matmatica avançada 6 gabarito_

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Utilizando a decomposiçāo em fraçōes parciais da funçāo racional a seguir, indique sua integral indefinida.
$$
f(x)=\frac{4 x^2}{(x-1)(x-2)(x-3)}
$$
\(\ln \frac{(x-1)^2(x-3)^9}{(x-2)^5}+k\)
\(\ln \frac{(x-2)^2(x-3)^{18}}{(x-2)^{16}}+k\)
\(\ln \frac{(x-1)^2(x-3)^8}{(x-2)^{15}}+k\)
\(\ln \frac{(x-1)^2(x-3)^{18}}{(x-2)^{16}}+k\)
\(\ln \frac{(x-1)^2(x-3)^{18}}{(x-2)^{16}}+k\)
Resposta incorreta
Opa! A alternativa correta é a letra E. Confira o gabarito comentado!
Gabarito Comentado
$$
\begin{aligned}
& \frac{4 x^2}{(x-1)(x-2)(x-3)}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x-2}+\frac{C}{x-3} \\
& 4 x^2=A(x-2)(x-3)+B(x-1)(x-3)+C(x-1)(x-2)
\end{aligned}
$$
Dai, temos:
Lista de exercícios Integrais: Conceitos, Propriedades … Sair
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A
B
C
D
E
$$
\begin{aligned}
& x=1 \rightarrow 4=2 A \rightarrow A=2 \\
& x=2 \rightarrow 16=-B \rightarrow B=-16 \\
& x=3 \rightarrow 36=2 C \rightarrow C=18
\end{aligned}
$$
Entāo,
$$
\begin{aligned}
& I=\int f(x) d x \\
& I=\int\left[2 \frac{1}{x-1}-16 \cdot \frac{1}{x-2}+18 \frac{1}{x-3}\right] d x \\
& I=\ln 2(x-1)-16 \ln (x-2)+18 \ln (x-3)+k \\
& I=\ln \frac{(x-1)^2(x-3)^{1 a}}{(x-2)^{16}}+k
\end{aligned}
$$
2 Marcar para revisão


O método das fraçöes parciais é um dos métodos mais utilizados na resoluçảo de integrais. Usando este
método, calcule a integral ∫ dx.8
4−x2
In(2 + x) − In(2 − x) + C.
2(In(2 + x) − In(2 − x)) + C.
3(In(2 + x) − In(2 − x)) + C.
4(In(2 + x) − In(2 − x)) + C.
5(In(2 + x) − In(2 − x)) + C.
Resposta incorreta
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Gabarito Comentado
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A
B
C
D
E
Resolvendo a integral:
∫ dx = 8 ∫ dx
= +
1 = A(2 − x) + B(2 + x)
1 = 2A − Ax + 2B + Bx
⎧⎪
⎨
⎪⎩
1 = 2A + 2B
0 = −A + B
A = B =
8
4 − x2
1
4 − x2
1
4 − x2
A
2 + x
B
2 − x
1
4
8 ∫ ( + ) dx = 2(ln(2 + x) − ln(2 − x)) + C$$$$ ∫ dx = 2(ln(2 + x) − ln(2 − x)) + C1
4
1
2+x
1
2−x
8
4−x2
3 Marcar para revisão
O cálculo de integrais é uma ferramenta importante para calcular áreas, volumes e somas acumuladas. Calcule
a integral definida de f(x) = x + 3x - 2 de 0 a 2.2
2,67
4,67
6,67
8,67
10,67
Resposta incorreta
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Gabarito Comentado
Para resolver a integral definida, é necessário calcular a antidecivaga da funçäo e, em seguida, avaliá-la
nos limites de integração.
A antiderivada de  é:
Avaliando-a nos limites de integração de 0 a 2 , temos:
(f(x) = x2 + 3x − 2)
F(x) = (1/3)x3 + (3/2)x2 − 2x
F(2) − F(0) = (1/3)8 + (3/2)4 − 4 − (1/3)0 − (3/2)0 + 0 = 4
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A
B
C
D
E
4 Marcar para revisão
Calcule \(\int_0^1 \frac{1}{4 x^2-4 x+5} d x=1\).
arct 1/√5
1/(2√5)arct1/√5
arct1/(2√5)
1/(2√5)arct1/√5
1/(2√5)arct1/√5
Resposta incorreta
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Gabarito Comentado
$$
\begin{aligned}
& 4 x^2-4 x+5=(2 x-1)^2+4 \\
& 4 x^2-4 x+5=(2 x-1)^2+4
\end{aligned}
$$
Fazendo \(u=2 x-1\) obtemos:
$$
\left\{\begin{array}{l}
4 x^2-4 x+5=u^2+4 \\
d u=d x \\
x=0 \rightarrow u=-1 \\
x=1 \rightarrow u=1
\end{array}\right.
$$
Logo:
$$
\begin{aligned}
& I=\int_0^1 \frac{1}{4 x^2-4 x+5} d x \\
& I=\frac{1}{2} \int_0^1 \frac{1}{u^2+(\sqrt{5})^2} d u \\
& I=\frac{1}{2} \int_0^1 \frac{1}{u^2+(\sqrt{5})^2} d u \\
& I=\frac{1}{2}\left[\frac{1}{\sqrt{5}} \operatorname{arct} \frac{u}{\sqrt{5}}\right]_0^1 \\
& I=\frac{1}{2 \sqrt{5}} \operatorname{arct} \frac{15}{\sqrt{5}}
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A
B
C
D
E
A
B
C
\end{aligned}
$$
5 Marcar para revisão
Determine o valor da integral sen t cost dt3


, k real+ + kcos4t
2
cos2t
4


, k real− + ksen4t
4
sen2t
2


, k real− + kcos4t
4
cos2t
2


, k real + + ksen4t
4
sen2t
2


, k real− + k2cos5t
3
cos2t
3
Resposta incorreta
Opa! A alternativa correta é a letra C. Confira o gabarito comentado!
Gabarito Comentado
A integral dada é resolvida por meio da técnica de substituição. Nesse caso, a função sen t cos t dt é
integrada por partes, onde u = sen t e dv = sen t cos t dt. Após a integração, a expressão resultante é
, onde k é uma constante real. Portanto, a alternativa correta é a letra C.
3
2
− + kcos4t
4
cos2t
2
6 Marcar para revisão
Determine o valor da integral \(\int\left(2 \sec ^2 y+\frac{3}{1+y^2}+2 y\right) d y\)
2tgy + 3arctg(y) + y + k, kreal
2seny + 3arcsen(y) + 2y + k, kreal
2tgy − arctg(y) − 2y + k, kreal
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D
E
A
B
C
2cosy + 3arsen(y) + y + k, kreal
2seny + 3arctg(y) + y + k, kreal
Resposta incorreta
Opa! A alternativa correta é a letra A. Confira o gabarito comentado!
Gabarito Comentado
Observe que:
$$
\begin{aligned}
& (\operatorname{tg} y)^{\prime}=\sec ^2 y \\
& (\operatorname{arctg} y)^{\prime}=\frac{1}{y^2-1} \mathrm{e} \\
& \left(y^n\right)^{\prime}=n y^{n-1}
\end{aligned}
$$
Logo, é imediato que
$$
\begin{aligned}
& \int 2 \sec ^2 y d y=2 \operatorname{tg} y+k_1 \\
& \int \frac{3}{1+y^2} d y=3 \operatorname{arctg} y+k_2 \mathrm{e} \\
& \int 2 y d y=y^2+k_3
\end{aligned}
$$
7 Marcar para revisão
A escolha da técnica de integração irá depender da complexidade da integral. Tendo isso em mente, calcule a
integral indefinida ∫ dx.3e2x2ex
(ex−2)(e2x+4)

ln(e2x − 2) − + .
ln(e2x+4)
2
arctg( )ex
2
2

ln(ex − 2) − + .
ln(ex+1)
2
arctg( )ex
x
2

ln(ex − 4) − + .
ln(e2x+4)
4
arct g( )ex
2
4
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D
E

ln(ex − 2) − + .
ln(e2x+4)
2
arct g( )ex
2
2

ln(ex − 3) − + .
ln(e2x+4)
3
arctg( )ex
2
3
Resposta incorreta
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Gabarito Comentado
Resolvendo por integral por fraçenes parciais:
Resolvendo o sistema resultante:
Retornando para a integral:
Resolvendo cada uma delas separadamente:
Para a última integral, dividimos por 4, para levar a uma integral tonhecida:
Fazendo:
∫ dx
∫ = ex + du = exdx
∫ dx = ∫ exdx = ∫ du
3e2x2ex
(ex − 2) (e2x + 4)
3e2x2ex
(ex − 2) (e2x + 4)
3ex + 2
(ex − 2) (e2x + 4)
3u + 2
(u − 2) (u2 + 4)
= +
=
=
3u + 2
(u − 2) (u2 + 4)
A
u − 2
Bu + C
u2 + 4
3u + 2
(u − 2) (u2 + 4)
A (u2 + 4) + (Bu + C)(u − 2)
(u − 2) (u2 + 4)
(0)u2 + (3)u + (2)
(u − 2) (u2 + 4)
(A + B)u2 + (C − 2B)u + (4A − 2C)
(t − 2) (u2 + 4)
A + B = 0
C − 2B = 3
4A − 2C = 2
A = 1;B = −1;C = 1
∫ du = ∫ ( + + ) du3u+2
(u−2)(u2+4)
1
u−2
−u
u2+4
1
u2+4
∫ dt, y = u − 2 → dy = du
∫ dy = ln y = ln(u − 2)
∫ dt, z = u2 + 4 → dz = 2udu
∫ − ( ) = = −
1
d − 2
1
y
−u
u2 + 4
1
2
dz
z
ln z
−2
ln(u2 + 4)
2
∫ ( ) du = ∫ ( ) du1
u2+4
1/4
( )
2
+1u
2
w = , → dw = + =u
2
du
2
dw
2
du
4
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A
B
C
D
E
Juntando as respostas das 3 integrais:
Substituindo 
∫ ( ) du = ∫ ( ) = =
1/4
( )
2
+1u
2
dw
2
(w)2+1
arctg(w)
2
arctg( )u
2
2
∫ du = ∫ ( + + ) du
∫ du = ln(u − 2) − +
3u + 2
(u − 2) (u2 + 4)
1
u − 2
−u
u2 + 4
1
u2 + 4
3u + 2
(u − 2) (u2 + 4)
ln(u2 + 4)
2
arctg( )u
2
2
u = ex
∫ dx = ln(ex − 2) − +3e2x2ex
(ex−2)(e2x+4)
ln(e2x+4)
2
arctg( )ex
2
2
8 Marcar para revisão
Calcule \(\int \frac{x^2}{(x-1)^2} d x\)
\(x^2+3 x+2 \ln (x-1)+\frac{1}{x-1}+k \ldots\)
\(\frac{x^2}{2}+2 x+3 \ln (x-1)-\frac{1}{x-1}+k \ldots\)
\(x^2-3 x+2 \ln (x-1)+\frac{1}{x-1}+k \ldots\)
\(\frac{x^2}{2}+3 x+2 \ln (x-1)+\frac{1}{(x-1)^2}+k \ldots\)
\(\frac{x^2}{2}+2 x+3 \ln (x-1)-\frac{1}{x-1}+k \ldots\)
Resposta incorreta
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Gabarito Comentado
(utilizando artificios algébricos)
$$
\begin{aligned}
& \frac{x^3}{(x-1)^2}=\frac{x^3-1}{(x-1)^2}+\frac{1}{(x-1)^2} \\
& \frac{x^3}{(x-1)^2}=\frac{(x-1)\left(x^2+x+1\right)}{(x-1)^2}+\frac{1}{(x-1)^2} \\
& \frac{x^3}{(x-1)^2}=\frac{x^2+x+1}{(x-1)}+(x-1)^{-2} \\
& \frac{x^3}{(x-1)^2}=\frac{\left(x^2-2 x+1\right)+3 x}{(x-1)}+(x-1)^{-2} \\
& \frac{x^3}{(x-1)^2}=\frac{(x-1)^2}{(x-1)}+\frac{3 x}{x-1}+(x-1)^{-2} \\
& \frac{x^3}{(x-1)^2}=\frac{(x-1)^2}{(x-1)}+\frac{3 x}{x-1}+(x-1)^{-2} \\
& \frac{x^3}{(x-1)^2}=(x-1)+\frac{3 x}{x-1}+(x-1)^{-2} \\
& \frac{x^3}{(x-1)^2}=(x-1)+\frac{3(x-1)+3}{x-1}+(x-1)^{-2} \\
& \frac{x^3}{(x-1)^2}=(x-1)+3+\frac{3}{x-1}+(x-1)^{-2} \\
23/04/2025, 13:46 estacio.saladeavaliacoes.com.br/exercicio/680919610967178810f041f3/gabarito/
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A
B
C
D
E
& \frac{x^3}{(x-1)^2}=x+2+\frac{3}{x-1}+(x-1)^{-2}
\end{aligned}
$$
Dai,
$$
I=\frac{x^2}{2}+2 x+3 \ln (x-1)-\frac{1}{x-1}+k \ldots
$$
9 Marcar para revisão
Determine a integral \(\int 4^x d x\).
22xln4 + k, kreal
4 log 4 + k, krealx+1
10
4 + k, krealx-1
\(\frac{4^x}{i n}+k, k\) real
ln4.4x + k, kreal
Resposta incorreta
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Gabarito Comentado
Imediata, pois \(\int a^x d x=\frac{a^x}{\ln a}+k, k\) real, onde \(a=4\).
10 Marcar para revisão


Determine o valor da integral ∫ 8
1
4u8+U 2 8√u−2
u2
23/04/2025, 13:46 estacio.saladeavaliacoes.com.br/exercicio/680919610967178810f041f3/gabarito/
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A
B
C
D
E


189
2


295
2


103
2
211
255
Resposta incorreta
Opa! A alternativa correta é a letra B. Confira o gabarito comentado!
Gabarito Comentado
O valor da integral dada é obtido através da aplicação das regras de integração. Ao resolver a integral,
encontramos que o valor é igual a , que corresponde à alternativa B.
295
2
23/04/2025, 13:46 estacio.saladeavaliacoes.com.br/exercicio/680919610967178810f041f3/gabarito/
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