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1 Faculdade Fanor – DeVry Brasil Disciplina: Matemática Financeira - Aula 07 Prof.: João Henrique Unidade IV – Sistemas de Amortização de Empréstimos e Financiamentos (SAM – Sistema de Amortização Misto e Sistema de Amortização Americano – SAA e Sistema de Amortização Variável) Sistema de Amortização Misto (SAM) Foi desenvolvido originalmente para as operações de financiamento do Sistema Financeiro de Habitação, pelo extinto Banco Nacional da Habitação (BNH). Representa basicamente a média aritmética entre o sistema francês e o SAC, daí explicando-se a sua denominação. Para cada um dos valores de seu plano de pagamentos, deve-se somar aqueles obtidos pelo Sistema francês com os do SAC e dividir o resultado por dois. Portanto, o SAM é um plano de pagamentos composto por prestações cujos valores são resultantes da média aritmética das prestações no SAF e no SAC, correspondentes aos respectivos prazos. Os valores das parcelas de amortização, do saldo devedor e dos juros resultam da mesma regra. As tabelas abaixo apresentadas na aula passada ilustram o plano de amortização do exemplo ilustrativo geral por meio do SAC e do SAF, respectivamente. Valor do empréstimo = $ 100.000,00 Prazo da Operação = 5 anos Taxa de Juros = 30% ao ano (efetiva) SAC sem Carência Períodos (semestres) Saldo Devedor ($) Amortização ($) Juros ($) Prestaç 0 100.000,00 - - - 1 90.000,00 10.000,00 14.017,50 24.017,50 2 80.000,00 10.000,00 12.615,80 22.615,80 3 70.000,00 10.000,00 11.214,00 21.214,00 4 60.000,00 10.000,00 9.812,30 19.812,30 5 50.000,00 10.000,00 8.410,50 18.410,50 6 40.000,00 10.000,00 7.008,80 17.008,80 7 30.000,00 10.000,00 5.607,00 15.607,00 8 20.000,00 10.000,00 4.205,30 14.205,30 9 10.000,00 10.000,00 2.803,50 12.803,50 10 - 10.000,00 1.401,80 11.401,80 Total - 100.000,00 77.096,50 177.096,50 2 Tabela 4 SAF sem Carência Períodos (Semestres) Saldo Devedor ($) Amortização ($) Juros ($) Prestação ($) 0 100.000,00 - - - 1 94.833,10 5.166,90 14.017,50 19.184,40 2 88.941,80 5.891,20 13.293.20 19.184,40 3 82.224,80 6.717,00 12.467,40 19.184,40 4 74.566,20 7.658.60 11.525.90 19.184,40 5 65.834,10 8.732,10 10.452,30 19.184,40 6 55.877,90 9.956,20 9.228,30 19.184,40 7 44.526,20 11.351,80 7.832,70 19.184,40 8 31.583,20 12.943,00 6.241,50 19.184,40 9 16.825,90 14.757,30 4.427,20 19.184,40 10 - 16.825,90 2.358,60 19.184,40 Total - 100.000,00 91.844,00 191.844,00 Ao se adotar o sistema misto de amortização para o empréstimo contraído tem-se, para o primeiro período (semestre), os seguintes valores: = = $ 21.600,95 = = $ 14.017,50 = = $ 7.583,45 = = $ 92.416,55 Para os demais semestres segue-se o mesmo raciocínio. A planilha do sistema misto, elaborada por meio do SAC (primeira tabela acima) e SAF (segunda tabela acima), encontra-se demonstrada na planilha abaixo: 3 SAM sem Carência Períodos (semestres) Saldo Devedor ($) Amortização ($) Juros ($) Prestaç 0 100.000,00 - - - 1 92.416,60 7.583,50 14.017,50 21.601,00 2 84.470,90 7.945,60 12.954,50 20.900,10 3 76.112,40 8.358,50 11.840,70 20.199,20 4 67.283,10 8.829,30 10.669,10 19.498,40 5 57.917,00 9.366,00 9.431,40 18.797,40 6 47.939,00 9.978,10 8.118,60 18.096,70 7 37.263,10 10.675,90 6.719,90 17.395,80 8 25.791,60 11.471,50 5.223,40 16.694,90 9 13.413,00 12.378,70 3.615,40 15.994,10 10 - 13.413,00 1.880,20 15.293,20 Total - 100.000,00 77.096,50 177.096,50 COMPARAÇÕES ENTRE SAC, SAF E SAM Uma avaliação comparativa dos três sistemas de amortização estudados (SAC, SAF e SAM) é desenvolvida a partir do exemplo ilustrativo geral. Observa-se que as prestações do SAC decrescem linearmente à razão de $ 1.401,70 por semestre. Este valor representa, conforme discutido, os juros de 14,0175% aplicados sobre o valor da amortização semestral ($ 10.000,00). No SAF, as prestações são sempre iguais, atingindo a $ 19.184,40 em cada período. Graficamente, o comportamento das prestações para os critérios de amortização considerados é demonstrado na figura abaixo: PMT ($) 24.017,50 21.601,00 18.184,40 SAF SAM 4,45 SAC 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 4 Optando-se pelo SAC, o mutuário começa a pagar valores (prestações) maiores que no SAF. Esse comportamento se mantém até o momento em que as duas retas descritas na figura acima se cruzam, indicando o momento da reversão. O ponto em que as retas se cruzam indica valores iguais para as prestações. Calculando-se analiticamente este ponto de intersecção, conforme demonstrado a seguir, verifica-se que as prestações se igualam por volta da 4ª prestação. A partir daí, as prestações pelo SAF tornam-se maiores que as determinadas pelos demais sistemas de amortização. PONTO DE IGUALDADE DAS PRESTAÇÕES = $ 19.184,40 (constante) = x 1 + ( n – t + 1 ) x i = x 1 + (10 – t + 1) x 0,140175 Igualando-se: = tem-se: X 1 + (10 – t + 1) x 0,140175 = 19.184,40 10.000,00 x 1 + 1,40175 – 0,140175 x t + 0,14175 = 19.184,40 10.000,00 + 14.017,50 – 1.401,75 x t + 1.401,75 = 19.184,40 1.401,75 x t = 6.234,85 t = = 4,45 Esse resultado pode ser confirmado fazendo a comparação com as planilhas acima para as prestações calculadas. No 4º semestre, a prestação (PMT) pelo SAC de $ 19.812,30 é superior ao valor constante de $ 19.184,40 determinado pelo SAF, situando-se ligeiramente abaixo no 5º semestre. Logo, a intersecção se verifica entre estes dois períodos, verificando-se uma igualdade das prestações exatamente no semestre t = 4,45. No que se refere à parcela de amortização, os valores são constantes no SAC e crescentes no SAF. No sistema francês a parcela cresce exponencialmente à taxa de juros admitida na operação. Observe que o valor da amortização no SAF (Tabela 4 – Pág. 2) apresenta um crescimento composto de 14,0175% por semestre, taxa que representa os juros cobrados na operação. 5 Pela comparação dos dois sistemas de amortização (SAC e SAF), observa-se que os valores da amortização tornam-se iguais entre o 6º e 7º semestre. Mais precisamente, este ponto é obtido da seguinte forma: = 10.000,00 (constante) = x Igualando-se as expressões: x = 10.000,00 5.166,90 x = 10.000,00 = = 1,935396 Log = log 1,935396 (t – 1) x log 1,140175 = log 1,935396 T – 1 = = T – 1 = 5,034 T = 5,034 + 1 = 6,034 As amortizações igualam-se na prestação t = 6,034. No que se refere aos saldos devedores,o decréscimo no SAC é mais acentuado que nos demais sistemas. Quando do pagamento da 5ª prestação no SAC, por exemplo, o saldo devedor corresponde a 50% da dívida. No SAF, ao se liquidar a metade das prestações, o saldo devedor totaliza ainda a 65,8% da dívida, somente atingindo a marca dos 50% quando do pagamento da 7ª prestação (aproximadamente). Mais precisamente: = PMT x = PMT x 50.000,00 = 19,184,40 x = = 6 = 2,606284 Desenvolvendo essa expressão e aplicando-se logaritmos: t = = 6,53 As parcelas de juros apuradas para os três sistemas são definidas, evidentemente, com base no comportamento dos respectivos saldos devedores. O total dos juros calculados no SAF é bastante superior ao do SAC, ficando os valores do SAM numa posição intermediária. Por se tratar de uma média do SAC e do SAF, o sistema misto dispensa maiores comentários. As prestações do SAM decrescem linearmente (PA decrescente), sendo a razão igual à metade da razão do SAC. Podemos verificar que as prestações do SAC apresentam razão igual a $ 1.401,70 exatamente o dobro da razão apurada no SAM de $ 700,85. (Comparação das Tabelas SAC sem carência e SAM sem carência). A prestação inicial do SAM é menor que a do SAC, porém maior que a do SAF. O inverso ocorre na última prestação. Este comportamento das prestações encontra- se graficamente na página 3. É importante ser acrescentado, ainda, que o SAM, diante de suas características de formação, é um plano de amortização financeiramente equivalente ao SAC e ao SAF. Ao se descontar as prestações do SAM, à taxa de juros i, o valor presente encontrado é exatamente igual ao financiamento (principal). Sistema de Amortização Americano (SAA) O Sistema de Amortização Americano (SAA) estipula que a devolução do capital emprestado é efetuada ao final do período contratado da operação de uma só vez. Não se prevê, de acordo com esta característica básica do SAA, amortizações intermediárias durante o período de empréstimo. Os juros costumam ser pagos periodicamente. Admita no exemplo ilustrativo geral descrito, que os $ 100.000,00 captados devam ser amortizados pelo SAA mediante uma única parcela ao final do 3º ano. Os juros são pagos semestralmente à taxa efetiva de 14,0175%. A Tabela abaixo, ilustra a planilha financeira desta operação. 7 SAA com pagamento periódico dos Juros. Períodos (Semestres) Saldo Devedor ($) Amortização ($) Juros ($) Prestação ($) 0 100.000,00 - - - 1 100.000,00 - 14.017,50 14.017,50 2 100.000,00 - 14.017,50 14.017,50 3 100.000,00 - 14.017,50 14.017,50 4 100.000,00 - 14.017,50 14.017,50 5 100.000,00 - 14.017,50 14.017,50 6 100.000,00 100.000,00 14.017,50 114.017,50 Total 100.000,00 84.105,00 184.105,00 Fundo de Amortização Junto com o SAA, costuma ser constituído pelo mutuário um Fundo de Amortização no qual vão sendo acumuladas poupanças periódicas durante o prazo do empréstimo. O objetivo desse fundo é que o seu montante, ao final do prazo n, seja igual ao valor da dívida. Estes depósitos são remunerados por meio de uma taxa periódica de juros. No exemplo ilustrativo considerado acima, admita que o tomador do empréstimo constitua um fundo de amortização no qual deve depositar certa quantia semestralmente durante todo o prazo do empréstimo. Os depósitos periódicos são remunerados pela instituição financeira à taxa de 4% ao semestre. O valor de cada depósito deve produzir um montante ao final dos 3 anos igual ao valor devido da dívida, ou seja: M = 100.000,00 0 1 2 3 4 5 6 PMT PMT PMT PMT PMT PMT Depósitos Semestrais FV (M) = PMT X FV (M) = PMT X 100.000,00 = PMT X 6,632975 PMT = = $ 15.076,19 Dessa forma, $ 15.076,19 é o valor de cada depósito semestral que irá produzir um montante, ao final dos 3 anos, igual à amortização da dívida de $ 100.000,00. 8 SISTEMA DE AMORTIZAÇÕES VARIÁVEIS Este sistema de amortização se caracteriza pelo fato de o devedor pagar periodicamente parcelas de amortização, combinadas na ocasião do contrato, sendo os juros calculados sobre o saldo devedor, que deverá ser pago totalmente, em conjunto com cada parcela de amortização. Um exemplo desse tipo de sistema de amortização são os cartões de créditos, em que os juros são cobrados a uma taxa prefixada sobre o saldo devedor. A fórmula utilizada para o cálculo de cada prestação será a mesma usada anteriormente, sempre aplicada sobre o saldo devedor, conforme o combinado na ocasião do contrato. EXEMPLO Na compra de um apartamento, uma pessoa quer financiar a importância de R$ 150.000,00 em uma instituição financeira que cobra juros compostos de 5% ao mês. Essa pessoa deverá fazer um contrato em que se compromete a pagar o financiamento em 5 prestações mensais, em que as parcelas de amortização serão: Fazer uma tabela que mostre o valor de cada prestação, bem como uma coluna para os juros mês a mês, uma coluna para o saldo devedor e outra para a amortização. Resolução Basta calcular os juros mês a mês sobre o saldo devedor e colocá-lo na coluna correspondente. Depois, somar esse juro com o valor a ser amortizado naquele mês, colocando o resultado na coluna que corresponde à prestação e assim sucessivamente. O saldo devedor no final do primeiro mês, por sua vez, deverá ser igual à subtração do capital inicial com a primeira parcela da amortização. 9 O saldo devedor para o cálculo dos juros correspondente ao primeiro mês é de R$ 150.000,00, assim: A primeira prestação será de: O saldo devedor ao final do primeiro mês será de: Logo, calcularemos os juros sobre o saldo devedor restante. Assim, para o segundo mês, temos: A segunda prestação será de: O saldo devedor ao final do segundo mês será de: Procedendo dessa maneira, completaremos a tabela, apresentada a seguir: 10 Exercícios Resolvidos 1. Um empréstimo de $ 160.00,00 é concedido a uma empresa para ser liquidado em 2 anos e meio mediante pagamentos semestrais. A taxa de juros contratada é de 24% ao ano, e não há carência. Pede construir a planilha de desembolso deste empréstimo pelo sistema de amortização misto. Solução: SAC Períodos (Semestrais) Saldo Devedor ($) Amortização ($) Juros ($) Prestação ($) 0 160.000,00 - - - 1 128.000,00 32.000,00 18.176,00 50.176,00 2 96.000,00 32.000,00 14.540,80 46.540,80 3 64.000,00 32.000,00 10.905,60 42.905,60 4 32.000,00 32.000,00 7.270,40 39.270,40 5 - 32.000,00 3.635,20 35.635,20 Total - 160.000,00 54.528,00 214.528 Juros = 24% a.a = (1,11 – 1 ) x 100 = 11,36% a.s. 11 SAF Períodos (Semestrais) Saldo Devedor ($) Amortização ($) Juros ($) Prestação ($) 0 160.000,00 - - - 1 134.492,00 25.508,00 18.176,00 43.684,00 2 106.086,30 28.405,70 15.278,30 43.684,00 3 74.453,70 31.632,60 12.051,40 43.684,00 4 39.227,70 35.226,00 8.458,00 43.684,00 5 - 39.227,70 4.456,30 43.684,00 Total - 160.000,00 54.528,00 218.420,00 SAM Períodos (Semestrais) SaldoDevedor ($) Amortização ($) Juros ($) Prestação ($) 0 160.000,00 - - - 1 131.246,00 28.754,00 18.176,00 46.930,00 2 101.043,20 30.202,90 14.909,60 45.112,40 3 69.226,90 31.816,30 11.478,50 43.294,80 4 35.613,90 33.613,00 7.864,20 41.477,20 5 - 35.613,90 4.045,80 39.659,60 Total - 160.000,00 56.474,00 216.474,00 2. Uma pessoa está negociando a compra de um imóvel pelo valor de $ 350.000,00. As condições de pagamento propostas são as seguintes: 1º mês: $ 70.000,00 2º mês: $ 50.000,00 3º mês: $ 80.000,00 4º mês: $ 60.000,00 5º mês: $ 90.000,00 Sendo 2,5% ao mês a taxa corrente de juros, determinar o valor dos desembolsos mensais (amortização, juros e prestação) que devem ser efetuados caso o negócio seja realizado nessas condições. 12 Solução: Períodos (meses) Saldo Devedor ($) Amortização ($) Juros ($) Prestação ($) 0 350.000,00 - - - 1 280.000,00 70.000,00 8.750,00 78.750,00 2 230.000,00 50.000,00 7.000,00 57.000,00 3 150.000,00 80.000,00 5.750,00 85.750,00 4 90.000,00 60.000,00 3.750,00 63.750,00 5 - 90.000,00 2.250,00 92.250,00 Total - 350.000,00 27.500,00 377.500,00 3. Um financiamento para capital de giro no valor de $ 2.000.000,00 é concedido a uma empresa pelo prazo de 4 semestres. A taxa de juros contratada é de 10% a.s. Sendo adotado o sistema americano para amortização desta dívida, e os juros pagos semestralmente durante a carência, calcular o valor de cada prestação. Admita, ainda, que a taxa de aplicação seja de 4% a.s. Calcular os depósitos semestrais que a empresa deve efetuar neste fundo de maneira que possa acumular, ao final do prazo do financiamento (4 semestres), um montante igual ao desembolso de amortização exigido. Solução: Períodos (Semestrais) Saldo Devedor ($) Amortização ($) Juros ($) Prestação ($) 0 2.000.000,00 - - - 1 2.000.000,00 - 200.000,00 200.000,00 2 2.000.000,00 - 200.000,00 200.000,00 3 2.000.000,00 - 200.000,00 200.000,00 4 - 2.000.000,00 200.000,00 2.200.000,00 Total 2.000.000,00 800.000,00 2.800.000,00 Fundo de Amortização: FV (M) = 2.000.000,00 i = 4% a.s. 0 1 2 3 4 PMT PMT PMT PMT FV(M) = PMT x FV(M) = PMT X = = 4,246464 13 2.000.000,00 = PMT x 4,246464 PMT = = 470.980,00 Exercícios Propostos 1. Um automóvel importado no valor de R$ 100.000,00 deverá ser pago em 18 prestações mensais, a uma taxa de juros de 48% ao ano, tabela Price. Determine o valor da prestação. 2. Um empréstimo no valor de $ 5.000.000,00 foi concedido a uma empresa para ser devolvido no prazo de 24 meses. A taxa de juros cobrada trimestralmente é de 3,6% e as amortizações são efetuadas pelo sistema americano. Elaborar a planilha deste empréstimo. 3. Uma instituição empresta $ 850.000,00 a uma empresa para serem devolvidos em prestações quadrimestrais, pelo sistema americano, em 4 anos. A taxa de juros cobrada a cada quadrimestre é de 8,5%. Pede-se: a) elaborar a planilha financeira do empréstimo pelo SAA; b) sendo 4,0% a.q. a taxa de aplicação, determinar os depósitos quadrimestrais para constituição de um fundo de amortização. 4. Um banco concede um empréstimo de $ 480.000,00 para ser amortizado de acordo com as seguintes condições: 1º semestre: $ 30.000,00 4º semestre: $ 90.000,00 2º semestre: $ 50.000,00 5º semestre: $ 110.000,00 3º semestre: $ 70.000,00 6º semestre: $ 130.000,00 O empréstimo é realizado com uma carência de um semestre. Sendo de 8% a taxa de juros paga semestralmente, determinar os desembolsos periódicos exigidos por este empréstimo. 5. Um imóvel é colocado a venda por $ 60.000,00 de entrada mais seis prestações trimestrais de $ 24.000,00 cada. Sendo de 2,5% a.m. a taxa corrente de juros, determinar a base de valor a vista do imóvel. 6. Uma instituição empresta $ 1.000.000,00 a uma empresa para serem devolvidos em prestações semestrais, pelo sistema americano, em 4 anos. A taxa de juros cobrada a cada semestre é de 10%. Pede-se: a) elaborar a planilha financeira do empréstimo pelo SAA; b) sendo 6% a.s. a taxa de aplicação, determinar os depósitos semestrais para constituição de um fundo de amortização. 14 7. Um banco concede um empréstimo de $ 730.000,00 para ser amortizado de acordo com as seguintes condições: 1º ano: $ 80.000,00 4º ano: $ 130.000,00 2º ano: $ 90.000,00 5º ano: $ 150.000,00 3º ano: $ 100.000,00 6º ano: $ 180.000,00 O empréstimo é realizado com uma carência de um ano. Sendo de 10% a taxa de juros paga anualmente, determinar os desembolsos periódicos exigidos por este empréstimo. 8. Para a construção de um galpão, para instalação de uma indústria, foi feito um empréstimo no valor de R$10 mil, de forma a ser pago em 20 parcelas mensais e utilizando-se taxa mensal composta de 8%. Para amortizar a dívida, se for utilizado o sistema PRICE, as parcelas ficarão em torno de R$1.018,50. Dessa forma, comparando a parcela no PRICE com as parcelas no Sistema de Amortização Constante (SAC) e no Sistema de Amortização Misto (SAM), podemos afirmar que: a) No SAC os juros pagos na primeira prestação são maiores b) No SAM os juros pagos na primeira prestação são menores c) No SAC a primeira prestação seria menor d) No SAC a primeira prestação seria maior e) No SAM a primeira prestação seria menor Respostas: 1. $ 7.899,33 2. Períodos (trimestrais) Saldo Devedor ($) Amortização ($) Juros ($) Prestação ($) 0 5.000.000,00 - - - 1 5.000.000,00 - 180.000,00 180.000,00 2 5.000.000,00 - 180.000,00 180.000,00 3 5.000.000,00 - 180.000,00 180.000,00 4 5.000.000,00 - 180.000,00 180.000,00 5 5.000.000,00 - 180.000,00 180.000,00 6 5.000.000,00 - 180.000,00 180.000,00 7 5.000.000,00 - 180.000,00 180.000,00 8 - 5.000.000,00 180.000,00 5.180.000,00 Total - 5.000.000,00 1.440.000,00 6.440.000,00 15 3. a) Períodos (quadrimestrais) Saldo Devedor ($) Amortização ($) Juros ($) Prestação ($) 0 850.000,00 - - - 1 850.000,00 - 72.250,00 72.250,00 2 850.000,00 - 72.250,00 72.250,00 3 850.000,00 - 72.250,00 72.250,00 4 850.000,00 - 72.250,00 72.250,00 5 850.000,00 - 72.250,00 72.250,00 6 850.000,00 - 72.250,00 72.250,00 7 850.000,00 - 72.250,00 72.250,00 8 850.000,00 - 72.250,00 72.250,00 9 850.000,00 - 72.250,00 72.250,00 10 850.000,00 - 72.250,00 72.250,00 11 850.000,00 72.250,00 72.250,00 12 850.000,00 72.250,00 922.250,00 Total - 850.000,00 867.000,00 1.717.000,00 b) Depósitos quadrimestrais = $ 56.569,35 4. Períodos (semestrais) Saldo Devedor ($) Amortização ($) Juros ($) Prestação ($) 0 480.000,00 - - - 1 480.000,00 - 38.400,00 38.400,00 2 450.000,00 30.000,00 38.400,00 68.400,00 3 400.000,00 50.000,00 36.000,00 86.000,00 4 330.000,00 70.000,00 32.000,00 102.000,00 5 240.000,00 90.000,00 26.400,00 116.400,00 6 130.000,00 110.000,00 19.200,00 129.200,00 7 - 130.000,00 10.400,00 140.400,00 Total - 850.000,00 200.800,00 680.800,00 5. $ 172.003,49 16 6. a) Períodos (semestrais)Saldo Devedor ($) Amortização ($) Juros ($) Prestação ($) 0 1.000.000,00 - - - 1 1.000.000,00 - 100.000,00 100.000,00 2 1.000.000,00 - 100.000,00 100.000,00 3 1.000.000,00 - 100.000,00 100.000,00 4 1.000.000,00 - 100.000,00 100.000,00 5 1.000.000,00 - 100.000,00 100.000,00 6 1.000.000,00 - 100.000,00 100.000,00 7 1.000.000,00 - 100.000,00 100.000,00 8 - 1.000.000,00 100.000,00 1.100.000,00 Total - 1.000.000,00 800.000,00 1.800.000,00 b) Depósitos semestrais = $ 161.035,94 7. Períodos (anuais Saldo Devedor ($) Amortização ($) Juros ($) Prestação ($) 0 730.000,00 - - - 1 730.000,00 - 73.000,00 73.000,00 2 650.000,00 80.000,00 73.000,00 153.000,00 3 560.000,00 90.000,00 65.000,00 155.000,00 4 460.000,00 100.000,00 56.000,00 156.000,00 5 330.000,00 130.000,00 46.000,00 176.000,00 6 180.000,00 150.000,00 33.000,00 183.000,00 7 - 180.000,00 18.000,00 198.000,00 Total - 730.000,00 364.000,00 1.094.000,00 8. “d”
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