Vibraçoes Mecanicas

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DFis/ICEx/UFMG – Prof. Maurílio Nunes Vieira - Experimentos em Acústica – Projeto PEG 2008/69 
 
Exp 1 - Vibrações Mecânicas 1/10 
Exp. 1 - Vibrações Mecânicas 
1.Objetivos 
• Analisar o comportamento de um sistema massa-mola com atrito 
excitado por uma força alternada senoidal; 
• Estudar a influência do amortecimento na dinâmica do oscilador 
massa-mola; 
• Analisar o comportamento transitório do oscilador; 
• Estudar a dependência da impedância mecânica com a 
freqüência. 
2. Introdução 
2.1.Oscilador massa-mola sem atrito 
Considere o sistema massa-mola da figura 1. 
De acordo com a Lei de Hooke, a força que a mola exerce sobre a massa é 
sxF −= , onde s é a constante elástica da mola e x é a respectiva 
deformação. No equilíbrio, igualando-se a força elástica com o peso, temos: 
sLmg = . (1) 
Se o sistema for, de alguma forma, deslocado da posição de equilíbrio 
teremos, de acordo com a 2ª. lei de Newton: 
→+=−→=++− sx
dt
xd
msLmg
dt
xd
mmgxLs 2
2
2
2
)( 
 02
2
=+ sx
dt
xd
m . (2) 
 
m 
m 
L 
l 
x
s
 
Figura 1:Oscilador massa-mola. Na figura central, o oscilador está em repouso (x=0) 
 
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 Esta equação admite como solução: 
)cos()( 0 φω += tAtx , (3) 
onde ms /0 =ω é a freqüência angular, sendo as constantes A e φ 
calculadas em função da posição e velocidade iniciais da massa. 
2.2.Oscilador amortecido 
Considere que no sistema da figura 2 haja apenas atrito viscoso, isto é, que a 
força de atrito atrF é proporcional à velocidade da massa. Assim: 
dt
dxRF matr −= , 
onde mR é uma constante positiva denominada resistência mecânica. 
 A equação que descreve a oscilação deste sistema é, portanto, 
02
2
=++ sx
dt
dxR
dt
xd
m m . (4) 
A equação do movimento pode ser reescrita como 
0202
2
=++ x
dt
dx
m
R
dt
xd m ω , (5) 
que admite a solução (exercício 1): 
 )cos()( φωβ += − tAetx dt , (6) 
onde mRm /21=β é o coeficiente de amortecimento e 220 βωω −=d é a 
freqüência natural angular do sistema amortecido. Note que o amortecimento 
diminui a freqüência de oscilação do sistema, mas esta diminuição pode ser 
desprezível dependendo das características do oscilador. 
 
m 
Rm s
 
Fig. 2 - Oscilador massa-mola amortecido 
 
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2.3. Oscilador forçado 
Se o oscilador da figura 2 for excitado por uma força alternada 
harmônica )cos()( tFtf ω= , a equação do movimento será 
)cos(2
2
tFsx
dt
dxR
dt
xd
m m ω=++ . (7) 
Este sistema terá uma resposta (“solução”) transitória e uma resposta 
permanente. O comportamento transitório corresponde às oscilações livres do 
sistema (Equação 6). Matematicamente, é a solução homogênea da 
equação 7, obtida com 0)( =tf , resultando na equação 6 da seção anterior. 
As oscilações transitórias decaem com te β− e tornam-se insignificantes após 
um intervalo de tempo longo o suficiente para que 1>>tβ . A partir daí, 
considera-se que as oscilações estejam em regime estacionário. 
 Para determinar a resposta estacionária, que é a solução particular da 
equação 7, vamos reescreve-la usando exponenciais complexas, lembrando 
que ][)cos()( tjFeretFtf ωω == . Desta forma, 
tjFes
dt
dR
dt
d
m m
ω
=++ x
xx
2
2
. (8) 
Como a força externa é uma função harmônica (co-senóide) com 
freqüência ω e o sistema é linear, o deslocamento em regime permanente 
poderá ter comportamento oscilatório de mesma freqüência, isto é, tje ωAx = , 
onde A é uma constante a ser definida. Substituindo-se tje ωAx = na equação 
8 e resolvendo-a para A , obtém-se: 
)]([ ωωω
ω
smjRj
Fe
m
tj
−+
=x , (9) 
onde o termo )/( ωω smjRm −+ é denominado impedância mecânica. Ele será 
discutida com mais detalhes posteriormente. 
Superpondo os regimes transitório e estacionário, temos a solução 
completa do oscilador forçado (exercício 3): 
)sin()cos( Θ−++= − t
Z
F
tAex
m
d
t ω
ω
φωβ , (10) 
onde |)/(| ωω smjRZ mm −+= = 2/122 ])/([ ωω smRm −+ e ]/)/[( mRsmarctg ωω −=Θ 
são, respectivamente, a magnitude e a fase da impedância mecânica. Um 
exemplo do comportamento das componentes de regime transitório e 
permanente do movimento é dado na figura 3. 
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Fig. 3 – Respostas em regime transitório e permanente no oscilador forçado 
 
 
2.4 Reatâncias, resistência e impedância mecânica 
Se o sistema massa-mola for reduzido a apenas uma massa oscilando sem 
atrito (s = Rm = 0), a velocidade, dt
dx
u = , será 
massa
j tF
mj
Fe
X
u
)(
==
ω
ω
. (11) 
Portanto, a velocidade é á razão entre a força externa e a grandeza 
complexa mjmassa ω=X denominada reatância mecânica. A reatância 
representa a oposição que a massa exerce à oscilação e sua magnitude 
aumenta linearmente com a freqüência (figura 4, à esquerda). 
De forma semelhante, para uma mola isolada, a velocidade será: 
mola
j tF
js
Fe
X
u
)(
/
=
−
=
ω
ω
, (12) 
Onde a reatância da mola, ω/jsmola −=X , apresenta uma relação inversa 
com a freqüência. As reatâncias são termos imaginários e estão associadas a 
alguma forma de armazenamento de energia. Note o sinal algébrico oposto 
das reatâncias da massa e da mola. 
No caso do oscilador completo (Fig. 2), a velocidade resultante é: 
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0 1 2 3 4 5
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
1,4
1,6
1,8
2,0
2,2
2,4
2,6
2,8
3,0
s = 15,88 N/m
m = 20 g
ωm
s/ω
 
Im
pe
dâ
n
ci
a
 
(N
s/
m
)
frequência (Hz)
 
re
im
mZ
mRω/s
m⋅ω
Θ
re
im
mZ
mRω/s
m⋅ω
Θ
re
im
mZ
mRω/s
m⋅ω
re
im
mZ
mRω/s
m⋅ω
Θ
 
Fig. 4 – Esquerda: dependência das reatâncias mecânicas da massa e da mola com a 
freqüência. Direita: diagrama da impedância mecânica para uma dada freqüência 
)/( ωω
ω
smjR
Fe
m
j
−+
=u , (13) 
de onde se define a impedância mecânica mZ como: 
mm jXR +== )(
)()(
ω
ω
ω
u
FZ altm . (14) 
A impedância mecânica apresenta uma parcela imaginária (a reatância 
resultante) e uma parcela real (a resistência mecânica). A impedância 
representa a oposição que o oscilador exerce à oscilação numa dada 
freqüência. 
A impedância mecânica )(ωmZ pode ser representada no plano 
complexo como na Figura 3, à direita. Vê-se que o módulo da impedância é 
|)/(| ωω smjRZ mm −+= = 2/122 ])/([ ωω smRm −+ e o ângulo de fase é 
]/)/[( mRsmarctg ωω −=Θ . 
3. Exercícios 
1. Resolva a equação 2. Dica: A solução deve ser uma função )(tf tal que 
a sua derivada segunda seja proporcional a ela mesma( )('' tf α )(tf ). 
2. Resolva a equação 5. Dica: Assuma que x seja um fasor teγAx = e o 
substitua na equação 5 para encontrar γ em função de mR , m e 0ω (ou, 
de β e dω ). Você encontrará uma solução da forma 
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)( tjtj dd eee t ωωβ −− += 21 AAx . Calcule, então, a parte real de x para 
encontrar a equação 6. 
3. Substitua tje ωAx = na equação 8 para obter a equação 9. 
4. Deduza a solução completa do oscilador forçado. Dica: Use o resultado 
do exercício 3 na equação 9. Depois calcule a parte real de x e então 
some à equação 6. 
5. Demonstre as equações 11, 12 e 13. 
6. Escreva a impedância mecânica do oscilador forçado na forma 
Θ
=
j
meZmZ , em que mZ representa a magnitude e Θ , a fase da 
impedância mecânica. 
7. Demonstre que 
xf
FZm pi2
= . Dica: Desenvolva a partir da equação 14. 
8. Represente, no plano complexo, a impedância do sistema (explicite a 
magnitude e a fase da impedância): 
a) 5=mR Ns/m, 40=s N/m, 2=m kg, 10=ω rad/s 
b) 5=mR Ns/m, 40=s N/m, 2,0=m kg, 10=ω rad/s 
9. Determine a constante da mola equivalente e freqüência natural de 
oscilação nos seguintes casos: 
 
4. Bibliografia 
1. LE Kinsler, AF Frey, AB Coppens, JV Sanders, Fundamentals of Acoustics 
(3rd. Ed.) - Wiley, New York (1982) – Cap 1 
2. NH Fletcher, TD Rossing, The Physics of Musical Instruments – Springer-
Verlag, New York (1991) – Cap 1 
3. Relatórios dos estudantes Mainda Silva Araújo (bolsista PEG), Saulo 
Araújo do Nascimento (bolsista ProNoturno) e José Eduardo Silva 
(Estágio Docente). 
4. Transparências usadas no seminário 1. 
 
m 
s s
m 
s
s
m 
s
s
 (a) (b) (c) 
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5. Parte Prática 
5.1 Material 
• Corda fina de nylon “Coats and Clark” modelo T26 
• Gerador de áudio e vibrador mecânico Pasco 
• Driver mecânico Pasco 
• Sensor de movimento rotativo e interface Pasco 
• Duas molas, cada uma com massa mM = (2,77 ± 0,01) g e constante 
elástica s = (18,30 ± 0,03) N/m 
• Tarugo de alumínio com massa m = (16,0 ± 0,1) g 
• Freio magnético 
• Suportes para montagem 
• Software para tratamento de dados (e.g., Origin ou QtiPlot, 
http://soft.proindependent.com/qtiplot.html ) 
 
5.2.Procedimentos 
Montagem 
 
 
 
 
Fig. 5 - Montagem 
O fio deve dar uma 
volta completa em 
torno da roldana 
para o evitar 
deslizamento. 
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Exp 1 - Vibrações Mecânicas 8/10 
Observações: 
� A magnitude F da força harmônica )(tf não será medida. Nos 
gráficos dos itens 6 e 7, a amplitude poderá ser normalizada. No 
Exp. 2 há uma maneira de estimar-se a magnitude desta força. 
� Trabalhe numa faixa de freqüências entre 3 e 10 Hz. 
� Ajuste a magnitude da força (no gerador de áudio) para que o 
sistema tenha oscilações estáveis na ressonância. Não mude mais 
a amplitude da força durante as medidas. 
� Ajuste a taxa de amostragem para pelo menos 100 Hz. 
� Faça medidas mais detalhadas próximo à freqüência de 
ressonância ( 0ω ), incluindo-a, pois a amplitude do deslocamento 
varia drasticamente com pequenas variações na freqüência. 
� Faça um relatório sobre o experimento. Anexar a solução dos 
exercícios. 
� Inserir unidades e incertezas das medidas. 
Massa efetiva do oscilador (veja anexo). Cada mola incrementa, 
efetivamente, a massa do oscilador em mM/3. Quanto ao sensor 
rotativo, verificou-se experimentalmente que seu momento de inércia 
contribui efetivamente com um aumento de (22,5 ± 0,1) g, na massa 
do oscilador. 
1. Oscilações livres 
(a) Calcular a freqüência natural não-amortecida, 0ω , com os valores 
das massas (tarugo, mola e sensor) e constantes das molas. 
(b) Com o sensor rotativo. Sem o efeito do freio magnético, registrar as 
oscilações livres do oscilador através da interface Pasco, ajustar 
curvas (função harmônica exponencialmente amortecida) e 
determinando os valores de dω e β. Note que o próprio sensor de 
movimento rotativo já introduz atrito significativo. 
Com o auxílio da equação 220 βωω −=d determine 0ω e compare 
com o valor calculado no item (a); 
Expresse, em função da constante de tempo βτ /1= , os tempos 
necessários para a amplitude cair a 5% e 1% do valor máximo. 
Identifique estes tempos nos dados registrados. O ruído nas medidas 
impedirá a visualização de oscilações com amplitudes tendendo a 
zero 
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Exp 1 - Vibrações Mecânicas 9/10 
(c) Com atrito extra introduzido pelo freio magnético. Introduzir mais 
atrito através do freio magnético e repetir o procedimento anterior. 
(d) Sobre amortecimento. Tente aumentar o efeito do freio magnético 
até cessar as oscilações no movimento livre do oscilador, medindo o 
valor correspondente de β. O sobre amortecimento ocorre quando 
βωβωω <→<−= 0220 0d . (Por quê?) 
2. Impedância mecânica 
(a) Determine a amplitude da oscilação para várias freqüências de 
excitação, tomando o cuidado de tomar valores antes e depois da 
freqüência de ressonância. 
(b) Utilizando a expressão estudada no exercício 7, 
xf
FZm pi2
= , 
determine a impedância mecânica em função da freqüência e da 
força aplicada ao sistema e trace um gráfico. Como F não foi 
medida no experimento, normalize a impedância. 
Use a expressão |)/(| ωω smjRZ mm −+= = 2/122 ])/([ ωω smRm −+ para 
o ajuste de curva. 
(c) No gráfico, identifique termos dominantes (resistência, reatância da 
massa ou da mola) à medida que a freqüência varia. 
3. Transitórios. Analisar qualitativamente o comportamento transitório do 
oscilador. Retire o amortecedor magnético e registre curvas para 
algumas relações entre a freqüência natural e a forçante como, por 
exemplo, 0/ωω = 0,2; 0/ωω = 0,8; 0/ωω =1,0; 0/ωω = 1,2; 0/ωω =2,0; 
0/ωω =4,0. 
 A coleta deve ser iniciada antes de o sistema iniciar suas oscilações. 
Observe as curvas e tente identificar o término do período transitório em 
cada caso. 
 
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Exp 1 - Vibrações Mecânicas 10/10 
6. Anexo: Massas Equivalentes 
6.1 Mola1 
Seja uma mola com massa Mm , em movimento, com um alongamento x 
além de seu comprimento em repouso l . 
 
 
A massa de um segmento infinitesimal qualquer da corda, dm , pode ser 
expressa como →
+
=
+
=
xl
ds
mds
xl
mdm MM ηdmdm M= , onde 10, ≤≤+
= ηη
xl
s
. 
A extremidade da corda desloca-se com uma velocidade dtdxv /= . Um 
segmento infinitesimal qualquer, por sua vez, tem velocidade dtdsu /= = 
vudtdxdtxld ηηη =→≈+ //)]([ . 
A energia cinética do elemento de massa dm da corda esticada é, então, 
=⋅⋅=
2
2
1 udmdK H →=⋅ ηηηη dvmvdm HH
22
2
12
2
1 )()( == ∫
1
0
22
2
1 ηη dvmK H 
→
1
0
3
2
2
1
3
η
vmH .3
2
2
1 v
mK H= Logo, a massa equivalente da mola vibrante é 
3
Hm . 
6.2 Sensor rotativo 
A energia cinética K de um cilindro de raio R e massa m , girando em torno 
de seu centro de massa, sem translação, é == 22
1 ωcmIK 
→⋅ 222
1
2
1 )/()( RvmR 22121 )( vmK ⋅= . Ou seja, sua massa equivalente é 2/m . O 
sensor rotativo, porém, tem uma construção mais complexa, havendo vários 
cilindros de materiais diferentes. Determinou-se, experimentalmente, para um 
dos sensores rotativos, o valor de gm )1,05,22( ±= paraa sua massa 
equivalente a partir da medição da freqüência de ressonância ( )14,6( Hz e 
dos valores das massas do tarugo de alumínio ( g0,16 ) e das molas ( gx 77,22 ). 
 
1 Cortesia do Prof. Carlos Heitor D´Ávila Fonseca. 
l
 
x 
repouso 
esticada 
s ds 
dtdxv /= 
xl +