Lista de exercícios - Rotações - com gabarito

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Universidade Federal do Oeste da Bahia
Centro das Cieˆncias Exatas e das Tecnlogias
Sugesto˜es de Problemas: Unidade IX – Rotac¸a˜o
IAD221 – F´ısica Geral e Experimental I - A - Turma: T01
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1. Durante um intervalo de tempo t, o volante de um gerador gira de um aˆngulo θ = at+bt3−ct4,
onde a, b e c sa˜o constantes. Escreva espresso˜es para
(a) o mo´dulo da velocidade angular do volante
(b) o mo´dulo da acelerac¸a˜o angular do volante
2. Qual a velocidade angular
(a) do ponteiro dos segundos,
(b) do ponteiro dos minutos e
(c) do ponteiro das horas
de um relo´gio analo´gico que esta´ funcionando perfeitamente? Responda em radianos por
segundo.
3. Nosso Sol esta´ a 2, 3× 104 anos-luz do centro da nossa gala´xia, e movendo-se em um c´ırculo
ao redor desse centro a uma velocidade de 250 km/s.
(a) Quanto tempo o Sol leva para fazer uma volta completa em torno do centro da gala´xia?
(b) Quantas voltas o Sol completou desde que ele foi formado, ha´ cerca de 4, 5× 109 anos?
4. A posic¸a˜o angular de um ponto sobre a borda de uma roda em rotac¸a˜o e´ dada por θ =
4, 0t− 3, 0t2 + t3, onde θ esta´ em radianos e t esta´ em segundos.
(a) Quais as velocidades angulares em t = 2, 0 s e t = 4, 0 s?
(b) Qual a acelerac¸a˜o angular me´dia para o intervalo de tempo que comec¸a em t = 2, 0 s e
termina em t = 4, 0 s?
(c) Quais sa˜o as acelerac¸o˜es angulares instantaˆneas no in´ıcio e no final deste intervalo de
tempo?
5. A posic¸a˜o angular de um ponto sobre uma roda que esta´ girando e´ dada por θ = 2+4t2 +2t3,
onde θ esta´ em radianos e t em segundos.
(a) Em t = 0, quais sa˜o a posic¸a˜o angular do ponto e a sua velocidade angular?
(b) Qual a sua velocidade angular em t = 4, 0 s?
(c) Calcule a sua acelerac¸a˜o angular em t = 2, 0 s
(d) A acelerac¸a˜o angular do ponto e´ constante?
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6. A roda da Figura 1 tem oito raios igualmente espac¸ados e um diaˆmetro de 60 cm. Ela esta´
montada em um eixo mecaˆnico fixo e esta´ girando a 2,5 rev/s. Voceˆ quer atirar uma flecha
de 20 cm de comprimento paralela a este eixo que atravese a roda sem acertar nenhum dos
raios. Suponha que a flecha e os raios sejam bem finos.
Figura 1: Problema 6
(a) Qual a velocidade mı´nima que a flecha deve ter?
(b) E´ importante saber em que lugar voceˆ mira entre o eixo e a borda da roda? Se for, qual
e´ o melhor lugar?
7. Aumenta-se a velocidade angular do motor de um automo´vel a uma taxa constante de
1200 rpm ate´ 3000 rpm em 12 s.
(a) Qual a acelerac¸a˜o angular do motor em rotac¸o˜es por minuto ao quadrado?
(b) Quantas voltas o motor completa durante este intervalo de 12 s?
8. O prato de um toca-discos girando a 33 13 rpm desacelera e pa´ra em 30 s depois que o seu
motor e´ desligado.
(a) Determine a sua acelerac¸a˜o angular (constante) em rotac¸o˜es por minuto ao quadrado.
(b) Quantas voltas ele completa neste tempo?
9. Em t = 0, um volante possui uma velocidade angular de 4,7 rad/s, uma acelerac¸a˜o angular
de −0, 25 rad/s2 e uma linha de refereˆncia em θ0 = 0.
(a) Qual o deslocamento angular ma´ximo θma´x da linha da refereˆncia no sentido positivo?
(b) Em que tempos t a linha de refereˆncia estara´ em
i. θ = 12θma´x e
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ii. θ = −10, 5 rad (considere tanto valores positivos quanto negativos de t)?
(c) Fac¸a o gra´fico de θ contra t e indique as respostas dos itens (a), (b i) e (b ii) no gra´fico.
10. Um disco gira em torno do seu eixo central partindo do repouso e acelera-se com acelerac¸a˜o
angular constante. Em um dado instante, ele esta´ girando a 10 voltas/s; 60 voltas depois, a
sua velocidade angular e´ de 15 voltas/s. Calcule
(a) a acelerac¸a˜o angular,
(b) o tempo necessa´rio para completar 60 voltas e
(c) o nu´mero de voltas do repouso ate´ o tempo em que o disco alcanc¸a a velocidade de
angular de 10 voltas/s.
11. Um astronauta esta´ sendo testado em uma centr´ıfuga. A centr´ıfuga possui um raio de 10 m
e, ao comec¸ar, gira de acordo com θ = 0, 30t2 onde t esta´ em segundos e θ esta´ em radianos.
Quando t = 5, 0 s, quais sa˜o as intensidades da
(a) velocidade angular,
(b) velocidade linear,
(c) da acelerac¸a˜o tangencial
(d) da acelerac¸a˜o radial do astronauta?
12. Um me´todo usado nos primo´rdios da medic¸a˜o do mo´dulo da velocidade da luz utilizava
Figura 2: Problema 12
uma roda dentada em rotac¸a˜o. Um feixe de luz atravessa um recorte na borda externa da
roda, como na Figura 2, viaja ate´ um espelho distante e volta para a roda bem a tempo de
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atravessar o pro´ximo recorte da roda. Uma dessas rodas dentadas possui um raio de 5,0 cm e
500 recortes na sua borda. Medic¸o˜es feitas quando o espelho esta´ a uma distaˆncia L = 500 m
da roda indicam uma velocidade da luz de 3, 0× 105 km/s.
(a) Qual o mo´dulo da velocidade angular (constante) da roda?
(b) Qual o mo´dulo da velocidade linear de um ponto na borda da roda?
13. O volante de um motor a vapor funciona a uma velocidade angular constante de 150 rpm.
Quando o vapor e´ desligado, o atrito dos mancais e do ar pa´ra o volante em 2,2 h.
(a) Qual o mo´dulo da acelerac¸a˜o angular constante, em voltas por minuto ao quadrado, do
volante durante a desacelerac¸a˜o?
(b) Quanto voltas o volante completa antes de parar?
(c) No instante em que o volante esta´ girando a 75 rpm, qual e´ o mo´dulo do componente
tangencial da acelerac¸a˜o linear de uma part´ıcula do volante que esta´ a 50 cm do eixo de
rotac¸a˜o?
(d) Qual a intensidade da acelerac¸a˜o linear resultante da part´ıcula do item (c)?
14. Na Figura 3, o volante de A de raio rA = 10 cm esta´ acoplado pela correia B ao volante C de
raio rc = 25 cm. Aumenta-se a velocidade angular (escalar) do volante A a partir do repouso
a uma taxa constante de 1,6 rad/s2. Determine o tempo para que C alcance uma velocidade
de rotac¸a˜o (escalar) de 100 rpm, supondo que a coreia na˜o deslize. (Dica: Se a coreia na˜o
desliza, as velocidades (escalares) lineares nas bordas dos dois volantes devem ser iguais.)
Figura 3: Problema 14
15. Calcule a ine´rcia a` rotac¸a˜o de um volante que possui energia cine´tica de 24400 J quando esta´
girando a 602 rpm.
16. A mole´cula de oxigeˆnio O2 tem uma massa de 5, 30 × 10−26 kg e uma ine´rcia a` rotac¸a˜o de
1, 94× 10−49 kg·m2 em torno de um eixo que passa pelo centro da linha que une os a´tomos
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e e´ perpendicular a essa linha. Suponha que o centro de massa de uma mole´cula de O2 em
um ga´s possui uma velocidade (escalar) de translac¸a˜o igual a 500 m/s e a moe´cula apresenta
uma energia cine´tica de rotac¸a˜o 23 da energia cine´tica de translac¸a˜o do seu centro de massa.
Qual e´ enta˜o a velocidade angular (escalar) da mole´cular em torno do centro de massa?
17. Na Figura 4, duas part´ıculas, cada uma de massa m, sa˜o presas a` outra e a um eixo de
rotac¸a˜o em O por duas hastes finas,cada uma com comprimento d e massa M . O conjunto
Figura 4: Problema 17
gira ao redor do eixo de rotac¸a˜o com velocidade angular ω. Em termos destes s´ımbolos e
medidas em torno de O, quais sa˜o
(a) a ine´rcia a` rotac¸a˜o e
(b) a energia do conjunto?
18. Cada uma das treˆs laˆminas do rotor do helico´pter tem 5,20 m de comprimento e possui uma
massa de 240 kg. O rotor esta´ girando a 350 rpm.
(a) Qual a ine´rcia a` rotac¸a˜o do conjunto do rotor em torno do eixo de rotac¸a˜o? (Cada
laˆmina pode ser considerada uma haste fina girando em torno de uma extremidade)
(b) Qual a energia cine´tica de rotac¸a˜o total?
19. As massas e coordenadas de quatro part´ıculas sa˜o as seguintes: 50 g, x = 2, 0 cm; 25 g,
x = 0, y = 4, 0 cm; 25 g, x = −3, 0 cm, y = −3, 0 cm; 30 g, x = −2, 0 cm, y = 4, 0 cm. Quais
sa˜o as ine´rcias a` rotac¸a˜o deste conjunto em torno dos eixos
(a) x,
(b) y e
(c) z?
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(d) suponha que as respostas para os itens (a) e (b) sejam A e B, respectivamente. Qual
sera´ enta˜o a resposta para o item (c) em termos de A e B?
20. Caminho˜es de entrega que operam fazendo uso da energia armazenada em um volante gi-
rato´rio veˆm sendo usados na Europa. Os caminho˜es sa˜o carregados usando um motor ele´trico
para fazer o voltante girar na sua velocidade (angular escalar) ma´xima de 200pi rad/s. Um
volante desses e´ um cilindro so´lido e uniforme com uma massa de 500 kg e um raio de 1,0 m.
(a) Qual a energia cine´tica do volante apo´s o carregamento?
(b) Se o caminha˜o operar com um poteˆncia consumida me´dia de 8,0 kW, durante quantos
minutos ele consegue operar antes de ser recarregado?
21. O comprimento da manivela que liga o pedal ao eixo do pedaleiro de uma bicicleta e´ igual a
0,152 m, e o pe´ do ciclista aplica ao pedal uma forc¸a para baixo de 111 N. Qual a intensidade
do torque em torno do eixo do pedaleiro quando a manivela fizer um aˆngulo de
(a) 30◦,
(b) 90◦ e
(c) 180◦ com a vertical?
22. O corpo da Figura 5 esta´ pivotado em O, e duas forc¸as atuam sobre ele como mostrado.
Figura 5: Problema 22
(a) Encontre uma expressa˜o para o torque resultante sobre o corpo em torno do pivoˆ.
(b) Se r1 = 1, 30 m, r2 = 2, 15 m, F1 = 4, 20 N, F2 = 4, 90 N, θ1 = 75, 0
◦ e θ2 = 60, 0◦, qual
e´ o torque resultante em torno do pivoˆ?
23. Na Figura 6, um cilindro que possui uma massa de 2,0 kg pode girar em torno do seu eixo
central que passa pelo ponto O. Quatro forc¸as sa˜o aplicadas como mostrado na figura:
F1 = 6, 0 N, F2 = 4, 0 N, F3 = 2, 0 N e F4 = 5, 0 N. ale´m disso, R1 = 5, 0 cm e R2 = 12 cm.
Determine a intensidade, a direc¸a˜o e o sentido da acelerac¸a˜o angular do cilindro. (Durante a
rotac¸a˜o as forc¸as manteˆm os mesmo aˆngulos em relac¸a˜o ao cilindro.)
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Figura 6: Problema 23
24. Na Figura 7 o bloco 1 tem massa m1 = 460 g, o bloco 2 tem massa m2 = 500 g, e a polia,
que esta´ montada em um eixo horizontal com atrito desprez´ıvel, tem um raio R = 5, 00 cm.
Quando o sistema e´ liberado a partir do repouso o bloco 2 cai 75,0 cm em 5,00 s sem que a
corda deslize na borda da polia.
Figura 7: Problema 24
(a) Qual e´ o mo´dulo da acelerac¸a˜o dos blocos?
(b) Quais sa˜o so valores da tenso˜es T1 e T2?
(c) Qual e´ o mo´dulo da acelerac¸a˜o angular da polia?
(d) Qual e´ o momento de ine´rcia da polia?
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25. A Figura 8 mostra as part´ıculas 1 e 2, ambas de massa m, presas a`s extremidades de uma
barra r´ıgida de massa desprez´ıvel e comprimento L1 + L2, com L1 = 20 cm e L2 = 80 cm.
A barra e´ mantida horizontalmente no fulcro ate´ ser liberada. Quais sa˜o os mo´dulos da
Figura 8: Problema 25
acelerac¸a˜o inicial das part´ıculas 1 e 2?
26. Uma haste fina de comprimento L e massa m e´ suspensa por uma extremidade, em torno da
qual pode oscilar livremente. Ela e´ puxada para um lado e depois oscila como um peˆndulo,
passando pela sua posic¸a˜o mais baixa com velocidade angular (mo´dulo) ω. Em termos destes
s´ımbolos e g, e desprezando o atrito e a resisteˆncia do ar, determine
(a) a energia cine´tica da haste na sua posic¸a˜o mais baixa.
(b) a que distaˆncia acima dessa posic¸a˜o eleva-se o centro de massa.
27. Um corpo r´ıgido e´ formado por treˆs hastes finas ideˆnticas, cada uma com comprimento L,
fixadas umas a`s outras na forma de uma letra H (Figura 9). O corpo tem a liberdade de
girar em torno de um eixo horizontal que passa por todo o comprimento de uma das pernas
do H. Permite-se que o cropo caia do repouso a partir de uma posic¸a˜o na qual o plano do
H esta´ na horizontal. Qual a velocidade angular (escalar) do corpo quando o plano do H
estiver na vertical?
Figura 9: Problema 27
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28. Uma casca esfe´rica uniforme de massa M e raio R gira em torno de um eixo vertical sobre
mancais sem atrito (Figura 10). Uma corda de massa desprez´ıvel passa ao redor do equador
da casca, gira uma rodalna com ine´rcia a` rotac¸a˜o I e raio r e esta´ presa a um pequeno
objeto de massa m. Na˜o ha´ atrito no eixo da roldana e a corda na˜o desliza sobre a roldana.
Qual a velocidade escalar do objeto apo´s cair uma distaˆncia h partindo do repouso? Use
considerac¸o˜es de energia.
Figura 10: Problema 28
29. Em um CD, a mu´sica e´ codificada em uma configurac¸a˜o de minu´sculas reentraˆncias dispostas
ao longo de uma trilha que avanc¸a uma espiral do interior a` periferia do disco. A` medida
que o disco gira no interior de um tocador de CD, a trilha e´ varrida com velocidade linear
constante v = 1, 25 m/s. Como o raio da trilha espiral aumenta a` medida que o disco gira,
intensidade da velocidade angular do disco deve variar quando o CD esta´ girando. Vamos
ver qual e´ a acelerac¸a˜o angular necessa´ria para manter o mo´dulo de v constante. A equac¸a˜o
de uma espiral e´ dada por
r(θ) = r0 + βθ
onde r0 e´ o raio da espiral para θ = 0 e β e´ uma constante. Em um CD, r0 e´ o raio interno da
trilha espiral. Considerando como positivo o sentido da rotac¸a˜o do CD, β deve ser positivo,
de modo que r e θ crescem a` medida que o disco gira.
(a) quando o disco gira atrave´s de um pequeno aˆngulo dθ, a distaˆncia varrida ao longo da
trilha e´ d` = rdθ. Usando a expressa˜o anterior para r(θ), integre d` para calcular a
distaˆncia total ` varrida ao longo da trilha em func¸a˜o do aˆngulo θ descrito pela rotac¸a˜o
do disco.
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(b) Como a trilha e´ varrida com velocidade linear constante v, a distaˆncia total ` encontrada
na parte (a) e´ igual a vt. Use esse resultado para encontrar θ em func¸a˜o do tempo.
Existem duas soluc¸o˜es para θ; qual delas e´ a fisicamente aceita´vel? Determine essa
expressa˜o.
(c) Determinea velocidade angular ωz e a acelerac¸a˜o angular αz em func¸a˜o do tempo.
(d) Em um CD, o raio interno da trilha e´ igual a 25,0 mm, o raio da trilha cresce 1,55 mm
em cada volta e o tempo de durac¸a˜o e´ igual a 74,0 min. Determine os valores de r0 e
de β e determine o nu´mero total de voltas feitas durante o tempo total da reproduc¸a˜o
do som.
30. Nos problemas que tratam de roldanas com momento de ine´rcia diferente de zero, os mo´dulos
das trac¸o˜es nas cordas puxadas de um lado e de outro da roldana na˜o sa˜o iguais. a diferenc¸a
entre elas e´ devida a uma forc¸a de atrito esta´tico entre a corda e a roldana; entretanto, a
forc¸a de atrito esta´tico na˜o pode ser arbitrariamente muito grande. A Figura 11 mostra um
bloco tem massa m1, o outro apresenta massa m2 (m1 > m2) e a roldana, em forma de
disco (massa mc e raio R) esta´ montada em mancais horizontais se atrito. Quando solto do
repouso e sem que a corda escorregue na roldana:
Figura 11: Problema 30
(a) determine a intensidade da acelerac¸a˜o dos blocos.
(b) determine as trac¸o˜es que sustentam os blocos.
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31. Um cilindro homogeˆneo de massa M e raio 2R esta´ em repouso sobre o topo de uma mesa.
Um fio e´ ligado por meio de um suporte duplo preso a`s extremidades de um eixo sem atrito
passando atrave´s do centro do cilindro de modo que o cilindro pode girar em torno do eixo.
O fio passa sobre uma polia em forma de disco de massa M e raio R montada em um eixo
sem atrito que passa em seu centro. Um bloco de massa M e´ suspenso na extremidade livre
do fio, conforme a Figura 12. O fio na˜o desliza sobre a superf´ıcie da polia, e o cilindro rola
sem deslizar sobre o topo da mesa. Determine o mo´dulo da acelerac¸a˜o do bloco quando o
sistema e´ libertado do a partir do repouso.
Figura 12: Problema 31
32. Dois corpos de massas m1 e m2 esta˜o ligados por uma corda que passa pelas rodas de um
eixo comum, como mostrado na Figura 13. As duas rodas esta˜o ligadas juntas, de maneira
que formam um corpo u´nico. O momento de ine´rcia do corpo u´nico e´ I. Os raios das rodas
sa˜o R1 e R2. Determine a acelerac¸a˜o angular e as trac¸o˜es nas cordas.
Figura 13: Problema 32
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33. Uma esfera uniforme de massa M e raio R e´ livre para girar em torno do eixo que passa pelo
seu centro. Uma corda e´ enrolada em torno da esfera e presa a um objeto de massa m, como
mostrado na Figura 14. O momento de ine´rcia da esfera com eixo de rotac¸a˜o que passa pelo
seu centro, de massa M e raio R e´ Iesfera =
2
5
MR2.
Figura 14: Problema 33
(a) Determine a acelerac¸a˜o do objeto em func¸a˜o de g, M e m.
(b) Determine a trac¸a˜o da corda em func¸a˜o de g, M e m.
34. Um objeto e´ constitu´ıdo de quatro part´ıculas, cada uma de massa m, que esta˜o conectadas
Figura 15: Problema 34
por barras de massa desprez´ıvel, formando um retaˆngulo de lados 2a e 2b. O sistema gira
com velocidade angular ω em torno de um eixo no plano que passa atrave´s de duas part´ıculas,
como mostrado na Figura 15. Determine a energia cine´tica de rotac¸a˜o.
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35. Um cilindro uniforme com massa M e raio R e momento de ine´rcia de centro de massa
1
2
MR2
esta´ em repouso sobre um bloco de massa m, o qual, por sua vez, repousa sobre uma mesa
horizontal sem atrito, conforme a Figura 16. Se uma forc¸a horizontal ~F e´ aplicada no bloco,
este e´ acelerado e o cilindro rola sem escorregamento. Considere a direc¸a˜o de ~F indicada na
figura como positiva.
Figura 16: Problema 35
(a) Determine a acelerac¸a˜o do bloco em relac¸a˜o a` mesa e em func¸a˜o de F , m e M .
(b) Determine a acelerac¸a˜o angular do cilindro em func¸a˜o de F , m, M e R.
(c) Determine a acelerac¸a˜o linear do cilindro em relac¸a˜o a` mesa e em func¸a˜o de F , m e M .
(d) Determine a acelerac¸a˜o linear do cilindro em relac¸a˜o ao bloco e em func¸a˜o de F , m e
M .
36. A Figura 17 mostra um tubo cil´ındrico oco de massa M , comprimento L, raio R e momento
Figura 17: Problema 36
de ine´rcia
1
2
MR2 +
1
12
ML2. No interior do tubo existem dois discos de massa m, separados
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de uma distaˆncia ` e amarrados a uma haste central atrave´s de um fio fino. O sistema pode
girar em relac¸a˜o a um eixo central que passa pelo centro do tubo. Com o sistema girando a
uma rotac¸a˜o ω, o fio que segura os discos se rompe bruscamente. Quando os discos atingem
as extremidades do cilindro, eles permanecem nessa posic¸a˜o. Os discos esta˜o equ¨idistantes
ao eixo central. Considere os discos como part´ıculas e admita que as paredes internas do
tubo na˜o tenham atrito. Determine a velocidade angular final e as energias cine´ticas inicial
e final do sistema em func¸a˜o dos paraˆmetros: M , m, R, L e ω.
37. Uma barra reta de massa desprez´ıvel e´ apoiada em uma ro´tula sem atrito, conforme mostrado
na Figura 18. As massas m1 e m2 sa˜o fixadas a` barra distando `1 e `2 da ro´tula.
Figura 18: Problema 37
(a) Determine a expressa˜o para a energia potencial gravitacional das massas em func¸a˜o do
aˆngulo θ entre a barra e a direc¸a˜o horizontal.
(b) Determine o aˆngulo θ para o qual a energia potencial e´ mı´nima. A afirmativa “os
sistemas tendem a se mover em direc¸a˜o a` configurac¸a˜o de energia potencial mı´nima” e´
consistente com o seu resultado?
(c) Mostre que se m1`1 = m2`2, a energia potencial e´ a mesma para todos os valores de θ.
Nessa condic¸a˜o, o sistema estara´ em equil´ıbrio para qualquer aˆngulo θ. Esse resultado
e´ conhecido como lei das alavancas de Arquimedes.
38. A Figura 19 mostra uma bolinha de gude com raio r rola a partir do repouso do topo de uma
grande esfera com raio R, na qual esta´ firmemente fixada.
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Figura 19: Problema 38
(a) Presumindo que a bolinha de gude rola sem deslizar enquanto se mante´m em contato
com a esfera, mostre que o aˆngulo a partir do topo da esfera com o ponto onde a bolinha
perde contato com a esfera e´
θ = arccos
(
10
17
)
≈ 53, 97◦
O momento de ine´rcia da bolinha de gude e´ I =
2
5
mr2
(b) Por que na˜o e´ realista admitir que a bolinha rola sem deslizamento ate´ perder contato
com a superf´ıcie da esfera?
39. Um carretel repousa em um plano inclinado a uma distaˆncia D da base do plano. As ex-
Figura 20: Problema 39
tremidades do carretel teˆm raio R e a parte central tem raio r. O momento de ine´rcia do
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carretel em relac¸a˜oao seu eixo e´ I. Uma tira de massa desprez´ıvel esta´ enrolada com muitas
voltas em torno do centro do carretel. O outro extremo da tira esta´ preso por um gancho no
topo inclinado, como mostrado na Figura 20.
(a) Suponha que inicialmente a superf´ıcie da rampa seja de gelo e na˜o apresente qualquer
atrito. Mostre que a velocidade do centro de massa do carretel quando ele alcanc¸a a
base da rampa tem mo´dulo igual a
v =
√√√√2MgDsen θ
M +
I
r2
(b) Agora suponha que o gelo derreteu e que, quando o carretel esta´ na mesma posic¸a˜o
inicial do item anterior, exista atrito bastante para manter o carretel sem deslizar na
rampa. Determine, em termos de M e/ou I e/ou r e/ou R e/ou g e/ou D e/ou θ, a
direc¸a˜o e o valor da forc¸a de atrito esta´tica nesse caso.
40. O vetor posic¸a˜o de uma part´ıcula cuja massa e´ de 3 kg e´ dado por ~r = 4ˆı + 3t2 ˆ, onde ~r e´
expresso em metros e t em segundos.
(a) Determine o momento angular da part´ıcula em relac¸a˜o a` origem.
(b) Determine o torque atuante na part´ıcula em relac¸a˜o a` origem.
41. Uma caixa de massa m2 repousa sobre uma estante horizontal com atrito, e e´ fixada atrave´s
Figura 21: Problema 41
de cabos a duas caixas com massas m1 e m3, penduradas livremente, conforme mostrado
na Figura 21. O coeficiente de atrito cine´tico entre a caixa m2 e a estante e´ µ. Ambas as
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roldanas possuem momentos de ine´rcia iguais a
1
2
MR2, onde M e´ a massa da roldana e R
o seu raio. Os cabos teˆm massas desprez´ıveis, sa˜o inextens´ıveis e na˜o deslizam nas roldanas.
O sistema, inicialmente, e´ mantido em repouso. Apo´s ser liberado, em termos de µ e/ou m1
e/ou m2 e/ou m3 e/ou M e/ou R e/ou h e/ou g, determine a velocidade da caixa de massa
m3 apo´s descer de uma altura h em relac¸a˜o a sua posic¸a˜o inicial. Utilize o formalismo de
energia.
42. Um corpo r´ıgido esta´ girando em sentido anti-hora´rio ao redor de um eixo fixo. Cada um dos
seguintes pares de grandeza representa uma posic¸a˜o angular inicial e uma posic¸a˜o angular
final do corpo r´ıgido:
• 3 rad, 6 rad;
• −1 rad, 1 rad;
• 1 rad, 5 rad
(a) Qual (is) do conjuntos so´ pode (m) ocorrer se o corpo r´ıgido gira mais que 180◦.
(b) Suponha que a mudanc¸a na posic¸a˜o angular para cada um dos pares de valores tenha
ocorrido em 1 s. Qual escolha representa a mais baixa intensidade da velocidade angular
me´dia?
(c) Se o corpo comec¸a do repouso na posic¸a˜o angular inicial, desloca-se na direc¸a˜o anti-
hora´ria com acelerac¸a˜o angular constante, e chega na posic¸a˜o angular final com a mesma
velocidade angular em todos os treˆs casos, para qual escolha e´ maior a acelerac¸a˜o angu-
lar?
43. Tanto o torque quanto o trabalho sa˜o produtos de forc¸a e distaˆncia. De que forma eles sa˜o
diferentes?
44. Este problema descreve um me´todo experimental para determinar o momento de ine´rcia de
um corpo com forma irregular tal como a carga u´til para um sate´lite. A Figura 22 mostra
um cilindro de massa m suspenso por uma corda que esta´ enrolada ao redor de um carretel
de raio r, formando parte de um plataforma girato´ria apoiando o corpo. Quando o cilindro
e´ solto do repouso, ele desce uma distaˆncia h, adquirindo uma velocidade v. Mostre que o
momento de ine´rcia I do equipamento (incluindo a plataforma girato´ria) e´
I =
mr2(
2gh
v2
− 1
)−1
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Figura 22: Problema 44
45. Na Figura 23 o bloco sobre a superf´ıcie horizontal tem massa m1, o contrapeso tem massa
m2, e a polia e´ um cilindro oco com massa M , raio interno Rint e raio externo Rext. O
coeficiente de atrito cine´tico entre o bloco e a superf´ıcie horizontal e´ µ. A polia gira sem
atrito ao redor do seu eixo. A corda leve na˜o estica e na˜o desliza sobre a polia. O bloco
tem velocidade v0 em direc¸a˜o a` polia quando passa por um registrador fotogra´fico. Mostre,
utilizando o formalismo de energia, que a velocidade do bloco apo´s ter se deslocado para o
segundo registrador fotogra´fico, afastado de uma distaˆncia d do outro e´
vfinal =
√√√√√v20 + 2gd(m2 − µm1)
m1 +m2 +
M
2
(
1 +
R2int
R2ext
)
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Figura 23: Problema 45
O momento de ine´rcia, I, do cilindro oco e´
I =
M
2
(R2int +R
2
ext)
46. Hastes r´ıgidas de massa desprez´ıvel ao longo do eixo y ligam treˆs part´ıculas pequenas conforme
mostra a figura abaixo. Se o sistema gira ao redor do eixo x com velocidade angular de
2,00 rad/s, encontre
(a) o momento de ine´rcia ao redor do eixo x e a energia cine´tica rotacional total calculada
de
1
2
Iω2.
(b) a velocidade tangencial de cada part´ıcula e a energia cine´tica total calculada de∑
i
1
2
miv
2
i .
RESPOSTAS
1. (a) a+ 3bt2 − 4ct3
(b) 6bt− 12ct2
2. (a) 0,105 rad/s
(b) 1, 75× 10−3 rad/s
(c) 1, 45× 10−4 rad/s
3. (a) 5, 5× 1015 s
(b) 26
4. (a) 4,0 rad/s e 28 rad/s
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Figura 24: Problema 46
(b) 12 rad/s2
(c) 6,0 rad/s2 e 18 rad/s
5. (a) 2,0 rad e nula
(b) 128 rad/s
(c) 32 rad/s2
(d) na˜o. Explique!
6. (a) 4,0 m/s
(b) Na˜o. Explique!
7. (a) 9000 rev/min2
(b) 420,0 rev
8. (a) −66, 7 rev/min2
(b) 8,3 rev
9. (a) 44 rad
(b) i. 5,5 s e 32 s
ii. 40 s
(c) Fac¸a o gra´fico!
10. (a) 1,04 rev/s2
(b) 4,8 s
(c) 48 rev
11. (a) 3,0 rad/s
(b) 30 m/s
(c) 0,60 rad/s2
(d) 6,0 m/s2
(e) 90 m/s2
12. (a) 3, 8× 103 rad/s
(b) 190 m/s
13. (a) 1,14 rev/min2
(b) 9, 9× 103 rev
(c) 9, 9× 10−4 m/s2
(d) 31 m/s2
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14. 16 s
15. 12,3 kg· m2
16. 6, 75× 1012 rad/s
17. (a) 5md2 +
8
3
Md2
(b)
(
5
2
m+
4
3
M
)
ω2d2
18. (a) 6, 49× 103 kg·m2
(b) 4,36 MJ
19. (a) 1, 3× 103 g· cm2
(b) 5, 5× 102 g·cm2
(c) 1, 9× 103 g· cm2
(d) A soma das respostas dos itens a) e
b)
20. (a) 4, 0× 107 J
(b) ≈ 100 min
21. (a) 8,4 N· m
(b) 17 N· m
(c) nula
22. (a) r1F1sen θ1 − r2F2sen θ2
(b) −3, 85 N· m
23. 9,72 rad/s2 no sentido anti-hora´rio
24. (a) 6, 00× 10−2 m/s2
(b) 4,87 N e 4,54 N
(c) 1,20 rad/s2
(d) 1, 38× 10−2 kg· m2
25. 6,9 m/s2 e 1,7 m/s2
26. (a)
mω2L2
6
(b)
ω2L2
6g
27.
3
2
√
g
L
28.
√√√√ 2gh2M
3m
+ 1 +
I
mr2
29. (a) r0θ +
1
2
βθ2
(b)
1
β
(√
r20 + 2βvt− r0
)
(c)
v√
r20 + 2βvt
e − βv
2
(r0 + 2βvt)
3/2
(d) 2, 13× 104 revoluc¸o˜es
30. (a)
m1 −m2
m1 +m2 +
1
2mc
g
(b)
m1(2m2 +
1
2mc)
m1 +m2 +
1
2mc
g e
m2(2m1 +
1
2mc)
m1 +m2 +
1
2mc
g
31.
g
3
32. acelerac¸a˜o angular:
m1R1 −m2R2
m1R21 +m2R
2
2 + I
g;
Trac¸o˜es: m1g
[
m2R2(R1 +R2) + I
m1R21 +m2R
2
2 + I
]
em2g
[
m1R1(R1 +R2) + I
m1R21 +m2R
2
2 + I
]
33. (a)
g
1 +
2M
5m
(b)
2mMg
5m+ 2M
34. 4ma2ω2
35. (a)
3F
M + 3m
(b) − 2F
R(M + 3m)
(c)
F
M + 3m
(d) − 2F
M + 3m
36. velocidade angular final:
6MR2 +ML2 + 6m`2
6MR2 +ML2 + 6mL2
ω;
Energia cine´tica inicial:
21
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1
24
(
6MR2 +ML2 + 6m`2
)
;
Energia cine´tica final:(
6MR2 +ML2 + 6m`2
)2
6MR2 +ML2 + 6mL2
ω2
24
37. (a) (m2`2 −m1`1)gsen θ
(b) −pi
2
(c) Mostre!
38. (a) Mostre!
(b) Explique!
39. (a) Mostre!
(b)
Mgsen θ
1 +
R
r
para cima do plano incli-
nado.
40. (a) (72, 0t J · s)kˆ
(b) (72, 0 N ·m)kˆ
41.
√
2 (m3 −m1 − µm2) gh
m1 +m2 +m3 +M
42. (a) configurac¸a˜o 3
(b) configurac¸a˜o 2
(c) configurac¸a˜o 2
43. Responda!
44. Mostre!
45. Mostre!
46. (a) Ix = 92, 0 kg·m2 e K = 184 J
(b) v1 = 6, 00 m/s, v2 = 4, 00 m/s e
v3 = 8, 00 m/s; K = 184 J
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