Cônicas

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CAPÍTULO 8
CÔNICAS
A fórmula da distância entre dois pontos é muitas vezes usada para achar a equação de
uma curva cuja definição geométrica depende de uma ou mais distâncias. Um das curvas mais simples
desta espécie é a circunferência, mas outras curvas como parábolas, elipses e hipérboles também estão
relacionadas a distâncias entre elementos geométricos (pontos, retas).
8.1 Parábola
Curva do plano formada pelos pontos equidistantes de um ponto fixo F (foco) e de uma
reta d (diretriz). Ou seja, um ponto P (x, y) pertence à parábola, se e somente se,
d(P, F ) = d(P, d)
Uma parábola possui os seguintes elementos:
+ foco: é o ponto F .
+ diretriz: é a reta d.
+ eixo: é a reta que passa por F e é perpendicular a d. Observe que toda parábola é simétrica em
relação ao seu eixo.
+ vértice: é o ponto V de interseção da parábola com o seu eixo.
Para este texto, chamaremos a distância entre o foco F e a reta diretriz d por parâmetro
da parábola e será dado por: p = d(P, d). Observe que a distância entre o vértice e a reta diretriz, e o
vértice e o foco são metade deste valor, ou seja d(V, d) = d(V, F ) =
p
2
.
8.1.1 Parábola com eixo vertical
Inicialmente vamos considerar a parábola com eixo vertical, ou seja, o eixo é paralelo ao
eixo Oy. Mais particularmente, consideremos o próprio eixo Oy como eixo da parábola, e o vértice
sendo V (0, 0).
Neste caso, o foco F será um ponto sobre o eixo Oy, e possuirá coordenadas F (0,
p
2
). A
reta diretriz será dada pela equação y = −p
2
.
39
Geometria Analítica Notas de aula
A parábola será dada pelos pontos P (x, y), de modo que1:
d(P, F ) = d(P, d)
d(P, F ) = d(P, P ′)√
(x− 0)2 +
(
y − p
2
)
2
=
√
(x− x)2 +
(
y +
p
2
)
2
x2 +
(
y − p
2
)
2
= 02 +
(
y +
p
2
)
2
x2 + y2 − py + p
2
4
= y2 + py +
p2
4
x2 = 2py
Ou seja, a equação reduzida da parábola com vértice V (0, 0), foco F (0,
p
2
) e diretriz
y = −p
2
será dada por:
x2 = 2py
Figura 8.1: Parábola com eixo Oy
Observe que:
• p > 0: concavidade (abertura) da parábola para cima.
• p < 0: concavidade (abertura) da parábola para baixo.
Mais genericamente, se considerarmos como eixo da parábola, qualquer reta vertical pa-
ralela a Oy, considerando o vértice V (h, k), teremos a equação:
(x− h)2 = 2p(y − k)
Exemplo 8.1. Obtenha a equação da parábola com vértice V (−1, 2), eixo paralelo ao eixo Oy, e que
d(F, V ) = 1.
Primeiramente devemos observar que d(F, V ) =
p
2
, e portanto:
p
2
= d(F, V )
p
2
= 1
p = 2
1
Observe que ponto da projeção de P sobre d será dado por P
′(x,−
p
2
).
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Geometria Analítica Notas de aula
Como a equação é paralela ao eixo Oy, então sua equação é da forma:
(x− h)2 = 2p(y − k)
(x+ 1)2 = 4(y − 2)
A equação acima ainda pode receber a forma chamada de equação geral
(x+ 1)2 = 4(y − 2)
x2 + 2x+ 1 = 4y − 8
x2 + 2x− 4y + 9 = 0
Se isolarmos o y, temos a forma chamada de equação explícita
0 = x2 + 2x− 4y + 9
4y = x2 + 2x+ 9
y =
x2
4
+
x
2
+
9
4
8.1.2 Parábola com eixo horizontal
Agora, vamos considerar a parábola com eixo horizontal, ou seja, o eixo é paralelo ao eixo
Ox. Mais particularmente, consideremos o próprio eixo Ox como eixo da parábola, e o vértice sendo
V (0, 0). Neste caso, o foco F será um ponto sobre o eixo Ox, e possuirá coordenadas F
(p
2
, 0
)
. A reta
diretriz será dada pela equação x = −p
2
.
A parábola será dada pelos pontos P (x, y), de modo que2:
d(P, F ) = d(P, d)
d(P, F ) = d(P, P ′)√(
x− p
2
)
2
+ (y − 0)2 =
√(
x+
p
2
)
2
+ (y − y)2
(
x− p
2
)
2
+ y2 =
(
x+
p
2
)
2
+ 02
x2 − px+ p
2
4
+ y2 = x2 + px+
p2
4
y2 = 2px
2
Observe que ponto da projeção de P sobre d será dado por P
′(−
p
2
, y).
41
Geometria Analítica Notas de aula
Ou seja, a equação reduzida da parábola com vértice V (0, 0), foco F (
p
2
, 0) e diretriz
x = −p
2
será dada por:
y2 = 2px
Figura 8.2: Parábola com eixo Ox
Observe que:
• p > 0: concavidade (abertura) da parábola para direita.
• p < 0: concavidade (abertura) da parábola para esquerda.
Mais genericamente, se considerarmos como eixo da parábola, qualquer reta horizontal
paralela a Ox, considerando o vértice V (h, k), teremos a equação:
(y − k)2 = 2p(x− h)
8.1.3 Exercícios sobre parábola
1. Seja a parábola de vértice V (4, 2) e foco F (1, 2). Traçar um esboço do gráfico e determinar sua
equação geral.
2. Dada a parábola de equação y2 + 6y − 8x+ 17 = 0, determinar:
(a) o vértice.
(b) um esboço do gráfico
(c) o foco e a equação da diretriz.
(d) a equação do eixo.
3. Para cada uma das parábolas abaixo, encontrar o foco e a equação da diretriz
(a) x2 = −4y
(b) y2 = −8x
(c) y2 − x = 0
4. Obter a equação da parábola que satisfaça as condições dadas:
42
Geometria Analítica Notas de aula
(a) vértice V (0, 0) e diretriz y = −2
(b) foco F (2, 0) e diretriz x+ 2 = 0
(c) vértice V (2,−1) foco F (5,−1)
5. Em cada um dos problemas abaixo, determinar o vértice, o foco, a equação da diretriz e a equação
do eixo da parábola da equação dada
(a) x2 + 4x+ 8y + 12 = 0
(b) x2 − 2x− 20y − 39 = 0
(c) y2 + 4y + 16x− 44 = 0
6. Obtenha as equações das parábolas apresentadas graficamente.
Figura 8.3: a) Figura 8.4: b)
Gabarito
1. y2 + 12x− 4y − 44 = 0
2. .
(a) V (1,−3)
(b)
(c) F (3,−3) e x = −1
(d) y = −3
3. .
(a) F (0,−1) e y = 1
(b) F (−2, 0) e x = 2
(c) F (0, 25; 0) e x = −0, 25
4. .
(a) x2 − 8y = 0
(b) y2 − 8x = 0
(c) y2 − 12x+ 2y = −25
5. .
(a) V (−2,−1), F (−2,−3), diretriz y = 1 e
eixo x = −2
(b) V (1,−2), F (1, 3), diretriz y = −7 e
eixo x = 1
(c) V (3,−2), F (−1,−2), diretriz x = 7 e
eixo y = −2
6. .
(a) x2 − 2x− 8y − 15 = 0
(b) y2 + 6y − 12x+ 33 = 0
43
Geometria Analítica Notas de aula
8.2 Circunferência
A circunferência pode ser definida como o conjunto de todos os pontos que equidistam
de um ponto fixo C. O ponto fixo é chamado centro da circunferência e a distância de qualquer de
seus pontos ao centro é o raio dessa circunferência. Se o centro é o ponto C(a, b) e o raio é o número
positivo r, e se P (x, y) é um ponto qualquer da circunferência, então a definição acima se traduz
Figura 8.5: Circunferência
d(P,C) = r√
(x− a)2 + (y − b)2 = r
(x− a)2 + (y − b)2 = r2
Ou seja, a circunferência de centro C(a, b) e raio r é dada por
(x− a)2 + (y − b)2 = r2
8.2.1 Exercícios sobre circunferências
1. Mostre que as equações abaixo representam circunferências. Ache o seu centro e seu raio e esboce
o seu gráfico.
a) x2 + y2 + 2x− 6y + 7 = 0
b) x2 + y2 − 4x+ 10y + 13 = 0
c) x2 + y2 + 6y + 2 = 0
d) x2 + y2 + x = 0
e) 2x2 + 2y2 − x+ y = 0
f) x2 + y2 = 9
2. Indique as equações das seguintes circunferências:
Figura 8.6: a) Figura 8.7: b) Figura 8.8: c)
44
Geometria Analítica Notas de aula
Gabarito
1. .
a) C(−1, 3), r =
√
3
b) C(2,−5), r = 4
c) C(0,−3), r =
√
7
d) C(−1
2
; 0), r =
1
2
e) C(
1
4
,−1
4
), r =
√
2
4
f) C(0, 0), r = 3
2. .
(a) (x− 2)2 + (y + 4)2 = 4 e x2 + y2 − 4x+ 8y + 16 = 0
(b) (x− 1)2 + (y − 4)2 = 9 e x2 + y2 − 2x− 8y + 8 = 0
(c) (x+ 3)2 + (y + 2)2 = 41 e x2 + y2 + 6x+ 4y + 9 = 0
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Geometria Analítica Notas de aula
8.3 Elipse
Elipse é o conjunto de todos os pontos de um plano cuja soma das distâncias a dois pontos
fixos F1 e F2 desse plano é constante.
Consideremos no plano dois pontos distintos F1 e F2, tal que a distância d(F1, F2) = 2c,
e um número real positivo a, de modo que a > c.
Seja P (x, y) um ponto do plano, P pertence à elipse se, e somente se,
d(P, F1) + d(P, F2) = 2a
Figura 8.9: Elementos da Elipse
A elipse possui os seguintes elementos:
+ Focos: são os pontos F1 e F2.
+ Distância focal: é a distância 2c entre os focos.
+ Centro: é o ponto médio do segmento F1F2.
+ Eixo Maior: é o segmento A1A2 de comprimento 2a. O eixo maior é o segmento que contém
os focos.
+ Eixo Menor: é o segmento B1B2 de comprimento 2b. O eixo menor é perpendicular ao segmento
A1A2 no centro C.
+ Excentricidade: é o número real e =
c
a
. Indica o �grau de achatamento� da elipse. Excentrici-
dade perto de 0 indicam elipses quase circulares, enquanto que excentricidade perto de 1 indicaelipse bastante achatada ou alongada.
Observe que:
a2 = b2 + c2
e esta igualdade mostra que b e c são menores do que a.
8.3.1 Equações reduzidas da elipse
Considere um sistema cartesiano, e adotemos os focos da elipse sobre o eixo Ox. Desta
forma, use F1(c, 0), F2(−c, 0), a distância entre os focos 2c, a constante da definição 2a e utilize a
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Geometria Analítica Notas de aula
fórmula da distância para deduzir a equação reduzida da elipse.
d(P, F1) + d(P, F2) = 2a√
(x+ c)2 + y2 +
√
(x− c)2 + y2 = 2a
.
.
.
(a2 − c2)x2 + a2y2 = a2b2
b2x2 + a2y2 = a2b2
x2
a2
+
y2
b2
= 1
que é a equação reduzida para esta situação.
Figura 8.10: Elipse
Para o caso do eixo maior sobre o eixo Oy, teremos uma situação análoga, com a seguinte
equação reduzida:
x2
b2
+
y2
a2
= 1
Para identificar o eixo maior da elipse, basta verificar onde está o maior denominador.
Por exemplo, para a elipse
x2
16
+
y2
9
= 1, temos que o eixo maior será Ox, pois o termo x2 possui o
maior denominador.
Para um caso mais geral, considerando o centro da elipse em C(h, k), a equação da elipse
será dada por
(x− h)2
a2
+
(y − k)2
b2
= 1
que possui o eixo maior paralelo a Ox, ou
(x− h)2
b2
+
(y − k)2
a2
= 1
que possui eixo maior paralelo ao eixo Oy.
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Geometria Analítica Notas de aula
8.3.2 Exercícios sobre elipses
1. Para cada uma das elipses determine a medida dos semi-eixos, e faça um esboço do gráfico.
a)
x2
100
+
y2
36
= 1
b)
x2
36
+
y2
100
= 1
c) 9x2 + 25y2 = 225
d) 4x2 + y2 = 16
e) 4x2 + y2 = 1
2. Apresente as equações das elipses abaixo:
Figura 8.11: a) Figura 8.12: b)
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Geometria Analítica Notas de aula
Gabarito
1. .
a) a = 10 e b = 6
b) a = 10 e b = 6
c) a = 5 e b = 3
d) a = 4 e b = 2
e) a = 1 e b =
1
2
2. .
(a)
(x− 4)2
36
+
(y − 4)2
9
= 1 e x2 + 4y2 − 8x− 32y + 44 = 0
(b)
(x+ 5)2
4
+
(y + 1)2
64
= 1 e 16x2 + y2 + 160x+ 2y + 337 = 0
49
Geometria Analítica Notas de aula
8.4 Hipérbole
Hipérbole é o conjunto de todos os pontos de um plano cuja diferença das distâncias a
dois pontos fixos F1 e F2 desse plano é constante.
Consideremos no plano dois pontos distintos F1 e F2, tal que a distância d(F1, F2) = 2c,
e um número real positivo a, de modo que a < c.
Seja P (x, y) um ponto do plano, P pertence à hipérbole se, e somente se,
|d(P, F1)− d(P, F2)| = 2a
Ou, seja, a hipérbole é uma curva com dois ramos, e desta forma um ponto P pertence à
hipérbole se, e somente se
d(P, F1)− d(P, F2) = ±2a
Figura 8.13: Hipérbole Figura 8.14: Hipérbole com assíntotas
A hipérbole possui os seguintes elementos:
+ Focos: são os pontos F1 e F2.
+ Distância focal: é a distância 2c entre os focos.
+ Centro: é o ponto médio do segmento F1F2.
+ Eixo real ou transverso: é o segmento A1A2 de comprimento 2a.
+ Eixo imaginário ou não-transverso: é o segmento B1B2 de comprimento 2b. O eixo imagi-
nário é perpendicular ao segmento A1A2 no centro C.
+ Excentricidade: é o número real e =
c
a
. A excentricidade da hipérbole está relacionada com
sua �abertura�, ou com o ângulo θ indicado.
Observe que:
c2 = a2 + b2
e esta igualdade mostra que a e b são menores do que c.
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Geometria Analítica Notas de aula
8.4.1 Equações reduzidas da hipérbole
Considere um sistema cartesiano, e adotemos os focos da hipérbole sobre o eixo Ox.
Desta forma, use F1(−c, 0), F2(c, 0), a distância entre os focos 2c, a constante da definição 2a e utilize
a fórmula da distância para deduzir a equação reduzida da elipse.
|d(P, F1)− d(P, F2)| = 2a∣∣∣√(x+ c)2 + y2 −√(x− c)2 + y2
∣∣∣ = 2a
.
.
.
x2
a2
− y
2
b2
= 1
que é a equação reduzida para esta situação.
Figura 8.15: Hipérbole
Para o caso do eixo real sobre o eixo Oy, teremos uma situação análoga, com a seguinte
equação reduzida:
y2
a2
− x
2
b2
= 1
Figura 8.16: Hipérbole com eixo real sobre Oy
Para um caso mais geral, considerando o centro da hipérbole em C(h, k), a equação da
51
Geometria Analítica Notas de aula
hipérbole será dada por
(x− h)2
a2
− (y − k)
2
b2
= 1
que possui o eixo real paralelo a Ox, ou
(y − k)2
a2
− (x− h)
2
b2
= 1
que possui eixo real paralelo ao eixo Oy.
8.5 Exercícios
1. Para cada equação dada abaixo, identifique os elementos fundamentais como eixos e focos.
(a) 4x2 − 16y2 − 24x− 32y − 12 = 0
(b) 3x2 − y2 + 12x+ 8y − 31 = 0
(c)
y2
100
− x
2
64
= 1
(d) 6x2 − 4y2 − 12x− 16y − 34 = 0
(e) 5x2 − 4y2 − 20x− 24y − 96 = 0
(f) x2 − y2 + 4x+ 6y − 21 = 0
(g) 5x2 − 4y2 − 10x+ 24y − 51 = 0
Gabarito
1. .
(a) F1(3 +
√
10,−1), F2(3−
√
10,−1), a = 2
√
2 e b =
√
2
(b) F1(−8, 4), F2(4, 4), a = 3 e b = 3
√
3
(c) F1(0, 2
√
41), F2(0,−2
√
41), a = 10 e b = 8
(d) F1(1 +
√
10,−2), F2(1−
√
10,−2), a = 2 e b =
√
6
(e) F1(−4,−3), F2(8,−3), a = 4 e b = 2
√
5
(f) F1(−2 + 4
√
2, 3), F2(−2− 4
√
2, 3), a = 4 e b = 4
(g) F1(−2, 3), F2(4, 3), a = 2 e b =
√
5
52
	Vetores
	O vetor geométrico
	Casos particulares de vetores
	Exercícios
	Abordagem algébrica: vetores no plano
	Operações com vetores
	Expressão analítica de um vetor
	Vetor definido por dois pontos
	Paralelismo de vetores
	Módulo ou norma de um vetor
	Abordagem algébrica: vetores no espaço
	Combinação linear de vetores
	Exercícios sobre vetores
	Produto Escalar
	Propriedades do produto escalar
	Ângulo entre dois vetores
	Projeção de um vetor sobre outro
	Exercícios
	Produto vetorial
	Propriedades do produto vetorial
	Interpretação geométrica do módulo do produto vetorial
	Exercícios
	Produto misto
	Propriedades do produto misto
	Vetores coplanares
	Interpretação geométrica do módulo do produto misto
	Exercícios
	Retas
	Equações da reta
	Equação vetorial da reta
	Equações paramétricas da reta
	Equações simétricas da reta
	Equações reduzidas da reta
	Retas paralelas aos eixos coordenados
	Retas paralelas aos planos coordenados
	Ângulo de duas retas
	Retas paralelas
	Retas ortogonais
	Reta ortogonal a duas retas
	Intersecção de duas retas
	Retas coplanares
	Exercícios
	Planos
	Equação geral do plano
	Equação vetorial do plano
	Equações paramétricas do plano
	Planos paralelos aos eixos coordenados
	Planos paralelos aos planos coordenados
	Ângulo de dois planos
	Intersecção de dois planos
	Ângulo de uma reta com um plano
	Intersecção de reta com plano
	Exercícios
	Distâncias
	Distância entre dois pontos
	Distância de um ponto a uma reta
	Distância de um ponto a um plano
	Distância entre duas retas
	Distância entre uma reta e um plano
	Distância entre dois planos
	Exercícios
	Cônicas
	Parábola
	Parábola com eixo vertical
	Parábola com eixo horizontal
	Exercícios sobre parábola
	Circunferência
	Exercícios sobre circunferências
	Elipse
	Equações reduzidas da elipse
	Exercícios sobre elipses
	Hipérbole
	Equações reduzidas da hipérbole
	Exercícios