Tarefa 2 Mat020 Roteiro Q1 (1#2013)

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Roteiro para a Questão 1 da Tarefa 2 
 
 
Analisaremos o gráfico da função ( 1)( ) 1
1
x
x
xa af x
a
−
= −
−
. Em seguida compararemos este 
gráfico com o gráfico da função 1( ) ( 1)
2
a
r x x
−
= + . (Lembramos que a > 1 e x ≥ 0). 
 
 
PARTE A 
 
Usaremos uma função auxiliar, a saber, 
 
( )
1
x
x
xeg x
e
=
−
. 
 
Isto facilitará os cálculos das derivadas. 
 
0
lim ( ) 1
x
g x
→
= (L’Hôpital). 
 
lim ( )
x
g x
→∞
= ∞ . 
 
Calculemos a derivada da função g(x): 
 
2
( 1)( ) ( 1)
x x
x
e e xg x
e
− −
′ =
−
. 
 
Devemos agora analisar o sinal da derivada da função g para saber se ela é crescente ou 
decrescente. Vemos que o sinal da derivada é ditado pelo fator (ex - x - 1) do numerador. 
Calculando a derivada deste fator concluímos que ele é uma função crescente e ainda, 
esta função no ponto x = 0 é nula. Logo, ex - x - 1 > 0 para todo x > 0. 
 
Portanto, g’(x) > 0 e isso implica que a função g é crescente. 
 
Para verificar a concavidade da função g devemos analisar o sinal de sua derivada 
segunda. 
 
3
( 2 2 )( ) ( 1)
x x x
x
e xe x eg x
e
+ + −
′′ =
−
. 
 
Como antes, basta analisar o sinal do fator xex + x + 2 - 2ex. Vamos calcular a derivada 
deste fator: (xex + x + 2 - 2ex)’ = xex +ex + 1 - 2ex. Vemos que tanto o fator quanto sua 
derivada, ambos se anulam na origem x = 0. Não é claro que sua derivada seja positiva. 
Porém, derivando uma segunda vez esta questão fica esclarecida. Vejamos: 
 
(xex +ex + 1 - 2ex)’ = xex + ex + ex - 2ex = xex > 0 para todo x > 0. 
 
 2 
Concluímos então que xex +ex + 1 - 2ex é crescente e, portanto positivo, visto que se 
anula na origem. 
 
Daí, temos que, (xex + x + 2 - 2ex)’ > 0. 
 
Isso implica que o fator xex + x + 2 - 2ex é crescente. 
 
No entanto, este fator se anula na origem. 
 
Logo, xex + x + 2 - 2ex > 0 para todo x > 0. 
 
Conseqüentemente, g” é positiva e a função g é convexa, ou seja, g’ é crescente. 
 
 
PARTE B 
 
Voltemos agora à análise da função f(x). Reparem que: 
 
1( ) ( ln ) 1
ln
af x g x a
a
−
= − . 
 
Quando x tende a zero ou a infinito, lnx a também tende a zero ou infinito, portanto, 
( ln )g x a tende a 1 ou a infinito, respectivamente. (Repare que ln 0a > ). Logo, 
mediante a igualdade acima temos: 
 
0
1lim ( ) 1
lnx
af x
a→
−
= − > 0 e lim ( )
x
f x
→∞
= ∞ . 
 
Ainda, 
 
( ) ( 1) ( ln ) 0f x a g x a′ ′= − > e ( ) ( 1)(ln ) ( ln ) 0f x a a g x a′′ ′′= − > . 
 
Logo, f é crescente e convexa. 
 
Como comparar a função f(x) com a função r(x)? A função r(x) é uma reta cujo 
coeficiente angular é (a - 1)/2. Verificamos facilmente que a derivada de g tende a 1/2 
quando x tende a zero. Loro, a derivada de f tende a (a - 1)/2 quando x tende a zero. 
 
Logo, 1( ) ( ) ( ) 0 0
2
af x r x f x x−′ ′ ′− = − > ∀ > , visto que a derivada de f é crescente. Isso 
implica que a função f - r é crescente e no ponto x = 1 temos f(1) - r(1) = 0. Concluímos 
assim que f > r para todo x > 1 e f < r para todo x no intervalo 0 < x < 1.