oscilador amortecido

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OSCILAÇÕES AMORTECIDAS 
SUBCRÍTICA, SUPERCRÍTICA E CRÍTICA 
 
William Felipe Nunes Diogo, william.felipe@outlook.com 
Universidade Feevale. Novo Hamburgo, Brasil. 
 
Resumo. O presente artigo busca trazer uma explicação e resolução, pelo método das diferenças finitas, aos três tipos 
de oscilações amortecidas (subcrítica, supercrítica e crítica). Procurando de forma objetiva e simples, esclarecer a 
partir de equações e gráficos, os três distintos tipos de oscilações. Onde o movimento depende apenas de uma força 
proporcional ao seu deslocamento naquele ponto, de sentido contrário, e da inércia do partícula, qual é determinada 
pela sua massa. 
 
Palavras-chaves: movimento amortecido, oscilação subcrítica, oscilação supercrítica, oscilação crítica 
 
 
Abstract. This article aims to bring an explanation and resolution by method of finite differences for the three kinds of 
damped oscillations (underdamping, overdamping and critical damping). Looking a objectively and simple form, clarify 
from equations and graphs, the three distinct kinds of oscillations. Such the movement depends only on a proportional 
force its displacement at that point and adverse direction , and the inertia of the particle, which is determined by its 
mass. 
 
Keywords: damped movement, underdamping, overdamping, critical damping. 
 
 
1. INTRODUÇÃO 
 
Em física, são definidas como oscilações amortecidas, as ondas que atingem um máximo valor de amplitude e logo 
após decrescem rapidamente. A amplitude da oscilação sofre, de acordo com uma curva exponencial, uma redução, e sua 
frequência de movimento é constante. Desta maneira, essas oscilações podem ser classificadas como supercríticas, quando 
não há oscilação, subcríticas, quando há, e críticas, na interface entre esses dois estágios. 
Assim temos como movimento amortecido a suspensão de um carro, ou uma mola dorma, responsável por fazer com 
que uma porta feche suavemente e sem oscilar, por exemplo. Nas oscilações amortecidas, essa força de amortecimento 
não é conservativa, ela diminui com o tempo, pois sua energia mecânica não é constante, tendendo a zero com o passar 
do tempo. 
 
 
2. OSCILADOR AMORTECIDO 
 
Como já mencionado, um oscilador amortecido depende da força de atrito e da inércia da partícula, força que está 
relacionada com sua massa m. Essa força de atrito é proporcional a velocidade. Assim temos que: 
 
dt
dx
bFa 
 (1) 
Onde b é uma constante que depende de interação que produz o atrito. O sinal negativo indica que se opõe a 
velocidade, e é expresso em kg/s. 
De acordo com a segunda lei de Newton, um oscilador amortecido é sujeito a uma força restauradora e outra de atrito 
em função da velocidade. Então: 
 
dt
dx
bkx
dt
dx
m 
²
²
 (2) 
 
Onde x é o deslocamento do oscilador em relação a sua posição de equilíbrio. Igualando a equação à zero, temos que: 
 
0
²
²

dt
dx
bkx
dt
dx
m
 (2.1) 
 
Sabendo que ωo² = k/m γ = b/m 
 
Então temos: 
 
0²
²
²
 xo
dt
dx
dt
dx 
 (2.3) 
 
Mas de acordo com o método das diferenças finitas, podemos escrever a equação acima da seguinte maneira: 
 

















h
h
i
h
oh
ii 



2
2
1
2
²²24
1
 (2.4) 
 
Para efeito desta força restauradora, tem-se uma oscilação da partícula em torno de sua posição de equilíbrio, fazendo 
com que ela se anule, e sendo caracterizada pela constante K. Este efeito causa uma diminuição do deslocamento em 
relação ao tempo, qual é caracterizado pela constante γ. De acordo com as equações acima, podemos considerar três casos: 
 
1. A força de restauração é maior que a de atrito, então o oscilador terá seu movimento oscilatório. Contudo, a 
força de atrito diminui com o passar do tempo, a amplitude desse movimento descresse até a partícula 
repousar na sua posição de equilíbrio. Temos então, a oscilação subcrítica. 
 
2. A força de atrito é maior que a de restauração, não há oscilação e a partícula vem a parar lentamente na sua 
posição de equilíbrio. Temos então, a oscilação supercrítica. 
 
3. As duas forças são equivalentes e se anulam, ocorre então o caso de interface entre os dois primeiros citados. 
Temos então, a oscilação crítica. 
 
2.1 Oscilação Subcrítica 
 
A oscilação subcrítica (underdamping) possui raízes e imaginárias. Satisfazendo a seguinte equação: 
 
0²4² <o 
 (3) 
 
É a condição em que o amortecimento de um oscilador faz com que ele retorne ao equilíbrio com a amplitude 
gradualmente decrescendo para zero. O sistema volta a posição de equilíbrio rapidamente, mas a ultrapassa e atravessa, 
uma ou mais vezes. Sistema de amortecimento onde há oscilação. Para fazer a simulação deste caso, adotou-se γ = 1 e 
ωo = 10. O resultado é mostrado no gráfico a seguir: 
 
 
 
Figura 1. Gráfico oscilação amortecida subcrítica 
 
 
 
 
-10
-5
0
5
10
15
0 20 40 60 80 100 120 140 160
 
2.2 Oscilação Supercrítica 
 
A oscilação supercrítica (overdamping) possui raízes reais e distintas. Satisfazendo a seguinte equação: 
 
0²4² >o 
 (4) 
 
Analisando fisicamente, quando o amortecimento é grande, a força de atrito é tão grande que o sistema não pode 
oscilar. É a condição em que o amortecimento de um oscilador a faz voltar ao equilíbrio suavemente. Podemos tomar 
como exemplo a mola dorma, que fica presa no topo de algumas portas, e tem a função de controlar a velocidade com 
que a porta fecha, sem oscilar. Para fazer a simulação deste caso, adotou-se γ = 10 e ωo = 1. O resultado é mostrado no 
gráfico a seguir: 
 
 
 
Figura 2. Gráfico oscilação amortecida supercrítica 
 
 
 
2.3 Oscilação Crítica 
 
A oscilação crítica (critical damping) possui raízes iguais e reais. Satisfazendo a seguinte equação: 
 
0²4²  o
 (5) 
 
 Com isso, a massa apenas volta a posição de retorno, com um resultado exponencial. A amplitude diminui 
rapidamente. É a condição em que o amortecimento de um oscilador faz com que ele volte instantaneamente para a sua 
posição de equilíbrio, sem oscilar. Assim como na oscilação supercrítica, não há oscilação. Para fazer a simulação deste 
caso, adotou-se γ = 4 e ωo = 2. O resultado é mostrado no gráfico a seguir: 
 
 
 
Figura 3. Gráfico oscilação amortecida crítica 
8,6
8,8
9
9,2
9,4
9,6
9,8
10
10,2
0 20 40 60 80 100 120 140 160
0
2
4
6
8
10
12
0 20 40 60 80 100 120 140 160
3. REFERÊNCIAS 
 
College Physics. OpenStax College - The Saylor Foundation, 2012, p.580. Google Books. Disponível em 
http://books.google.com.br/books?id=pYpPAgAAQBAJ&printsec=frontcover&hl=pt-
BR&source=gbs_ge_summary_r&cad=0#v=onepage&q&f=false. Acessado em 7 de junho, 2014. 
Under, Over And Critical Damping. OCW MIT. Massachusetts Institute Of Technology (MIT). Disponível em 
http://ocw.mit.edu/courses/mathematics/18-03sc-differential-equations-fall-2011/unit-ii-second-order-constant-
coefficient-linear-equations/damped-harmonic-oscillators/MIT18_03SCF11_s13_2text.pdf. Acessado em 7 de junho, 
2014. 
DUNN, D. J. Freestudy. Solid Mechanics Dynamics - Tutorial - Damped Vibrations. Disponível em 
http://www.freestudy.co.uk/dynamics/damped%20vibrations.pdf. Acessado em 7 de junho, 2014. 
Oscilador Harmônico Amortecido. UFMG - Universidade Federal de Minais Gerais. Disponível em 
http://www13.fisica.ufmg.br/~wag/transf/FMECDIST/U15_A44_Oscilacoes_Amortecimento.pdf . Acessado em 7 
de junho, 2014.