Apostila _Mecânica Geral_2ª Parte

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MECÂNICA GERAL
 
- 2ª Parte 
Assunto: Estática dos Pontos Materiais 
2.1 . Introdução 
Nesta 2ª parte estudaremos o efeito de forças que atuam em pontos materiais. O 
objetivo é mostrar como adicionar forças e decompô-las em componentes usando a Lei 
do Paralelogramo. Expressar a força e sua posição na forma de um vetor cartesiano e 
explicar como determinar a intensidade e a direção do vetor. 
FORÇAS NO PLANO 
2.2. Força sobre um Ponto Material 
Uma força representada a ação de um corpo sobre o outro. Ela pode ser 
caracterizada por seu ponto de aplicação, sua intensidade, sua direção e sentido. 
Um vetor é representado graficamente por uma seta. O comprimento da seta 
representa intensidade do vetor, e o ângulo 
 
entre o vetor e um eixo fixo determina a 
direção de sua linha de ação. A ponta da seta indica o sentido da direção do vetor (figura 
abaixo). 
 
As quantidades vetoriais são representadas por letras em negrito, como A, e sua 
intensidade aparece em itálico, como A. Para manuscritos, em geral, é conveniente 
indicar uma quantidade vetorial simplesmente desenhando uma seta acima dela, como 
Resultantes de Forças: 
São somados de acordo com a Lei do Paralelogramo. 
Exemplo: Duas forças A (3 N) e B (4 N) perpendiculares tem resultante igual a 5 N e não 
7 N. 
 
2.2.1 Vetores 
Os vetores são definidos como entes matemáticos que possuem intensidade, 
direção e sentido e que se somam de acordo com a lei do paralelogramo. 
Onde, dois vetores de mesma intensidade, direção e sentido são ditos iguais, quer 
tenham ou não o mesmo ponto de aplicação (vetores livres). E também, podem ser 
identificados pela mesma letra. 
 Vetores de mesma intensidade. 
O vetor oposto de um dado vetor P é definido como sendo um vetor que tem a 
mesma intensidade e direção e sentido oposto ao de P. 
P + ( - P) = 0 
2.3. Operações Vetoriais 
2.3.1. Adição de vetores 
Os vetores podem ser somados pela lei do paralelogramo ou pela regra do triangulo. 
 
Podemos concluir também que a adição de dois vetores é comutativa, e notamos: 
P + Q = Q + P 
2.3.2. Subtração de vetores 
Subtrair um vetor é somar o correspondente vetor oposto. 
 
P - Q = P + ( - Q) 
2.3.3 Soma de 3 ou mais vetores 
Caso os vetores sejam coplanares (contidos no mesmo plano), é preferível aplicar a 
Regra do Triângulo à Lei do Paralelogramo. 
 
P + Q + S = (P + Q) + S = P + (Q + S) 
2.3.4 Produto escalar de um vetor 
P + P = 2P 
P + P + P = 3P 
Soma de n vezes o vetor P = nP 
Produto escalar: Produto de um escalar k (positivo ou negativo) por um vetor 
P = kP. 
-Tem a mesma direção; 
-Tem o mesmo sentido, se k for positivo; sentido oposto se k for negativo; 
-Intensidade é igual ao produto da intensidade de P pelo valor k. 
 
2.3.5 Resultante de várias forças concorrentes 
Forças concorrentes é um conjunto de forças coplanares que atuam sobre o mesmo 
ponto. 
 
2.3.6 Decomposição de uma força em componentes 
Da mesma forma que as forças atuantes em um ponto material podem ser substituídas 
por uma única força F, uma força F pode ser substituída por 2 ou mais forças que, juntas, 
tem o mesmo efeito sobre o ponto material. Essas forças são chamadas de componentes 
da força original F. 
 
O processo de substituição é chamado de decomposição da força F em componentes. 
Exercícios Resolvidos: 
1. As forças P e Q agem sobre um parafuso A. Determinar a sua resultante. 
 
SOLUÇÃO: 
Pela trigonometria podemos aplicar a regra do triangulo; dois lados e o ângulo por eles 
formados são conhecidos. Aplicamos a lei dos co-senos. 
R² = P² + Q² 
 
2.P.Q. cos B 
R² = (40N)² + (60N)² 
 
2.(40N).(60N).cos155° 
R = 97,7 N 
E, aplicando a lei dos senos: 
 
60 N = 97,7 N
 
sen A sen 155° 
 
sen A = (60N) sen 155°
 
 97,7N 
A = 15° = A
 
+ 20° = 35° R = 97,7N 
 
35° 
2. 2. Uma barcaça é puxada por 2 rebocadores. Se a resultante das forças exercidas 
pelos rebocadores é de 5kN e tem a direção do eixo da barcaça, determine: 
a) a tração em cada corda, sabendo-se que =450 
 
b) o valor de para que a tração na corda 2 seja mínima. 
 
Solução: 
a) 
 
b) Para que T2 seja mínimo, T1 e T2 devem ser ortogonais, isto é, devem formar um 
ângulo de 90°. 
 
RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 
 
2.3.7 Componentes cartesianas de uma força 
Em muitos problemas é desejável a decomposição da força F em componentes 
perpendiculares entre si. 
Paralelogramo desenhado para obtenção das componentes é um retângulo. 
Fx e Fy são denominadas componentes cartesianas. 
 
 
Eixos x e y 
Perpendiculares 
Geralmente nas direções horizontal e vertical 
Podem ser inclinados 
Ângulo medido a partir de Fx até a força F no sentido anti-horário 
 
Podemos definir dois vetores de intensidade igual a 1, orientados segundo os eixos x e y: 
Vetor i: na direção do eixo x 
Vetor j: na direção do eixo y 
Decomposição de F 
Fx = Fx i Fy = Fy j 
 
F = Fx i + Fy j 
onde: 
Fx e Fy: componentes vetoriais de F 
Fx e Fy: componentes escalares de F 
(intensidade dos vetores Fx e Fy) 
Relação entre F, Fx, Fy e 
 
Fx = F cos Fy = F sen
 
Exemplos: 
Exemplo 1: Uma força de 800 N é exercida sobre um parafuso A. Determine as 
componentes horizontal e vertical da força F. 
 
Fx = - F cos = - 800.cos35º 
Fx = - 655 N 
Fy = + F sen = - 800.sen35° 
Fy = + 459 N 
As componentes vetoriais de F são: 
Fx = - (655 N)i 
Fy = + (459 N)j 
F = 
 
(655 N)i + (459 N)j 
Exemplo 2: Um homem puxa, com uma força de 300 N, uma corda fixada a uma 
construção. Quais as componentes horizontal e vertical da força exercida pela 
corda no ponto A? 
 
tg = (6/8) .: = 36,87°
 
Fx = +(300)cos = 240 N 
 
Fy = -(300)sen = -180 N 
As componentes vetoriais de F são: 
F = (240 N) i 
 
(180N) j 
Exemplo 3: A força F=(3,5kN)i + (7,5kN)j é aplicada a um parafuso A. Determine a 
intensidade da força e o ângulo que ela forma com a horizontal. 
 
tg = (Fy / Fx) = (7,5 / 3,5) 
 
 
= 65°
 
F2 = Fy2 + Fx2 = 7,52 + 3,52 
F = 8,28 kN 
2.3.8 Adição de forças pela soma das componentes 
Soma de 2 forças 
Lei do paralelogramo ou regra do triângulo 
Soma de mais de 2 forças 
Solução analítica pode ser obtida pela decomposição de cada uma das forças em suas 
componentes cartesianas 
Ex: 3 forças P, Q e S 
R = P + Q + S 
P = Pxi + Pyj 
Q = Qxi + Qyj 
S = Sxi + Syj 
R = Pxi + Pyj + Qxi + Qyj + Sxi + Syj 
R = (Px+ Qx + Sx)i + (Py + Qy + Sy)j 
Rx = Px+ Qx + Sx e Ry = Py+ Qy + Sy ou Rx = Fx e Ry = Fy 
 
 
Exemplo: 
Quatro forças atuam no parafuso A. Determine a resultante das forças que agem no 
parafuso. 
 
 
2.3.9 Equilíbrio de um ponto material 
Quando a resultante de todas as forças que atuam sobre um ponto material é zero, este 
ponto está em equilíbrio. 
 
 
F = 0 
 
 
(Fxi + Fyj) = 0 
 
( Fx)i + ( Fy)j = 0 
 
Então: Fx = 0 e Fy = 0 
 
Primeira Lei de Newton 
Se a força resultante que atua sobre um ponto material tem intensidade igual à zero, esse 
ponto permanece em repouso ou se move em movimento retilíneo uniforme. 
Diagrama do Corpo Livre 
Resolução de problemas da vida real reduzindo-se o problema do equilíbrio do ponto 
material, esquematizando-se em um diagrama separado todas as forças que sobre ele 
são exercidas. 
Exemplo: 
Tem-se um caixote de 75kg sendo colocado sobre um caminhão. O caixote é 
suportado por um cabo vertical, unido no ponto A as duas cordas fixadas nos 
prédios em B e C. Deseja-se determinar a tração nas 2 cordas AB e AC. 
 
 
FORÇAS NO ESPAÇO 
2.4. Componentescartesianas de uma força no espaço 
Uma força no espaço pode ser decomposta em componentes cartesianas Fx, Fy e Fz. 
Representando por x, y e z, respectivamente, os ângulos que F forma com os eixos x, 
y e z, temos: 
 
Cossenos diretores: 
 
Vetores unitários: 
 
 
2.5. Força definida por seu modulo e dois pontos de sua linha de ação. 
 
2.6. Adição de forças concorrentes no espaço 
 
2.7. Equilíbrio de um ponto material no espaço 
Quando um ponto material está em equilíbrio no espaço tridimensional utilizam-se as três 
equações de equilíbrio. 
Fx = 0 Fy = 0 Fz = 0 
Exemplo: 
Sabendo que a tração exercida no cabo AB é de 2100N, determine as componentes 
cartesianas no espaço. 
 
 
Lista de Exercícios 
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