrasada de 90° em relação à tensão; 
- A corrente no capacitor está adiantada de 90° em relação à tensão. 
Portanto, as correntes iC e iL estão defasadas de 180° entre si, sendo que a sua soma vetorial é 
a diferença entre os seus módulos, com fase igual à da corrente com maior módulo. 
 
A figura abaixo mostra o diagrama fasorial das correntes de um circuito R-L-C paralelo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
~ R Cv 
i 
L 
iR iC iL
IL 
φ
IC 
IC – IL 
i 
iR v 
fo 
Q 
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Caso o módulo de iC seja maior que o de iL, o circuito comportar-se-á como capacitivo. No caso 
contrário (iL > iC), o seu comportamento será indutivo. A partir deste ponto, a sua resolução 
será praticamente idêntica à dos circuitos R-L e R-C paralelos, dependendo do seu 
comportamento predominante. 
 
Exemplo: 
1) Dado o circuito abaixo, calcular a corrente em cada braço, a corrente total, a impedância do 
circuito e o diagrama fasorial das correntes. 
 
v = 20 0° V 
R = 1 kΩ 
XL = 200 Ω 
XC = 500 Ω 
 
Calculando os módulos das correntes: 
| iR | = 20 / 1000 = 0,02A 
| iC | = 20 / 500 = 0,04A 
| iL | = 20 / 200 = 0,1A 
 
A corrente reativa total será igual a: iC – iL = 0,04 – 0,1 = – 0,06A 
O diagrama fasorial ficará como abaixo: 
 
O ângulo φ será igual a: 
 
φ = arctg (iC – iL) / iR = arctg (– 0,06 / 0,02) = arctg (– 3) = – 71,56° 
 
O módulo da corrente total será: 
| i | = √ 0,022 + 0,062 
| i | = 0,063 A 
 
A impedância total do circuito será igual a: 
Z = 20 | 0° / 0,063 | -71,56° = 316,2 | 71,56° Ω 
 
Respostas: 
iR = 0,02 0° A 
iC = 0,04 90° A 
iL = 0,1 – 90° A 
i = 0,063 – 71,56° A 
Z = 316,2 71,56° Ω 
~ R Cv 
i 
L iR iC iL
iC
iR 
iL
iC – iL i 
φ 
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4.8.1 – Ressonância nos Circuitos em Paralelo 
Uma vez que este circuito entra em ressonância quando XL = XC, a fórmula para o cálculo da 
freqüência de ressonância é idêntica à do circuito R-L-C série. 
 
 
 fo = 
 
 
 
A diferença, neste caso, é que, ao contrário do circuito série, na freqüência de ressonância, o 
circuito em paralelo apresenta impedância máxima (Z = R) e corrente mínima. As figuras abaixo 
ilustram essas características. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 1 
 
2 π √ LC 
ffr ffr 
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4.8.2 – Oscilação num circuito R-L-C 
 
Capacitores e indutores são dispositivos de armazenamento de energia. Porém, enquanto o 
primeiro armazena-a sob a forma de campo elétrico, o segundo armazena sob a forma de 
campo magnético. Isso significa que, no capacitor, a energia é máxima quando a tensão é 
máxima e, no indutor, a energia é máxima quando a corrente é máxima. 
 
Em ambos, a corrente é mínima quando a tensão é máxima e vice-versa, ou seja, corrente e 
tensão estão defasadas, como já estudamos. 
 
Observemos o circuito abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Inicialmente, carregamos o capacitor com a tensão V, colocando a chave SW na posição 1. A 
energia armazenada no capacitor será igual a CV2/2, conforme estudado no item 9.3 da 
Apostila de Eletricidade I. 
 
Ao passarmos a chave para a posição 2, o capacitor irá se descarregar através do indutor e do 
resistor, provocando o surgimento de uma corrente elétrica. Essa corrente, inicialmente baixa 
devido à oposição criada pela auto-indutância (Lei de Lenz), irá aumentando gradativamente 
até atingir o seu valor máximo. Neste momento, a tensão (e a energia) no capacitor será zero, 
tendo este transferido toda a sua energia para o indutor, a qual será máxima. 
 
Inicia-se, então, o processo inverso, de transferência da energia do indutor para o capacitor e 
assim sucessivamente, entrando o circuito em oscilação, na sua freqüência de ressonância. 
Caso não existissem resistências que dissipassem essa energia (circuito L-C ideal), essa 
oscilação permaneceria indefinidamente, o que não ocorre na prática. 
 
Dependendo do valor da resistência, o circuito se comportará de acordo com um dos regimes 
abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Sub-amortecimento Amortecimento crítico Amortecimento 
 super-crítico 
 
 
 R2 < R2 = R2 > 
 
R
L
CV
1 2
SW 
4L 
 C 
4L 
 C 
4L 
 C 
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No regime sub-amortecido, a amplitude dessas oscilações decresce exponencialmente, como 
mostra a figura abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O circuito se comporta de forma análoga ao de um sistema formado por massa & mola, 
estudado na Física (Movimento Harmônico Simples – MHS). 
 
 
4.9 – Circuitos R-L-C Mistos 
Uma vez que aos circuitos de corrente alternada se aplicam as mesmas regras para os circuitosde corrente contínua, temos que o inverso da impedância total é igual à soma dos inversos das 
impedâncias nos diversos braços do circuito: 
 
 = + + + ... 
 
Ou, se trabalharmos com apenas duas impedâncias em paralelo de cada vez: 
 
Zt = 
 
A figura abaixo representa as impedâncias dos diversos braços de um circuito misto. A 
impedância de cada braço é a impedância resultante de cada circuito série. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 
 
Zt 
1 
 
Z1 
1 
 
Z2
1 
 
Z3
Z1 . Z2 
 
Z1 + Z2 
 
Z1
 
Z2
 
Z3~ v 
~ Z1 Z2 Z3
40 Ω
53 mH
v = 100 |0° Vrms 
 60 Hz 50 µF
80 µF
10 Ω
30 mH
i1 i2 i3i 
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Neste caso, a forma mais simples de resolução é a que calcula as correntes nos diversos 
braços, decompondo-as em suas componentes reativas (verticais) e ativas (horizontais), 
efetuando-se a soma algébrica em cada eixo e calculando-se a corrente total a partir dos 
resultados dessas somas. 
 
Exemplo: 
No circuito da figura acima, calcular a corrente e a impedância totais. 
a) Cálculo de Z1: 
XL1 = 2 π . 60 . 53 . 10-3 = 20 Ω 
Z12 = 402 + 202 
Z1 = 44,7 Ω 
φ = arctg 20 / 40 = 26,56° 
i1 = v / Z1 = 100 | 0° / 44,7 | 26,56° = 2,24 | –26,56° A 
Como o circuito é indutivo, a corrente está atrasada, então, o seu ângulo é negativo. 
 
Cálculo das componentes horizontal e vertical da corrente: 
i1H = 2,24 cos (–26,56°) = 2,24 x 0,89 = 2 A 
i1V = 2,24 sen (–26,56°) = 2,24 x (–0,447) = –1 A 
 
b) Cálculo de Z2: 
Z2 = XC2 = 1 / 2 π . 60 . 50 . 10-6 = 53,05 | –90° Ω 
i2 = 100 | 0° V / 53,05 | –90° Ω = 1,88 | 90° A 
Como o circuito é puramente capacitivo, a corrente está adiantada de 90°. Então, o seu ângulo será: 
φ = 90° 
Temos então, que i2H = 0 e i2V = 1,88 A 
 
c) Cálculo de Z3: 
XC3 = 1 / 2 π . 60 . 80 . 10-6 = 33,15 Ω 
XL3 = 2 π . 60 . 30 . 10-3 = 11,3 Ω 
X3 = 11,3 – 33,15 = – 21,85 Ω (A impedância equivalente do braço 3 é capacitiva) 
Z32 = 102 + 21,852 
Z3 = 24 Ω 
φ = arctg –21,85 / 10 = – 65,4° 
i3 = 100 | 0° / 24 | –65,4° = 4,17 | 65,4° A 
Como o circuito é capacitivo, a corrente está adiantada, então, o seu ângulo é positivo. 
i3H = 4,17 cos (65,4°) = 4,17 x 0,416 = 1,74 A 
i3V = 4,17 sen (65,4°) = 4,17 x 0,909 = 3,79A 
 
41 Eletricidade II – Engº. José Roberto Pereira - 8ª Edição - 2012 41 
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Somando-se algebricamente as componentes horizontais e verticais das correntes, temos: 
iH = 2 + 0 + 1,74 = 3,74 A 
iV = –1 + 1,88 + 3,79 = 4,67 A 
φ = arctg 4,67 / 3,74 = arctg 1,249 
φ = 51,3° 
A corrente total será: 
i2 = 3,742 + 4,672 
i = 5,98 | 51,3° A ou i = 3,74 + j4,67 A 
 
Z = 
 
Z = 16,7 | - 51,3° A ou Z = 10,43 – j13,03 Ω 
 
Graficamente, podemos representar da seguinte forma: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 100 | 0° 
5,98 | 51,3° 
i1 
i2 
i3 
4,67 
3,74 
i = 5,98A 
51,3° 
2 
– 1 
1,74 
3,79 
1,88 
iR 
iX 
– iX 
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Uma outra forma de se calcular circuitos em paralelo é através da sua admitância (Y), que é o 
inverso da impedância (Z), assim como a condutância (G) é o inverso da resistência (R) e a 
susceptância (B) é o inverso da reatância (X). Todas as três são medidas em “Siemens”. 
 
Admitâncias, condutâncias ou susceptâncias em paralelo, se somam. 
 
Assim, o exemplo anterior pode ser resolvido da seguinte forma: 
 
a) Cálculo da admitância do braço 1: 
Z1 = 40 + j20 
 
Y1 = = x = = 
 
 
Y1 = – = 0,02 – j0,01 Siemens 
 
 
 
b) Cálculo da admitância do braço 2: 
Z2 = – j26,5 
 
Y2 = = x = = j0,0189 Siemens 
 
 
 
c) Cálculo da admitância do braço 3: 
Z3 = 10 – j21,85 
 
Y3 = = x = = 
 
 
Y3 = + = 0,0173 + j0,0378 Siemens 
 
 
 
A admitância total será a soma das três admitâncias 
 
Y = 0,02 – j0,01 + j0,0189 + 0,0173 + j0,0378 
 
Y = 0,0374 + j0,0466 Siemens 
 
 
 1 
40 + j20 
 1 
40 + j20 
40 – j20 
40 – j20 
 40 – j20 
402 + 202 
 40 – j20 
 2000 
 40 
2000 
 j20 
2000 
 1 
– j53,05 
 1 
– j53,05 
j53,05 
j53,05 
 j53,05 
2814,3 
 1 
10 – j21,85 
 10 
577,4 
j21,85 
577,4 
 1 
10 – j21,85 
10 + j21,85 
10 + j21,85 
10 + j21,85 
102 + 21,852
10 + j21,85 
 577,4 
43 Eletricidade II – Engº. José Roberto Pereira - 8ª Edição - 2012 43 
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A impedância total será então o seu inverso. 
 
Z = = x = 
 
 
 
Z = – Z = 10,43 – j13,03 Ω 
 
φ = arctg –13,03 / 10,43 = arctg –1,249 φ = – 51,3° 
 
|Z2| = 10,432 + 13,032 Z = 16,7 | –51,3° Ω 
 
i = v / Z = 100 | 0° / 16,7 | – 51,3° i = 5,98 | 51,3° A 
 
 
Este método (da soma das admitâncias) é particulrmente interessante para se resolver circuitos 
mais complexos, nos quais o método das correntes não pode ser aplicado, como no circuito 
abaixo, no qual foi introduzida uma reatância em série com o circuito do exemplo anterior: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
XL1 = 2 π . 60 . 90 . 10-3 XL1 = 33,93 Ω 
 
Substituindo-se agora os três braços paralelos (no interior da linha pontilhada) pelo seu circuito 
equivalente, o circuito pode, então, ser redesenhado da seguinte forma: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 1 
0,0374 + j0,0466 
 1 
0,0374 + j0,0466
0,0374 – j0,0466
0,0374 – j0,0466
0,0374 – j0,0466 
 0,00357 
 0,0373 
0,00357 
 j0,0466 
0,00357 
~ 
40 Ω
53 mH
v = 100 Vrms 
 60 Hz 50 µF
80 µF
10 Ω
30 mH
L1 = 90 mH 
~ v = 100 Vrms 60 Hz 
10,43 Ω
– 13,03 Ω
33,93 Ω 
Circuito 
Anterior 
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O circuito, agora, se tornou um R-L-C série e a sua impedância total será então igual a: 
 
 
Z = 10,43 – j13,03 + j33,93 Z = 10,43 + 20,9 Ω 
 
φ = arctg 20,9 / 10,43 = arctg – 0,888 φ = 63,48° 
 
|Z|2 = 10,432 + 20,92 Z = 23,36 | 63,48° Ω 
 
i = v / Z = 100 | 0° / 23,36 | 63,48° i = 4,28 | – 63,48° A 
 
 
4.10 - Correção do Fator de Potência 
Como dissemos anteriormente, o fator de potência exprime o grau de aproveitamento da 
energia fornecida à carga pelo gerador. Um fator de potência muito baixo significa que o 
gerador está fornecendo uma energia muito superior àquela que está sendo aproveitada pela 
carga. Por esta razão, as concessionárias de energia elétrica aplicam multa nos consumidores 
que estiverem com o fator de potência abaixo de 0,92. 
Como a maioria das cargas em uma indústria é de natureza indutiva (motores, 
transformadores), o seu fator de potência costuma ser baixo, sujeitando o consumidor às multas 
aplicadas pela concessionária. Isso, no entanto, pode ser evitado, através da correção do fator 
de potência, que consiste na instalação de capacitores em paralelo com a carga, de modo a 
compensaraquele desvio. 
Sabendo que as reatâncias indutiva e capacitiva se opõe e que a reatância resultante é a soma 
vetorial daquelas, devemos instalar no circuito capacitores de forma que o novo fator de 
potência esteja no valor desejado. 
 
Exemplo: 
Suponhamos que em uma conta de energia elétrica, de uma instalação de 220V referente a um 
período de 30 dias, os valores medidos sejam: 
Energia ativa = 15.840 kWh 
Energia reativa = 10.640 kVArh 
Observando esta mesma conta, percebemos também que ocorreu uma cobrança de consumo 
reativo. O que devemos fazer para, no futuro, evitarmos este tipo de cobrança? 
O primeiro passo é calcular as potências: 
Sabendo que o período é de 30 dias e que cada dia tem 24 horas, temos um total de 720 horas. 
Calculamos as potências dividindo a energia, no período, pelo tempo. 
Potência ativa = 15.840 kWh / 720 h = 22 kW 
Potência reativa = 10.640 kVArh / 720 = 14,78 kVAr 
Potência aparente = √ 222 + 14,782 = √ 484 + 218,4 = √ 702,4 = 26,5 kVA 
Fator de potência = 22 / 26,5 = 0,83 => (abaixo de 0,92) 
45 Eletricidade II – Engº. José Roberto Pereira - 8ª Edição - 2012 45 
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O gráfico das potências ficaria como na figura abaixo: 
 
 
 Q = 14,78 kVAr S = 26,5 kVA 
 
 cos φ = 0,83 
 
 P = 22 kW 
 
Como o fator de potência mínimo exigido pela legislação é de 0,92, a cobrança de multa por 
consumo reativo se justifica. 
Para elevarmos o fator de potência igualando-o a 1, bastaria instalarmos capacitores de correção 
no valor de 12kVAr, anulando assim o consumo reativo, como na figura abaixo: 
 
 14,78 kVAr 
 
 
 P = 22 kW 
 
 -14,78 kVAr 
 
Potência reativa = 14,78kVAr – 14,78 kVAr = 0 
Potência aparente = Potência Ativa = 22kVA 
Fator de potência = 1 
 
Entretanto, mais capacitores significam também maior custo, e o que se faz na prática é calcular 
um valor de capacitores que elevem o fator de potência até um nível suficiente para evitar-se o 
pagamento da cobrança por consumo reativo. 
Vamos, neste exemplo, calcular o valor necessário de capacitores para elevar o fator de potência 
para 0,94. 
Sabendo que a potência ativa é de 22kW, para um fator de potência de 0,94 a potência aparente 
será de: 
S = 22 / 0,94 = 23,4 kVA 
A potência reativa, para este novo valor do cos φ será de: 
 
S2 = P2 + Q2 donde: Q2 = S2 – P2 ou Q = √ S2 – P2 
 
Q = √ 23,42 - 222 = √ 548 – 484 = √ 64 = 8 kVAr 
φ ≅ 33,9° 
46 Eletricidade II – Engº. José Roberto Pereira - 8ª Edição - 2012 46 
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Como a potência reativa atual é de 14,78 kVAr, para obtermos a nova potência reativa calculada, 
basta instalarmos capacitores no valor de: 
 
14,78 – 8 = 6,78 kVAr 
 
Temos, então, o valor dos capacitores a serem instalados no circuito, em kVAR. 
 
Se quisermos calcular o valor da sua capacitância, devemos considerar que a potência reativa é 
igual a: 
 
 Q = = => Q = v2 . 2 . π . f . C => C = 
 
 
Considerando a freqüência de 60 Hz, temos que 2 . π . 60 ≅ 377. Assim, 
 
 
 C = 
 
 
Então, se considerarmos uma tensão de 220V, a capacitância do capacitor de 6,78 kVAR será de: 
 
C = 6,78 x 103 / 377 x 2202 => C = 371,6 µF 
 
Com isto, evitamos o pagamento da cobrança por consumo reativo e teremos um custo com 
capacitores da terça parte do que teríamos para fazer cos φ = 1. O novo gráfico das potências, 
após a instalação dos capacitores, ficará como na figura abaixo: 
 
 
 14,78 kVAr 26,5 kVA 
 
 8 kVAr 23,4 kVA 
 
 
 22 kW 
 6,78 kVAr 
 v2 
Xc 
 v2 
 1 
2 π f C 
 Q 
 
2 π f v2
 Q 
 
377 v2 
φ ≈ 19,95° 
cos φ = 0,94 
47 Eletricidade II – Engº. José Roberto Pereira - 8ª Edição - 2012 47 
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Podemos, agora, comparar as correntes circulantes na linha de transmissão antes e depois da 
correção do fator de potência: 
 
Antes da correção: 
v = 220V 
S = 26,5kVA 
i = S / V = 25.000 / 220 = 120,5 A 
 
Após a correção: 
v = 220V 
S = 23,4 kVA 
i = S / V = 23.400 / 220 = 106,4A 
 
Constatamos que, para a realização do mesmo trabalho necessitamos, após a correção, transportar 
uma corrente mais baixa pela linha de transmissão, permitindo agora, utilizar um cabo de bitola 
mais estreita (menor seção transversal). Os transformadores de distribuição de energia também 
serão menos sobrecarregados. 
 
 
 
48 Eletricidade II – Engº. José Roberto Pereira - 8ª Edição - 2012 48 
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CAPÍTULO 5 
FILTROS PASSIVOS 
 
Filtros são circuitos que permitem a passagem de apenas determinadas freqüências. Eles 
podem ser classificados em ativos e passivos. 
Filtros passivos são aqueles formados apenas por componentes passivos, como resistores, 
capacitores e indutores, e filtros ativos são os que incorporam componentes ativos, como 
transistores, FETs, amplificadores operacionais, etc. 
Neste capítulo abordaremos apenas os primeiros. Os filtros ativos são assunto da cadeira de 
eletrônica e nela estudados. 
Pelo fato de utilizarem apenas componentes passivos, uma das suas principais características é 
terem o ganho de tensão (Av) sempre igual ou menor do que 1 (0dB), uma vez que não 
possuem componentes ativos capazes de amplificar o sinal. 
Com relação ao seu comportamento em função da freqüência, os filtros podem ser classificados 
em: 
- Filtro Passa-Baixas 
- Filtro Passa-Altas 
- Filtro Passa-Faixa 
- Filtro Rejeita-Faixa 
 
5.1 – O Decibel (dB) 
Sabemos, da Física, que o bel (ou seu submúltiplo mais conhecido, o decibel) é uma medida de 
intensidade sonora e está ligado diretamente ao nosso sentido da audição. Esta, por sua vez, 
apresenta um comportamento não linear, no que diz respeito à sua sensibilidade. Ao contrário, 
o seu comportamento obedece a uma curva logarítmica. 
Por exemplo, se uma potência sonora de 1W provoca uma certa sensação de intensidade em 
uma pessoa, para que ela tenha a sensação do dobro da intensidade não basta dobrarmos a 
potência para 2W. Para que se provoque a sensação do dobro da potência é preciso multiplicá-
la por 10, ou seja, 10W. Para dobrá-la novamente, a nova potência deverá ser de 100W. Essa 
variação corresponde a uma escala logarítmica, que pode ser vista na figura abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 1
10
100
1.000
10.000
1
10
100
1.000
10.000
49 Eletricidade II – Engº. José Roberto Pereira - 8ª Edição - 2012 49 
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O Bel é utilizado para relacionar grandezas de mesma natureza. A essa relação damos o nome 
de “Ganho”, que representaremos pela letra “A”. Como se trata de uma relação, ele pode ser 
menor, igual ou maior do que 1. Quando temos [A > 1], dizemos que houve uma amplificação e 
quando [A < 1], dizemos que houve uma atenuação. 
Se considerarmos um quadripolo no qual é injetada uma determinada potência P1 na sua 
entrada e obtida uma potência P2 na sua saída, podemos afirmar que o ganho de potência 
desse quadripolo será igual a: 
 
 
 Ap = 
 
 
Podemos utilizar o bel (B) para relacionar dois níveis de potência P1 e P2 através da expressão 
abaixo: 
 
Ap = log [B]O bel (B), no entanto, é muito grande para ser utilizado na medição dos fenômenos elétricos. 
Por esta razão, utiliza-se o seu submúltiplo decibel (dB), ficando a expressão do ganho: 
 
 
Ap = 10 log [dB] 
 
 
Logo, caso P2 = 100.P1, teremos um ganho de potência (ou amplificação) de 20dB. Por outro 
lado, se P2 = 0,01.P1, o ganho será Ap = - 20dB, ou seja, a potência foi atenuada em 20dB. 
Se, ao invés das potências, relacionarmos as tensões de saída (V2) e de entrada (V1), sabendo 
que a potência é uma função do quadrado da tensão, a expressão do ganho de tensão (Av) 
ficará assim: 
 
 
Av = 20 log [dB] 
 
 
É comum, particularmente na área de telecomunicações, utilizar-se o padrão de 1dBm, que é a 
potência de 1mW dissipada sobre uma impedância de 600Ω. 
 
P2 
P1 
P1 P2 P2 P1 
P2 
P1 
V2 
V1 
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5.2 – Filtro Passa-Baixas 
Um filtro passa-baixas ideal teria sua curva de resposta de freqüência como a da figura abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
Para freqüências abaixo da freqüência de corte (fc), o ganho é igual a 1, ou seja, a potência de 
saída é igual à potência de entrada. Para freqüências acima da freqüência de corte, o ganho é 
zero, isto é, a potência de saída (P2) é nula. 
Na prática, porém, não é possível construir-se um filtro passivo de modo que a sua resposta de 
freqüência possua um corte tão abrupto. 
 
5.2.1 – Filtro Passa-Baixas com Circuito R-L 
Sabendo que a reatância indutiva aumenta com a freqüência, um filtro passa-baixas pode ser 
implementado utilizando um indutor em série com um resistor, formando um divisor de tensão 
variável com a freqüência, como mostra a figura abaixo: 
 
 
 
 
 
Nas freqüências baixas, a reatância indutiva é baixa (XL << R), fazendo com que a tensão no 
resistor (Vo) seja alta em relação à queda de tensão no indutor. 
No caso das freqüências altas, a reatância indutiva aumenta (XL >> R), aumentando a queda 
de tensão no indutor e reduzindo a tensão no resistor (Vo). 
Neste circuito, a tensão de saída Vo (tensão no resistor) em função da tensão da entrada (Vi) é 
igual a: 
 Vo = Vi . 
 
Pela expresão, constatamos que a tensão de saída é inversamente proporcional à freqüência, 
ou seja: quanto maior a freqüência, menor a tensão de saída. 
Por definição, a freqüência de corte de um filtro (também chamada de freqüência de meia 
potência) é aquela onde a potência de saída é a metade da potência de entrada, ou a potência 
de entrada seja o dobro da potência de saída ou seja: Pi = 2.Po. Neste ponto, a potência no 
resistor será igual à potência no indutor e, da mesma forma, a tensão no resistor será igual à 
tensão no indutor. Isso ocorrerá na freqüência em que XL = R, ou quando o ângulo de fase φ for 
igual a 45°. 
fc 
f 
Ap 
1 
0 
L 
R Vo Vi 
 R 
R + jXL
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Então, igualando ambas, temos: 
 
2.π.fc.L = R => fc = 
 
 
Como o ângulo é de 45°, a tensão no resistor será igual a tensão de entrada multiplicada pelo 
cosseno de 45°, ou 0,707. 
 
 Vo = ou Vo = 0,707.Vi 
 
 
O ganho de potência em dB será: 
 
Ap = 10 log => Ap = 10 log Ap = – 3 dB 
 
 
O ganho de tensão em dB será igual a: 
 
Av = 20 log => Ap = 20 log 0,707 Av = – 3 dB 
 
Assim, concluimos que: 
 
 
Na freqüência de corte, tanto o ganho de tensão 
quanto o ganho de potência são iguais a –3 dB 
 
 
Podemos, agora, traçar a curva de resposta de freqüência do filtro passa-baixas: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 R 
2.π.L
 Po 
2.Po 
 Vi √ 2 
 
 2 
1 
2 
 0,707.Vi 
 Vi 
fc
f 
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5.2.2 – Filtro Passa-Baixas com Circuito R-C 
A figura abaixo mostra um filtro passa-baixas com circuito R-C. Como o anterior, é um divisor de 
tensão variável com a freqüência. Neste caso, para freqüências baixas, a reatância capacitiva é 
alta (XC >> R), fazendo com que a tensão no capacitor seja alta em relação à queda no resistor. 
 
 
 
 
 
 
No caso das freqüências altas, a reatância capacitiva diminui (XC << R), aumentando a queda 
de tensão no resistor e reduzindo a tensão no capacitor (Vo). 
Neste circuito, a tensão de saída Vo (tensão no capacitor) em função da tensão da entrada (Vi) 
é igual a: 
 
 Vo = Vi . 
 
 
Analogamente ao circuito anterior, a freqüência de corte se dará no ponto onde R = XC. Então: 
 
 
R = Logo: fc = 
 
 
 
Da mesma forma que no circuito R-L, na freqüência de corte teremos: 
 
 Vo = ou Vo = 0,707.Vi 
 
 
 
Os ganhos de tensão e de potência em dB na freqüência de corte também serão iguais a -3dB 
e a curva de resposta de freqüência será idêntica à do filtro passa-baixas com circuito R-L. 
 
C 
R 
Vo Vi 
 – jXC 
R – jXC
 1 
2.π.fc.C 
 1 
2.π.R.C 
 Vi √ 2 
 
 2 
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5.3 – Filtro Passa-Altas 
Um filtro passa-altas ideal teria sua curva de resposta de freqüência como a da figura abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
Para freqüências acima da freqüência de corte (fc), o ganho é igual a 1, ou seja, a potência de 
saída é igual à potência de entrada. Para freqüências abaixo da freqüência de corte, o ganho é 
zero, isto é, a potência de saída (P2) é nula. 
Na prática, da mesma forma que o filtro passa-baixas, não é possível construir-se um filtro de 
modo que a sua resposta de freqüência possua um corte tão abrupto. 
 
5.3.1 – Filtro Passa-Altas com Circuito R-L 
Sabendo que a reatância indutiva aumenta com a freqüência, um filtro passa-altas pode ser 
implementado utilizando um indutor em série com um resistor, formando um divisor de tensão 
variável com a freqüência, como mostra a figura abaixo: 
 
 
 
 
 
Nas freqüências baixas, a reatância indutiva é baixa (XL << R), fazendo com que a tensão no 
indutor (Vo) seja pequena em relação à queda de tensão no resistor. 
No caso das freqüências altas, a reatância indutiva aumenta (XL >> R), aumentando a tensão 
no indutor (Vo) e reduzindo a tensão no resistor. 
Neste circuito, a tensão de saída Vo (tensão no indutor) em função da tensão da entrada (Vi) é 
igual a: 
 
 Vo = Vi . 
 
Sabendo que na freqüência de corte XL = R, temos: 
 
 
2.π.fc.L = R => fc = 
 
 
fc 
f 
Ap 
1 
0 
L 
R 
Vo Vi 
 jXL 
R + jXL
 R 
2.π.L
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Da mesma forma que nos circuitos anteriores, na freqüência de corte teremos: 
 
 
 Vo = ou Vo = 0,707.Vi 
 
 
Os ganhos de tensão e de potência em dB na freqüência de corte também serão iguais a -3dB 
e a curva de resposta de freqüência será a da figura abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5.3.2 – Filtro Passa-Altas com Circuito R-C 
A figura abaixo mostra um filtro passa-altas com circuito R-C. Como o anterior, é um divisor de 
tensão variável com a freqüência. Neste caso, para freqüências baixas,