Gabarito prova 2 turmas 3A 5A 10A e 13A (1)

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE LAVRAS
Prova 2 de Ca´lculo II -Per´ıodo :2015/1- Data :10/o6.
Professor : Jailton Viana
ALUNO :
MATRI´CULA: TURMA:
OBS:1- Favor desligar qualquer aparelho eletroˆnico , coloca´-lo dentro da Mochila e coloque a Mochila debaixo
da cadeira.
2- Na˜o e´ permitido uso de calculadora .
3- Respostas sem justificativas na˜o sera˜o avaliadas.
QUESTA˜O 1- Os catetos de um triaˆngulo retaˆngulo foram medidos com erros ma´ximo de 2% cada um. Determine o erro
percentual ma´ximo no valor calculado da hipotenusa.
OBS: Vejam exerc´ıcios do 49 ao 54 da pa´gina 966.
Soluc¸a˜o : Sejam x e y os catetos do triaˆngulo retaˆngulo e z =
√
x2 + y2 sua hipotenusa. Seja ∆z o erro acarretado no calculo
da hipotenusa. Enta˜o o erro percentual na hipotenusa e´ dado por ∆zz e os erros percentuais nos catetos sa˜o
∆x
x =
2
100 =
∆y
y . Mas
vimos em teoria que
∆z ≈ dz = zxdx+ zydy = zx∆x+ zy∆y = x√
x2+y2
∆x+ y√
x2+y2
∆x = xz∆x+
y
z∆y =
x
z
2x
100 +
y
z
2y
100 =
2
100
x2+y2
z =
2
100
z2
z =
2
100z. Portanto,
∆z
z ≈ 2100 = 2%
QUESTA˜O 2- Se a equac¸a˜o exycos(xz) = x define x implicitamente como uma func¸a˜o diferencia´vel x = H(y, z) determine
∇H(y, z).
OBS: Vejam exerc´ıcios do 30 ao 44 da pa´gina 976.
Soluc¸a˜o 1: Temos que x = H(y, z)→ ∇H(y, z) = (∂x∂y , ∂x∂z ). Como x = exycos(xz) , enta˜o usando regra da cadeia e do produto e
Derivando os dois lados da equac¸a˜o em relac¸a˜o a y temos que:
∂x
∂y
=
∂
∂y
[eyxcos(zx)] = [y
∂x
∂y
eyx + xeyx]cos(zx) + eyx[−z ∂x
∂y
sen(zx)]⇐⇒
∂x
∂y
[1 + zeyxsen(zx)− yeyxcos(zx)] = xeyxcos(zx)⇐⇒
∂x
∂y
=
xeyxcos(zx)
1 + zeyxsen(zx)− yeyxcos(zx)
De modo ana´logo se calcula que
∂x
∂z
=
−xexysen(xz)
1 + zeyxsen(zx)− yeyxcos(zx)
Soluc¸a˜o 2: Seja F (x, y, z) = exycos(xz)− x temos que a equac¸a˜o F (x, y, z) = 0 define x implicitamente como func¸a˜o x = H(y, z).
Logo derivando a equac¸a˜o F (x, y, z) = 0 em relac¸a˜o a y via regra da cadeia temos:
0 =
∂F
∂x
∂x
∂y
+
∂F
∂y
∂y
∂y
+
∂F
∂z
∂z
∂y
Mas temos que ∂y∂y = 1 e
∂z
∂y = 0. Substituindo na equac¸a˜o acima temos que:
0 =
∂F
∂x
∂x
∂y
+
∂F
∂y
(1) +
∂F
∂z
(0) =
∂F
∂x
∂x
∂y
+
∂F
∂y
Isolando ∂x∂y obtemos que
∂x
∂y
= −
∂F
∂y
∂F
∂x
2
Naturalmente esta fo´rmula so´ tem sentido nos pontos onde ∂F∂x nunca se anula.
Use esta fo´rmula para comprovar o valor de ∂x∂y encontrado na soluc¸a˜o 1.
Obviamente vale uma fo´rmula
∂x
∂z
= −
∂F
∂z
∂F
∂x
QUESTA˜O 3- Dois lados de um triaˆngulo crescem a uma taxa r cm/s .
Se a a´rea permanece constante , a que taxa esta´ variando o aˆngulo entre eles quando o comprimento de um lado e´ 2r cm , o do
outro lado e´ 3r cm e o aˆngulo entre eles tem medida pi4 radianos.
OBS: Vejam exerc´ıcio 47 da pa´gina 976.
Soluc¸a˜o : Sejam a = a(t) e b = b(t) os lados do triaˆngulo e θ = θ(t) o aˆngulo entre eles. Enta˜o a a´rea do triaˆngulo e´ dada por
A = A(a(t), b(t), θ(t)) = a(t)b(t)senθ(t)2 . Segue pela regra da cadeia que
dA
dt
=
∂A
∂a
da
dt
+
∂A
∂b
db
dt
+
∂A
∂θ
dθ
dt
=
bsenθ
2
da
dt
+
asenθ
2
db
dt
+
abcosθ
2
dθ
dt
Num instante t0 temos que a = 3r , b = 2r e θ =
pi
4 . Ale´m disso , como a a´rea fica constante enta˜o
dA
dt = 0. Substituindo tudo isto
na equac¸a˜o e usando que senpi4 = cos
pi
4 =
√
2
2 temos
0 =
2r
2
√
2
2
r +
3r
2
√
2
2
r +
3r.2r
2
√
2
2
dθ
dt
Isolando dθdt na equac¸a˜o obtemos que
dθ
dt =
−5
6 .
QUESTA˜O 4- Sejam F (x, y, z) diferencia´vel no ponto p e v = (−4, 3, 0). Se a derivada direcional de F no ponto p na direc¸a˜o
de v vale −3 e ‖∇F (p)‖ = 3 , determine ∇F (p).
OBS: Vejam exerc´ıcio 71 da pa´gina 988 e o TEOREMA 14.6.5 da pa´gina 983.
Soluc¸a˜o : O menor valor da derivada direcional DuF (p) ocorre quando u = − ∇F (p)‖∇F (p)‖ e o menor valor e´ −‖∇F (p)‖. No nosso
caso temos que Para u = v‖v‖ vale
DuF (p) = −3 = −‖∇F (p)‖. Isto implica em v‖v‖ = u = − ∇F (p)‖∇F (p)‖ e assim,
∇F (p) = −‖∇F (p)‖‖v‖ v =
−3
5
(−4, 3, 0) = (12
5
,
−9
5
, 0)
QUESTA˜O 5- Sejam F (x, y, z) = xyz e L(x, y, z) = 2x + 3y + 5z + d a aproximac¸a˜o linear local de F no ponto p. Se
p 6= (0, 0, 0) e p esta´ no primeiro octante de R3 qual o valor de d ?
OBS: Vejam os exerc´ıcios do 43 ao 48 da pa´gina 967.
Soluc¸a˜o : Sendo F diferencia´vel no ponto p = (x0, y0, z0) enta˜o vimos que
L(x, y, z) = Fx(p)(x− x0) + Fy(p)(y − y0) + Fz(p)(z − z0) + F (p) =
Fx(p)x+ Fy(p)y + Fz(p)z + [F (p)− Fx(p)x0 − Fy(p)y0 − Fz(p)z0]. Mas temos por hipo´tese que L(x, y, z) = 2x+ 3y + 5z + d.
Logo :
Fx(p)x+ Fy(p)y + Fz(p)z + F (p)− Fx(p)x0 − Fy(p)y0 − Fz(p)z0 = 2x+ 3y + 5z + d
Da´ı temos o sistema
y0z0 = Fx(p) = 2 (1)
x0z0 = Fy(p) = 3 (2)
x0y0 = Fz(p) = 5 (3)
d = x0y0z0 − 2x0 − 3y0 − 5z0 (4)
Segue disto que nenhuma coordenada de p pode ser zero e como p esta´ no primeiro octante temos x0, y0 e z0 > 0. Das equac¸o˜es
(1), (2) e (3) tiramos p = (x0, y0, z0) = (
√
30
2 ,
√
30
3 ,
√
30
5 ) e substituindo na equac¸a˜o (4) temos d = −2
√
30
QUESTA˜O 1 EXTRA- Seja f : R→ R diferencia´vel e z = f(x2 + y2).
Mostre que y ∂z∂x − x ∂z∂y = 0
3
OBS: Vejam os exerc´ıcios do 56 ao 62 da pa´gina 977.
Soluc¸a˜o : Chame u = u(x, y) = x2 + y2. Enta˜o z = f(u(x, y)). Da´ı pela regra da cadeia temos ∂z∂x = f
′
(u)∂u∂x = f
′
(u)2x e
∂z
∂y = f
′
(u)∂u∂y = f
′
(u)2y
Assim y ∂z∂x − x ∂z∂y = yf
′
(u)2x− xf ′(u)2y = 2xyf ′(u)− 2xyf ′(u) = 0
QUESTA˜O 2 EXTRA- Marque V para Verdadeiro e F para falso justificando sua resposta .
(a) (V )- O menor valor poss´ıvel para a derivada direcional de F no ponto p e´ −‖∇F (p)‖.
(b) (V )- Se L(x, y) e´ a aproximac¸a˜o linear local de F (x, y) no ponto p enta˜o F (p) = L(p).
(c) (V )- Se as equac¸o˜es rcos(θ)− x = 0 e rsen(θ)− y = 0 definem r e θ implicitamente como func¸o˜es diferencia´veis de x e y enta˜o
∂r
∂x = cos(θ).
(d) ( F)- Se F (x, y) for diferencia´vel no ponto p enta˜o a derivada direcional de f no ponto p na direc¸a˜o do vetor u = (0, 1) e´ a
derivada parcial ∂F∂x (p).
Justificativas :
(a)OBS: Vejam o TEOREMA 14.6.5 da pa´gina 983. A afirmac¸a˜o e´ verdadeira, pois o menor valor da derivada direcional
Du(p) e´ −‖∇F (p)‖, o qual ocorre quando u = − ∇F (p)‖∇F (p)‖ . Por outro lado, o maior valor de Du(p) e´ ‖∇F (p)‖, o qual ocorre quando
u = ∇F (p)‖∇F (p)‖ . Assim a media aritime´tica dos dois valores e´ zero.
(b)OBS: Vejam as fo´rmulas (14) e (15) das pa´ginas 964 e 965 respectivamente.
A afirmac¸a˜o e´ verdadeira, pois se p = (x0, y0, z0) enta˜o:
L(x, y, z) = Fx(p)(x− x0) + Fy(p)(y − y0) + Fz(p)(z − z0) + F (p)
Logo L(p) = L(x0, y0, z0) = Fx(p)(x0 − x0) + Fy(p)(y0 − y0) + Fz(p)(z0 − z0) + F (p) = F (p).
(c)OBS: Vejam o exerc´ıcio 63 item (a) da pa´gina 977. A afirmac¸a˜o e´ verdadeira, ja´ que como x = rcos(θ) e y = rsen(θ)
enta˜o x2 + y2 = r2. Assim, pela regra da cadeia segue que 2r ∂r∂x = 2x = 2rcosθ ⇒ ∂r∂x = cosθ.
(d)OBS: Vejam as fo´rmulas (10) e (11) da pa´gina 982. A afirmac¸a˜o e´ falsa, ja´ que como F e´ diferencia´vel em p enta˜o
DuF (p) = ∇F (p) • u = (∂F∂x (p), ∂F∂y (p)) • (0, 1) = ∂F∂y (p).
Em memoria ao John Nash.
Algumas Contribuic¸o˜es de Nash a` evoluc¸a˜o intelectual da humanidade.
a- Teoria de equilibrio geral - economia matema´tica
b- Teoria dos jogos estrate´gicos - Basicamente e´ a teoria matema´tica sobre atitudes mais racionais poss´ıveis numa jogo de riscos
(mercado financeiro , guerra eletroˆnica, espionagem, estrate´gias de guerra e etc- veja o problema de estrate´gia dos prisioneiros
abaixo)
c- Topologia diferencial/geometria diferencial( Toda variedade Riemanniana compacta, conexa e sem bordo pode ser isometrica-
mente mergulhada em algum espaco Rn munido da me´trica euclidiana ).
Nash tem seu lugar na calc¸adada fama matema´tica pelo item c.
Tem seu lugar na calc¸ada da fama da economia pelos items a e b, mas principalmente pelo item a.
E eu diria que ele tem um lugar na calc¸ada da fama dos Governos, servic¸os secretos , ageˆncias de espionagem e comandandos
militares devido ao item b.
O dilema dos prisioneiros
O Dilema dos Prisioneiros e´ um jogo de estrate´gia muito famoso que representa bem o que e´ encontrar a melhor estrate´gia de
sobreviveˆncia.
Resumidamente, a esto´ria e´ a seguinte:
Dois suspeitos, A e B, sa˜o presos pela pol´ıcia. A pol´ıcia na˜o tem provas suficientes para os condenar, enta˜o separa os prisioneiros
em salas diferentes e oferece a ambos o mesmo acordo:
1. Se um dos prisioneiros confessar (trair o outro) e o outro permanecer em sileˆncio, o que confessou sai livre enquanto o cu´mplice
silencioso cumpre 10 anos.
2. Se ambos ficarem em sileˆncio (colaborarem um com ou outro), a pol´ıcia so´ pode condena´-los a 1 ano cada um.
3. Se ambos confessarem (tra´ırem o comparsa), cada um leva 5 anos de cadeia.
Cada prisioneiro faz a decisa˜o sem saber a escolha do outro - eles na˜o podem se comunicar.
Como o prisioneiro vai reagir? Existe algum decisa˜o racional a tomar?
Hasta la vista !