Geometria Analítica do espaço - vetores

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GEOMETRIA ANALÍTICA 
NO ESPAÇO
PROF. CARLOS EDUARDO PINHEIRO
GEOMETRIA ANALÍTICA DO ESPAÇO
• A Geometria Analítica do espaço, ou Geometria Analítica Espacial,
começou a tomar forma na França graças aos trabalhos de Antoine Parent
(1666 - 1716) e Alexis Claude Clairaut (1713 - 1765) que, em 1726,
apresentou na Academia de Ciências de Paris o seu trabalho Quatre
problêmes sur de nouvelles courbes (Quatro problemas sobre novas
curvas), um importante tratado analítico sobre curvas não-planas no
espaço
COORDENADAS NO ESPAÇO
• Imagine uma pequena bola, que designamos pela letra B, sobre um fino suporte vertical no quarto
ou sala onde você está.
• Escolha uma das quinas do quarto, que designamos pela letra O. Essa quina é o encontro de duas
paredes e o chão simultaneamente.
• Ao mesmo tempo, O é também o ponto de encontro de três linhas, duas das quais são as linhas
onde o chão encontra as paredes e a outra onde as paredes se encontram mutuamente.
• Como determinar a posição exata de B ? Para responder, começamos por lembrar que a posição
de um ponto P no plano, em relação a um sistema de coordenadas cartesianas, é determinada por
um par de números reais (x, y) denominados coordenadas de P.
• Então, se P representa a base da haste que sustenta a bolinha, podemos determinar a posição
exata de P, em relação a um sistema ortogonal de coordenadas cartesianas no plano do chão,
com origem no ponto O e cujos eixos são os cantos do chão, comuns as paredes do quarto
• Imagine-se de pé no canto da parede, de frente para o ambiente do quarto.
• Denominando eixo OX o canto do chão que fica a sua direita, portanto, a direita de O e, eixo OY o
canto do chão que fica a esquerda de O, o ponto P, que representa o pé da haste, tem
coordenadas (x, y) no plano do chão que contém os eixos OX e OY .
• Finalmente, para determinar a posição exata da bolinha B, faz-se necessária uma terceira coordenada Z que
mede a sua altura em relação ao chão. Isto é, Z é o comprimento da haste que sustenta B. Assim,
denominamos eixo OZ o canto do quarto que resulta da interseção das duas paredes consideradas. Na
Figura ao lado, representamos a bolinha B no quarto e junto com ela as três coordenadas x, y e z, que
determinam a sua posição exata no espaço.
• Dessa forma, a posição em que a bolinha se encontra no quarto é caracterizada mediante um terno de
números reais (neste caso, não negativos) que designamos por (x, y, z) e denominamos as coordenadas de
B em relação ao sistema OXY Z. Apresenta assim o sistema de coordenadas no espaço.
COORDENADAS CARTESIANAS NO ESPAÇO
• Um sistema (ortogonal positivo) de coordenadas cartesianas no espaço consiste da escolha de um ponto O do espaço,
denominado origem, e de três retas concorrentes em O e mutuamente perpendiculares, denominadas eixos OX, OY e OZ,
sob cada uma das quais há uma reta real R, satisfazendo as seguintes propriedades:
• a) O zero de R considerada, coincide com o ponto O.
• b) Escolhendo duas dessas retas. As retas escolhidas determinam um plano que passa pela origem O. Nesse plano,
escolhemos uma das retas para ser o eixo OX e a outra para ser o eixo OY . O plano que contém esses eixos é
denominado plano XY .
• c) Escolhendo um dos semi-eixos do eixo OX para ser o semi-eixo OX positivo. No plano XY , o semi-eixo OY positivo é
obtido pela rotação de 90º do semi-eixo OX positivo, no sentido anti-horário, em torno da origem.
• d) A terceira reta, perpendicular ao plano XY e que passa pela origem, é o eixo OZ. Nela, o semi-eixo OZ positivo é
escolhido de modo que se um observador em pé na origem sobre o plano XY , com as costas apoiadas no semi-eixo OZ
positivo e o braço direito esticado na direção do semi-eixo OX positivo, verá o semi-eixo OY positivo a sua frente
CÁLCULO VETORIAL
VETORES
• Vetor é um segmento de reta orientado que apresenta
módulo (tamanho), direção e sentido.
• Os vetores são usados para expressar grandezas físicas
vetoriais, ou seja, aquelas que só podem ser
completamente definidas se conhecemos o seu valor
numérico, a direção em que atuam (horizontal e vertical),
bem como o seu o sentido (para cima, para baixo).
• Posição, velocidade, aceleração, força e quantidade de movimento são bons exemplos
de grandezas vetoriais.
• Por exemplo, se quisermos saber a posição de algum local, é necessário que se aponte para uma
direção. Nesse caso, o sentido do movimento é dado pela ponta do dedo.
VETORES
A figura mostra um vetor de módulo (tamanho) a.
VETORES
• Para desenharmos vetores, é necessário perceber que sua representação deve levar em conta o
seu tamanho, ou seja, um vetor que represente uma grandeza de valor numérico igual a 10 deve
ser desenhado com a metade do tamanho de um vetor que tenha tamanho 20.
VETORES
• As direções de um vetor podem ser definidas com base no sistema de coordenadas escolhido, por
exemplo. Usando-se o sistema cartesiano, as direções do espaço seriam x e y e um vetor poderia
ser escrito como V = (x, y). O sentido, por sua vez, diz respeito à seta na ponta do vetor, que o
indica, podendo ser tanto positivo como negativo.
VETORES
• Quando escrevemos que um vetor é definido por suas coordenadas x e y, dizemos que x e y são
as suas componentes horizontal e vertical, respectivamente. Quando um vetor encontra-se
inclinado, sem coincidir com qualquer um dos eixos do sistema de coordenadas, é possível
determinar o tamanho das suas componentes. Para tanto, basta conhecermos o ângulo θ, formado
entre o vetor e a direção horizontal, e o módulo do vetor a:
• Para calcularmos essas componentes, é necessário 
fazer o seguinte cálculo:
VETORES
• Com base nas componentes ax e ay de um vetor, é possível calcular o seu
módulo (tamanho). Para isso, basta aplicarmos o teorema de Pitágoras, uma vez
que essas componentes são perpendiculares entre si:
V E T O R E S
• Consideremos dois pontos A e B. Segmento orientado AB é um segmento de reta determinado por estes
pontos, considerados numa certa ordem. O ponto A chama-se origem ou ponto inicial e o ponto B,
extremidade ou ponto final.
• Dois segmentos orientados AB e CD são coincidentes se possuem os mesmos pontos inicial e final, isto é:
• AB = CD⇔A = C e B = D. Note que, se A ≠ B,AB ≠ BA.
• Um segmento orientado AB é nulo quando o ponto inicial coincide com o ponto final, ou seja,A = B.
• Dois segmentos orientados AB e CD são opostos quando AB = DC. Assim, AB e BA são segmentos
orientados opostos.
• O comprimento de um segmento orientado é a sua medida em relação a certa unidade de
comprimento.
• O segmento orientado nulo tem comprimento zero. Note que o comprimento de um segmento
orientado qualquer é sempre um número real positivo ou nulo.
• Dois segmentos orientados AB e CD, não nulos, têm a mesma direção se estão situados sobre
retas suportes paralelas ou coincidentes.
• Só neste caso podemos comparar seus sentidos. Observe que segmentos orientados opostos têm
sentidos contrários.
VETORES NO PLANO EUCLIDIANO
• Um segmento é dito orientado quando lhe é atribuído uma direção e um sentido.
• Dois segmentos orientados são equipolentes quando possuem o mesmo módulo (comprimento), a mesma direção e o 
mesmo sentido.
• Equipolência é a relação de equivalência sob a qual um conjunto de segmentos de reta orientados possuem mesmo
módulo, mesma direção e mesmo sentido. Esta só acontece se um dos seguintes casos ocorrerem: Quando ambos
segmentos forem nulos; Quando nenhum é nulo, e têm o mesmo comprimento, mesma direção e mesmo sentido.
O R2 representa a classe dos pares de números (x,y), com x, y R.
CÁLCULO DAS COMPONENTES DE UM VETOR EM R2
PROJEÇÃO ORTOGONAL 
• A projeção ortogonal das figuras geométricas sobre um plano pode ser comparada à sombra desse mesmo
objeto no horário em que o sol está mais alto no dia. Nesse horário, a sombra possui dimensões iguais às do
objeto, mas não possui profundidade alguma.
• A figura formada pela projeção ortogonal de um ponto P sobre o plano é oponto P'. Essa projeção é definida
como a extremidade do segmento de reta perpendicular ao plano cuja outra extremidade seja o ponto P.
• Observe que um segmento de reta é perpendicular a um plano quando, dado o ponto P' de intersecção entre os
dois, todas as retas pertencentes a esse plano que passam por esse ponto P' são perpendiculares ao segmento
de reta dado. Para verificar isso, é suficiente observar duas retas perpendiculares contidas no plano.
• A figura formada pela projeção ortogonal de uma reta r sobre o plano é outra
reta s. Essa projeção é definida como a intersecção entre o plano que contém a
reta r e o plano que contém a reta s quando os dois são perpendiculares.
• No caso particular em que a reta r já é perpendicular ao plano, a
sua projeção sobre esse plano é apenas um ponto.
PROJEÇÃO ORTOGONAL DE UM PONTO SOBRE UM EIXO.
PROJEÇÃO ORTOGONAL DE UM SEGMENTO ORIENTADO SOBRE UM EIXO. 
OBSERVAÇÕES:
• A medida da projeção ortogonal de um segmento sobre um eixo será sempre menor ou igual ao
segmento dado;
• Nas figuras abaixo, a projeção do segmento AB tem o mesmo sentido do eixo; nesse caso
dizemos que sua medida algébrica é positiva. Já a projeção do segmento CD tem sentido oposto
ao sentido do eixo; nesse caso dizemos que sua medida algébrica é negativa.
• Observação: Em R2, o vetor que tem todas as componentes nulas é 
chamado de vetor nulo e será representado por 0 = (0,0).
• Adição: O vetor soma u + v será aquele cujas
coordenadas são obtidas somando-se as respectivas
coordenadas de u de v.
Operações com Vetores em R2: Sejam u = (x1, y1) e v = (x2,y2)
vetores do R2 e k um número real qualquer. 
ESTE MÉTODO TAMBÉM PODE SER USADO PARA OBTER O VETOR 
SOMA DE UMA QUANTIDADE QUALQUER DE VETORES.
AGAGFGEFDECDBCABFGEFDECDBCAB =−=−+−+−+−+−+−=+++++ )()()()()()(
MULTIPLICAÇÃO DE UM NÚMERO REAL POR UM VETOR
.
O vetor k.u será aquele cujas coordenadas são obtidas multiplicando-se as
coordenadas de u pelo número real k: k.u = (k.x1,k.y1 )
- Os vetores u e k.u possuem a mesma direção.
- Terão sentidos contrários quando k < 0 e mesmo sentido quando k>0.
- O módulo de k.u será o módulo de u multiplicado pela constante positiva |k| .
VETOR RESULTANTE
• Vetor resultante é o nome dado ao vetor que se obtém após realizar-se
uma soma vetorial. Na soma vetorial, devemos considerar o módulo,
a direção e o sentido dos vetores para encontrarmos o vetor
resultante. Vejamos, a seguir, alguns casos de operações com vetores.
RELEMBRANDO - OPERAÇÕES COM VETORES
• Soma de vetores: vetores paralelos são aqueles que se encontram na mesma direção e no mesmo sentido. O
ângulo formado entre esses vetores é sempre nulo.
Caso esses vetores tenham também o mesmo módulo, dizemos que se trata de vetores iguais. Para
encontrarmos a resultante desses vetores, basta somarmos o módulo de cada um, além disso, o vetor resultante
estará na mesma direção e sentido dos vetores paralelos, e seu tamanho deverá ser o tamanho dos dois vetores
originários:
Para calcularmos o módulo do vetor R, podemos utilizar a seguinte
fórmula:
SUBTRAÇÃO DE VETORES
• Vetores opostos fazem um ângulo de 180º entre si, encontram-se na mesma direção, porém com sentidos
contrários:
• O vetor resultante de dois vetores opostos é dado pela diferença no módulo desses:
Nesse caso, o vetor resultante terá sua direção e sentido determinados pelo vetor
de maior módulo e poderá ser calculado por meio da seguinte fórmula:
VETORES PERPENDICULARES: TEOREMA DE PITÁGORAS
• Vetores perpendiculares formam um ângulo de 90º entre si. Para encontrarmos o vetor resultante de dois
vetores perpendiculares, devemos ligar o início de um dos vetores à ponta do outro. O vetor resultante, nesse
caso, formará a hipotenusa de um triângulo retângulo:
• O módulo desse vetor resultante pode ser calculado usando o teorema de
Pitágoras:
VETORES OBLÍQUOS: REGRA DO PARALELOGRAMO
• Vetores que não se encaixem em nenhum dos casos anteriores podem ser determinados geometricamente
pela regra do paralelogramo:
• Sendo θ o ângulo formado entre os dois vetores de base (azul e vermelho), o módulo do vetor resultante
poderá ser obtido por meio da próxima fórmula:
RESULTANTE DE VÁRIOS VETORES
• Quando temos diversos vetores e queremos encontrar o vetor resultante, devemos conectá-los uns
aos outros. Nesse processo, que independe da ordem escolhida, devemos ligar a ponta de um
vetor ao início do próximo. No fim, o vetor resultante será aquele que liga o início do primeiro vetor
com a ponta do último:
• Para encontrarmos o módulo desse vetor,
somamos as componentes x e y de cada um dos
vetores a, b, c, e d, e, no fim, aplicamos o
Teorema de Pitágoras.
EXERCÍCIO 1:
• Qual o módulo da resultante de dois vetores, A e B, cujas componentes são dadas por A = (12,5)
e B = (-9,-1)?
• Qual o módulo da resultante de dois vetores, A e B, cujas componentes são dadas por A = (12,5)
e B = (-9,-1)?
• Resolução:
• Para determinarmos o vetor resultante dos vetores A e B, precisamos somar suas componentes x e y, para
tanto, faremos o seguinte cálculo:
EXERCÍCIO 2:
• Dois vetores, de módulos iguais a 3 e 2, formam entre si um ângulo de 60º. Determine o módulo 
da resultante desses vetores.
• Dois vetores, de módulos iguais a 3 e 2, formam entre si um ângulo de 60º. Determine o módulo 
da resultante desses vetores.
• Para calcularmos o módulo do vetor resultante entre esses dois vetores oblíquos, é necessário utilizarmos a
lei dos cossenos, considerando que o ângulo entre esses vetores é 60º.
EXERCÍCIO 3:
• Um vetor A, de módulo 5, encontra-se inclinado com ângulo de 30º em relação ao eixo horizontal.
Determine o módulo das componentes horizontal e vertical, Ax e Ay, desses vetores.
• Um vetor A, de módulo 5, encontra-se inclinado com ângulo de 30º em relação ao eixo horizontal.
Determine o módulo das componentes horizontal e vertical, Ax e Ay, desses vetores.
• Resolução:
• Para determinarmos quais são as componentes do vetor A, devemos utilizar as relações do seu módulo
com o seno e o cosseno do ângulo de 30º, que esse vetor forma com a direção x. Para tanto, devemos
fazer o seguinte cálculo: