Valor presente de séries uniformes, exercícios de fixação

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Notas de aula para o curso de Engenharia Econômica 
Nota 4: Valor presente de séries uniformes, exercícios de fixação 
Thiago Fonseca Morello 
fonseca.morello@ufabc.edu.br 
sala 301, Bloco Delta, SBC 
1 Prova 1, Q5. Um imóvel é vendido por dois planos alternativos: (i) a vista por 
R$200.000,00 ou (ii) em 30 prestações mensais e consecutivas de valor fixo igual a 
R$9.000,00, a primeira ocorrendo ao final do sexto mês após a compra, sendo que esta 
foi realizada no início do mês. Supondo que a taxa de juro é igual a 2% ao mês, escolha 
o item correto a seguir, utilizando, para isso, a aproximação 0,95*22 ~ 21. 
a) ⎕ Os dois planos são equivalentes 
b) ⎕ Plano a vista é melhor 
c) ⎕ Plano em prestações é melhor 
R: 
R: Alternativa c. 
O fluxo de caixa, como se pode ver na figura abaixo, é tal que a primeira prestação 
ocorre ao final do sexto ano e a última, ao final do trigésimo quinto ano. 
 
Considerando que o número de períodos de capitalização que separam o período da 
compra (D, t = 0), e o período de ocorrência de uma prestação é numericamente 
equivalente ao período em que ocorre a prestação, o valor presente é dado por: 
VP(R,1%,35, 6) = R(1+i)-6 + R(1+i)-7 + R(1+i)-8 + ... + R(1+i)-35 = 
ܴ(1 + ݅)ିହ ቈ(1 + ݅)ଷ଴ − 1
݅(1 + ݅)ଷ଴ ቉ 
Com os dados do problema: 
D
↑
...
0 1 2 3 4 5 6 7 35
↓ ↓ ↓
R R R
2 
 
9.000(1 + 0,02)ିହ ቈ(1 + 0,02)ଷ଴ − 10,02(1 + 0,02)ଷ଴቉ = 9.000 ∗ (1 + 0,02)ିହ ∗ ܨ(0.02,30)= 	9.000 ∗ 0,91 ∗ 22 
Em que F(.,.) é o fator de atualização, cujos valores estão informados na tabela 2. 
Porém, foi cometido erro no enunciado, em que a aproximação informada foi de 
0,95*22 ~ 21, sendo que o correto seria 0,91*22 ~ 20. O erro gerou duas 
possibilidades de solução as quais, contudo, apontam para a mesma resposta para a 
questão. 
(a, cálculo incorporando o erro do enunciado) Considerando o cálculo errado, o valor 
da prestação seria de A = 9.000 * 21 = 9000 (20+1) = 180.000+9.000 = 189.000 < 
200.000. 
(b, cálculo incorporando a aproximação correta) Considerando o cálculo correto, o 
valor da prestação seria de A = 9.000 * 20 = 180.000 < 200.000. 
Com base em ambas as possibilidades, a e b, a resposta correta é o item c. 
2 Prova 2, Q6. Emanuel pretende adquirir um automóvel. Ele tem duas opções: 
parcelas anuais, sem entrada, de R$10.000,00 por cinco anos (considerando juros de 
34,49% ao ano) ou 48 parcelas mensais, sem entrada, considerando juros de 1,3% ao 
mês. Encontre o valor das prestações mensais que torna os dois planos de financiamento 
financeiramente equivalentes, A. Para isso, utilize a aproximação 5/9 ~ 0,56. Selecione 
a alternativa abaixo equivalente ao triplo do valor das prestações encontrado 
(3*A). 
a) ⎕ R$2.115,00 
b) ⎕ R$1.680,00 
c) ⎕ R$2.130,00 
R: Alternativa b. 
(1) Valor presente do primeiro plano 
 
VP(1) =VP(10.000;0,3449;5) = 10.000 F(0,3449,5) = $20.000 
 (2) Valor presente do segundo plano 
VP?
0 1 2 3 4 5
↓ ↓ ↓ ↓ ↓
10,000.00$ 10,000.00$ 10,000.00$ 10,000.00$ 10,000.00$ 
3 
 
 
VP(2) =VP(A;0,013;48) = A F(0,013;48) = A*36 
(3) Valor da parcela do segundo plano 
Para que os dois planos sejam financeiramente equivalentes, é preciso ter VP(1) = 
VP(2), i.e., 20,000 = A*36  A = 20.000/36 = 5.000/9 = 5/9 * 1000. Considerando a 
aproximação 5/9 ~ 0.56, resulta A = $560. Multiplicando por 3 como pede o enunciado, 
temos 560*3 = (500+60)*3 = 1500+180 = R$1680,00. 
 
3 Lista 2, Q.12 (BOVESPA, 2008, Q162) Uma máquina gera receita liquida de 
R$100.000,00 por ano durante dez anos. Depois disso, ela possui valor de sucata igual a 
R$300.000,00. Sabendo que a rentabilidade exigida para comprar esta máquina é de 
18% ao ano e ela está sendo vendida por R$500.000,00: 
a) Esta máquina deve ser comprada 
b) Esta máquina não deve ser comprada 
c) Esta máquina deve ser comprada apenas se a taxa de juro de mercado for de no 
mínimo 20% ao ano 
d) Esta máquina deve ser comprada apenas se o seu valor presente for igual ao seu valor 
residual 
R: A resposta deste exercício depende da convenção quanto à ocorrência dos fluxos de 
receita adotada. Há duas possibilidades. A primeira consiste em assumir que as 
receitas informadas ocorrem no final de cada um dos anos, i.e., a série de receitas é 
postecipada ou vencida. Trata-se da convenção de final de período. Em segundo lugar, 
pode-se assumir que as receitas ocorrem no início dos anos, constituindo uma série 
antecipada. 
1 Série postecipada ou vencida 
O fluxo de caixa é tal como segue. 
VP?
…
0 1 2 3 48
↓ ↓ ↓ ↓
A A A A
4 
 
 
Desta maneira, VP(máquina) = 100.000 (ଵା଴,ଵ଼)భబିଵ
଴,ଵ଼(ଵା଴,ଵ଼)భబ + 300.000(1 + 0,18)ିଵଵ =
	497.984,34	 
Como o valor presente das receitas é menor do que o preço da máquina, ela deve não 
deve ser comprada. A razão para isso está em que é possível obter com uma aplicação 
financeira que pague juro de 18%a.a um montante equivalente ao fluxo de receitas 
geradas pela máquina a partir da aplicação de um capital inicial inferior ao necessário 
para adquirir a máquina em t = 0. A alternativa correta é a “b”. 
2 Série antecipada 
Uma série antecipada de receitas é tal que a primeira receita ocorre no presente e a 
última em t = 9, como se vê abaixo. 
 
É perceptível que os onze fluxos pertencem a três categorias. O primeiro fluxo, que 
ocorre em t = 0, já está especificado em termos de valor corrente. O conjunto de fluxos 
que ocorrem de t = 1 a t = 9 é uma série uniforme postecipada de nove períodos. E o 
último fluxo, o valor de sucata, é uma receita que ocorre após 10 períodos. O cálculo a 
seguir toma por base esta segmentação. 
O valor presente do fluxo de receitas, incluindo o valor obtido com a venda da sucata 
é: 
ܸܲ(ܣ݊ݐ) = 100.000 + 100.00(1 + 0,18)ିଵ + 100.000(1 + 0,18)ିଶ + ⋯+ 100.000(1 + 0,18)ିଽ + 300.000(1 + 0,18)ିଵ଴ = 
100.000 + 100.000 (1 + 0,18)ଽ − 10,18(1 + 0,18)ଽ + 300.000(1 + 0,18)ିଵ଴ = $587.621,52> 500.000,00 
$100.000 $100.000 $100.000 $300.000
↑ ↑ ↑ ↑
0 1 2 3 ... 10 11
↓
$500.000
$100.000 $100.000 $100.000 $100.000 $300.000
↑ ↑ ↑ ↑ ↑
0 1 2 ... 9 10
↓
$500.000
5 
 
Caso, portanto, a série de receitas seja antecipada, a compra da máquina é mais 
vantajosa do que a aplicação financeira do capital inicial. Deve-se, pois, comprar a 
máquina. A alternativa correta é a “a”. 
4 Newnan et al (2004), 5-26 (adaptado). A Argentina está considerando construir 
uma ponte através do Rio de la Plata para conectar a costa oeste do País com o sul do 
Uruguay. A construção da ponte permitirá reduzir em pelo menos dez horas o tempo de 
viagem entre Buenos Aires e São Paulo. O custo da ponte, que se estenderá por em 
torno de 80 km, será de $700 milhões. A ponte requererá uma manutenção anual com 
valor de $10 milhões, incluindo reparos e melhoramentos. A vida útil da ponte é 
estimada em 80 anos. A receita será gerada a partir da cobrança de pedágio no valor de 
$90/veículo. Projeta-se um tráfico de veículos de (i) 550.000 veículos no primeiro ano 
de operação, (ii) 1 milhão de veículos do segundo ano até o final da vida útil da ponte. 
O governo argentino requer uma taxa de retorno mínima de 9% a.a. para proceder com 
o projeto. Quanto a isso, responda: a receita gerada pelo projeto é suficiente para cobrir 
o custo? 
R: 
Passo 1, cálculo dos fluxos de receita 
O primeiro passo compreende o cálculo do fluxo de receitas, a partir da totalização das 
vendas de pedágios, como a tabela abaixo indica, com “M” representando um milhão 
(106). 
Ano Veículos Veículos em M Receita em $M 
t = 0 0 0 0 
t = 1 550000 0,55 49,5 
t = 2 1000000 1 90 
t = 3 1000000 1 90 
... 
t = 80 1000000 1 90 
 
Os valores monetários serão expressos em unidades de $1 milhão ($M). 
Passo 2, elaboraçãodo fluxo de caixa 
Com base na tabela acima, o fluxo de caixa pode ser definido como na figura a seguir. 
6 
 
 
O período t = 0 representa o instante em que a obra é iniciada. Isso consiste em assumir 
a hipótese irrealista de que a obra fica pronta entre t = 0 e o final de t = 1. Não é 
coerente supor que há despesa de manutenção em t = 0. 
Para determinar se o projeto é financeiramente vantajoso, como pede o enunciado, 
pode-se utilizar o critério de que o valor presente dos fluxos de receita tem de ser pelo 
menos equivalente ao cômputo do valor do custo de construção e do valor presente do 
fluxo de despesas de manutenção. 
Passo 3, cálculo do valor presente dos fluxos de receita 
VP(receita) = 49,5(1+0,09)-1 + 90(1+0,09) -2 + 90(1+0,09) -3 + ...+ 90(1+0,09) -80 
= 49,5(1+0,09)-1 + (1+0,09) -1[90(1+0,09) -1 +90(1+0,09) -2 + ...+ 90(1+0,09) -79] 
= 49,5(1+0,09)-1 + (1+0,09) -1 ቂ90 ቀ (ଵା଴,଴ଽ)ళవିଵ
଴,଴ଽ(ଵା଴,଴ଽ)ళవቁቃ 
= 49,5(1+0,09)-1 +90 (1+0,09) -1 ቀ (ଵା଴,଴ଽ)ళవିଵ
଴,଴ଽ(ଵା଴,଴ଽ)ళవቁ = $961,83M. 
Passo 4, cálculo do valor presente dos fluxos de despesa de manutenção 
VP(desp.manu.) = 10(1+i) -1 + 10(1+i) -2 + ... + 10(1+i) -80 = 10ቀ (ଵା଴,଴ଽ)ఴబିଵ
଴,଴ଽ(ଵା଴,଴ଽ)ఴబቁ = 
110,9984854 ~ 111. 
Passo 3 alternativo 
Há uma maneira mais rápida de resolver o problema, que consiste em modificar o fluxo 
de caixa, descontando da receita anual a despesa em manutenção, de maneira a 
considerar apenas a receita líquida. E então calcula-se o valor presente da série de 
fluxos de receita líquida. 
O fluxo de caixa alterado segue abaixo. 
$49,5M $90M $90M $90M
↑ ↑ ↑ ↑
0 1 2 3 ... 80
↓ ↓ ↓ ↓ ↓
$700M $10M $10M $10M $10M
7 
 
 
VP(receita líquida) = 39,5(1+0,09)-1 + 80(1+0,09) -2 + 80(1+0,09) -3 + ...+ 80(1+0,09) -80 
= 39,5(1+0,09)-1 + (1+0,09) -1[80(1+0,09) -1 +80(1+0,09) -2 + ...+ 80(1+0,09) -79] 
= 39,5(1+0,09)-1 + (1+0,09) -1 ቂ80 ቀ (ଵା଴,଴ଽ)ళవିଵ
଴,଴ଽ(ଵା଴,଴ଽ)ళవቁቃ = 850,8319197 ~ $851M. 
Cabe observar que VP(receita) – VP(desp. manu) = VP(receita líquida). Esta condição é 
verificada para o projeto, uma vez que VP(receita) – VP(desp. manu) = 961,83 - 110,99 
~ $851M, este último o valor de VP(receita líquida). 
Passo 5, decisão 
O valor presente da receita do projeto, $961,83M, é superior ao custo de implementação 
do projeto, $700M + $111M = $811M, considerando-se uma taxa de juro de 9% a.a. A 
decisão correta é, pois, de implementar o projeto. Chega-se à mesma conclusão 
comparando-se VP(receita líquida) = $851M e o custo de construção, $700, pois 
VP(receita líquida) > $700. 
A razão mais profunda pela qual a decisão de conduzir o projeto é correta é a de que, 
para gerar, a partir de aplicações financeiras, uma série de fluxos de receita líquida 
idêntica à gerada pelo projeto, seria necessário aplicar um capital inicial de $851M, 
superior ao requerido pelo projeto. Claramente, pois, o projeto vale mais a pena, pois 
gera, com menos capital ($700M), a série de fluxos de receita em questão. 
5 Newnan et al (2004), 4-26 (adaptado). Uma engenheira sabe que precisará de 
$25 milhões dentro de 3 anos para substituir as cabines de pedágio de uma estrada. O 
tráfico estimado da estrada é de 20 milhões de veículos por ano. O pedágio atual é de 
$7/veículo/ano. Em quanto teria de ser aumentado o pedágio para cobrir o custo de 
substituição das cabines? Considere uma taxa de juro de 10%. Assuma que a companhia 
de tráfego autoriza a utilização de no máximo 5% da receita gerada com pedágio para 
custeio das novas cabines. Além disso, assuma que a despesa nas cabines novas deverá 
ser realizada no final do terceiro ano, contando a partir do início do ano corrente e 
considere o valor anual da receita como ocorrendo ao final de cada ano. 
R: 
Primeiro passo, cálculo da receita 
$39,5M $80M $80M $80M
↑ ↑ ↑ ↑
0 1 2 3 ... 80
↓
$700M
8 
 
A receita gerada em um determinado ano é de $(7+r)20M, em que r é a magnitude em 
que o pedágio será aumentado e M representa um milhão. Porém, apenas 5%, i.e. 1/20 
da receita anual pode ser usado para custear o projeto, de modo que, por ano, gera-se 
0,05(7+r)20M = $(7+r)M de fundos para custear o projeto. 
O fluxo de caixa consta na figura a seguir. 
 
Apenas é possível aplicar os fundos gerados ao final de t = 1 e ao final de t = 2. O valor 
de r, portanto, deve ser tal que o montante total gerado com a aplicação destes fundos, 
somado ao fundo gerado em t = 3, seja equivalente a $25M. Formalmente: 
r: (7+r)(1+0,1)2 + (7+r) (1+0,1)1 + (7+r) = 25  (7 + r) 	= 	 ଶହ(ଵା଴,ଵ)మା(ଵା଴,ଵ)ାଵ  r	 = 	 25(1 + 0,1)ଶ + (1 + 0,1) + 1 − 7 = 0,55287 
O pedágio deve, portanto, ser aumentado em 55,3 centavos/veículo. 
 
6 Blank & Tarquin et al (2009), 3.8. 
O fluxo de caixa da produção de parafusos com travamento automático está apresentado 
abaixo. Determine o valor presente líquido a uma taxa de 10% ao ano. 
Ano 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 
Receita 20 20 20 20 30 30 30 30 30 30 
Custo 8 8 8 8 12 12 12 12 12 25 
 
R: o diagrama de fluxo de caixa está abaixo. 
 
$(7+r)M $(7+r)M $(7+r)M
↑ ↑ ↑
0 1 2 3
↓
$25M
20m 20m $20m $20m $30m $30m $30m $30m $30m $30m
↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓
$8m $8m $8m $8m $12m $12m $12m $12m $12m $25m
9 
 
Uma solução rápida consiste em calcular a receita líquida e a trazer a valor presente, o 
que geraria um número equivalente ao obtido ao subtrair do valor presente dos fluxos de 
receita o valor presente dos fluxos de despesa. Os fluxos de receita líquida são 
mostrados no diagrama a seguir. 
 
VP(receita líquida) = 12 + 12(1+0,1)-1 + 12(1+0,1) -2 +12(1+0,1) -3 +18(1+0,1) -4 +...+ 
18(1+0,1) -8 + 5(1+0,1) -9 = 
= 12 + 12ቆ(1 + 0,1)ଷ − 10,1(1 + 0,1)ଷ ቇ + 18(1 + 0,1)ିଷ ቆ(1 + 0,1)ହ − 10,1(1 + 0,1)ହ ቇ + 5(1 + 0,1)	ିଽ 
= $95,228m = $95.228.00. Este é o valor presente líquido do fluxo de caixa. 
7 Newnan et al (2004), 5-24 (adaptado). Um novo prédio de escritórios foi 
construído a 5 anos atrás por uma empresa de engenharia. À época, a empresa obteve 
um empréstimo bancário de $100.000,00 com uma taxa de 12% ao ano, com 
capitalização trimestral. Os termos do empréstimo estabelecem parcelas trimestrais 
equivalentes durante 10 anos. Como resultado de mudanças internas na empresa, 
chegou-se à proposta de refinanciar o empréstimo por meio de uma empresa seguradora. 
O refinanciamento estenderá o prazo de pagamento por 20 anos e prevalecerá uma nova 
taxa de 8% ao ano, com capitalização trimestral. Adicionalmente a esta taxa, a 
seguradora cobra uma taxa de 5% ao ano, capitalização trimestral. Considerando essas 
informações, responda às perguntas: (i) qual é o valor da dívida remanescente (saldo 
devedor) no período corrente, sabendo que foram realizados 20 pagamentos nos últimos 
5 anos? (ii) Qual é a diferença entre os pagamentos estabelecidos pelo contrato original 
e os pagamentos que terão de ser realizados após o refinanciamento? 
R: 
É crucial perceber que o período corrente corresponde ao início do sexto ano após a 
contração da dívida. 
Passo 1, fluxos de caixa 
O fluxo de caixa do financiamento original está descrito abaixo. 
 
O fluxo de caixa do refinanciamento é tal como segue. 
12m 12m $12m $12m $18m $18m $18m $18m $18m $5m
↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
VP= $100.000
 | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | 
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓
R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R
10Passo 2, cálculo do saldo devedor (SD) no início do sexto período 
Passo 2,a) cálculo do valor das prestações do financiamento original, R. 
O valor das prestações tem de ser tal que gere um fluxo de pagamentos cujo valor 
presente seja equivalente ao valor do principal da dívida, i.e.: 
100.000 = ܴቆ(1 + ݅)ସ଴ − 1
݅(1 + ݅)ସ଴ ቇ 
A taxa de juro prevalecente no financiamento original é de 12% a.a., com capitalização 
trimestral, o que corresponde a uma taxa efetiva de 0,12/4 = 0,03 ao trimestre, uma vez 
que há quatro trimestres ao ano. Assim sendo: 
ܴ = 100.000ቆ(1 + ݅)ସ଴ − 1
݅(1 + ݅)ସ଴ ቇିଵ = 	4.326,24	 
Passo 2b, cálculo do valor total pago até t = 5 e do saldo devedor. 
Foram pagas 20 prestações até o final do quinto período, o que corresponde a um valor 
total de 20 * 4.326,24 = 86.524,76. Como estavam previstas, neste plano original, um 
total de 40 prestações, o saldo devedor (SD) corresponde a 20 prestações, e portanto, 
tem valor equivalente ao quitado, de $86.524,76. Este é o valor refinanciado e isto 
responde ao primeiro item. 
 
Passo 3, cálculo das prestações do refinanciamento 
O valor atual da dívida é $86.524,76, o qual deve ser igual ao valor presente do fluxo de 
prestações definido pelo contrato de refinanciamento. Denotando por A o valor das 
prestações em questão, tem-se que: 
86.524,76 = ܣቆ(1 + ݅′)଼଴ − 1
݅′(1 + ݅′)଼଴ ቇ 
A taxa de juro a ser paga no plano de refinanciamento é de 8% + 5% = 13% ao ano, 
com capitalização trimestral, o que corresponde a uma taxa efetiva trimestral, i’, de 
0,13/4 = 0,12/4 + 0,01/4 = 0,03 + 0,0025 = 0,0325. Desta maneira, o valor das 
prestações de refinanciamento é: 
A = 86.524,76ቆ (1 + 0,0325)଼଴ − 10,0325(1 + 0,0325)଼଴ቇିଵ = 3047,999~	$3.048,00 
Passo 4, diferença entre R e A 
VP= $100.000 SD?
 | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | ... | | 
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 25
↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓
R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A
11 
 
A diferença entre as prestações cobradas pelos dois contratos, R – A, é de 
4326,24 - 3.048 = $1.278,24.