Tarefa 2 Mat020 (1#2013)

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Segunda Tarefa de Matemática - MAT020 
Primeiro semestre de 2013 
 
Responda às questões abaixo e justifique sua resposta. Descreva o seu raciocínio e explique o significado 
das equações ou funções que venham a ser utilizadas. Comente a intenção de cada procedimento. 
 
Questão um (FINANCIAMENTO) 
 
Financiamento é um mecanismo que permite dividir o pagamento de uma dívida em 
várias parcelas que serão pagas periodicamente. O financiamento possibilita a aquisição 
antecipada de um bem cujo valor é consideravelmente superior à renda do comprador 
que o necessita de imediato. Os exemplos mais comuns são: casa própria, veículos e 
bens de capital. Não se devem financiar bens que não sejam de necessidade imediata: 
isto é uma deturpação financeira! 
 
O financiamento tem um custo determinado pela negociação da taxa de juros. Este custo 
é análogo a uma prestação de serviço que deve ser remunerado. A remuneração é 
estabelecida por um sistema indutivo que regula os valores das prestações periódicas. 
 
Vamos descrever este sistema indutivo. Denote por C o valor do financiamento, 
também denominado Capital. O valor da k-ésima prestação será denotado por Pk e o 
valor do saldo devedor depois de liquidada a k-ésima prestação por Sk. O elemento 
essencial de negociação é a taxa de juros i. Por motivos práticos a utilização da taxa de 
juros é feita através do fator de juros, qual seja, 1
100
iϕ = + . A dinâmica se estabelece, 
ei-la: 
 
S0 = C 
S1 = φ C - P1 
S2 = φ S1 - P2 
S3 = φ S2 - P3 
. 
. 
. 
Sk = φ Sk-1 - Pk. (k = 1, 2, 3,..., n). 
 
Um outro parâmetro participante do sistema de financiamento é a amortização 
periódica, a saber, Ak = Sk-1 - Sk; k = 1, 2, 3,... , n. 
 
Conhecidos o capital C, o fator de juros φ e a quantidade de parcelas n, o financiamento 
é estabelecido pela igualdade: 
 
Sn = 0. 
 
Esta igualdade diz o óbvio: o último saldo devedor deve ser nulo, ou seja, a dívida 
estará quitada. 
 
Dois tipos de financiamentos são comumente utilizados: o Sistema de Amortização 
Constante (SAC) e o Sistema de Prestação Constante (Price). No primeiro, Ak = A para 
todo k e no segundo Pk = P para todo k. 
 
 2 
Por indução chegamos à seguinte igualdade: 
 
1
k
k k j
k j
j
S C Pϕ ϕ −
=
= −∑ , (k = 1, 2,..., n.) (1) 
 
Ainda, como 1k k kS S A−= − , concluímos também por indução que: 
 
1
k
k j
j
S C A
=
= −∑ , (k = 1, 2,..., n.) (2) 
 
Mediante as duas igualdades, a saber, 1k k kS S A−= − e Sk = φ Sk-1 - Pk; conseguimos 
uma relação importante entre a amortização e a prestação: 
 
1( 1) k k kS A Pϕ −− + = , (k = 1, 2,..., n.) (3) 
 
A igualdade (3) nos diz que cada prestação constitui-se de amortização mais juros. 
 
Utilizando-se das igualdades (1), (2) e (3) estabelecemos o seguinte fato notório sobre 
financiamentos: conhecidas as prestações, as amortizações ficam determinadas, e 
reciprocamente, conhecidas as amortizações, as prestações ficam determinadas. A 
determinação é expressa pelas igualdades: 
 
1
1
0
( 1) ( 1) ( 1)
k
k k k j k
j
P S A C A Aϕ ϕ ϕ
−
−
=
= − + = − − − +∑ , (k = 1, 2,..., n); A0 = 0. (4) 
 
1
1 1
0
( 1) ( 1)
k
k k j
k k j
j
A P C Pϕ ϕ ϕ ϕ
−
− − −
=
= − − + − ∑ , (k = 1, 2,..., n); P0 = 0. (5) 
 
Vamos agora analisar o custo dos dois tipos de financiamentos citados acima: o 
financiamento Price e o financiamento SAC. Para isso estabeleceremos o preço de cada 
um deles. 
 
No financiamento SAC, o preço é facilmente calculado utilizando-se da igualdade (4), 
vejamos: 
 
1
( 1) ( 1)( 1) ( 1) ( 1)
2 2
n
k
k
n np P C n C C Cϕ ϕ ϕ
=
− +
= − = − − − = −∑ . 
 
 
No financiamento Price, o preço é calculado através do valor P das prestações: 
 
1
n
j
j
p P C nP C
=
= − = −∑ . 
 
Para calcular P usamos a equação que estabelece o financiamento, qual seja, Sn = 0. 
 
 3 
Eis o valor de P: 
1
( 1)
1 ... 1
n n
n n
C CP ϕ ϕ ϕ
ϕ ϕ ϕ−
−
= =
+ + + −
. 
 
Logo, 
 
( 1)
1
n
n
n Cp Cϕ ϕ
ϕ
−
= −
−
 
 
a) Seja ( 1)( ) 1
1
x
x
xa af x
a
−
= −
−
 definida para todo 0x ≥ , em que a é uma constante maior 
do que 1, isto é, a > 1. Esboce o gráfico desta função. Calcule os limites laterais. 
Indique, justificando, as regiões de crescimento e decrescimento, pontos críticos de 
máximo de mínimo e de inflexão, regiões de concavidade e convexidade. 
 
b) Utilize o item a) para responder a seguinte pergunta: qual é mais caro, o 
financiamento Price ou o financiamento SAC? Qual é a razão entre os dois preços? 
 
c) Considere a função 
1
0( )
n
j
j
j
n
a x
f x
x
−
=
=
∑
, x > 0, n ≥ 1, aj > 0 ∀ j = 0, 1, 2,..., n-1. Esboce 
o gráfico desta função como no primeiro item. 
 
d) (Teorema de Descartes - Discour de la Methode, p. 372 e 373). Seja F um 
financiamento. Utilize o item c) para responder: conhecidos o capital, o prazo e os 
valores das prestações, qual é a taxa de juros de F? 
 
e) Justifique as seguintes afirmações: em um sistema de financiamento Price, fixados C 
e n, então, quanto maior o valor das prestações maior será a taxa de juros; fixados C e φ, 
então, quanto maior o prazo, menor será o valor das prestações. 
 
f) Tanto no financiamento Price como no SAC o saldo devedor Sk é decrescente. 
Justifique esta afirmação e calcule a taxa de decrescimento em ambos. Qual deles o 
decrescimento é mais rápido? Dê um exemplo de um financiamento em que Sk não seja 
decrescente. 
 
Questão dois (ELASTICIDADE DA DEMANDA) 
 
Elasticidade é um conceito que expressa o aumento percentual da demanda em relação 
ao aumento percentual do preço. Como a demanda, em geral, é decrescente em relação 
ao preço, então, é mais conveniente um conceito que permita comparar o percentual de 
queda da demanda com o percentual de aumento do preço; ou seja, queremos saber qual 
o percentual da queda da demanda para um dado percentual de aumento do preço. 
 
A elasticidade medirá a taxa de variação homotética instantânea da demanda q em 
relação ao preço p. Vejamos: 
 
q(p + tp) = q(p) - λq(p). 
 4 
Em que t e λ são os parâmetros de homotetia de p e de q, respectivamente. 
Devemos calcular a taxa de variação de λ em relação a t no ponto t = 0, ou seja, a 
derivada de λ(t) no ponto t = 0. 
 
Temos, 
 
( ) ( )( ) ( )
q p q p tp
t
q p
λ − += . 
 
Logo, 
 
( )( ) ( )
q p tp p
t
q p
λ ′− +′ = . 
 
A derivada no ponto t = 0 é, portanto, 
 
( )(0) ( )
pq p
q p
λ ′′ = − . 
 
A elasticidade da demanda é definida por: 
 
( )( ) (0) ( )
pq pE p
q p
λ ′′= = − . 
 
(O sinal negativo é apenas para indicar, através de um número positivo, uma diminuição 
em relação a um aumento. Caso contrário a elasticidade seria negativa, o que provocaria 
idiossincrasias desagradáveis.) 
 
Elucidaremos abaixo o significado da elasticidade. 
 
E(p) = 1: 
 
Demanda neutra, relativamente estável no ponto p. Significa que uma pequena variação 
percentual do preço acarreta uma variação percentual da demanda praticamente igual à 
variação percentual do preço. (Situações atípicas - inconcludentes). 
 
E(p) > 1: 
 
Demanda elástica. Significa que uma variação percentual do preço provoca uma 
variação percentual da demanda maior do que a variação percentual do preço. (Produtos 
supérfluos ou de segunda necessidade). 
 
E(p) < 1: 
 
Demanda inelástica. A variação percentual da demanda é menor do que a variação 
percentual do preço. (Produtos de primeira necessidade). 
 
A elasticidade nos fornece importantes informações sobre a receita. Seja R(p) a função 
receita em função do preço. Verificamos facilmente que R(p) = pq(p). 
 5 
 
Concluímos então que: 
 
( ) ( ) ( ) ( )[1 ( )]R p pq p q p q p E p′ ′= + = − . (6) 
 
a) Suponha que q = 500 - 2p unidades de certo produto são vendidas quando o preço é p 
reais, para 0 ≤ p ≤ 250. 
 
i) Determine os intervalos em que a demanda é elástica, inelástica e de 
elasticidade unitária em relação ao preço. 
ii) Use a igualdade (6) para determinar os intervalos em que a função receita é 
crescente e decrescente e o preço para o qual a receita é amaior possível. 
iii) Escreva uma expressão para a função receita e use a derivada primeira para 
determinar os intervalos em que a função é crescente e decrescente e o preço 
para o qual a receita é máxima. 
iv) Esboce o gráfico das funções demanda e receita. 
 
b) Justifique: se a demanda for elástica, então a receita diminui quando o preço 
aumenta; se a demanda for inelástica, então a receita aumenta quando o preço aumenta. 
 
c) A equação da demanda de certa mercadoria é q = 200 - 2p2 (para 0 ≤ p ≤ 10). 
 
i) Expresse a elasticidade da demanda em função do preço p. 
ii) Calcule a elasticidade da demanda quando p = 6 e interprete o resultado em 
termos da receita. 
iii) Para qual preço a elasticidade da demanda é unitária? 
 
d) Justifique: se a demanda for elástica então o percentual de aumento da demanda é 
maior do que o percentual de queda do preço. 
 
Questão três (IMPOSTO DE RENDA) 
 
O recolhimento de Imposto de Renda na Fonte R(x), em que x é 0,92 do salário bruto s, 
segue a seguinte tabela: 
 
0 ; ( ) 0
; ( ) 0,15
; ( ) 0, 275
x a R x
a x b R x x
x b R x x
α
β
≤ ≤ = 
 
< ≤ = − 
 > = − 
 
 
(O salário bruto s sofre um desconto de 8% em razão da previdência social, por isso, o 
valor de x = 0,92s). 
 
a) Calcule o valor se α e o valor de β para que a função R(x) seja contínua. 
 
b) Expresse a função L(s) = salário líquido e esboce seu gráfico. Verifique que L(s) é 
crescente e côncava. Interprete a concavidade. 
 
 
 
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Questão quatro 
 
Assistam ao filme Match Point de Woody Allen e à ópera L’Elisir d’Amore de 
Donizetti. 
 
Identifiquem o campo de relações (intertextualidades) entre o filme e a ópera. Leiam o 
livro “Intertextualidade: teoria e prática” de Graça Paulino, Ivete Walty e Maria Zilda 
Cury - Editora Lê. 
 
Comentem o texto abaixo: 
 
Match Point 
 
Match Point, um filme dirigido por Woody Allen. Uma grande obra de arte, e por 
incrível que pareça muito original, algo difícil diante de um esgotamento intelectual 
pós-moderno. Woody Allen ainda consegue ser original! 
 
A beleza do filme consiste em fazer um paralelo tênue, um pouco ambíguo, frágil, não 
muito bem definido, (podemos dizer que existem apenas traços), com a ópera L’ELISIR 
D’AMORE de Donizetti. O charlatanismo bem sucedido, que depende da sorte, do 
acaso favorável. As opções convenientes daqueles que têm a maior chance, a chance 
menor sucumbe, morre. A escolha se apóia na otimização; a singularidade ótima, qual 
será? Os olhos buscam o interesse, são vários, mas sempre o seu próprio interesse; o 
fulcro equilibra os pratos até quando a avareza joga o seu peso em um deles, um ato que 
normalmente procura ser conseqüente, contudo, jamais consegue destruir o acaso. 
 
O paralelo dos personagens: 
 
Adina – Chris. 
 
Nemonino – Chloe. 
 
Belcore – Nola. 
 
Dulcamara – Alec. 
 
A área “Uma furtiva lágrima” cantada por Caruso em disco de vinil, está ao fundo, 
incessantemente. 
 
Seria interessante analisar a conduta de Nemorino, que necessita de algo externo, algo 
que atue milagrosamente e lhe dê o poder de controlar o desejo do outro: uma alteridade 
cujo desejo se possa controlar. O charlatão se aproveita dessa carência e mente em favor 
próprio. A ingenuidade alheia permite o efeito dessa mentira: a grande promessa que 
supre faltas. O messianismo judaico e o sebastianismo português são exemplos de 
promessas que se nutrem de uma angústia produzida por faltas. 
 
Por outro lado temos o conceito de moira: destino implacável ao qual se sujeitam todos, 
inclusive os deuses. Daí a necessidade do oráculo, dos profetas com suas falas 
oraculares, que dissipam ansiedades. Fortuna Imperatrix Mundi, é o tema da ópera de 
 7 
Carl Orff, Carmina Burana, com textos pagãos da Idade Média, pois aí o acaso é o 
imperador do mundo, o destino e não um deus. 
 
A terceira conduta é a mais emocionante: Carmen da ópera de Bizet. O 
antropocentrismo, a própria capacidade persuasiva, o olhar, a fala, a atitude, o poder de 
sedução, tudo isso é usado no controle do desejo do outro. Byron faz um verdadeiro 
estudo sobre isso em Dom Juan. 
 
As áreas da ópera Carmen dizem assim. 
 
Quand je vous aimerai? Ma foi, je ne sais pas. 
Peut-être jamais, peut-être demain! 
Mais pas aujourd’hui...c’est certain. 
 
Traduzindo; 
 
Quando te amarei? Não tenho a menor idéia. 
Talvez nunca, talvez amanhã. 
Mas, hoje, certamente não. 
 
Na Havanaise (Habanera) Carmen diz assim: 
 
L’amour est enfant de Bohême, 
Il n’a jamais, jamais connu de loi; 
Si tu ne m’aimes pas, je t’aime, 
Si je t’aime, prends garde à toi! 
 
Traduzindo; 
 
O amor é uma criança cigana. 
Ela nunca, nunca conheceu uma lei; 
Embora não me ames, eu te amo, 
E se eu te amo, tome cuidado! 
 
Vemos que a Carmen é poderosa, não recorre aos oráculos, moira, destino e nem às 
forças externas, ocultas e milagrosas. Ela faz sua própria história. Mas em alguns 
momentos ela não se vê tão poderosa assim e recorre à moira ditada pelas cartas 
ciganas. Ela faz isso quando perde controle das reações do outro a quem seduziu e agora 
encara o risco último da morte. 
 
(olhando as cartas ciganas postas no chão) 
Carreau! Pique! ... La mort! 
J’ai bien lu!... Moi, d’abord, 
Ensuite lui... Pour tous les deux, la mort! 
 
Ouro! Espada! ... A morte! 
Eu li corretamente! ... Primeiro, eu, 
Em seguida ele... Para nós dois, a morte! 
 
 8 
Carmen decide, corre riscos, vive perigosamente, sabe que sobrevive, mesmo tendo 
certeza da morte. 
 
Em um outro contexto temos a conduta de Capitolina e a reação de Bento Santiago em 
Dom Casmurro.... 
 
Muitos personagens podem ser estudados tendo ao fundo o contexto da necessidade, por 
vários motivos, de controlar o desejo do outro. 
 
O Elixir de Amor 
 
 
Ópera de Gaetano Donizetti (1797 – 1848) 
 
Libreto: Felice Romani 
 
Adina, rica proprietária rural...................Soprano 
Nemorino, um camponês pobre..............Tenor 
Belcore, sargento da guarnição local.......Barítono 
Dr. Dulcamara, charlatão itinerante.........Baixo 
Giannetta, jovem camponesa...................Soprano 
 
Local e época: uma aldeia italiana, no começo do século XIX 
 
A história tem por base uma comédia de Eugène Scribe, intitulada Le Philtre, e foi à 
cena na Itália um ano depois de uma ópera de François Auber que mantivera o título da 
peça. Entre as peças de veia leve e cômica, O Elixir de Amor tem mantido um lugar de 
merecido relevo. Sem ser um inovador, Donizetti realizou à perfeição os esquemas 
operísticos de sua época e a sobrevivência de várias de suas óperas, sobrevivência aliás 
em número cada vez maior, vai à conta principalmente de sua grande qualidade de 
melodista e habilidade no trato da voz humana, quer em solos, quer em conjuntos, quer 
ainda em coros. Francis Toye, em um estudo sobre Donizetti, diz: “É grande erro 
imaginar que um artista não possa demonstrar individualidade dentro dos limites de 
uma convenção estabelecida. Para rebater tal heresia, acodem-nos logo os exemplos de 
Bach e Händel, talvez os dois maiores compositores que já existiram. Ambos foram 
considerados convencionais a antiquados por seus sucessores imediatos, inclusive, é 
curioso refletir, pelos próprios filhos de Bach”. Mais adiante Francis Toye explica não 
pretender fazer paralelo, absolutamente incabível, mas o fenômeno permanece, isto é, 
não só os renovadores são donos de um estilo pessoal. 
 
História 
 
Primeiro Ato. 
 
Primeira Cena. 
 
Na casa da fazenda de Adina, jovem, bela e rica proprietária de terras. Com ar 
zombeteiro, ela lê para as amigas histórias românticas nas quais, em absoluto, não crê. 
Nemorino, jovem aldeão, está sofridamente apaixonado por Adina, como se pode sentir, 
de sua ária Quanto è bella. Ela não lhe dá a menor atenção. Depois disso, ouve-se um 
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riso sarcástico: Adina lia a história de Tristão e Isolda, do filtro de amor. Felizmente, 
observa ela, nos tempos modernos não há mais elixir que escravize o coração de uma 
mulher. O coro sublinha a alegriade Adina e ri da desdita de Nemorino. Tambores 
anunciam a chegada de um destacamento militar, comandado pelo sargento Belcore. É 
outro pretendente ao coração de Adina. Como ele é muito mais decidido, Adina inclina-
se em seu favor. A má sorte crescente de Nemorino é motivo de novas zombarias. 
 
Segunda Cena. 
 
Na praça da aldeia chega com grande aparato o Dr. Dulcamara. Na ária Udite, udite, o 
rustici (Ouvi, ó rústicos) apregoa suas numerosas mercadorias medicinais, apregoando 
especialmente um elixir milagroso. Nemorino, lembrando-se da história do filtro de 
amor, que ouvira a própria Adina comentar, pergunta ao espalhafatoso Dr. Dulcamara 
se ele não tem algo que se assemelhe. Perplexo de início, Dulcamara logo pensa não 
poder perder semelhante negócio. E afirma possuir um poderoso Elixir de Amor (que na 
verdade é um vinho comum). É só ingerir alguns goles, diz ele, e em vinte e quatro 
horas a mulher por quem se apaixonou lhe cairá nos seus braços, apaixonada também. 
Nemorino se entusiasma, dá ao charlatão seu último níquel e lhe pede instruções quanto 
ao uso. Depois, a sós, Nemorino logo ingere o suposto elixir e se põe a cantar e a dançar 
furiosamente. Adina se surpreende como o novo Nemorino, que habitualmente é 
melancólico e triste. O rapaz está tão certo de conquistá-la no prazo previsto, que até se 
dá ao luxo de não lhe prestar atenção. Na verdade, Adina simpatiza muito com 
Nemorino; jamais, porém, quis deixar que ele o percebesse. Agora, vendo-o indiferente, 
sente-se magoada e resolve aceitar os galanteios que lhe faz o sargento Belcore. Afirma-
se disposta a casar-se com ele e, para tanto, ordena os preparativos. Belcore, alegando 
ter vindo uma ordem para remoção das tropas, encarece urgência na realização das 
bodas. E com isso Nemorino ri ainda mais, canta ainda mais alegremente e dança ainda 
mais agitado. Adina, já agora furiosa com essas demonstrações, resolve casar-se no 
mesmo dia. A resolução repentina assusta Nemorino. Não haverá tempo de o elixir 
produzir os seus efeitos e Adina se casará com Belcore. Na ária Adina, credimi ele 
suplica o adiamento por vinte e quatro horas do casamento com o sargento. Ela ri-se 
desse pedido e ordena que os preparativos sejam acelerados. O casamento se deverá 
realizar nesse mesmo dia. 
 
Segundo Ato. 
 
No interior da casa da fazenda. Vai ser celebrado o casamento de Adina com o sargento 
Belcore. Convidados, padrinhos e tabelião estão em cena. Dulcamara também está 
presente. Adina, que verdadeiramente não pretende casar-se com Belcore, procura 
retardar o quanto possível o momento da assinatura do contrato nupcial. Nemorino está 
profundamente infeliz. Além da perda da mulher a quem ama, recebe a noticia de que 
um tio está agonizante. O tempo passa e o Elixir de Amor não dá seus esperados efeitos. 
A Dulcamara ele pede novo frasco. Quando sabe que o rapaz está sem dinheiro, logo 
recusa. Como o sargento Belcore precisa de recrutas e a bom pagamento, Nemorino se 
alista. Assim paga o segundo frasco e logo ingere o conteúdo. Chega a noticia da morte 
do tio e também a notícia de que deixara ao sobrinho Nemorino considerável fortuna. 
As moças são as primeiras a saber e logo correm a cercar o herdeiro. Nemorino, que 
tudo ignora, acha que o sucesso com as jovens é efeito do elixir. Adina, tomando 
conhecimento de que ele se alistara graças ao amor que por ela nutria, comove-se e 
resolve demonstrar que prefere mesmo Nemorino a Belcore. E outro argumento para 
 10 
que ela o prefira é o grande interesse que as moças demonstram ter nele. Mas, agora 
chegou a vez de Nemorino se mostrar indiferente para com Adina e chegou a vez, 
também, de ela se entristecer. A sorte ele a atribui ao elixir, por ignorar, naturalmente, a 
verdadeira afeição de Adina e o interesse das outras na herança. E ao vê-la lacrimejar 
discretamente, canta a mais famosa ária da ópera: Uma furtiva lagrima. Ela implora a 
Nemorino que não se vá. Resgatará a quantia pela qual ele se alistou, para que possa 
retê-lo na cidade. Depois disso, ela volta a se mostrar indiferente, quase arrependida de 
tanto ter feito em prol de um amor. E Nemorino, para se certificar dessa indiferença, 
afirma que partirá ao encontro da morte no campo de batalha. Somente diante dessa 
decisão é que Adina resolve declarar-se totalmente vencida, caindo-lhe nos braços, 
como previra o doutor Dulcamara ao vender o Elixir de Amor. O sargento Belcore 
aceita conformadamente a derrota e logo se consola afirmando haver no mundo muitas 
mulheres. A fama de Dulcamara se espraia por toda a aldeia, como o autor do milagre 
do casamento de Adina e Nemorino. Quando a ópera termina, ele está intensamente 
ocupado na venda de numerosos frascos do vinho de Bordeaux, ou seja, do milagroso 
Elixir do Amor. 
 
Valor total: 25 pontos. 
_______________________________________________________ 
Cinqüenta e quatro anos mais velho do que Santo Tomás de Aquino. 
Fibonacci não pôde ler a Suma Teológica. 
O Reino de Nápoles não dista muito de Pisa. 
Que absurdo! 
Proximidade geográfica e temporal não se consubstanciam. 
Também não lhe foi possível ouvir o Contraponto. 
Stabat Mater, Pergolesi; Nápoles, Século XVIII! 
A virgem Cloto preenche lacunas na felicidade dos de hoje. 
Láquesis amplia essas lacunas dos de ontem. 
Átropos garante que sempre haverá lacunas. 
Para preencher e para ampliar. 
 
 
As Moiras, com o fio da vida, por Strudwick (1885).