CMF - EsPCEx 2013 - AULA 02

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Intervalos 
 
 No conjunto dos reais, definem-se 
alguns subconjuntos chamados intervalos. 
Sejam a e b reais denominados extremos, 
respectivamente, inferior e superior dos 
intervalos (a a} 
]- ∞ , b] = {x ∈ R / x ≤ b} 
]- ∞ , b[ = {x ∈ R / x 1. Portanto D( f ) = ]1, + ∞ [. 
 
 
 
 
Função Injetora 
Uma função f :A →B é injetora se 
quaisquer dois elementos distintos de A, 
sempre possuem imagens distintas em B, 
isto é: x1 ≠ x2 implica que f(x1) ≠ f(x2) ou 
f(x1) = f(x2) implica que x1 = x2 . 
Função Sobrejetora 
Uma função f :A →B é sobrejetora se todo 
elemento de B é a imagem de pelo menos 
um elemento de A. Isto equivale a afirmar 
que a imagem da função deve ser 
exatamente igual a B que é o 
contradomínio da função, ou seja, para 
todo y em B existe x em A tal que y=f(x). 
Função Bijetora 
Uma função f :A → B é bijetora se ela é ao 
mesmo tempo injetora e sobrejetora. 
Função Inversa 
Dada uma função bijetora f:A → B, 
denomina-se função inversa de f à função 
g:B →A tal que se f(a)=b, então g(b)=a, 
quaisquer que sejam a em A e b em B. 
Denotamos a função inversa de f por f-1. 
Composição de funções 
Sejam f : A → B e g : B → C duas funções. 
Chamamos compostas de g e f, 
representadas por g � f, a função de A em C 
definida por (g � f)(x) = g(f(x)). 
Funções Reais de Variáveis Reais 
Uma função f é denominada função real de 
variável real, se o domínio e contradomínio 
de f são subconjuntos do conjunto dos 
números reais. 
Operações com Funções 
Dadas as funções f e g, podemos realizar 
algumas operações, entre as quais: 
� (f + g)(x) = f(x) + g(x) 
� (f - g)(x) = f(x) - g(x) 
� (f.g)(x) = f(x).g(x) 
� (f/g)(x) = f(x)/g(x), se g(x) ≠ 0. 
Funções 
CMF – ExPCEX – PROF.: DIEGO PONCIANO 
 
AULA 2 
Funções Pares e ìmpares 
Função par: Uma função real f é par se, 
para todo x do domínio de f, tem-se que 
f(x)=f(-x). Uma função par possui o gráfico 
simétrico em relação ao eixo vertical OY. 
Função ímpar: Uma função real f é ímpar 
se, para todo x do domínio de f, tem-se que 
f(-x) = -f(x). Uma função ímpar possui o 
gráfico simétrico em relação à origem do 
sistema cartesiano. 
Crescimento e Decrescimento 
Função crescente: Uma função f é 
crescente, se quaisquer que sejam x e y no 
Domínio de f, com xf(y). 
Isto é, conforme os valores de x aumentam, 
os valores da imagem de x pela função f 
diminuem. 
Função periódica 
Uma função real f, com domínio em A, 
subconjunto da reta real, é dita periódica 
se, existe um número real positivo T, tal 
que para todo x em A, vale: 
 f(x+T) = f(x) 
 
Exercícios 
1. Para uma certa máquina, o custo total 
na produção de um lote de x peças é 
de y unidades monetárias, com y = 
100 + 0,01x + 0,001x 2 . 
A diferença de custo entre a produção 
de um lote de 500 peças e um de 498 
peças, em unidades monetárias, é de: 
a) 0,024 d) 129,7804 
b) 2,016 e) 507,984 
c) 100,024 
2. Se f: R → R é a função dada por f(x) 
= 100x – 5, então o valor de 
55
55
1010
)10(f)10(f
−
−
−
−
 é: 
a) 10-1 b) 1 c) 10 d) 102 
3. Se uma função f, de |R em |R, é 
definida por: 







>
=
 0, para todo x ∈ |R* + . 
 
15. (AFA –1999) Seja f uma função real do 
primeiro grau com f(0) = 1 + f(1) e 
f(1) = 2 - f(0). Então, o valor de f(3) é: 
 a) -3 b) -2,5 c) -2 d) -1,5 
 
16. (AFA – 2000) Se f e g são funções de 
IR em IR definidas por f(3x+2) =
5
23 −x
 
e g(x–3) = 5x – 2, então f(g(x)) é: 
 a) 4
5
x − b) 5 9
5
x + c) 5 13x + d) 5 11
5
x + 
 
17. (ITA - 1997) Sejam f ,g : ℜ→ℜ funções 
tais que: g(x) = 1- x e ƒ(x) + 2ƒ(2 - x ) = 
( x - 1)3 para todo x ∈ ℜ. Então ƒ[g(x)] é 
igual a: 
 a) ( x - 1 )
3
 b) (1 - x)
3
 c) x
3 
 d) x 
 e) 2 - x 
 
18. (ITA - 1998) Seja f: ℜ →ℜ a função 
definida por: f(x) = -3ax , onde a é um 
número real, 0d) Apenas a afirmação (II) é 
 verdadeira. 
 e) Apenas a afirmação (III) é 
 verdadeira. 
 
19. Seja a função : {0}f ℜ − → ℜ tal que 
1 3
( ) 2 ( )f x f
x x
+ = . Podemos afirmar 
corretamente que f é uma função: 
 a) periódica 
 b) quadrática 
 c) ímpar 
 d) decrescente 
 e) injetiva. 
 
20. Os gráficos das funções ( ) 5f x = − e 
2( ) 4g x x bx= + + têm um único ponto 
em comum; situado no quarto 
quadrante. A abscissa do vértice da 
parábola que representa g é: 
a) 6 b) 3 c) -3 d) -5 e) -6 
 
21. Sejam f e g funções de ℜ em ℜ 
dadas por 
3 1
( )
3
kx x
f x
− +
= e 
2( ) ( 1)g x x k x= − − . Se f (2) - g (2) = 
3, então 18 g ( f (1)) é igual a: 
a) 2 b) 0 c) -2 d) -4 
 
22. Considere 
6
( ) 1
x
f x
x
−
= + , com 
0x ≠ . Os valores de x para os quais 
( ) 0f x ≤ são: 
a) [0;3) b) (0;3] c) (0; +∞ ) 
d) ( −∞ ;3] e) (0;3) 
 
23. Se f admite a função g como sua 
inversa, então: 
 
 a) ( )( )f g x x+ = 
b) ( ) ( )f g x x⋅ = 
c) ( ) ( )f g x x− = 
d) ( )( )f g x x=� 
e) ( )
f
x x
g
 
= 
 
 
 
24. Com relação a função real de variável 
real definida por ( ) 2
f x x= , é correto 
afirmar que ela é: 
 a) sempre crescente 
 b) ímpar 
 c) invertível 
 d) injetiva 
 e) par 
 
25. Seja :f →ℝ ℝ uma função não 
identicamente nula tal que 
( ) ( ) ( )f s t f s f t+ = + e 
( ) ( ) ( )f s t f s f t⋅ = ⋅ para quaisquer 
números reais s e t. è possível afirmar, 
corretamente, que: 
a) f é uma função constante 
b) f(1) = 0 
c) f é uma função periódica 
d) f é uma função ímpar 
 
26. Se f é uma função real de variável 
real, tal que ( )2 1f x x+ = para todo x, 
então ( )2 3f x + é igual a: 
a) x + 2 b) x + 1 c) x d) x – 1 
 
27. Considere a função f , de ℝ em ℝ , 
dada por ( )
| |
2
x
f x

= 

 
se
se
 
2; 2
2 2
x x
x
− ≤ ≤
. 
É correto afirmar que: 
a) f é decrescente para todo x > 0. 
b) O gráfico de f intercepta o eixo das 
abscissas no ponto (2; 0). 
c) f é injetora, mas não sobrejetora. 
d) f é bijetora. 
e) O conjunto imagem de f é o 
intervalo [2, +∞ [. 
 
28. Se para todo x real, ( ) 1f x x= + e 
( ) 3g x x= − , então: a) Os gráficos 
de f g− e f g+ são 
perpendiculares entre si. 
b) Os gráficos de f e g são 
perpendiculares entre si. 
c) O gráfico de f g− é paralelo ao 
eixo das abscissas. 
d) Os gráficos de f e g se 
interceptam em um ponto do segundo 
quadrante. 
e) O gráficos de f g+ é pependicular 
ao eixo das abscissas. 
 
 
 GABARITO: 
1 2 3 4 5 6 7 8 
B D C A B E A C 
9 10 11 12 13 14 15 16 
E C C C B D B B 
17 18 19 20 21 22 23 24 
C E C B C B D E 
25 26 27 28 
D A E B 
 
Questões Extras 
 
1. Considere ( )x g x= a função inversa 
da seguinte função: 
( ) 2 1y f x x x= = − + para cada x real 
e 
1
2
x ≥ . Nestas condições, como é 
definida a função ( )x g x= ? 
 
 
2. Seja a função { } { }: 2 3f R R− → − 
definida por ( )
2 3
1
2
x
f x
x
−
= +
−
. Sobre 
sua inversa podemos garantir que: 
 a) não está definida, pois f não é 
injetora. 
 b) não está definida, pois f não é 
sobrejetora. 
 c) está definida por 
( )1 2
1, 3
3
y
f y y
y
− −
= − ≠
−
. 
 d) está definida por 
( )1 5
1, 3
3
y
f y y
y
− +
= − ≠
−
. 
 e) está definida por 
( )1 2 5
, 3
3
y
f y y
y
− −
= ≠
−
. 
 
 
3. Seja :f R R→ uma função não nula, 
ímpar e periódica de período p. 
Considere as seguintes afirmações: 
I. ( ) 0f p ≠ 
II. ( ) ( ) , f x f x p x R− = − + ∀ ∈ . 
III. ( ) ( ) , f x f x p x R− = − ∀ ∈ . 
IV. ( ) ( ) , f x f x x R= − − ∀ ∈ . 
Qual (ais) das afirmativas acima é 
(são) verdadeira(s)? 
 
4. Sobre as afirmações abaixo sobre uma 
função :f R R→ , qual ou quais 
podemos afirmar que estão corretas? 
I. Se existe x R∈ tal que 
( ) ( )f x f x≠ − , então f não é par. 
II. Se existe x R∈ tal que 
( ) ( )f x f x− = − , então f é ímpar. 
III. Se f é par e ímpar então existe 
x R∈ tal que ( ) 1f x = . 
IV. Se f é ímpar então f f� é ímpar.