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Todos os materiais didáticos apresentados nesta plataforma são protegidos por direitos autorais de propriedade da Universidade Veiga 
de Almeida e do Centro Universitário Jorge Amado. Qualquer uso não autorizado, reprodução ou distribuição (incluindo o upload para 
sites) são estritamente proibidos e sujeitos às penalidades legais aplicáveis. Todos os direitos são reservados à UVA & Unijorge. 
Cálculo Elementar 
 
 
Olá, estudante! Na disciplina Cálculo Elementar você conhecerá as funções 
matemáticas que podem descrever vários contextos, tanto da vida cotidiana, como do 
mundo do trabalho. Nesse sentido, ela apresenta uma parte fundamental da 
Matemática, presente em diversas áreas, como Engenharia e Gestão. 
 
Funções são ferramentas matemáticas utilizadas para descrever relações entre 
variáveis. Cada uma constitui um conjunto de regras que relaciona um grupo de 
números de entrada a outro correspondente de saída, por meio de uma descrição 
matemática que estabelece correspondência entre os valores de entrada e saída. 
Essa descrição, geralmente, é chamada de Lei de formação da função, ou somente de 
Lei da função. 
 
O estudo de funções é essencial para a compreensão de conceitos fundamentais em 
diversas áreas de Engenharia e Gestão. Por exemplo, na primeira, funções são 
usadas para modelar sistemas físicos complexos, como os de controle de processos 
industriais, redes de comunicação e circuitos eletrônicos. Na segunda, elas são 
utilizadas para analisar o comportamento de variáveis financeiras e econômicas e, 
assim, auxiliar na tomada de decisões empresariais. 
 
Bom estudo! 
 
 
 
 
 
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Objetivos 
 
Ao final desta disciplina, você deverá ser capaz de: 
 
• Construir modelos envolvendo funções lineares e quadráticas. 
• Resolver problemas descritos por desigualdades e funções. 
• Aplicar conceito de função exponencial. 
• Reconhecer as aplicações das funções trigonométricas. 
 
 
 
Conteúdo Programático 
 
Esta disciplina está organizada de acordo com as seguintes unidades: 
 
• Unidade 1 – Modelos lineares e quadráticos 
• Unidade 2 – Funções e desigualdades 
• Unidade 3 – Modelo exponencial 
• Unidade 4 – Funções trigonométricas 
 
 
 
Autoria 
 
Professora Roberta Mendiondo 
 
Mestre em Engenharia, especialista em EAD e Educação Profissional e Tecnológica e 
graduada em Matemática e Computação. É professora com mais de 25 anos de 
experiência como docente, sendo 15 deles no Ensino Técnico e Superior. Dedicada 
tanto à educação presencial como à modalidade à distância, atua como professora-
tutora e na produção de conteúdo acadêmico nos temas Matemática e Estatística 
Aplicadas e Ciência de Dados. 
 
 
 
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Modelos lineares e quadráticos 
 
 
As funções do primeiro e do segundo grau são importantes porque ajudam a entender 
as relações entre as variáveis por meio de equações simples. Isso é especialmente útil 
no mundo do trabalho, quando frequentemente precisamos modelar situações do 
mundo real em termos de equações matemáticas. Por exemplo, podemos usar 
funções do primeiro grau para modelar a relação entre o tempo e a distância 
percorrida por um veículo que será locado ou seu consumo de combustível e 
desgaste. 
 
Além disso, o estudo de funções do primeiro e do segundo grau pode contribuir para o 
desenvolvimento de habilidades analíticas importantes para sua atuação profissional, 
facilitando o entendimento da dinâmica de processos produtivos, o cálculo de preços 
de venda e a análise de dados de todas as áreas de negócio. 
 
 
Objetivo 
 
Ao final desta unidade, você deverá ser capaz de: 
 
• Construir modelos envolvendo funções lineares e quadráticas. 
 
 
Conteúdo Programático 
 
Esta unidade está organizada de acordo com os seguintes temas: 
 
• Tema 1 - Introdução à ideia de função e aplicações 
• Tema 2 - Função do primeiro grau 
• Tema 3 - Função do segundo grau 
 
 
 
 
 
 
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Iniciamos nosso estudo com um vídeo que fala sobre o cálculo do imposto de renda. 
Acesse pelo YouTube o canal M3 Matemática Multimídia e assista a: A parte do 
Leão, através do link: https://www.youtube.com/watch?v=Vl1duxB_jEs. Nele, um 
jovem recebe um aumento salarial e quer saber o imposto que será descontado de 
seu novo salário. 
 
Perceba que a explicação que ele recebe sobre o processo de cálculo do imposto de 
renda envolve variáveis que se relacionam de forma linear; inclusive, isso pode ser 
descrito por mais de uma função linear. Faça o seguinte: 
 
Atualize as faixas de incidência do imposto de renda, você mesmo(a); acompanhe o 
processo de cálculo explicado no vídeo e aplique as funções à sua vida prática e 
imediata. 
 
 
https://www.youtube.com/watch?v=Vl1duxB_jEs
 
 
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Tema 1 
Introdução à ideia de função e aplicações 
 
 
O que são funções? E para que servem? 
 
O conceito de função é fundamental em Matemática e tem aplicações 
importantíssimas em diversas áreas, como Engenharia, Finanças, Computação e 
Medicina. 
 
Uma função pode ser entendida como a relação entre um conjunto de 
entradas (argumentos) e outro de saídas (valores de retorno). Ela recebe 
os argumentos como entrada, realiza um processamento interno (cálculos) 
e devolve os valores correspondentes; i. e., as saídas. Na Matemática, 
geralmente, chamam-se as entradas de x e as saídas, y. 
 
 
Como as funções relacionam variáveis, podemos, por exemplo, descrever a dosagem 
recomendada de certo medicamento 𝑦𝑦 em função do peso 𝑥𝑥 da pessoa. Nesse 
sentido, suponha que um remédio específico seja prescrito com dosagem de 10 mg 
por quilograma de peso corporal. Se representarmos com 𝑥𝑥 o peso de alguém em 
quilogramas, e 𝑦𝑦 a dosagem do medicamento em miligramas, a equação que relaciona 
peso e dosagem será: 
𝒚𝒚 = 𝟏𝟏𝟏𝟏 ∙ 𝒙𝒙 
 
Nesse caso, se uma pessoa pesa 70 kg, podemos calcular a dosagem recomendada 
do medicamento: 
 
𝑦𝑦 = 10 ∙ 70 à 𝑦𝑦 = 700. 
 
Portanto, a dosagem recomendada do medicamento seria de 700 mg para uma 
pessoa com 70 kg. 
 
 
Função X equação 
 
Ainda no Ensino Fundamental, você deve ter estudado problemas resolvidos por 
equações, aquelas expressões que envolviam 𝒙𝒙 e que parecem estar presentes 
quando falamos em função. Então, vamos conhecer melhor o que é equação e o que é 
função e diferenciar esses conceitos. 
 
 
 
 
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Equação 
 
É uma expressão matemática que estabelece uma igualdade entre duas quantidades 
ou expressões. Geralmente, envolve uma incógnita (representada por uma variável) e 
pode incluir constantes e operadores matemáticos. O objetivo de uma equação é 
encontrar o valor, ou os valores, da variável que satisfaça a igualdade estabelecida. 
 
Exemplo de equação: 2𝑥𝑥 + 5 = 12. 
 
Nesse caso, a incógnita é 𝑥𝑥, e o objetivo é encontrar seu valor, que torna a igualdade 
verdadeira. 
 
Função 
 
Já essa, por outro lado, é uma relação especial entre duas variáveis, geralmente 
representada por uma regra ou fórmula matemática. Ela associa cada valor da variável 
independente a um único valor correspondente da dependente. As funções descrevem 
como uma quantidade dependente varia em relação à outra, que é independente. 
 
A função é composta por três elementos principais: 
 
• Variável independente. 
• Variável dependente. 
• Regra (ou lei) que relaciona as duas. 
 
Exemplo de função: 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 2𝑥𝑥 + 3. 
 
• 𝑥𝑥 é a variável independente. 
• 𝑓𝑓(𝑥𝑥) é a variável dependente, que depende do valor da variável independente 
𝑥𝑥. 
• 2𝑥𝑥 + 3 é a regra (ou lei) da função, que indica quais cálculos devem ser 
realizados com cada valor de 𝑥𝑥 fornecido para determinar o valor 
correspondente de 𝑓𝑓(𝑥𝑥) (também chamado de 𝑦𝑦). 
 
Importante! 
 
Resumindo: 
 
• Equação é uma igualdade matemática que envolve uma incógnita. 
• Função é uma relação matemática que descreve como uma variável 
dependente 𝑥𝑥 varia em relação à outra independente, 𝑦𝑦. 
 
As funções podem ser expressas por meio de equações, mas essas nem 
sempre representam aquelas. 
 
 
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Tema 2 
Função do primeiro grau 
 
 
Para que serve a função linear? 
 
Para começar nosso estudo sobre a função do primeiro grau, vamos antes entender 
as diferentes nomenclaturas desse tipo de função. Sim... Ela pode ser chamada por 
mais de um nome! E você precisa saber que se referem à mesma função: linear, afim 
ou do primeiro grau. 
 
Vamos conhecer cada uma delas com mais detalhes: 
 
 
Função do primeiro grau 
 
Essa denominação se refere ao fato de a lei da função ser polinomial. Essa pode ter 
graus diferentes, que são determinados pelo maior expoente da variável x que a 
função apresenta. 
 
Por exemplo, uma função polinomial de grau 1 é aquela cujo maior 
expoente de x é igual a 1; ou seja, ela é uma função do 1° grau. 
 
 
Alguns exemplos de funções polinomiais são: 
 
𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 3𝑥𝑥 − 1 (função polinomial de grau 1) 
𝑔𝑔(𝑥𝑥) = 2𝑥𝑥² + 𝑥𝑥 + 3 (função polinomial de grau 2) 
ℎ(𝑥𝑥) = 4𝑥𝑥⁴ + 7𝑥𝑥³ − 𝑥𝑥² + 2𝑥𝑥 + 5 (função polinomial de grau 4) 
 
 
Função afim 
 
É uma polinomial do 1° grau, a qual descreve a relação linear entre duas variáveis. A 
forma geral de uma função afim é dada por: 
 
𝒇𝒇(𝒙𝒙) = 𝒂𝒂𝒙𝒙 + 𝒃𝒃 ou 𝒚𝒚 = 𝒂𝒂𝒙𝒙 + 𝒃𝒃 , 
em que 𝑎𝑎 , 𝑏𝑏 ∈ ℝ 𝑒𝑒 𝒃𝒃 ≠ 𝟏𝟏. 
 
 
 
 
 
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Observe: 
 
• Tanto 𝑓𝑓(𝑥𝑥) como 𝑦𝑦 representam a variável que depende de 𝑥𝑥; ou seja, 𝑓𝑓(𝑥𝑥) =
𝑦𝑦. 
• 𝑎𝑎 e 𝑏𝑏 são coeficientes reais e constantes, denominados: 
 𝑎𝑎: coeficiente angular ou taxa de variação. 
 𝑏𝑏: coeficiente linear ou termo independente, que, na função afim, tem 
que ser um número real diferente de zero. 
 
Coeficiente angular 𝒂𝒂 
 
Determina a taxa de variação de 𝑦𝑦 em relação a 𝑥𝑥, o que graficamente define a 
inclinação da reta que representa a função em relação ao eixo horizontal do plano 
cartesiano. O valor de 𝑎𝑎 igual à tangente do ângulo 𝜃𝜃, que a reta forma com o eixo 
horizontal. 
 
Coeficiente linear 𝒃𝒃 
 
Representa o termo independente; ou seja, 𝑏𝑏 é igual ao valor de 𝑦𝑦 quando 𝑥𝑥 é igual a 
zero, o que graficamente corresponde ao ponto onde a reta que representa a função 
intercepta o eixo vertical do plano cartesiano. 
 
 
 
Figura 1 – Função afim 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑎𝑎𝑥𝑥 + 𝑏𝑏. 
 
 
Função linear 
 
Quando chamamos uma função de linear, referimo-nos ao comportamento da relação 
entre variáveis 𝑥𝑥 e 𝑦𝑦, a qual é representada graficamente por uma linha reta (relação 
linear). Ou seja, o gráfico da função linear é uma reta, como pode ser observado na 
Figura 1. 
 
 
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Função linear é o nome mais popular para esse tipo de função. Se formos mais 
rigorosos matematicamente, denominaremos de função linear a polinomial do 1° grau 
— ou função afim —, em que o gráfico passa pela origem dos eixos coordenados, o 
que corresponde à expressão matemática do tipo 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑎𝑎𝑥𝑥 (termo independente 
igual a zero, 𝑏𝑏 = 0). 
 
Exemplificando: 
 
𝒇𝒇(𝒙𝒙) = 𝟐𝟐𝒙𝒙 é uma função linear. 
𝑎𝑎 = 2 𝑒𝑒 𝒃𝒃 = 𝟏𝟏; enquanto a função 𝑔𝑔(𝑥𝑥) = 2𝑥𝑥 + 1 é uma afim, pois 𝑎𝑎 = 2 𝑒𝑒 𝑏𝑏 = 1, e 
como 𝑏𝑏 ≠ 0, a função 𝑔𝑔(𝑥𝑥) não poderia, a rigor, ser chamada de função linear. 
 
 
Figura 2 – Função linear 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 2𝑥𝑥. 
 
 
 
Na prática, em contextos diversos e de aplicação que se distanciam do rigor da 
Matemática pura, as funções do primeiro grau são geralmente chamadas de função 
linear, assim como faremos neste texto. 
 
 
Nesse sentido, vamos à definição dessa função. 
 
 
Função linear 
 
Uma função 𝑓𝑓 é chamada afim ou linear se puder ser escrita na forma: 
 
𝒇𝒇(𝒙𝒙) = 𝒂𝒂𝒙𝒙 + 𝒃𝒃. 
 
Na qual 𝑎𝑎 e 𝑏𝑏 são coeficientes reais constantes, com 𝑎𝑎 ≠ 0 para todo 𝑥𝑥 ∈ ℝ. 
 
 
 
 
 
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Raiz da função 
 
Essa (ou zero) ocorre no ponto em que seu valor 𝑓𝑓(𝑥𝑥) é igual a zero; ou seja, no ponto 
(𝑥𝑥𝑖𝑖 , 0). 𝑥𝑥𝑖𝑖 é a raiz (ou zero) da função 𝑓𝑓(𝑥𝑥). Para encontrarmos a raiz da função, 
podemos substituir 𝑓𝑓(𝑥𝑥) por zero. 
 
Por exemplo, se 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 3𝑥𝑥 + 1, a raiz de 𝑓𝑓(𝑥𝑥) é dada por: 
 
𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 3𝑥𝑥 + 1 
 
 0 = 3𝑥𝑥 + 1 
0 − 1 = 3𝑥𝑥 
 −1 = 3𝑥𝑥 
 𝑥𝑥 = −
1
3
. 
Logo, −1
3
 é a raiz da função 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 3𝑥𝑥 + 1. 
 
Geometricamente, a raiz da função linear corresponde ao ponto de intersecção da reta 
que representa a função com o eixo horizontal do plano cartesiano. 
 
 
 
 
 
Figura 3 – Pontos: raiz da função (𝑥𝑥 , 0) e intersecção com eixovertical (0, 𝑏𝑏). 
 
 
 
Coeficientes da Lei da função linear 
 
Algumas vezes conhecemos pontos dados pelos pares ordenados (𝑥𝑥 ,𝑦𝑦) de uma 
função linear, mas não temos a expressão que a descreve; ou seja, não conhecemos 
a Lei da função. 
 
 
 
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Nesse caso, como sabemos que a forma geral da função linear é 𝒇𝒇(𝒙𝒙) = 𝒂𝒂𝒙𝒙 + 𝒃𝒃, se 
calcularmos os coeficientes 𝑎𝑎 e 𝑏𝑏 poderemos construir o modelo linear (função linear) 
que descreve a relação entre essas duas variáveis. Vamos, então, estudar estratégias 
para calcular, ou apenas identificar, os coeficientes angular e linear de uma função. 
 
Coeficiente angular – 𝒂𝒂 
 
Esse pode ser calculado a partir de dois pontos, dois quais conhecemos as 
coordenadas (𝒙𝒙𝟏𝟏 ,𝒚𝒚𝟏𝟏) e (𝒙𝒙𝟐𝟐 ,𝒚𝒚𝟐𝟐), da seguinte forma: 
 
𝒂𝒂 = 
𝒚𝒚𝟐𝟐 − 𝒚𝒚𝟏𝟏
𝒙𝒙𝟐𝟐 − 𝒙𝒙𝟏𝟏
. 
 
Quando chamamos de ∆𝒙𝒙 a diferença (ou variação) entre as coordenadas 𝑥𝑥 de dois 
pontos, e de ∆𝒚𝒚 aquela entre as coordenadas 𝑦𝑦 dos mesmos dois pontos, os quais 
apresentam relação linear entre si, podemos dizer que: 
 
𝒂𝒂 = 
∆𝒚𝒚
∆𝒙𝒙
. 
Dessa forma, temos que: 
𝒂𝒂 = 
𝒚𝒚𝟐𝟐 − 𝒚𝒚𝟏𝟏
𝒙𝒙𝟐𝟐 − 𝒙𝒙𝟏𝟏
=
∆𝒚𝒚
∆𝒙𝒙
. 
 
Geometricamente, o coeficiente angular corresponde à tangente do ângulo 𝜽𝜽, 
que a reta que representa a função linear forma com o eixo horizontal do plano 
cartesiano. Agora, observe o triângulo retângulo — Figura 4 (logo abaixo): 
Interpretação geométrica do coeficiente angular —, localizando o ângulo 𝜃𝜃 e os 
catetos opostos e adjacentes a ele, nesse triângulo. 
 
Pensando dessa forma, o cateto oposto ao ângulo 𝜽𝜽 é igual a ∆𝒚𝒚 , e o adjacente é 
igual a ∆𝒙𝒙 . Da Trigonometria sabemos que: 
 
𝑡𝑡𝑔𝑔 𝜃𝜃 =
𝑐𝑐𝑎𝑎𝑡𝑡𝑒𝑒𝑡𝑡𝑐𝑐 𝑐𝑐𝑜𝑜𝑐𝑐𝑜𝑜𝑡𝑡𝑐𝑐 𝑎𝑎 𝜃𝜃
𝑐𝑐𝑎𝑎𝑡𝑡𝑒𝑒𝑡𝑡𝑐𝑐 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑐𝑐𝑒𝑒𝑎𝑎𝑡𝑡𝑒𝑒 𝑎𝑎 𝜃𝜃
. 
 
Portanto, a tangente do ângulo 𝜃𝜃, que é o próprio coeficiente angular 𝑎𝑎 , é dada por: 
 
𝒂𝒂 = 𝒕𝒕𝒕𝒕 𝜽𝜽 =
𝑐𝑐𝑎𝑎𝑡𝑡. 𝑐𝑐𝑜𝑜𝑐𝑐𝑜𝑜𝑡𝑡𝑐𝑐
𝑐𝑐𝑎𝑎𝑡𝑡.𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑐𝑐𝑒𝑒𝑎𝑎𝑡𝑡𝑒𝑒 
=
∆𝒚𝒚
∆𝒙𝒙
. 
 
Analise essas relações na figura a seguir: 
 
 
 
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Figura 4 – Interpretação geométrica do coeficiente angular. 
 
 
Coeficiente linear – 𝒃𝒃 
 
Esse corresponde ao valor 𝒚𝒚 (𝑣𝑣𝑎𝑎𝑣𝑣𝑐𝑐𝑣𝑣 𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑓𝑓𝑓𝑓𝑎𝑎çã𝑐𝑐 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥) ) quando 𝒙𝒙 = 𝟏𝟏. Dessa forma, 
se conhecermos as coordenadas (𝑥𝑥 ,𝑦𝑦) de um ponto, sendo que 𝑥𝑥 = 0; ou seja, (0 ,𝑦𝑦), 
o valor do coeficiente linear 𝑏𝑏 será igual ao de 𝑦𝑦 e, assim, teremos (0 , 𝑦𝑦) = (0, 𝑏𝑏). 
 
Se, por outro lado, o que conhecemos é o gráfico da função linear, o valor de 𝑏𝑏 será 
igual ao de 𝑦𝑦 no ponto de intersecção da reta, que representa a função, com o eixo 
vertical do plano cartesiano. 
 
Exemplo: 
Considere que uma reta passe pelos pontos 𝑃𝑃(3 , 8) e 𝑄𝑄(5 , 4). Determine a lei da 
função linear (= equação da reta) cujo gráfico passa por 𝑃𝑃 e 𝑄𝑄. 
 
Sabemos que a forma geral da função linear é 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑎𝑎𝑥𝑥 + 𝑏𝑏; então, precisamos 
determinar seus coeficientes angular 𝒂𝒂 e linear 𝒃𝒃 para obtermos a lei da função que 
passa por 𝑃𝑃 e 𝑄𝑄. 
 
 
 
Como 𝒂𝒂 = 𝒚𝒚𝟐𝟐−𝒚𝒚𝟏𝟏
𝒙𝒙𝟐𝟐−𝒙𝒙𝟏𝟏
 e 𝑃𝑃(3 , 8) , 𝑄𝑄(5 , 4) temos que 𝒂𝒂 = 4−8
5−3
= −𝟒𝟒
𝟐𝟐
= −𝟐𝟐. 
 
 
Assim, já temos parte da lei da função, substituindo 𝒂𝒂 = −𝟐𝟐 na forma geral da função 
linear: 
𝒇𝒇(𝒙𝒙) = 𝒂𝒂𝒙𝒙 + 𝒃𝒃 
𝒇𝒇(𝒙𝒙) = −𝟐𝟐𝒙𝒙 + 𝒃𝒃 
 
(𝑥𝑥1 ,𝑦𝑦1) 
 
(𝑥𝑥2 ,𝑦𝑦2) 
 
 
 
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Nesse caso, não sabemos o valor de 𝑏𝑏 porque não conhecemos o de 𝑦𝑦 quando 𝑥𝑥 = 0; 
ou seja, não nos foi dado um ponto do tipo (0 , 𝑦𝑦). 
 
Então, nossa estratégia para encontrar o valor de 𝑏𝑏 será a substituir os de 𝑥𝑥 e 𝑦𝑦 na lei 
da função que temos até aqui: 𝒇𝒇(𝒙𝒙) = −𝟐𝟐𝒙𝒙 + 𝒃𝒃, usando um dos pontos que 
conhecemos, porque eles devem satisfazer a equação que descreve a função. 
 
Vamos utilizar o ponto 𝑃𝑃(2 , 6), em que x = 2 e y = 6 �sabendo que y = f(x)�, para 
substituir na lei da função 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = −2𝑥𝑥 + 𝑏𝑏. Dessa forma: 
 
Se P(2 , 6), em que x = 2 e y = f(x) = 6. 
 
𝑓𝑓(𝑥𝑥) = −2 ∙ 𝑥𝑥 + 𝑏𝑏 
 6 = −2 ∙ 2 + 𝑏𝑏 
 6 = −4 + 𝑏𝑏 
 6 + 4 = 𝑏𝑏 
 𝑏𝑏 = 10 à 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = −2𝑥𝑥 + 10. 
 
Logo, a lei da função linear, cujo gráfico passa por 𝑃𝑃(3 , 8) e 𝑄𝑄(5 , 4), é 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = −2 𝑥𝑥 +
 10. 
 
 
Aplicações do modelo linear 
 
Problema 1 
 
Um pequeno empreendedor analisou a receita total mensal do seu negócio referente 
aos últimos 24 meses, e a partir disso, ele construiu um modelo que pode descrever 
sua receita total mensal, que é 𝑅𝑅(𝑥𝑥) = 3000 + 200𝑥𝑥. 𝑥𝑥 é o número de serviços 
prestados por mês. 
 
• Qual será a receita total no mês em que essa pequena empresa prestar 23 
serviços? 
 
Esse problema pede o valor da função R(x), quando x = 23. 
Para isso precisamos substituir o valor de x na lei da função R(x) por 23. Assim: 
 
R(x) = 3000 + 200x 
R(x) = 3000 + 200 ∙ 23 
R(x) = 3000 + 4600 
R(x) = 7600. 
 
Logo, a receita total em um mês que essa pequena empresa preste 23 serviços 
será de R$ 7.600,00. 
 
 
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Problema 2 
 
Na empresa Ksamento, o custo fixo mensal é R$ 3.900,00 e o unitário de produção de 
seu principal produto (P1) é R$ 13,00. O preço de venda de cada unidade de P1 é R$ 
42,00. Considerando que a empresa produz e vende 𝑥𝑥 unidades de P1 por mês; 
construa modelos matemáticos capazes de prever, em função da quantidade 
produzida/vendida 𝑥𝑥, 
 
a. O custo variável mensal. 
b. O custo total mensal. 
 
 
Anotando os dados do problema, temos: 
 
• Custo fixo, CF = 3.900 
• Custo variável, c = 13 
• Preço de venda, p = 42 
• Quantidade mensal produzida/vendida, x . 
 
a) O custo variável mensal – CV é igual à multiplicação do unitário pela 
quantidade produzida; ou seja, 𝐂𝐂𝐂𝐂(𝐱𝐱) = 𝐜𝐜 ∙ 𝐱𝐱. Como sabemos que 𝐜𝐜 =
 𝟏𝟏𝟏𝟏 e representamos a quantidade vendida por 𝐱𝐱, podemos prever o 
custo variável mensal por meio da função linear 𝐂𝐂𝐂𝐂(𝐱𝐱) = 𝟏𝟏𝟏𝟏 ∙ 𝐱𝐱. 
 
b) O custo total mensal – CT é dado pela soma do variável mensal – CV 
com o fixo mensal – CF;, ou seja, 𝐂𝐂𝐂𝐂(𝐱𝐱) = 𝐂𝐂𝐂𝐂(𝐱𝐱) + 𝐂𝐂𝐂𝐂. Como sabemos 
que 𝐂𝐂𝐂𝐂(𝐱𝐱) = 𝟏𝟏𝟏𝟏 ∙ 𝐱𝐱 e que CF = 3900; podemos prever o custo total 
mensal por meio da função linear (ou afim). 
 
𝑪𝑪𝑪𝑪(𝒙𝒙) = 𝟏𝟏𝟏𝟏𝒙𝒙+ 𝟏𝟏𝟑𝟑𝟏𝟏𝟏𝟏. 
 
 
 
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Tema 3 
Função do segundo grau 
 
Para quais situações a função quadrática é adequada? 
 
A função do 2° grau tem diversas aplicações em áreas como Física, Economia e 
Engenharia. Elas são frequentemente usadas para modelar fenômenos que 
apresentam relação quadrática, como trajetórias de projéteis, movimentos de corpos 
em queda livre, comportamento de objetos lançados em um campo gravitacional e 
relações entre demanda de mercado e lucro. 
 
Essa função, ou polinomial de grau 2, é também chamada de função quadrática, tem 
como forma geral um polinômio de grau 2; ou seja, aquele cujo maior expoente da 
variável independente 𝑥𝑥 é igual a 2. Sua forma geral é dada por: 
 
𝒇𝒇(𝒙𝒙) = 𝒂𝒂𝒙𝒙𝟐𝟐 + 𝒃𝒃𝒙𝒙 + 𝒄𝒄. 
 
𝑎𝑎, 𝑏𝑏 e 𝑐𝑐 são constantes, enquanto 𝑎𝑎 ≠ 0. 
 
 
Coeficiente e o vértice da parábola 
 
A função quadrática pode ser representada, graficamente, por uma curva chamada de 
parábola, e seu coeficiente 𝑎𝑎 determina sua concavidade, que pode ter: 
 
Concavidade voltada para cima, quando 𝒂𝒂 > 𝟏𝟏. 
 
 
 
 
Figura 5 – Parábola. 
 
A função do 2° grau tem diversas aplicações em áreas como Física, Economia e 
Engenharia. Elas são frequentemente usadas para modelar fenômenos que 
apresentam relação quadrática, como trajetórias de projéteis, movimentos de corpos 
 
 
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em queda livre, comportamento de objetos lançados em um campo gravitacional e 
relações entre demanda de mercado e lucro. 
 
Essa função, ou polinomial de grau 2, é também chamada de função quadrática, tem 
como forma geral um polinômio de grau 2; ou seja, aquele cujo maior expoente da 
variável independente 𝑥𝑥 é igual a 2. Sua forma geral é dada por: 
 
𝒇𝒇(𝒙𝒙) = 𝒂𝒂𝒙𝒙𝟐𝟐 + 𝒃𝒃𝒙𝒙 + 𝒄𝒄. 
 
𝑎𝑎, 𝑏𝑏 e 𝑐𝑐 são constantes, enquanto 𝑎𝑎 ≠ 0. 
 
 
Coeficiente e o vértice da parábola 
 
A função quadrática pode ser representada, graficamente, por uma curva chamada de 
parábola, e seu coeficiente 𝑎𝑎 determina sua concavidade, que pode ter: 
 
Quando a concavidade da parábola é voltada para cima, ela tem vértice — conforme 
indicado na Figura 5 —, que corresponde ao menor valor da função. Ou seja, é o 
ponto de mínimo da função. Nesse caso, chamamos as coordenadas desse ponto 
de mínimo (do vértice da parábola) de 𝑥𝑥 do vértice 𝑥𝑥𝑣𝑣, e de 𝑦𝑦 do vértice, 𝑦𝑦𝑣𝑣 . Dessa 
forma, o vértice 𝑽𝑽 possui coordenadas (𝒙𝒙𝒗𝒗,𝒚𝒚𝒗𝒗). 
 
Concavidade voltada para baixo, quando 𝒂𝒂 0), a equação terá duas raízes 
reais e distintas. 
 
Exemplo: 𝒇𝒇(𝒙𝒙) = 𝒙𝒙𝟐𝟐 − 𝟔𝟔𝒙𝒙 + 𝟖𝟖. 
 
 
 
 
Figura 8 – Parábola. 
 
• Se o discriminante for igual a zero (𝒃𝒃𝟐𝟐 − 𝟒𝟒𝒂𝒂𝒄𝒄 = 𝟏𝟏), a equação terá uma raiz 
real única, que é chamada de raiz dupla. 
 
Exemplo: 𝒇𝒇(𝒙𝒙) = 𝒙𝒙𝟐𝟐 − 𝟔𝟔𝒙𝒙 + 𝟑𝟑 
 
 
 
Figura 9 – Parábola. 
 
 
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• Se o discriminante for negativo (𝒃𝒃𝟐𝟐 − 𝟒𝟒𝒂𝒂𝒄𝒄à UVA & Unijorge. 
Resolvendo: 
 
O problema fornece o modelo quadrático (função) e pede-nos o valor da 
função L(x), quando o preço de P1 é R$ 180,00; i. e., quando x = 180. 
Para isso, precisamos substitui-lo por 180 na lei da função (modelo 
quadrático). Assim 
 
Se x = 180 e L(x) = −x2 + 400x − 1000 
Então, temos L(180) = −1802 + 400 ∙ 180 − 1000 
L(180) = −32.400 + 72.000 − 1000 
L(180) = 38.600. 
 
Logo, o lucro bruto que a empresa alcançará com a venda de P1, nesse 
dia, será de R$ 38.600,00. 
 
Problema 2 
 
A empresa Teczera está reavaliando sua política de preços com objetivo de obter o 
maior lucro possível. Você, como consultor, precisará sugerir o valor que maximizaria 
o lucro bruto diário com a venda do produto 𝑃𝑃1, descrito por 𝐿𝐿(𝑥𝑥) = −𝑥𝑥² +
 400𝑥𝑥 – 1000, e qual seria esse lucro. Nesse sentido, responda: 
 
a. Por qual valor deveria ser vendido 𝑷𝑷𝟏𝟏, de forma que o lucro bruto diário 
fosse maximizado? 
 
b. Qual seria o maior lucro bruto diário com a venda de 𝑷𝑷𝟏𝟏? 
 
Resolvendo: 
 
a) O preço de P1 que faria o lucro bruto diário de sua venda ser maximizado ocorrerá 
no ponto que representa o vértice da parábola que descreve a função L(x) = −x² +
 400x – 1000. Assim, vamos calcular o x do vértice, xv : 
 
xv =
−b
2a
=
−400
2.−1
=
−400
−2
= 200. 
 
Portanto, vendendo P1 por R$ 200,00, a Teczera alcançaria o maior lucro bruto 
diário. 
 
b) Se o preço de R$ 200,00 para P1 é o que maximizaria o lucro bruto diário, então, 
para encontrar esse, basta que se substitua x por 200 no modelo quadrático que o 
descreve, L(x) = −x² + 400x – 1000. Assim, temos 
 
 
 
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Se x = 200 e L(x) = −x² + 400x – 1000, fazemos a substituição. 
 L(200) = −2002 + 400 ∙ 200 – 1000 = 39000. 
 
Logo, o lucro bruto diário máximo com a venda de P1 seria R$ 39.000,00 — para o 
valor de venda de P1 a R$ 200,00 (valor de venda que maximiza L(x)). 
 
Observe o ponto de máximo de 𝐿𝐿(𝑥𝑥) = −𝑥𝑥² + 400𝑥𝑥 – 1000, graficamente: 
 
 
 
 
Figura 11 – Parábola. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Encerramento 
 
 
O que são funções? E para que servem? 
 
As funções descrevem relações entre dois conjuntos, em que cada elemento do 
primeiro está associado a um único elemento do segundo. Elas servem como 
ferramentas essenciais na descrição e modelagem de fenômenos quantitativos 
presentes em diversas áreas do conhecimento. Por meio de equações e gráficos, as 
funções matemáticas permitem analisar e compreender relações entre variáveis, 
prever comportamentos, resolver problemas complexos, otimizar processos e tomar 
decisões embasadas em dados. 
 
Para que serve a função linear? 
 
Ela é amplamente utilizada em diversas áreas, pois permite representar relações de 
proporcionalidade constante entre duas variáveis. Sua simplicidade e facilidade 
permitem a interpretação e a modelagem de inúmeros fenômenos oriundos de 
diferentes contextos, podendo ser empregada na resolução de problemas financeiros, 
determinar custos fixos e lucros, entre outros. 
 
Para quais situações a função quadrática é adequada? 
 
O modelo quadrático descreve um tipo de relação não linear entre variáveis. Ele 
permite, por exemplo, que se definam pontos de máximo e/ou mínimo, os quais são 
importantes em processos de otimização em diversas áreas e que se prevejam 
tendências e comportamentos em contextos específicos, que são amplamente 
aplicadas em análises de custo e receita em economia, entre outras aplicações. 
 
 
Resumo da Unidade 
 
Nesta unidade estudamos conceitos fundamentais, como o de função, função linear 
e quadrática, além de suas aplicações. Começamos entendendo o conceito geral de 
função, que estabelece uma relação matemática entre um conjunto de entradas e 
outro correspondente de saídas. Em seguida, focamos na função linear que é 
caracterizada por uma taxa constante de mudança entre as variáveis. Por exemplo, 
quando temos uma relação direta e proporcional entre duas variáveis, podemos 
representá-la por uma equação do tipo f(x) = ax + b, em que a é o coeficiente 
angular (indicando a taxa de variação), e b é o linear (revelando o ponto de 
interseção com o eixo y). Discutimos também exemplos práticos, como cálculos de 
custos fixos e ganhos financeiros. 
 
 
 
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sites) são estritamente proibidos e sujeitos às penalidades legais aplicáveis. Todos os direitos são reservados à UVA & Unijorge. 
Por fim, estudamos a função quadrática, que possui uma relação não linear entre as 
variáveis. Essa é expressa por uma equação do tipo f(x) = ax2 + bx + c, em que a é 
o coeficiente que define a concavidade da parábola que representa a função, e 
ainda: f(x) apresenta o ponto de máximo ou de mínimo, característica fundamental 
na resolução de problemas de otimização. 
 
É interessante perceber como a função linear e a função quadrática desempenham 
papéis importantes na modelagem matemática de fenômenos diversos. Enquanto a 
primeira representa relações de proporcionalidade constante, a segunda nos 
permite compreender fenômenos mais complexos que não seguem uma taxa de 
variação constante. Esses conceitos são aplicáveis em várias áreas do 
conhecimento, oferecendo ferramentas valiosas para compreender e prever 
comportamentos de variáveis dependentes em relação às independentes, seja na 
Economia, Finanças, Física, Engenharia ou outros campos. 
 
 
 
Referências da Unidade 
 
• GOMES, F. M. Pré-cálculo: operações, equações, funções e sequências. São 
Paulo: Cengage Learning, 2018. ISBN: 9788522127900. Minha Biblioteca. 
 
• LAPA, N. Matemática aplicada. São Paulo: Saraiva, 2012. E-book. ISBN: 
9788502157118. Minha Biblioteca. 
 
• SILVA, F. C. M.; ABRÃO, M. Matemática básica para decisões 
administrativas. 2. ed. 8. reimpr. São Paulo: Atlas, 2017. ISBN: 
9786559771097. Minha Biblioteca. 
 
 
 
Para aprofundar e aprimorar os seus conhecimentos sobre os assuntos 
abordados nessa unidade, não deixe de consultar as referências 
bibliográficas básicas e complementares disponíveis no plano de ensino 
publicado na página inicial da disciplina.