Calculo Estrutural

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1. INTRODUÇÃO 
 
A falta de tradição, no Brasil, de construir com madeira aliado à utilização de esquemas 
construtivos inadequados, como a utilização de rodadeiras, e esquemas estáticos que se 
tornam, em serviço, mecanismos hipostáticos, têm trazido às pontes rodoviárias de madeira a 
imagem de "pinguelas". Entretanto, é possível construir pontes de madeira de qualidade 
irrepreensível, como já começa o ocorrer no Brasil com as pontes idealizadas pelos 
professores da Escola de Engenharia de São Carlos - USP, entre as quais podemos citar a 
"Ponte em Pórtico", construída na Rodovia Cambaratiba-Borborema em São Paulo, 
apresentada por HELLMEISTER & OLIVEIRA (1975) e a "Ponte Pênsil", construída sobre o 
Rio Tietê em São Miguel Paulista - São Paulo, apresentada por HELLMEISTER, ROCCO 
LAHR & CALIL JR. (1977), as duas construídas com postes de Eucalipto Citrodora e 
revestidas por concreto e asfalto. 
 
 
2. ELEMENTOS DE UMA PONTE 
 
Entende-se por ponte rodoviária, segundo o item 21 da NBR-7188 da ABNT (1984), toda e 
qualquer estrutura destinada a permitir a transposição de um obstáculo, natural ou artificial, 
por veículos rodoviários possíveis de trafegar na via terrestre de que faz parte. 
 
Uma ponte rodoviária de madeira se compõe de uma série de elementos, os quais serão 
descritos sucintamente, a seguir: 
 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
PISTA ou PISTA DE ROLAMENTO é a região da ponte reservada ao tráfego de 
veículos. A pista é composta por uma ou mais faixas de transito, cada uma de 3,50 m de 
largura, conforme a intensidade de tráfego de veículos. 
 
PASSEIO é a região da ponte reservada ao tráfego de pedestres. Conforme a intensidade 
de tráfego de pessoas, se define a existência (já que sua construção é opcional), a 
quantidade e a largura dos passeios. 
 
GUARDA-RODAS é um obstáculo para que os veículos não transitem sobre os passeios. 
O guarda-rodas é vulgarmente conhecido por meio-fio ou guia. 
 
GUARDA-CORPO é uma proteção para evitar a queda de pedestres da ponte. O guarda-
corpo, por sua vez, é formado por peças verticais, usualmente chamadas de pilaretes, e por 
peças horizontais, que formam o corrimão. 
 
TABULEIRO é o soalho da ponte, e portanto, o conjunto formado pela pista e passeios. 
 
VIGAS PRINCIPAIS são os elementos que suportam o tabuleiro. 
 
CORTINA ou CAIXÃO DE ATERRO é uma estrutura, em geral de concreto, construídas 
nas margens do rio, que têm as funções de amparar o aterro, que dá acesso a ponte, 
protege-lo de enchentes e, ainda, pode ser utilizada para servir de apoio as vigas 
principais. 
 
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3. TIPOS DE PONTES 
 
As pontes podem ser classificadas quanto ao esquema estrutural e quanto a posição do 
tabuleiro. 
 
3.1. ESQUEMA ESTRUTURAL 
 
Quanto ao esquema estrutural, as pontes podem ser: em vigas, maciças ou treliçadas; em arco, 
na forma típica de arco ou em pórtico; e pênseis ou estaiadas. Na figura 01 apresenta-se 
alguns esquemas estáticos utilizados em pontes rodoviárias de madeira. 
 
PONTES EM VIGAS 
 
 
 
 
a) Ponte em viga simplesmente apoiada b) Ponte em viga contínua 
 
PONTES EM ARCO 
 
 
 
c) Ponte em arco de tirantes 
tracionados 
d) Ponte em arco de mon-
tantes comprimidos 
e) Ponte em arco de mon-
tantes comprimidos e 
tracionados 
 
PONTES TRELIÇADAS 
 
 
 
f) Ponte treliçada com cargas no Banzo 
Inferior 
g) Ponte treliçada com cargas no Banzo 
Superior 
 
PONTES PÊNSEIS 
 
 
PONTES ESTAIADAS 
 
PONTES EM PÓRTICO 
 
 
h) Ponte Pênsil com viga de 
rigidez 
i) Ponte estaiada com viga 
de rigidez 
j) Ponte em pórtico plano 
ou Ponte em vigas 
escoradas 
 
FIG. 01 - Esquemas estáticos utilizados em pontes rodoviárias de madeira. 
 
 3
3.2. POSIÇÃO DO TABULEIRO 
 
Quanto a posição do tabuleiro, pode-se ter tabuleiro: superior, intermediário ou inferior. Na 
figura 02 apresenta-se as possíveis posições relativas do tabuleiro. 
 
PONTE COM TABULEIRO 
SUPERIOR 
 
PONTE COM TABULEIRO 
INTERMEDIÁRIO 
PONTE COM TABULEIRO 
INFERIOR 
 
a) Posição do tabuleiro em 
pontes com tabuleiro 
superior, pode ser 
utilizada com os 
esquemas estruturais das 
pontes esquematizadas 
nas alíneas a, b, d, g e j da 
figura 01. 
b) Posição do tabuleiro em 
pontes com tabuleiro 
intermediário, pode ser 
utilizada com o esquema 
estrutural da ponte 
esquematizada na alínea e 
da figura 01. 
c) Posição do tabuleiro em 
pontes com tabuleiro 
inferior, pode ser utilizada 
com os esquemas 
estruturais das pontes 
esquematizadas nas 
alíneas c, f, h e i da 
figura 01. 
 
FIG. 02 - Posição relativa do tabuleiro. 
 
 
Neste Curso, estudar-se-á apenas a PONTE EM VIGA SIMPLESMENTE APOIADA COM 
TABULEIRO SUPERIOR. 
 
 
4. CARREGAMENTOS EM UMA PONTE RODOVIÁRIA 
 
No projeto de estruturas correntes de madeira, em particular sobre uma ponte rodoviária de 
madeira, segundo o item 5.5.1 da NBR-7190 da ABNT (1997), devem ser consideradas as 
seguintes cargas: 
 
CARGA PERMANENTE ou PESO PRÓPRIO é o carregamento produzido pelo peso da 
estrutura e de todas as sobrecargas fixas. 
• 
• 
• 
• 
• 
 
CARGA ACIDENTAL MÓVEL ou simplesmente CARGA MÓVEL é o carregamento 
produzido pelo peso dos veículos e das pessoas, que transitam sobre a ponte. 
 
VENTO é o carregamento produzido pelo vento, quer seja sobre a ponte (VENTO 
SOBRE A PONTE ) ou sobre os veículos (VENTO SOBRE O VEÍCULO). 
 
FORÇA LONGITUDINAL é o carregamento produzido pela aceleração ou frenagem dos 
veículos sobre a ponte. 
 
FORÇA CENTRÍFUGA é o carregamento que aparece nas pontes curvas, ou em estradas 
de eixo curvilíneo, em reação à tentativa de derrapagem dos veículos. 
 
 4
• 
• 
IMPACTO VERTICAL é um acréscimo no carregamento estático, que deve ser 
considerado por causa de pequenos choques das rodas dos veículos com a pista de 
rolamento devido a imperfeições no soalho da ponte (solavancos). 
 
IMPACTO LATERAL é o carregamento, horizontal, que ocorre nas pontes ferroviárias 
em conseqüência do choque das rodas do trem com o boleto dos trilhos. 
 
Destes carregamentos apenas a CARGA PERMANENTE, a CARGA MÓVEL e o 
IMPACTO VERTICAL têm interesse prático, os demais ou são inexistentes, na maioria das 
pontes, ou são desprezíveis. 
 
A carga móvel em uma ponte rodoviária da madeira, estabelecida pela NBR-7188 da ABNT 
(1984), é definida pelo veículo efetivamente em tráfego na rodovia onde se construirá a ponte. 
Para isto a NBR-7188 da ABNT (1984) define três classes de ponte: 
 
• CLASSE 12 - Ponte cujo veículo mais pesado efetivamente em transito não ultrapasse o 
peso total de 120 kN, o que corresponde a uma camioneta. 
 
• CLASSE 30 - Ponte cujo veículo mais pesado efetivamente em transito não ultrapasse o 
peso total de 300 kN, o que corresponde a um caminhão de transporte urbano. 
 
• CLASSE 45 - Ponte cujo veículo mais pesado efetivamente em transito não ultrapasse o 
peso total de 450 kN, o que corresponde a um caminhão de transporte interurbano. 
 
4.1. CARGAS PERMANENTES 
 
As cargas permanentes serão admitidas como sendo uniformemente distribuída na área da 
ponte em planta. Esta hipótese foge muito pouco da realidade e tem sido utilizada em vários 
trabalhos. 
 
Em cálculo simplificado de pontes, segundo LOGSDON (1983), para estimativa do 
carregamento permanente, podem ser utilizados os valores característicos apresentados na 
tabela 01. 
 
TABELA 01 - CARGAS PERMANENTES PARA CÁLCULO SIMPLIFICADO DE 
PONTES, PASSARELA PARA PEDESTRES E MATA-BURRO, EM 
MADEIRA 
TIPO DE OBRA Carga permanente, uniformemente 
distribuída na área, em planta, da obra. 
• Passarela para pedestres 2000 a 2500 N/m2 
• Mata-burro 3500 a 4500 N/m2 
• Ponte sem revestimento asfáltico 5500 a 6500 N/m2 
• Ponte com revestimento asfáltico 6500a 7500 N/m2 
 
OBS.: É usual adotar-se o menor valor do intervalo para obras leves (Classe 12), o maior para obras 
pesadas (Classe 45) e o valor médio para obras de peso médio (Classe 30). 
 
 
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4.2. CARGA MÓVEL 
 
LOGSDON (1982), admitindo o esquema de vigas, simplesmente apoiadas, independentes e 
considerando as peças do tabuleiro simplesmente apoiadas sobre elas (ver figura 08), fez um 
estudo da carga móvel sobre o tabuleiro, e obteve, para os tramos internos, envoltórios como 
os apresentados na figura 03 (valores característicos). Para os tramos internos os envoltórios 
são bem diferentes, por causa da limitação do tráfego imposta pelo guarda-rodas, mas de 
valores inferiores aos encontrados nos tramos internos, quando de mesmo vão. 
 
Para as vigas principais LOGSDON (1982) obteve envoltórios semelhantes, entretanto o 
envoltório de força cortante apresenta ligeira convexidade, de modo que o traçado de seu 
envoltório, apresentado na figura 03, pode ser considerado aproximado e produz valores 
ligeiramente superestimados, na região central da viga. 
 
 a) Momento Fletor b) Força Cortante c) Flecha 
 
 
 Característico Característica Característica 
FIG. 03 - Envoltórios de momento fletor, força cortante e flechas, em um tramo interno do 
tabuleiro ou em uma viga principal. 
 
 
Assim, para o cálculo rápido do tabuleiro, ou da viga principal, basta se obter os valores de 
, V e u e com eles traçar os envoltórios aproximados apresentados na figura 03. kqM , kq , kq,
 
Considerando que o carregamento móvel, definido pela NBR-7188 da ABNT (1984), varia 
apenas com a classe da ponte, LOGSDON (1995) montou tabelas que fornecem os valores de 
, e u , tanto para o cálculo do tabuleiro, quanto para o das vigas principais. 
LOGSDON (1995), utilizou-se de linhas de influência para obter os valores de e V , e 
montar tabelas para cálculo rápido das pontes, já para os valores de u , LOGSDON (1995), 
aplicou a superposição dos efeitos produzidos por carregamentos simples, cujas flechas estão 
tabeladas. 
kqM , kqV , kq,
kqM , kq ,
kq,
 
As tabelas 02 a 19 apresentam os valores de , V e para cálculo do tabuleiro 
e da viga principal. Para o cálculo do tabuleiro, além da classe da ponte, estes valores variam 
com a largura da seção resistente (b) e o vão do tabuleiro (L
kqM , kq , kquIE ,..
t), já para o cálculo das vigas 
principais, estes valores, variam com o vão do tabuleiro (Lt) e o vão da viga principal (Lv). 
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TABELA 02 - MOMENTO FLETOR MÁXIMO DEVIDO A CARGA MÓVEL, 
(kN.m), EM TABULEIROS DE PONTES CLASSE 12. kqM ,
MOMENTO FLETOR MÁXIMO DEVIDO A CARGA MÓVEL, (kN.m), EM kqM ,
TABULEIROS DE PONTES CLASSE 12. 
b Vão do tabuleiro, Lt (m) 
(m) 0,50 0,75 1,00 1,25 1,50 1,75 2,00 2,25 2,50 2,75 3,00 3,25 3,50 
0,25 5,00 7,50 10,00 12,50 15,02 17,54 20,06 22,60 25,14 27,69 30,25 32,82 35,39 
0,30 5,00 7,50 10,00 12,50 15,02 17,54 20,08 22,62 25,17 27,73 30,30 32,88 35,47 
0,35 5,00 7,50 10,00 12,51 15,02 17,55 20,09 22,64 25,20 27,77 30,35 32,94 35,55 
0,40 5,00 7,50 10,00 12,51 15,03 17,56 20,10 22,66 25,23 27,81 30,40 33,01 35,63 
0,45 5,00 7,50 10,00 12,51 15,03 17,56 20,11 22,68 25,25 27,84 30,45 33,07 35,70 
0,50 5,00 7,50 10,00 12,51 15,03 17,57 20,13 22,70 25,28 27,88 30,50 33,13 35,78 
0,55 5,00 7,50 10,00 12,51 15,03 17,58 20,14 22,71 25,31 27,92 30,55 33,20 35,86 
0,60 5,00 7,50 10,00 12,51 15,04 17,58 20,15 22,73 25,34 27,96 30,60 33,26 35,94 
 
TABELA 03 - FORÇA CORTANTE MÁXIMA DEVIDO A CARGA MÓVEL, V (kN), 
EM TABULEIROS DE PONTES CLASSE 12. 
kq ,
FORÇA CORTANTE MÁXIMA DEVIDO A CARGA MÓVEL, V (kN), EM kq ,
TABULEIROS DE PONTES CLASSE 12. 
b Vão do tabuleiro, Lt (m) 
(m) 0,50 0,75 1,00 1,25 1,50 1,75 2,00 2,25 2,50 2,75 3,00 3,25 3,50 
0,25 40,00 40,04 40,13 40,23 40,33 40,45 40,56 44,44 48,00 50,92 53,38 55,47 57,29 
0,30 40,00 40,05 40,15 40,27 40,40 40,54 40,68 44,44 48,00 50,92 53,38 55,49 57,31 
0,35 40,00 40,06 40,18 40,32 40,47 40,63 40,79 44,44 48,00 50,93 53,39 55,51 57,34 
0,40 40,00 40,07 40,20 40,36 40,53 40,71 40,90 44,44 48,00 50,93 53,40 55,52 57,37 
0,45 40,00 40,08 40,23 40,41 40,60 40,80 41,01 44,44 48,00 50,93 53,41 55,54 57,40 
0,50 40,00 40,08 40,25 40,45 40,67 40,89 41,13 44,44 48,00 50,93 53,42 55,56 57,43 
0,55 40,00 40,09 40,28 40,50 40,73 40,98 41,24 44,44 48,00 50,93 53,43 55,58 57,46 
0,60 40,00 40,10 40,30 40,54 40,80 41,07 41,35 44,44 48,00 50,94 53,43 55,59 57,49 
 
TABELA 04 - VALORES MÁXIMOS DO PRODUTO (kN.mkquIE ,..
kq,
3), PARA CÁLCULO 
DA FLECHA ACIDENTAL MÁXIMA, u (m), EM TABULEIROS DE 
PONTES CLASSE 12. 
VALORES MÁXIMOS DO PRODUTO (kN.mkquIE ,.. 3), PARA CÁLCULO DA FLECHA 
ACIDENTAL MÁXIMA, (m), EM TABULEIROS DE PONTES CLASSE 12. kqu ,
b Vão do tabuleiro, Lt (m) 
(m) 0,50 0,75 1,00 1,25 1,50 1,75 2,00 2,25 2,50 2,75 3,00 3,25 3,50
0,25 0,104 0,352 0,833 1,628 2,817 4,479 6,697 9,551 13,12 17,50 22,76 28,99 36,28
0,30 0,104 0,352 0,833 1,629 2,818 4,482 6,703 9,563 13,14 17,53 22,81 29,07 36,39
0,35 0,104 0,352 0,833 1,629 2,819 4,484 6,709 9,574 13,17 17,57 22,86 29,14 36,50
0,40 0,104 0,352 0,833 1,629 2,819 4,487 6,715 9,586 13,19 17,60 22,92 29,22 36,60
0,45 0,104 0,352 0,833 1,629 2,820 4,490 6,721 9,598 13,21 17,63 22,97 29,30 36,71
0,50 0,104 0,352 0,833 1,629 2,821 4,492 6,727 9,609 13,23 17,67 23,02 29,38 36,82
0,55 0,104 0,352 0,833 1,629 2,822 4,495 6,733 9,621 13,25 17,70 23,07 29,45 36,93
0,60 0,104 0,352 0,833 1,629 2,823 4,497 6,739 9,633 13,27 17,74 23,13 29,53 37,04
 7
TABELA 05 - MOMENTO FLETOR MÁXIMO DEVIDO A CARGA MÓVEL, 
(kN.m), EM TABULEIROS DE PONTES CLASSE 30. kqM ,
MOMENTO FLETOR MÁXIMO DEVIDO A CARGA MÓVEL, (kN.m), EM kqM ,
TABULEIROS DE PONTES CLASSE 30. 
b Vão do tabuleiro, Lt (m) 
(m) 0,50 0,75 1,00 1,25 1,50 1,75 2,00 2,25 2,50 2,75 3,00 3,25 3,50 
0,25 6,25 9,38 12,50 15,63 18,77 21,92 25,08 28,25 31,43 34,61 37,81 41,02 44,24 
0,30 6,25 9,38 12,50 15,63 18,77 21,93 25,09 28,27 31,46 34,66 37,88 41,10 44,34 
0,35 6,25 9,38 12,50 15,63 18,78 21,94 25,11 28,30 31,50 34,71 37,94 41,18 44,43 
0,40 6,25 9,38 12,50 15,63 18,78 21,95 25,13 28,32 31,53 34,76 38,00 41,26 44,53 
0,45 6,25 9,38 12,50 15,63 18,79 21,95 25,14 28,34 31,57 34,81 38,06 41,34 44,63 
0,50 6,25 9,38 12,50 15,63 18,79 21,96 25,16 28,37 31,60 34,85 38,13 41,42 44,73 
0,55 6,25 9,38 12,50 15,64 18,79 21,97 25,17 28,39 31,64 34,90 38,19 41,50 44,82 
0,60 6,25 9,38 12,50 15,64 18,80 21,98 25,19 28,42 31,67 34,95 38,25 41,57 44,92 
 
TABELA 06 - FORÇA CORTANTE MÁXIMA DEVIDO A CARGA MÓVEL, V (kN), 
EM TABULEIROS DE PONTES CLASSE 30. 
kq ,
FORÇA CORTANTE MÁXIMA DEVIDO A CARGA MÓVEL, V (kN), EM kq ,
TABULEIROS DE PONTES CLASSE 30. 
b Vão do tabuleiro, Lt (m) 
(m) 0,50 0,75 1,00 1,25 1,50 1,75 2,00 2,25 2,50 2,75 3,00 3,25 3,50 
0,25 50,00 50,05 50,16 50,28 50,42 50,56 50,70 55,56 60,00 63,65 66,72 69,34 71,61 
0,30 50,00 50,06 50,19 50,34 50,50 50,67 50,84 55,56 60,00 63,65 66,73 69,36 71,64 
0,35 50,00 50,07 50,22 50,39 50,58 50,78 50,98 55,56 60,00 63,66 66,74 69,38 71,68 
0,40 50,00 50,08 50,25 50,45 50,67 50,89 51,13 55,56 60,00 63,66 66,75 69,40 71,71 
0,45 50,00 50,09 50,28 50,51 50,75 51,00 51,27 55,56 60,00 63,66 66,76 69,43 71,75 
0,50 50,00 50,10 50,31 50,56 50,83 51,12 51,41 55,56 60,00 63,66 66,77 69,45 71,79 
0,55 50,00 50,11 50,34 50,62 50,92 51,23 51,55 55,56 60,00 63,67 66,78 69,47 71,82 
0,60 50,00 50,13 50,38 50,68 51,00 51,34 51,69 55,56 60,00 63,67 66,79 69,49 71,86 
 
TABELA 07 - VALORES MÁXIMOS DO PRODUTO (kN.mkquIE ,..
kq,
3), PARA CÁLCULO 
DA FLECHA ACIDENTAL MÁXIMA, u (m), EM TABULEIROS DE 
PONTES CLASSE 30. 
VALORES MÁXIMOS DO PRODUTO kquIE ,.. (kN.m3), PARA CÁLCULO DA FLECHA
ACIDENTAL MÁXIMA, (m), EM TABULEIROS DE PONTES CLASSE 30. kqu ,
b Vão do tabuleiro,Lt (m) 
(m) 0,50 0,75 1,00 1,25 1,50 1,75 2,00 2,25 2,50 2,75 3,00 3,25 3,50
0,25 0,130 0,439 1,042 2,035 3,521 5,599 8,371 11,94 16,41 21,87 28,45 36,24 45,35
0,30 0,130 0,439 1,042 2,036 3,522 5,602 8,378 11,95 16,43 21,92 28,52 36,34 45,48
0,35 0,130 0,439 1,042 2,036 3,523 5,606 8,386 11,97 16,46 21,96 28,58 36,43 45,62
0,40 0,130 0,439 1,042 2,036 3,524 5,609 8,393 11,98 16,48 22,00 28,65 36,53 45,76
0,45 0,130 0,439 1,042 2,036 3,525 5,612 8,401 12,00 16,51 22,04 28,71 36,62 45,89
0,50 0,130 0,439 1,042 2,036 3,526 5,615 8,408 12,01 16,53 22,09 28,78 36,72 46,03
0,55 0,130 0,439 1,042 2,037 3,527 5,619 8,416 12,03 16,56 22,13 28,84 36,82 46,17
0,60 0,130 0,439 1,042 2,037 3,529 5,622 8,423 12,04 16,59 22,17 28,91 36,91 46,30
 8
TABELA 08 - MOMENTO FLETOR MÁXIMO DEVIDO A CARGA MÓVEL, 
(kN.m), EM TABULEIROS DE PONTES CLASSE 45. kqM ,
MOMENTO FLETOR MÁXIMO DEVIDO A CARGA MÓVEL, (kN.m), EM 
TABULEIROS DE PONTES CLASSE 45. 
kqM ,
b Vão do tabuleiro, Lt (m) 
(m) 0,50 0,75 1,00 1,25 1,50 1,75 2,00 2,25 2,50 2,75 3,00 3,25 3,50 
0,25 9,38 14,06 18,75 23,44 28,14 32,86 37,58 42,31 47,05 51,80 56,56 61,33 66,11 
0,30 9,38 14,06 18,75 23,44 28,15 32,87 37,59 42,33 47,09 51,85 56,63 61,41 66,21 
0,35 9,38 14,06 18,75 23,44 28,15 32,87 37,61 42,36 47,12 51,90 56,69 61,49 66,31 
0,40 9,38 14,06 18,75 23,45 28,16 32,88 37,63 42,38 47,16 51,95 56,75 61,57 66,41 
0,45 9,38 14,06 18,75 23,45 28,16 32,89 37,64 42,41 47,19 51,99 56,81 61,65 66,50 
0,50 9,38 14,06 18,75 23,45 28,16 32,90 37,66 42,43 47,23 52,04 56,88 61,73 66,60 
0,55 9,38 14,06 18,75 23,45 28,17 32,91 37,67 42,46 47,26 52,09 56,94 61,81 66,70 
0,60 9,38 14,06 18,75 23,45 28,17 32,92 37,69 42,48 47,30 52,14 57,00 61,89 66,80 
 
TABELA 09 - FORÇA CORTANTE MÁXIMA DEVIDO A CARGA MÓVEL, V (kN), 
EM TABULEIROS DE PONTES CLASSE 45. 
kq ,
FORÇA CORTANTE MÁXIMA DEVIDO A CARGA MÓVEL, V (kN), EM kq ,
TABULEIROS DE PONTES CLASSE 45. 
b Vão do tabuleiro, Lt (m) 
(m) 0,50 0,75 1,00 1,25 1,50 1,75 2,00 2,25 2,50 2,75 3,00 3,25 3,50 
0,25 75,00 75,05 75,16 75,28 75,42 75,56 75,70 83,33 90,00 95,47 100,1 104,0 107,3 
0,30 75,00 75,06 75,19 75,34 75,50 75,67 75,84 83,33 90,00 95,47 100,1 104,0 107,4 
0,35 75,00 75,07 75,22 75,39 75,58 75,78 75,98 83,33 90,00 95,47 100,1 104,0 107,4 
0,40 75,00 75,08 75,25 75,45 75,67 75,89 76,13 83,33 90,00 95,48 100,1 104,0 107,4 
0,45 75,00 75,09 75,28 75,51 75,75 76,00 76,27 83,33 90,00 95,48 100,1 104,0 107,5 
0,50 75,00 75,10 75,31 75,56 75,83 76,12 76,41 83,33 90,00 95,48 100,1 104,1 107,5 
0,55 75,00 75,11 75,34 75,62 75,92 76,23 76,55 83,33 90,00 95,49 100,1 104,1 107,5 
0,60 75,00 75,13 75,38 75,68 76,00 76,34 76,69 83,33 90,00 95,49 100,1 104,1 107,6 
 
TABELA 10 - VALORES MÁXIMOS DO PRODUTO (kN.mkquIE ,..
kq,
3), PARA CALCULO 
DA FLECHA ACIDENTAL MÁXIMA, u (m), EM TABULEIROS DE 
PONTES CLASSE 45. 
VALORES MÁXIMOS DO PRODUTO kquIE ,.. (kN.m3), PARA CALCULO DA FLECHA 
ACIDENTAL MÁXIMA, (m), EM TABULEIROS DE PONTES CLASSE 45. kqu ,
b Vão do tabuleiro, Lt (m) 
(m) 0,50 0,75 1,00 1,25 1,50 1,75 2,00 2,25 2,50 2,75 3,00 3,25 3,50 
0,25 0,195 0,659 1,56 3,05 5,28 8,390 12,54 17,87 24,54 32,71 42,51 54,12 67,68
0,30 0,195 0,659 1,56 3,05 5,28 8,394 12,54 17,89 24,57 32,75 42,58 54,21 67,81
0,35 0,195 0,659 1,56 3,05 5,28 8,397 12,55 17,90 24,59 32,79 42,64 54,31 67,95
0,40 0,195 0,659 1,56 3,05 5,28 8,400 12,56 17,92 24,62 32,83 42,71 54,41 68,09
0,45 0,195 0,659 1,56 3,05 5,28 8,403 12,57 17,93 24,65 32,87 42,77 54,50 68,22
0,50 0,195 0,659 1,56 3,05 5,28 8,407 12,57 17,94 24,67 32,92 42,84 54,60 68,36
0,55 0,195 0,659 1,56 3,05 5,29 8,410 12,58 17,96 24,70 32,96 42,90 54,69 68,50
0,60 0,195 0,659 1,56 3,05 5,29 8,413 12,59 17,97 24,72 33,00 42,97 54,79 68,63
 9
TABELA 11 - MOMENTO FLETOR MÁXIMO DEVIDO A CARGA MÓVEL, (kN.m), EM 
VIGAS DE PONTES CLASSE 12. 
kqM ,
MOMENTO FLETOR MÁXIMO DEVIDO A CARGA MÓVEL, (kN.m), EM VIGAS DE 
PONTES CLASSE 12. 
kqM ,
Lv Vão do tabuleiro, Lt (m) 
(m) 0,50 0,75 1,00 1,25 1,50 1,75 2,00 2,25 2,50 2,75 3,00 3,25 3,50 
4,00 40,1 40,9 42,5 44,3 46,3 48,4 50,5 57,1 62,8 68,1 73,3 78,4 83,4
4,50 45,3 46,3 48,2 50,4 52,8 55,3 57,8 65,4 72,1 78,2 84,2 90,2 96,0
5,00 50,5 51,8 54,0 56,7 59,5 62,5 65,5 74,1 81,7 88,8 95,7 102,5 109,2
5,50 55,8 57,3 60,0 63,1 66,4 69,9 73,5 83,2 91,8 99,7 107,6 115,4 123,1
6,00 61,1 63,0 66,1 69,7 73,6 77,7 81,8 92,7 102,2 111,2 120,1 128,8 137,5
6,50 69,0 71,2 74,9 79,0 83,5 88,2 92,9 105,2 116,1 126,3 136,4 146,3 156,2
7,00 77,0 79,6 83,8 88,6 93,7 99,0 104,4 118,2 130,4 141,9 153,2 164,3 175,4
7,50 85,0 88,0 92,8 98,2 104,0 110,0 116,1 131,5 145,1 157,9 170,5 182,9 195,3
8,00 93,1 96,6 102,0 108,1 114,6 121,4 128,2 145,2 160,2 174,4 188,3 202,1 215,8
 
TABELA 12 - FORÇA CORTANTE MÁXIMA DEVIDO A CARGA MÓVEL, V (kN), EM 
VIGAS DE PONTES CLASSE 12. 
kq ,
FORÇA CORTANTE MÁXIMA DEVIDO A CARGA MÓVEL, V (kN), EM kq ,
VIGAS DE PONTES CLASSE 12. 
Lv Vão do tabuleiro, Lt (m) 
(m) 0,50 0,75 1,00 1,25 1,50 1,75 2,00 2,25 2,50 2,75 3,00 3,25 3,50 
4,00 45,0 45,3 46,0 46,8 47,7 48,6 49,5 55,4 60,4 64,7 68,7 72,3 75,7 
4,50 46,7 47,0 47,8 48,7 49,7 50,7 51,7 58,0 63,2 67,8 72,0 75,9 79,5 
5,00 48,1 48,5 49,3 50,4 51,5 52,6 53,8 60,3 65,8 70,6 75,0 79,2 83,1 
5,50 49,3 49,8 50,8 51,9 53,2 54,5 55,8 62,6 68,3 73,4 78,1 82,4 86,6 
6,00 50,4 51,0 52,2 53,5 54,9 56,3 57,8 64,9 70,9 76,2 81,1 85,7 90,1 
6,50 51,4 52,2 53,5 55,0 56,5 58,2 59,9 67,2 73,4 79,0 84,1 89,0 93,6 
7,00 52,3 53,3 54,7 56,4 58,2 60,0 61,9 69,5 76,0 81,7 87,2 92,3 97,2 
7,50 53,2 54,3 56,0 57,8 59,8 61,8 63,9 71,8 78,5 84,5 90,2 95,6 100,7 
8,00 54,0 55,3 57,2 59,2 61,4 63,6 65,9 74,0 81,0 87,3 93,2 98,8 104,2 
 
TABELA 13 - VALORES MÁXIMOS DO PRODUTO (kN.mkquIE ,.. 3), PARA CALCULO DA 
FLECHA ACIDENTAL MÁXIMA,u (m), EM VIGAS DE PONTES CLASSE 12. kq,
VALORES MÁXIMOS DO PRODUTO (kN.mkquIE ,.. 3), PARA CALCULO DA FLECHA 
ACIDENTAL MÁXIMA, u (m), EM VIGAS DE PONTES CLASSE 12. kq,
Lv Vão do tabuleiro, Lt (m) 
(m) 0,50 0,75 1,00 1,25 1,50 1,75 2,00 2,25 2,50 2,75 3,00 3,25 3,50 
4,00 53,58 54,24 55,43 56,84 58,36 59,93 61,54 69,11 75,51 81,20 86,50 91,50 96,26
4,50 76,64 77,82 79,83 82,18 84,69 87,29 89,96 101,1 110,6 119,1 127,1 134,6 141,9 
5,00 105,7 107,7 110,9 114,6 118,6 122,7 126,8 142,7 156,2 168,4 180,0 191,0 201,6 
5,50 141,5 144,7 149,6 155,2 161,2 167,4 173,7 195,4 214,2 231,2 247,4 263,0 278,0 
6,00 184,9 189,7 196,9 205,1 213,8 222,8 231,9 261,2 286,5 309,6 331,7 353,0 373,7 
6,50 249,7 256,8 267,1 278,7 291,0 303,6 316,5 356,4 391,0 422,7 452,9 482,1 510,5 
7,00 327,8 337,9 352,2 368,1 385,0 402,3 419,9 472,9 518,9 561,1 601,5 640,5 678,4 
7,50 420,3 434,2 453,5 475,0 497,6 520,8 544,4 613,1 673,0 728,1 780,8 831,7 881,3 
8,00 528,4 547,0 572,6 600,9 630,6 661,2 692,2 779,7 856,1 926,5 994,0 1059 1123
 10
TABELA 14 - MOMENTO FLETOR MÁXIMO DEVIDO A CARGA MÓVEL, (kN.m), EM 
VIGAS DE PONTES CLASSE 30. 
kqM ,
MOMENTO FLETOR MÁXIMO DEVIDO A CARGA MÓVEL, (kN.m), EM VIGAS DE 
PONTES CLASSE 30. 
kqM ,
Lv Vão do tabuleiro, Lt (m) 
(m) 0,50 0,75 1,00 1,25 1,50 1,75 2,00 2,25 2,50 2,75 3,00 3,25 3,50
4,00 75,0 75,4 76,3 77,3 78,3 79,5 80,6 90,1 98,0 104,8 110,8 116,3 121,4
4,50 93,8 94,3 95,3 96,6 98,0 99,4 100,9 112,8 122,6 131,1 138,7 145,6 152,0
5,00 112,5 113,2 114,5 116,0 117,7 119,5 121,3 135,6 147,5 157,7 166,9 175,3 183,0
5,50 131,3 132,0 133,6 135,5 137,6 139,7 141,9 158,7 172,6 184,7 195,5 205,4 214,5
6,00 150,0 150,9 152,8 155,1 157,5 160,0 162,7 182,0 198,0 211,9 224,4 235,8 246,4
6,50 168,8 170,0 172,2 174,9 177,7 180,7 183,8 205,7 223,9 239,7 253,9 267,0 279,1
7,00 187,8 189,2 191,9 195,0 198,4 202,0 205,6 230,2 250,6 268,3 284,4 299,1 312,9
7,50 207,0 208,7 211,9 215,6 219,6 223,8 228,0 255,3 278,0 297,8 315,8 332,3 347,8
8,00 226,3 228,4 232,2 236,6 241,3 246,1 251,1 281,1 306,3 328,2 348,1 366,5 383,8
 
TABELA 15 - FORÇA CORTANTE MÁXIMADEVIDO A CARGA MÓVEL, V (kN), EM 
VIGAS DE PONTES CLASSE 30. 
kq ,
FORÇA CORTANTE MÁXIMA DEVIDO A CARGA MÓVEL, V (kN), EM kq ,
VIGAS DE PONTES CLASSE 30. 
Lv Vão do tabuleiro, Lt (m) 
(m) 0,50 0,75 1,00 1,25 1,50 1,75 2,00 2,25 2,50 2,75 3,00 3,25 3,50 
4,00 93,8 94,2 95,0 96,0 97,1 98,2 99,4 111,0 120,5 128,6 135,8 142,3 148,2
4,50 100,0 100,5 101,4 102,5 103,8 105,0 106,3 118,8 129,0 137,8 145,5 152,5 158,9
5,00 105,1 105,6 106,7 107,9 109,3 110,7 112,2 125,4 136,2 145,5 153,8 161,3 168,1
5,50 109,3 110,0 111,2 112,7 114,2 115,8 117,5 131,3 142,7 152,5 161,2 169,1 176,4
6,00 113,0 113,8 115,2 116,8 118,6 120,4 122,3 136,7 148,6 158,9 168,0 176,4 184,1
6,50 116,2 117,2 118,8 120,6 122,6 124,6 126,7 141,7 154,1 164,8 174,4 183,2 191,2
7,00 119,0 120,2 122,0 124,1 126,3 128,6 130,9 146,4 159,2 170,4 180,4 189,5 198,0
7,50 121,5 122,9 125,0 127,3 129,8 132,3 134,9 150,8 164,1 175,7 186,1 195,6 204,4
8,00 123,8 125,4 127,7 130,3 133,0 135,8 138,6 155,0 168,8 180,7 191,5 201,4 210,6
 
TABELA 16 - VALORES MÁXIMOS DO PRODUTO (kN.mkquIE ,.. 3), PARA CALCULO DA 
FLECHA ACIDENTAL MÁXIMA,u (m), EM VIGAS DE PONTES CLASSE 30. kq,
VALORES MÁXIMOS DO PRODUTO (kN.mkquIE ,.. 3), PARA CALCULO DA 
FLECHA ACIDENTAL MÁXIMA, u (m), EM VIGAS DE PONTES CLASSE 30. kq,
Lv Vão do tabuleiro, Lt (m) 
(m) 0,50 0,75 1,00 1,25 1,50 1,75 2,00 2,25 2,50 2,75 3,00 3,25 3,50 
4,00 115,6 116,3 117,7 119,4 121,2 123,1 125,0 139,8 152,1 162,7 172,2 180,9 189,0 
4,50 186,3 187,4 189,7 192,3 195,2 198,2 201,3 225,2 245,0 262,0 277,4 291,4 304,3 
5,00 278,1 279,8 283,2 287,3 291,7 296,3 301,0 336,7 366,3 391,9 414,9 436,0 455,5 
5,50 393,4 395,8 400,8 406,8 413,2 420,0 426,9 477,6 519,7 556,2 589,0 619,1 647,0 
6,00 534,4 537,9 544,9 553,4 562,5 572,0 581,8 651,2 708,8 758,7 803,9 845,4 883,9 
6,50 703,9 708,9 718,8 730,5 743,2 756,5 770,1 862,1 938,6 1005 1066 1121 1173
7,00 905,0 912,3 926,0 942,2 959,7 977,9 996,5 1116 1215 1302 1381 1454 1521
7,50 1140 1151 1170 1192 1216 1240 1266 1417 1544 1655 1756 1849 1937
8,00 1413 1428 1454 1483 1515 1548 1582 1772 1931 2070 2198 2316 2426
 11
TABELA 17 - MOMENTO FLETOR MÁXIMO DEVIDO A CARGA MÓVEL, (kN.m), EM 
VIGAS DE PONTES CLASSE 45. 
kqM ,
MOMENTO FLETOR MÁXIMO DEVIDO A CARGA MÓVEL, (kN.m), EM VIGAS DE 
PONTES CLASSE 45. 
kqM ,
Lv Vão do tabuleiro, Lt (m) 
(m) 0,50 0,75 1,00 1,25 1,50 1,75 2,00 2,25 2,50 2,75 3,00 3,25 3,50
4,00 112,5 112,9 113,8 114,8 115,8 117,0 118,1 131,8 143,0 152,5 160,8 168,3 175,0
140,6 141,2 142,2 143,5 144,8 146,3 147,7 164,9 178,9 190,8 201,2 210,5 219,0
5,00 168,8 169,4 170,7 172,3 174,0 175,7 177,5 198,1 215,0 229,3 241,9 253,2 263,4
5,50 196,9 197,7 199,2 201,1 203,2 205,3 207,5 231,6 251,4 268,2 283,0 296,2 308,3
6,00 225,0 225,9 227,8 230,1 232,5 235,0 237,7 265,3 288,0 307,3 324,4 339,7 353,6
6,50 253,2 254,3 256,6 259,2 262,1 265,1 268,2 299,5 325,1 347,0 366,4 383,8 399,7
7,00 281,6 283,0 285,6 288,8 292,2 295,7 299,4 334,3 363,1 387,6 409,4 429,0 446,8
7,50 310,1 311,8 315,0 318,7 322,7 326,9 331,2 369,9 401,8 429,1 453,3 475,1 495,1
8,00 338,8 340,9 344,7 349,1 353,8 358,6 363,6 406,1 441,3 471,4 498,1 522,3 544,5
4,50 
 
TABELA 18 - FORÇA CORTANTE MÁXIMA DEVIDO A CARGA MÓVEL, V (kN), EM 
VIGAS DE PONTES CLASSE 45. 
kq ,
FORÇA CORTANTE MÁXIMA DEVIDO A CARGA MÓVEL, V (kN), EM kq ,
VIGAS DE PONTES CLASSE 45. 
Lv Vão do tabuleiro, Lt (m) 
(m) 0,50 0,75 1,00 1,25 1,50 1,75 2,00 2,25 2,50 2,75 3,00 3,25 3,50 
4,00 140,6 141,0 141,9 142,9 144,0 145,1 146,3 163,1 176,8 188,3 198,3 207,2 215,2
4,50 150,0 150,5 151,4 152,5 153,8 155,0 156,3 174,3 189,0 201,4 212,2 221,8 230,4
5,00 157,6 158,1 159,2 160,4 161,8 163,2 164,7 183,7 199,2 212,3 223,8 234,0 243,1
5,50 163,9 164,5 165,8 167,2 168,8 170,4 172,0 191,9 208,1 221,9 233,9 244,7 254,4
6,00 169,2 170,0 171,4 173,1 174,8 176,7 178,5 199,2 216,1 230,5 243,0 254,3 264,4
6,50 173,8 174,8 176,5 178,3 180,3 182,3 184,4 205,8 223,3 238,2 251,3 263,0 273,7
7,00 177,9 179,1 180,9 183,0 185,2 187,5 189,8 211,8 229,9 245,4 259,0 271,1 282,2
7,50 181,5 182,9 185,0 187,3 189,8 192,3 194,9 217,5 236,1 252,0 266,1 278,7 290,1
8,00 184,7 186,4 188,7 191,2 193,9 196,7 199,6 222,7 241,9 258,3 272,8 285,8 297,7
 
TABELA 19 - VALORES MÁXIMOS DO PRODUTO (kN.mkquIE ,.. 3), PARA CALCULO DA 
FLECHA ACIDENTAL MÁXIMA,u (m), EM VIGAS DE PONTES CLASSE 45. kq,
VALORES MÁXIMOS DO PRODUTO (kN.mkquIE ,.. 3), PARA CALCULO DA 
FLECHA ACIDENTAL MÁXIMA, (m), EM VIGAS DE PONTES CLASSE 45. kqu ,
Lv Vão do tabuleiro, Lt (m) 
(m) 0,50 0,75 1,00 1,25 1,50 1,75 2,00 2,25 2,50 2,75 3,00 3,25 3,50 
4,00 173 174 176 177 179 181 183 204 221 236 249 261 272
4,50 279 281 283 285 288 291 295 329 357 381 402 420 437
5,00 417 419 422 426 431 435 440 491 533 569 600 629 654
5,50 590 593 597 603 610 617 624 696 756 806 851 891 928
6,00 802 805 812 821 830 839 849 948 1029 1099 1160 1215 1266
6,50 1056 1061 1071 1082 1095 1108 1122 1253 1361 1453 1535 1608 1675
7,00 1357 1364 1378 1394 1411 1429 1448 1618 1757 1877 1983 2079 2166
7,50 1708 1719 1738 1760 1783 1808 1833 2048 2225 2378 2513 2636 2748
8,00 2115 2130 2155 2185 2217 2250 2283 2551 2773 2963 3133 3287 3429
 12
4.3. IMPACTO VERTICAL 
 
A NBR-7190 da ABNT (1997) recomenda a multiplicação das cargas móveis, para considerar 
o impacto vertical, pelo seguinte coeficiente: 
 
L++= 401
αϕ 
 
Onde: 
 
ϕ = coeficiente de impacto; 
α = 20, em pontes com soalho de madeira, e α =12, em pontes com soalho revestido de 
concreto ou asfalto; 
L = vão teórico do tramo da ponte, em metros. 
 
 
Os esforços característicos devidos ao impacto vertical, podem ser obtidos por: 
 ( ) kqkqi MM ,, .1−= ϕ 
 ( ) kqkqi VV ,, .1−= ϕ 
 ( ) kqkqi uIEuIE ,, ...1.. −= ϕ 
 
Onde: 
 
kqiM , = momento fletor característico máximo devido ao impacto vertical; 
kqiV , = força cortante característica máxima devida ao impacto vertical; 
kqiu , = flecha característica máxima devido ao impacto vertical; 
 
 
5. OUTRAS CONSIDERAÇÕES 
 
5.1. SEÇÃO RESISTENTE DO TABULEIRO 
 
Segundo a NBR-7190 da ABNT (1997), a largura da seção resistente do tabuleiro é obtida 
com a distribuição do carregamento, a 45o, até o centro do elemento, e portanto: 
 
heab ++≤ .2 
 
Onde: 
 
b = largura da seção resistente do tabuleiro; 
 13
a = comprimento do contato da roda com o soalho, na direção longitudinal do veículo, 
fornecida pela NBR-7188 da ABNT (1984), sendo de 0,20 m para todas as classes de 
ponte; 
e = espessura média do revestimento; 
h = altura, de cálculo, média das vigas que compõem o tabuleiro. 
 
 
5.2. DESGASTE DO TABULEIRO SEM REVESTIMENTO 
 
Deve-se lembrar, ao aplicar a expressão para cálculo da seção resistente do tabuleiro, que em 
pontes rodoviárias, ou para pedestres, sem revestimento protetor, a NBR-7190 da ABNT 
(1997) recomenda que se adote uma camada de desgaste com pelo menos 2 cm de espessura. 
Isto eqüivale a utilizar um revestimento de 2 cm (e = 2 cm), oriundo da altura total das vigas 
que compõem o tabuleiro (htotal = h + 2 cm). 
 
5.3. FORÇA CORTANTE REDUZIDA 
 
O efeito da força cortante, produzida pela carga móvel em pontes rodoviárias de madeira, é 
muito importante. Assim, é necessário se aplicar a redução, permitida pela NBR-7190 da 
ABNT (1997), na região próxima aos apoios. 
 
Considerando o formato aproximado do envoltório de forças cortantes, devido às cargas 
móveis, apresentado na figura 04, obtém-se: 
 
 
 
FIG. 04 - Envoltório de força cortante. 
 
 
• Na região dos apoios ( ) hax .2≤=
 
A força cortante reduzida, a uma distância do apoio esquerdo, para a viga de vão a L 
e com altura da seção transversal , será: h
 
hL
aV
h
aVV
h
aa
L
VVV
h
aVV redredared ..2
.
.2
.
.2
..
.2
.
2
−=⇒

 −=⇒= 
 
O valor máximo desta força cortante ocorrerá em: 
 
 142
0
.
.
.2
La
hL
aV
h
V
da
dVred =⇒=−= 
 
Concluindo-se, que: 
 
¾ Se hLhLa .4.2
2
≤⇒≤= , então; 
 
¾ ( ) ( )
h
LVV
hL
LV
h
LV
hL
aV
h
aV
redred .8
.
..2
2.
.2
2.
..2
.
.2
. 22 =⇒−=−=V 
 
• Na região fora dos apoios ( ) hax .2>=
 
A força cortante reduzida, a uma distância do apoio esquerdo, para a viga de vão a L 
e com altura da seção transversal , será: h
 
a
L
VVVVV redared .−=⇒= 
 
O valor máximo desta força cortante ocorrerá em: 
 
ha .2= (ver figura 04) 
 
Concluindo-se, que: 
 
¾ Se hLhLa .4.2
2
>⇒>= , então; 
 
¾ 

 −=⇒−=⇒=
L
hVV
L
hVVVV redredared
.21...2V 
 
Considerando, que o efeito do carregamento permanente, sobre a força cortante de cálculo, é 
muito pequeno quando comparado aos efeitos da carga móvel e do impacto vertical, pode-se 
fazer abstração deste efeito e utilizar as expressões acima, a favor da segurança, diretamente 
nos valores de cálculo, ou seja: 
 
¾ Se , então a força cortante máxima atuará na região dos apoios, em hL .4≤
2
La =x = , e valerá: 
h
LVd
red .8
.=V 
 
¾ Se , então a força cortante máxima atuará fora da região dos apoios, em 
, e valerá: 
hL .4>
ha .2=x = 

 −=
L
hVdred
.21.V 
 
 
 15
5.4. DIMENSIONAMENTO 
 
Obtidos os esforços, devidos aos carregamentos permanente, acidental móvel e o 
correspondente impacto vertical, pode-se traçar os envoltórios de máximos esforços de 
cálculo, com a adequada combinação de esforços, e dimensionar, tanto as peças do tabuleiro, 
quanto as vigas principais, à flexão simples reta. 
 
5.5. PRESERVAÇÃO DA MADEIRA 
 
A NBR-7190 da ABNT (1997) recomenda que toda madeira utilizada em estruturas seja 
preservada. Para as dicotiledôneas, o tratamento mínimo recomendado é o pincelamento com 
produto preservativo, já para as coníferas deve-se usar um método de pressão em auto-clave. 
Segundo KARLSEN (1967), pontes de madeira sem qualquer tratamento têm uma 
durabilidade entre 7 e 12 anos, já com um tratamento simples por pincelamento, esta 
durabilidade sobe para 40 a 60 anos. 
 
 
6. FUNDAÇÕES 
 
Para o cálculo da fundação, sob as Cortinas (ou Caixão de Aterro), pode-se adotar os valores 
apresentados na tabela 20, para a tensão admissível do solo. 
 
TABELA 20 - TENSÕES ADMISSÍVEIS DO SOLO 
QUALIDADE DO SOLO TENSÃO ADMISSÍVEL DO SOLO, fsolo,Adm ( MPa ) 
Solo mole 0,03 
Solo médio 0,07 
Solo duro 0,10 
Solo úmido 70 % de fsolo,Adm 
 
 
6.1. DIMENSÕES DA FUNDAÇÃO 
 
As dimensões da fundação devem ser suficientes para transmitir o carregamento vertical (V) 
ao solo, sem esmaga-lo, ou seja, sem atingir a tensão admissível do solo (ver figura 05). 
 
 
FIG. 05 - Absorção do carga vertical pela fundação 
 16
 
Admsolo
fundo
d fA
Vf ,≤= , mas l.bAfundo = e portanto:
 
Admsolo
Admsolo f
Vbf
b
V
,
, .. ll ≥⇒≤ 
 
 
6.2. FERRAGEM DA FUNDAÇÃO 
 
As dimensões da fundação devem ser suficientes, também, para distribuir as cargas 
horizontais (H) ao solo sem esmaga-lo, ou seja, sem atingir a tensão admissível do solo (ver 
figura 06). 
 
 
FIG. 06 - Absorção do carga horizontal pela fundação 
 
 
Admsolo
lateral
d fA
Hf ,≤= , mas l.hAlateral = e portanto:
 
Admsolo
Admsolo f
Hhf
h
H
,
, .. ll ≥⇒≤ 
 
 
No caso específico das pontes de madeira, a carga horizontal (H) é usualmente desprezada, 
pois tem valor muito pequeno, isto leva a pequenas espessuras da laje de fundação (h ≅ 0). 
Espessuras muito pequenas, da laje de fundação, não conferem, à estas lajes, rigidez suficiente 
para transmitir os esforços verticais. 
 
Assim é usual garantir-se uma espessura mínima, de modo a garantir a existência de rigidez à 
laje de fundação, para transmissão da carga vertical (V). A rigidez de uma laje, de concreto 
armado, depende, basicamente, de sua espessura e da ferragem utilizada. Quanto maior a 
espessura (ou a ferragem) maior a rigidez da laje. Fixando-se a ferragem em uma malha de 
ferros de 1/2" espaçados de 15 cm, nas duas direções e colocada no fundo da laje (ver figura 
07), pode-se adotar a seguinte altura mínima: 
 
7
1
min ≥h da menor largura 
 
 17
 
FIG. 07 - Esquema da ferragem adotada 
 
 
7. LIGAÇÕES 
 
O atual estágio tecnológico a respeito das ligações entre as peças componentes de uma ponte 
de madeira, com o modelo apresentado na figura 08, ainda é incipiente não existindo modelo 
de cálculo para muitas de suas ligações. As ligações de modelo de cálculo conhecido, em 
geral não sofrem variação, de uma ponte à outra, tornando desnecessário seu cálculo. Assim, 
atualmente, as ligações de uma ponte de madeira, são copiadas de outras pontes construídas, 
que não apresentaram, em serviço, nenhum tipo de problema. 
 
 
8. EXEMPLO DE APLICAÇÃO 
 
Apresenta-se, em seguida, o cálculo simplificado de uma ponte de madeira, com as ressalvas 
que se fizerem necessárias. 
 
8.1. ENUNCIADO 
 
Para a ponte rodoviária de madeira, sem revestimento asfáltico, construída com madeira de 
uma dicotiledônea da classe de resistência C-60, para o tráfego de até CAMINHÕES DE 
TRANSPORTE INTERURBANO (CLASSE 45), esquematizada na figura 08, pede-se: 
 
a) A seção transversal das peças do tabuleiro, sabendo que essas peças têm seção quadrada 
(bt x bt), admitindo inicialmente peças de altura total de 25 cm; 
 
b) A seção transversal das vigas principais (bv x hv), sabendo que essas vigas são de madeira 
falquejada, extraídas de toras cujos diâmetros mínimos eram "d", e que a largura e a altura 
da seção transversal dessas vigas, para melhor aproveitamento do material, são dadas em 
função do diâmetro mínimo, segundo PFEIL (1978), por: 
 
 
2
dbv = e 2
3.dhv =
 
c) As dimensões do bloco de fundação (bf x hf), sob o caixão de aterro, sabendo que pode-se 
considerar uma tensão admissível para o solo, da região, de fsolo,Adm = 0,10 MPa. 
 
OBS.: Considere que: o carregamento é de longa duração; a madeira é usual, de classe de 
umidade 2; e as cargas permanentes são de grande variabilidade. 
 18
 
 
 
 
FIG. 08 - Esquema da ponte em estudo 
 
 
 
 
 19
8.2. CÁLCULO DO TABULEIRO 
 
8.2.1. Seção resistente e características geométricas da seção 
 
a) Seção resistente 
 
A seção resistente do tabuleiro é obtida com a distribuição do carregamento, a 45o, até o 
centro do elemento, e portanto: 
 
heab ++≤ .2 
 
Onde: 
 
b = largura da seção resistente do tabuleiro; 
a = comprimento do contato da roda com o soalho, na direção longitudinal do veículo, 
fornecida pela NBR-7188 da ABNT (1984), sendo de 0,20 m para todas as classes de 
ponte; 
e = espessura média do revestimento; 
h = altura, de cálculo, média das vigas que compõem o tabuleiro. 
 
 
Em pontes rodoviárias sem revestimento protetor, a NBR-7190 da ABNT (1997) recomenda 
que se adote uma camada de desgaste com pelo menos 2 cm de espessura. Isto eqüivale a 
utilizar um revestimento de 2 cm (e = 2 cm), oriundo da altura total das vigas que compõem o 
tabuleiro (htotal = h + 2 cm). E portanto, para o caso em questão; 
 
mmcme 202 == 
mmcmcmhh total 230232252 ==−=−= 
mmcmma 2002020,0 === 
 
mmbmmbbheab 45047023020.2200.2 ≅⇒≤⇒++≤⇒++≤ 
 
mcmmmb 45,045450 ==≅ 
 
b) Características geométricas da seção 
 
 
FIG. 09 - Seção resistente do tabuleiro 
 
 
 20
( ) ( ) 3222 20.25,56
8
20.450
8
. mmbSbhbSS ttxx −=⇒−=== − 
 
( ) ( ) 4333 20.50,37
12
20.450
12
. mmbIbhbII ttxx −=⇒−=== − 
 ( )mmbh t 20−= 
 ( ) ( )mmbyybhyy ttcttc 20.5,02
20
2
−==⇒−=== 
 
mmb 450= 
 
8.2.2. Características da madeira 
 
Para uma dicotiledônea da classe de resistênciaC-60, considerando um carregamento de 
longa duração, madeira usual e de classe de umidade 2, segundo LOGSDON (1999), pode-se 
utilizar: 
 
MPaf dc 00,24,0 = (Resistência de cálculo à compressão paralela às fibras) 
 
MPaf dt 00,24,0 = (Resistência de cálculo à tração paralela às fibras) 
 
MPaf dv 49,2, = (Resistência de cálculo ao cisalhamento paralelo às fibras) 
 
MPaE efc 13720,0 = (Módulo de elasticidade efetivo) 
 
8.2.3. Esforços de cálculo 
 
8.2.3.1. Esforços característicos 
 
a) Carga permanente 
 
Sabendo-se que a ponte é classe 45 e sem revestimento asfáltico, a carga permanente 
uniformemente distribuída sobre o tabuleiro (área em planta), segundo os dados da tabela 01, 
pode ser considerada como sendo de: 
 
2/6500 mNg p = , ou Pa, de ponte⇒ , ou MPa⇒ 26 /10.6500 mmNg p −=
 
2/0065,0 mmNg p = , ou MPa 
 
Onde: 
 
gp = carga permanente uniformemente distribuída sobre o tabuleiro (área em planta). 
 21
Na figura 10 é esquematizada a distribuição da carga permanente em uma fatia, 
correspondente à seção resistente do tabuleiro. Assim, para cálculo do tabuleiro o 
carregamento permanente representará: 
 
 
FIG. 10 - Distribuição da carga permanente, para cálculo do tabuleiro 
 
 
bgg p .= 
 
Onde: 
 
g = carga permanente uniformemente distribuída, correspondente à seção resistente do 
tabuleiro (ao longo do comprimento), em N/mm; 
gp = carga permanente uniformemente distribuída sobre o tabuleiro (área em planta), em 
N/mm2 ou MPa; 
b = largura de influência do carregamento, correspondente à largura da seção resistente do 
tabuleiro. 
 
 
Sendo a seção resistente do tabuleiro de largura b = 450 mm, obtém-se; 
 
mmNgbgg p /93,2450.0065,0. =⇒== 
 
Desconsiderando-se o efeito favorável da continuidade, existente nas peças do tabuleiro, 
obtém-se o esquema apresentado na figura 11. 
 
 
FIG. 11 - Esquema estático do tabuleiro 
 
 
 22
Assim, o problema crítico (maior vão de tabuleiro) a ser resolvido para o carregamento 
permanente é o esquematizado na figura 12. 
 
 
FIG. 12 - Carga permanente nas peças do tabuleiro 
 
 
Para este carregamento, obtém-se: 
 
mmNpM kg .63,11216408
1750.93,2
8
. 22
, === l (no centro) 
 
NpV kg 75,25632
1750.93,2
2
.
, === l (no apoio) 
 
( )[ ] ( ) mmbbIEpu ttkg 33
44
, 20
70,695461
20.50,37.13720.384
1750.93,2.5
..384
..5
−=−==
l
(no centro) 
 
b) Carga móvel (variável principal) 
 
Das tabelas 02 a 10, apresentadas anteriormente, são obtidos diretamente os efeitos máximos 
devidos a carga móvel no tabuleiro de pontes rodoviárias. Para o problema em questão (ponte 
classe 45, e mmmLt 75,11750 == mmmb 45,0450 == ), obtém-se: 
 ( )( ) mmNmmNmkNM kq .328900001000.1000.89,32.89,32,1 === (tabela 08) 
 ( ) NNkNV kq 760001000.00,7600,76,1 === (tabela 09) 
 
( )( ) 31233,1 .10.403,81000.1000.403,8.403,8.. mmNmmNmkNuIE kq === (tabela 10) 
 
Sendo, e MPaEE efc 13720,0 == ( ) mmbI t 320.50,37 −= , obtém-se: 
 
⇒=⇒=
IE
ummNuIE kqkq .
10.403,8.10.403,8..
12
,1
312
,1 
 
( )[ ] ( ) mmbubu tkqtkq 3,13
12
,1 20
52,16332361
20.50,37.13720
10.403,8
−=⇒−= 
 23
c) Carga devida ao impacto vertical (variável secundária) 
 
Como se viu no item 4.3, o coeficiente de impacto é dado por: 
 
L++= 401
αϕ 
 
Onde: 
 
α = 20, em pontes com soalho de madeira, e α =12, em pontes com soalho revestido de 
concreto ou asfalto; 
L = vão teórico, em metros. 
 
 
Para o problema em questão, mmmLL t 75,11750 === e 20=α (sem revestimento), obtém-se: 
 
4790,1
75,140
201 =⇒++= ϕϕ 
 
Os esforços característicos devidos ao impacto vertical, são obtidos por: 
 ( ) ( ) mmNMMMM kqkqkqkq .1575431032890000.14790,1.1 ,2,2,1,2 =⇒−=⇒−= ϕ 
 ( ) ( ) NVVVV kqkqkqkq 3640476000.14790,1.1 ,2,2,1,2 =⇒−=⇒−= ϕ 
 
( ) ( ) ( ) ( ) mmbubuuu tkqtkqkqkq 3,23,2,1,2 20
17,7823201
20
52,16332361.14790,1.1 −=⇒−−=⇒−= ϕ 
 
8.2.3.2. Esforços de cálculo 
 
a) Estados limites últimos 
 
Segundo a NBR-7190 da ABNT (1997), para verificação de estados limites últimos 
produzidos por um carregamento normal, caracterizado pelas cargas decorrentes do uso da 
construção, utiliza-se uma combinação última normal, na qual os esforços de cálculo, são 
obtidos por: 
 
∑ ∑
= = 




 ++=
m
i
n
j
k,Qjjk,QQk,gigid FFFF
1 2
01 ψγγ 
 
Para aplicação da expressão acima, a NBR-7190/97 fornece os valores dos coeficientes de 
ponderação γgi e γQ e dos coeficientes de utilização ψ0j. As ações variáveis FQ1,k e/ou FQj,k 
também podem sofrer redução, por valores definidos na NBR-7190/97, caso a duração da 
ação não corresponda a classe de longa duração. 
 
 24
Para o problema em questão, no qual o peso próprio é considerado de grande variabilidade e a 
carga devida ao impacto vertical é considerada de curta duração, obtém-se: 
 ( )75,0..60,0.4,1.4,1 ,2,1, kqkqkgid FFFF ++= 
 
E portanto: 
 ( )⇒++= 75,0..60,0.4,1.4,1 ,2,1, kqkqkgd MMMM 
 ( ) ⇒++= 75,0.15754310.60,032890000.4,163,1121640.4,1dM 
 
mmNMd .18,57541512= 
 
e, 
 ( )⇒++= 75,0..60,0.4,1.4,1 ,2,1, kqkqkgd VVVV 
 ( ) ⇒++= 75,0.36404.60,076000.4,175,2563.4,1dV 
 
NVd 77,132923= 
 
Especificamente no caso de pontes de madeira, deve-se utilizar, sempre que possível a força 
cortante reduzida, que pode ser estimada como segue (ver item 5.3): 
 
¾ Se , então a força cortante máxima atuará na região dos apoios, em hL .4≤
2
La =x = , e valerá: 
h
LVd
red .8
.=V 
 
¾ Se , então a força cortante máxima atuará fora da região dos apoios, em 
, e valerá: 
hL .4>
ha .2=x = 

 −=
L
hVdred
.21.V 
No caso, 
 
⇒≅≅>= mmhmmL 1000250.4.41750 ⇒

 −=
L
hVV dred
.21. 
 ( ) ( ) ⇒−−=⇒

 −−= 20.91,15177,132923
1750
20.2
1.77,132923 tred
t
red bV
bV 
 
NbV tred .91,15103,135962 −= 
 
 
 25
a) Estados limites de utilização 
 
Segundo a NBR-7190 da ABNT (1997), para verificação de estados limites de utilização nas 
construções correntes, utiliza-se a seguinte combinação de longa duração: 
 
∑ ∑
= =
+=
m
i
n
j
kQjjkgiutid FFF
1 2
,2,, ψ 
 
Para aplicação da expressão acima, a NBR-7190/97 fornece os valores dos coeficientes de 
utilização ψ2j. Para o problema em questão, obtém-se: 
 
kqkqkgutid
n
j
kQjjkgiutid FFFFFFF ,2,1,,
2
,2,, .2,0.2,0 ++=⇒+= ∑
=
ψ 
 
E portanto: 
 
⇒++= kqkqkgutid uuuu ,2,1,, .2,0.2,0 
 
( ) ( ) ( ) ⇒−+−+−= 333, 20
17,7823201.2,0
20
52,16332361.2,0
20
70,695461
ttt
utid bbb
u 
 
( ) mmbu tutid 3, 20
24,5526574
−= 
 
8.2.4. Verificação da tensão normal 
 
Segundo a NBR-7190 da ABNT (1997), a verificação da tensão normal pode ser feita por: 
 
a) Borda comprimida 
 
dcc
d
c fyI
M
,0. ≤=σ 
 
( ) ( ) MPafbb dcttc 00,2420.5,0.20.5,37
18,57541512
,03 =≤−−=σ 
 
Resultando: 
 
( ) mmbb tt 79,19800,24.5,37
5,0.18,5754151220 ≥⇒≥− 
 
 
 
 26
b) Borda tracionada 
 
dtt
d
t fyI
M
,0. ≤=σ 
 
( ) ( ) MPafbb dtttt 00,2420.5,0.20.5,37
18,57541512
,03 =≤−−=σ 
 
Resultando: 
 
( ) mmbb tt 79,19800,24.5,37
5,0.18,5754151220 ≥⇒≥− 
 
8.2.5. Verificação da tensão de cisalhamento 
 
A verificação da tensão de cisalhamento, segundo a NBR-7190 da ABNT (1997), pode ser 
feita por: 
 
dv
red f
Ib
SV
,.
. ≤=τ 
 [ ] ( )[ ]
[ ] ( )[ ] MPafb bb dvt tt 49,220.50,37.450 20.25,56..91,15103,135962 ,3
2
=≤−
−−=τ 
 
Resultando, 
 [ ] ( ) mmbbb ttt 87,16720.747.91,15103,135962 ≥⇒−≤− 
 
8.2.6. Verificação da flecha 
 
A verificação da flecha, segundo a NBR-7190 da ABNT (1997), pode ser feita por: 
 
200lim,
l=≤ uu utid 
 
( ) 200
1750
20020
24,5526574
lim3, ==≤−=
lu
b
u
t
utidResultando, 
 
mmbb tt 80,1051750
200.24,552657420 3 ≥⇒≥− 
 
 27
8.2.7. Conclusão 
 
Para que as verificações sejam satisfeitas, simultaneamente, deve-se ter . 
Portanto, adota-se a seção comercial, quadrada, de dimensões imediatamente superior a 
, consequentemente a seção 20 cm x 20 cm. 
mmbt 79,198≥
mm79,198
 
Deve-se ressaltar que a conclusão sempre depende da decisão do calculista. No caso do 
exemplo apresentado, adotou-se inicialmente peças de seção 25 cm x 25 cm, acarretando uma 
seção resistente máxima para o tabuleiro de 47 cm, arredondada para 45 cm para se obter 
valores diretamente nas tabelas. Desta forma os cálculos foram realizados imaginando-se uma 
seção mais resistente do que a obtida, mas com um carregamento também maior, pois a seção 
obtida de 20 cm x 20 cm, acarretará uma seção resistente máxima para o tabuleiro de 42 cm. 
 
Refazendo-se os cálculos a partir de uma seção de 20 cm x 20 cm, obtém-se uma seção 
resistente máxima para o tabuleiro de 42 cm, que se arredonda para 40 cm para utilizar 
valores tabelados, obtendo para o tabuleiro . Nesta situação os cálculos 
foram realizados imaginando-se uma seção menos resistente do que a obtida, mas com um 
carregamento também menor, pois ao adotar a seção de 20 cm x 20 cm, se obterá uma seção 
resistente máxima para o tabuleiro de 42 cm. 
mm,bt 33209≥
 
8.3. CÁLCULO DA VIGA PRINCIPAL 
 
8.3.1. Características geométricas da seção 
 
Para uma peça de seção retangular, segundo LOGSDON (1989), as características 
geométricas da seção podem ser obtidas utilizando o formulário que se segue. Neste caso, 
considerando d em mm, obtém-se: 
 
 
 
FIG. 13 - Seção transversal de uma peça do tabuleiro 
 
3
3
2
2
64
.3
8
2
3..
2
8
. mmdS
dd
ShbSS xx =⇒






=⇒== − 
 
 28
4
4
3
3
64
3
12
2
3
2
12
mm.dI
.d.d
Ih.bII xx =⇒






=⇒== − 
 
mmdbdb
22
=⇒= 
mm.dyy
.d
yyhyy tctctc 4
3
2
2
3
2
==⇒==⇒== 
 
Onde: 
 
A = área da seção transversal; 
S = momento estático, de meia seção, em torno do eixo perpendicular ao plano de cargas 
passando pelo centro de gravidade da seção; 
Sx-x = momento estático, de meia seção, em torno do eixo x-x, que passa pelo centro de 
gravidade da seção; 
I = momento de inércia da seção, em torno do eixo perpendicular ao plano de cargas 
passando pelo centro de gravidade da seção; 
Ix-x = momento de inércia da seção, em torno do eixo x-x, que passa pelo centro de 
gravidade da seção; 
b = largura da seção transversal, na posição do centro de gravidade; 
yc = distância da borda comprimida ao centro de gravidade; 
yt = distância da borda tracionada ao centro de gravidade; 
b e h = largura e altura da seção transversal retangular, respectivamente; 
bv e hv = largura e altura da seção transversal de uma viga principal, respectivamente. 
 
8.3.2. Características da madeira 
 
Para uma dicotiledônea da classe de resistência C-60, considerando um carregamento de 
longa duração, madeira usual e de classe de umidade 2, segundo LOGSDON (1999), pode-se 
utilizar: 
 
MPaf dc 00,24,0 = (Resistência de cálculo à compressão paralela às fibras) 
 
MPaf dt 00,24,0 = (Resistência de cálculo à tração paralela às fibras) 
 
MPaf dv 49,2, = (Resistência de cálculo ao cisalhamento paralelo às fibras) 
 
MPaE efc 13720,0 = (Módulo de elasticidade efetivo) 
 
 
 
 
 29
8.3.3. Esforços de cálculo 
 
8.3.3.1. Esforços característicos 
 
a) Carga permanente 
 
Sabendo-se que a ponte é classe 45 e sem revestimento asfáltico, a carga permanente 
uniformemente distribuída sobre o tabuleiro (área em planta), segundo os dados da tabela 01, 
pode ser considerada como sendo de: 
 
2/6500 mNg p = , ou Pa, de ponte⇒ , ou MPa⇒ 26 /10.6500 mmNg p −=
 
2/0065,0 mmNg p = , ou MPa 
 
Onde: 
 
gp = carga permanente uniformemente distribuída sobre o tabuleiro (área em planta). 
 
 
Na figura 14 é esquematizada a distribuição da carga permanente em uma viga principal, a 
mais crítica, ou seja a de maior carregamento. Assim, sobre a viga principal o carregamento 
permanente representará: 
 
 
FIG. 14 - Distribuição da carga permanente em uma viga principal. 
 
 
mm/N,g.,L.gb.gg tpip 37511175000650 =⇒=== 
 
Onde: 
 
g = carga permanente uniformemente distribuída sobre a viga principal em questão (ao longo 
do comprimento), em N/mm; 
gp = carga permanente uniformemente distribuída sobre o tabuleiro (área em planta), em 
N/mm2 ou MPa; 
bi = largura de influência do carregamento sobre a viga, em mm; 
Lt = vão do tabuleiro, em mm. 
 30
Na figura 15 é apresentado o esquema estático da viga principal, mais crítica, já com o 
carregamento permanente sobre ela. 
 
 
FIG. 15 - Esquema estático e carregamento permanente sobre uma viga principal 
 
 
Para este carregamento, obtém-se: 
 
mm.N.,.pM k,g 696718758
700037511
8
22
≅== l (no centro) 
 
N,.,.pV k,g 5398122
700037511
2
≅== l (no apoio) 
 
mm
d
.,
.d..
.,.
I.E.
.p.u k,g 4
11
4
44 1057749
64
313720384
7000375115
384
5 =


==
l
(no centro) 
 
b) Carga móvel (variável principal) 
 
Das tabelas 11 a 19, apresentadas anteriormente, são obtidos diretamente os efeitos máximos 
devidos a carga móvel nas vigas principais de pontes rodoviárias. Para o problema em questão 
(ponte classe 45, e m,mmLv 0077000 == m,mmLt 7511750 == ), obtém-se: 
 ( )( ) mmNmmNmkNM kq .2957000001000.1000.7,295.7,295,1 === (tabela 16) 
 ( ) NN.,kN,V k,q 1875001000518751871 === (tabela 17) 
 
( ) ( ) 315331 1042911000100014291429 mm.N.,mm.N.m.kNu.I.E k,q === (tabela 18) 
 
Sendo, e MPaEE efc 13720,0 == 4
4
64
3 mm.dI = , obtém-se: 
 
⇒=⇒=
I.E
.,umm.N.,u.I.E k,qk,q
15
1
315
1
104291104291 
 31
 
mm
d
.,u
.d.
.,u k,qk,q 4
12
14
15
1
1084863
64
313720
104291 =⇒


= 
 
c) Carga devida ao impacto vertical (variável secundária) 
 
Como se viu no item 4.3, o coeficiente de impacto é dado por: 
 
L++= 401
αϕ 
 
Onde: 
 
α = 20, em pontes com soalho de madeira, e α =12, em pontes com soalho revestido de 
concreto ou asfalto; 
L = vão teórico, em metros. 
 
 
Para o problema em questão, m,mmLL v 0077000 === e 20=α (sem revestimento), obtém-se: 
 
4261
00740
201 ,
,
=⇒++= ϕϕ 
 
Os esforços característicos devidos ao impacto vertical, são obtidos por: 
 ( ) ( ) mm.NM.,MM.M k,qk,qk,qk,q 125968200295700000142611 2212 =⇒−=⇒−= ϕ 
 ( ) ( ) NV.,VV.V k,qk,qk,qk,q 79875187500142611 2212 =⇒−=⇒−= ϕ 
 
( ) ( ) mm
d
.,u
d
.,.,uu.u k,qk,qk,qk,q 4
12
24
12
212
10639511084863142611 =⇒−=⇒−= ϕ 
 
8.3.3.2. Esforços de cálculo 
 
a) Estados limites últimos 
 
Segundo a NBR-7190 da ABNT (1997), para verificação de estados limites últimos 
produzidos por um carregamento normal, caracterizado pelas cargas decorrentes do uso da 
construção, utiliza-se uma combinação última normal, na qual os esforços de cálculo, são 
obtidos por: 
 
∑ ∑
= = 




 ++=
m
i
n
j
k,Qjjk,QQk,gigid FFFF
1 2
01 ψγγ 
 32
Para aplicação da expressão acima, a NBR-7190/97 fornece os valores dos coeficientes de 
ponderação γgi e γQ e dos coeficientes de utilização ψ0j. As ações variáveis FQ1,k e/ou FQj,k 
também podem sofrer redução, por valores definidos na NBR-7190/97, caso a duração da 
ação não corresponda a classe de longa duração. 
 
Para o problema em questão, no qual o peso próprio é considerado de grande variabilidade e a 
carga devida ao impacto vertical é considerada de curta duração, obtém-se: 
 ( )75,0..60,0.4,1.4,1 ,2,1, kqkqkgid FFFF ++= 
 
E portanto: 
 ( )⇒++=75,0..60,0.4,1.4,1 ,2,1, kqkqkgd MMMM 
 ( ) ⇒++= 750125968200600295700000416967187541 ,..,.,.,M d 
 
mm.NM d 590880591= 
 
e, 
 ( )⇒++= 75,0..60,0.4,1.4,1 ,2,1, kqkqkgd VVVV 
 ( ) ⇒++= 750798756001875004153981241 ,..,.,,.,Vd 
 
NVd 368559= 
 
Especificamente no caso de pontes de madeira, deve-se utilizar, sempre que possível a força 
cortante reduzida, que pode ser estimada como segue (ver item 5.3): 
 
¾ Se , então a força cortante máxima atuará na região dos apoios, em hL .4≤
2
La =x = , e valerá: 
h
LVd
red .8
.=V 
 
¾ Se , então a força cortante máxima atuará fora da região dos apoios, em 
, e valerá: 
hL .4>
ha .2=x = 

 −=
L
hVdred
.21.V 
 
No caso, admitindo, por hipótese, que hLL v .4>= obtém-se: 
 
⇒<=⇒<⇒>== mmdhmmhhmmLL v 17502
3.1750.47000 
 
mmmd 02,273,2020 ≅< (por hipótese) 
 
 33
Nestas condições obtém-se: 
⇒














−=⇒

 −=⇒

 −=
7000
2
3..2
1.368559
7000
.21.368559.21.
d
VhV
L
hVV redreddred
 
dNVred .2,91368559 −≅ 
 
 
a) Estados limites de utilização 
 
Segundo a NBR-7190 da ABNT (1997), para verificação de estados limites de utilização nas 
construções correntes, utiliza-se a seguinte combinação de longa duração: 
 
∑ ∑
= =
+=
m
i
n
j
kQjjkgiutid FFF
1 2
,2,, ψ 
 
Para aplicação da expressão acima, a NBR-7190/97 fornece os valores dos coeficientes de 
utilização ψ2j. Para o problema em questão, obtém-se: 
 
kqkqkgutid
n
j
kQjjkgiutid FFFFFFF ,2,1,,
2
,2,, .2,0.2,0 ++=⇒+= ∑
=
ψ 
 
E portanto: 
 
⇒++= kqkqkgutid uuuu ,2,1,, .2,0.2,0 
 
⇒++= 4
12
4
12
4
11
,
10.6395,1.2,010.8486,3.2,010.5774,9
ddd
u utid 
 
mm
d
u utid 4
12
,
10.0554,2= 
 
8.3.4. Verificação da tensão normal 
 
Segundo a NBR-7190 da ABNT (1997), a verificação da tensão normal pode ser feita por: 
 
a) Borda comprimida 
 
dcc
d
c fyI
M
,0. ≤=σ 
 
 34
MPafd
d
dcc 00,244
3..
64
3.
590880591
,04
=≤



=σ 
 
Resultando: 
 
mmdd 05,733
00,24.4
64.590880591
3 ≥⇒≥ 
 
b) Borda tracionada 
 
dtt
d
t fyI
M
,0. ≤=σ 
 
MPafd
d
dtt 00,244
3..
64
3.
590880591
,04
=≤



=σ 
 
Resultando: 
 
mmdd 05,733
00,24.4
64.590880591
3 ≥⇒≥ 
 
8.3.5. Verificação da tensão de cisalhamento 
 
A verificação da tensão de cisalhamento, segundo a NBR-7190 da ABNT (1997), pode ser 
feita por: 
 
dv
red f
Ib
SV
,.
. ≤=τ 
 
[ ]
MPaf
dd
dd
dv 49,2
64
3..
2
64
.3..2,91368559
,4
3
=≤









−
=τ 
 
Resultando, 
 [ ] MPa
d
d 49,2
3.
6..2,91368559
2
≤− 
 35
mmddd 43,6550368559.2,91.7188,0 2 ≥⇒≥−+ 
 
8.3.6. Verificação da flecha 
 
A verificação da flecha, segundo a NBR-7190 da ABNT (1997), pode ser feita por: 
 
200lim,
l=≤ uu utid 
 
200
7000
200
10.0554,2
lim4
12
, ==≤= ludu utid 
 
Resultando, 
 
mmbd t 27,4927000
200.10.0554,2
4
12
≥⇒≥ 
 
8.3.7. Conclusão 
 
Para que as três verificações sejam satisfeitas é necessário que o menor diâmetro da tora 
de origem seja , e portanto as dimensões, da seção transversal da 
viga principal, devem ser: 
cmmmd 7405,733 ≅≥
 
2
05,733
2
≥= dbv ⇒ cmmmbv 3753,366 ≅= 
 
2
3.05,733
2
3. ≥= dhv ⇒ cmmmhv 6484,634 ≅= 
 
Pode-se utilizar uma viga de madeira falquejada, com seção 37 cm x 64 cm, que pode ser 
extraída de um toro com diâmetro mínimo de pelo menos 74 cm 
 
8.4. CÁLCULO DA FUNDAÇÃO 
 
8.4.1. Carga vertical sobre as fundações 
 
A carga vertical sobre as fundações deve considerar as reações das vigas principais sobre ela e 
o peso próprio da fundação. 
 
A reação do conjunto das vigas sobre uma das cortinas, para a carga permanente, é simples, 
pois: 
 
pponteg
gAR .
2
1= com ( )ponteponteponte bLA ..2121 = 
 
 36
Onde: 
 
gR = reação vertical, devida à carga permanente, sobre uma das cortinas; 
ponte
A
2
1 = metade da área da ponte em planta; 
pg = carga permanente, uniformemente distribuída na área da ponte em planta; 
ponteL = comprimento da ponte, e 
ponteb = largura da ponte. 
 
 
No caso do exemplo ( mmmLponte 700000,7 == , mmmbponte 550050,5 == e 
) , obtém-se: 2/mmN0065,00065,0 MPag p ==
 
( ) ( ) 2
2
1 192500005500.7000.2
1..
2
1 mmbLA ponteponteponte ≅== 
 
NgAR pponteg 1251250065,0.19250000.
2
1 ≅== 
 
 
Já para a cargas variável, correspondente à carga móvel, sabe-se que a reação máxima de uma 
viga é igual à força cortante no apoio, portanto: 
 
vigaqvigaq VR 1,1, = 
 
Onde: 
 
vigaqR 1, = reação de apoio máxima, em uma viga, devida à carga móvel, e 
vigaqV 1, = força cortante, no apoio de uma viga principal, devida à carga móvel, obtida 
diretamente nas tabelas 11 a 19. 
 
 
Por outro lado é inconcebível, na prática, um carregamento no qual todas as vigas principais 
apresentem esta reação máxima. Uma boa estimativa é considerar uma das vigas com a reação 
máxima e as demais com um valor médio, e portanto: 
 ( ) vigaqmvvigaqq RnRR 1,1, .1−+= 
 
Onde: 
 
qR = estimativa da reação de apoio máxima, sobre uma das cortinas, devida à carga 
móvel; 
 37
vigaqmR 1, = valor médio da reação, no apoio de uma viga principal, devida à carga móvel, 
que pode ser considerado como: 
 
22
0
22
1,1,1,1,1,1,
1,
vigaqvigaqvigaqmínvigaqmáxvigaqmínvigaqmáx
vigaqm
VVVVRR
R =+=+=+= 
 
vigaqmáxR 1, = valor máximo da reação, no apoio de uma viga principal, devida à carga móvel; 
vigaqmínR 1, = valor mínimo da reação, no apoio de uma viga principal, devida à carga móvel; 
vigaqmáxV 1, = valor máximo da força cortante em uma viga principal, devida à carga móvel; 
vigaqmínV 1, = valor mínimo da força cortante em uma viga principal, devida à carga móvel; 
vn = número de vigas principais. 
 
 
A cargas variável, correspondente ao impacto, por sua vez, é proporcional à carga móvel 
através do coeficiente de impacto e portanto: 
 ( ) qqi RR .1 ϕ−= 
 
Onde: 
 
qiR = estimativa da reação de apoio máxima, sobre uma das cortinas, devida ao impacto, e 
ϕ = coeficiente de impacto. 
 
 
No caso do exemplo (V , Nvigaq 1875001, = 426,1=ϕ e 4=vn vigas) , obtém-se: 
 
NRVR vigaqvigaqvigaq 1875001,1,1, =⇒= 
 
NR
V
R vigaqm
vigaq
vigaqm 937502
187500
2 1,
1,
1, ==⇒= 
 ( ) ( ) NRRnRR qvigaqmvvigaqq 46875093750.14187500.1 1,1, =−+=⇒−+= 
 ( ) ( ) NRRR qiqqi 199688468750.426,11.1 ≅−=⇒−= ϕ 
 
Como para verificação do solo ainda se utiliza o método das tensões admissíveis, o 
carregamento total é obtido diretamente pela soma das cargas aplicadas, e portanto a reação 
total (R) sobre uma das fundações será: 
 
NRRRR qiqg 793563199688468750125125 =++=++= 
 
 38
Para peso próprio da fundação é usual estimá-la em 10% de R, e portanto: 
 
RRRV .10,1%.10 =+= 
 
Onde: 
 
R = reação total sobre uma das fundações, e 
V = carga vertical total sobre uma das fundações. 
 
 
Assim, para o exemplo em questão, a carga vertical sobre a fundação será: 
 
NVRV 872919793563.10,1.10,1 ≅=⇒= 
 
8.4.2. Tensão admissível do solo 
 
A tensão admissível do solo na região, conforme o item 8.1., é de 0,10 MPa. Entretanto, 
devido a umidade do solo nas margens do rio, onde se apoiará a ponte, deve-se reduzir a 
tensão admissível do solo ( ). Conforme a tabela 20, tem-se: Admsolof ,
 
MPaffff AdmsoloAdmsoloAdmsoloAdmsolo07,010,0.70,0.70,0 ,,,, =⇒=⇒= 
 
8.4.3. Largura do bloco de fundação 
 
Conforme o item 6.1., deste trabalho, tem-se: 
 
Admsolof
Vb
,.l
≥ 
 
 
Onde: 
 
b = largura do bloco de fundação, em mm; 
V = carga vertical, para o carregamento total, sobre a fundação, em N; 
l = comprimento do bloco de fundação, em mm; 
fsolo,Adm = tensão admissível do solo sob o bloco de fundação, em MPa. 
 
 
Construtivamente o comprimento do bloco de fundação é o mesmo da cortina, que forma o 
caixão de aterro, e este por sua vez é escolhido ao se esquematizar a ponte. No caso a cortina 
tem um comprimento de mmm 785085,7 ==l (ver figura 08). Assim: 
 
mmbb
f
Vb
Admsolo
6,1588
07,0.7850
872919
. ,
≥⇒≥⇒≥ l 
 
 39
A fim de facilitar a preparação da fôrma, para se construir a fundação, é usual arredondar-se, 
sempre para mais, o valor da largura da fundação de 5 em 5 cm. Assim, adota-se: 
 
mcmmmb 60,11601600 ==≥ 
 
8.4.4. Espessura do bloco de fundação 
 
Para se garantir-se uma espessura mínima, de modo a garantir a existência de rigidez à laje de 
fundação, para transmissão da carga vertical (V); fixada a ferragem em uma malha de ferros 
de 1/2" espaçados de 15 cm, nas duas direções e colocada no fundo da laje; deve-se, conforme 
o item 5.2., deste trabalho, adotar a seguinte altura mínima para a laje de fundação (hmin): 
 
7
1
min ≥h da menor largura ⇒ cmhhbh 86,22160.7
1.
7
1
minminmin ≥⇒≥⇒≥ 
 
 
A fim de facilitar a preparação da fôrma, para se construir a fundação, é usual arredondar-se, 
sempre para mais, o valor da espessura da fundação de 5 em 5 cm. Assim, adota-se: 
 
cmhcmh 2586,22 minmin =⇒≥ 
 
8.4.5. Ferragem da fundação 
 
Conforme o item 6.2, deste trabalho, o formulário utilizado foi definido ao se fixar a ferragem 
em uma malha de ferros de 1/2" espaçados de 15 cm, nas duas direções e colocada no fundo 
da laje (ver figura 07). 
 
8.4.6. Conclusão 
 
Assim, a fundação deve ter: o mesmo comprimento da cortina, mmm 785085,7 ==l ; a 
largura, ; a espessura, mcmmmb 60,11601600 ==≥ mmcm 250h 25min == ; e possuir 
uma ferragem composta por uma malha de ferros, de 1/2" de diâmetro, com espaçamento, nas 
duas direções, de 15 cm, colocada no fundo da laje de fundação. 
 
 
9. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 
 
ABNT - Projeto de Estruturas de Madeira. NBR-7190, Norma Brasileira Registrada. 
Associação Brasileira de Normas Técnicas. Rio de Janeiro, RJ. 1997. 107p. 
 
ABNT - Carga Móvel em Ponte Rodoviária e Passarela de Pedestre. NBR-7188. Associação 
Brasileira de Normas Técnicas. Rio de Janeiro, RJ. 1984. 6p. 
 
HELLMEISTER, J. C. & OLIVEIRA, E. S. - Ponte de madeira na rodovia Cambaratiba - 
Borborema. Escola de Engenharia de São Carlos - Universidade de São Paulo (EESC-
USP). São Carlos, SP. 1975. 
 
 40
HELLMEISTER, J. C.; ROCCO LAHR, F. A. & CALIL JR., C. - Ponte pênsil de madeira. 
EESC - USP. São Carlos, SP. 1977. 
 
KARLSEN, G. G.; BOLSHAKOV, V. V.; KAGAN, M. Y.; SVENTSITSKY, G. V.; 
ALEKSANDROVSKY, K. V.; BOCHKARYOV, I. V.; FOLOMIN, A. I. (1967). Wooden 
Structures. Moscow. Mir Publishers. 638 p. 
 
LOGSDON, N. B. - Elementos de Resistência dos Materiais e de Estática das Estruturas. 
Centro de Ciências Agrárias - Universidade Federal de Mato Grosso (CCA-UFMT). 
Cuiabá, MT. 1989. 152p. 
 
LOGSDON, N. B. - Contribuição ao estudo das pontes de madeira. Orientador: Prof. Dr. 
João César Hellmeister. EESC - USP. São Carlos, SP. 1982. 386 p. Dissertação (Mestre 
- Engenharia de Estruturas) 
 
LOGSDON, N. B. - Pontes rodoviárias de madeira: Dados para projeto e anteprojeto. In: 
Encontro Brasileiro em Madeiras e em Estruturas de Madeira (EBRAMEM), 1, 
(Características). EESC - USP. São Carlos, SP. 1983. 21 p. 
 
LOGSDON, N. B. - Tabelas para o cálculo rápido de pontes rodoviárias de madeira em vigas 
simplesmente apoiadas. In: Encontro Brasileiro de Madeiras e de Estruturas de Madeira, 
V (V EBRAMEM). Belo Horizonte, MG. 1995. 
 
LOGSDON, N. B. - Elementos de Estruturas de Madeira, sob a ótica da NBR 7190/1997. 
Departamento de Engenharia Florestal, Faculdade de Engenharia Florestal - Universidade 
Federal de Mato Grosso. Cuiabá, MT. 1999. 
 
PFEIL, W. - Estruturas de Madeira. Livros Técnicos e Científicos Editora S. A.. Rio de 
Janeiro, RJ.. 1978. 256 p.