Apostila de Estatística (Probabilidade)

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CURSO DE ESTATÍSTICA BÁSICA
PROF. CARLOS ALBERTO MARTINS
INTRODUÇÃO À PROBABILIDADE
No capítulo anterior, apresentamos diversos métodos numéricos da estatística descritiva que fornecem alternativas adicionais para sintetizar os dados. Neste capítulo, apresentaremos uma medida numérica que mede a possibilidade de ocorrência de um evento. Assim, as probabilidades podem ser usadas como medidas do grau de incerteza associado aos eventos. 
 
Vamos iniciar a nossa exposição sobre probabilidade, através de um exemplo. A Norton Internacional é uma empresa que negocia sais, produtos domésticos, motores de foguetes e produtos de química fina.
 
A White Martins é uma subsidiária da Norton Internacional, que produz química fina e oferece uma série de produtos químicos concebidos para satisfazer as especificações singulares de seus clientes. Para um cliente em particular, a White Martins produziu um dispendioso catalisador que é usado no processamento de produtos químicos.
Alguns dos lotes, não todos, produzidos pela White Martins satisfazem as especificações do cliente para o produto. O cliente da White Martins concordou em testar cada lote depois de recebê-lo e determinar se o catalisador iria realizar a função desejada. Os lotes que não passassem no teste do cliente seriam devolvidos.
Ao longo do tempo, a White Martins descobriu que o cliente estava aceitando 60% dos lotes e devolvendo 40%. Em termos de probabilidade, cada embarque da White Martins ao cliente tinha uma probabilidade de 0,60 de ser aceito e uma probabilidade de 0,40 de ser devolvido. 
	Nem a White Martins nem seus cliente estavam satisfeitos com os resultados. Na tentativa de melhorar o serviço, a White Martins explorou a possibilidade de reproduzir o teste do cliente antes do embarque. 
No entanto, o alto custo do equipamento de teste especial tornou essa alternativa inviável. Os químicos da White Martins propuseram então um novo teste de custos relativamente baixo concebido para indicar se um lote iria passar no teste do cliente ou não. 
A questão de interesse da probabilidade foi: Qual a probabilidade de que um lote passaria no teste do cliente se tivesse passado no novo teste da White Martins? 
	Uma amostra de lotes foi produzida e submetida ao novo teste da White Martins. Somente lotes que passaram no novo teste foram enviados ao cliente.
A análise de probabilidade dos dados indicou que se um lote passou no teste da White Martins, ele tinha uma probabilidade 0,909 de passar no teste do cliente e de ser aceito. Alternativamente, se um lote passou no teste da White Martins, ele tinha somente uma probabilidade 0,091 de ser devolvido.
A probabilidade de um lote, ser aceito pelo cliente depois de passar no novo teste da White Martins é chamado de probabilidade condicional. Neste capítulo, você aprenderá a calcular esta e outras probabilidades que são úteis na tomada de decisão.
As decisões nos negócios são freqüentemente baseadas na análise de incertezas tais como as seguintes:
Quais são as chances de as vendas decrescerem se aumentarmos os preços?
Qual é a possibilidade de um novo método de montagem aumentar a produtividade?
Qual a probabilidade de o projeto terminar no prazo?
 
Na natureza encontramos dois tipos de experimentos: 
 Determinísticos 
 Probabilísticos ou aleatórios
- DETERMINÍSTICOS – é aquele em que os resultados são sempre os mesmos, qualquer que seja o número de ocorrências verificadas.
 
- PROBABILÍSTICOS OU ALEATÓRIOS – são aqueles em que o resultado não é previsível, mesmo que haja um grande número de repetições do mesmo fenômeno. Designaremos os experimentos pela letra Ei.
Caracterização de um experimento aleatório - Os experimentos aleatórios são caracterizados da seguinte maneira:
 
E1: Retirar uma carta de um baralho com 52 cartas e observar seu naipe
E2: Jogar uma moeda 10 vezes e observar o número de coroas obtidas
E3: Contar o número de peças defeituosas da produção diária da maquina “A”.
Observando e analisando os experimentos podemos concluir:
Cada experimento poderá ser repetido sob as mesmas condições indefinidamente;
b)Não se conhece um particular valor do experimento “a priori” porém podemos descrever todos os possíveis resultados.
c)Quando o experimento for repetido muitas vezes, surgirá uma regularidade, isto é, haverá uma estabilidade da fração f = s / n (freqüência relativa), em que “n” é o numero de repetições e “s” o número de sucesso de um particular resultado já estabelecido antes da realização.
ESPAÇO AMOSTRAL - É o Conjunto de todos os possíveis resultados de um experi-
mento aleatório. Os elementos que pertencem ao espaço amostra são chamados também de pontos amostrais. Representa-se o espaço amostra pela letra S ou ω.
Exemplo: Seja E: jogar duas moedas e observar o resultado
Define-se: H = cara e T = coroa
 
Então, o espaço ω = {(H,H), (H,T), (T,H), (T,T)}. 
Observem que sendo ω um conjunto, poderá ser finito ou infinito. No nosso caso, trataremos somente com ω finito. 
EVENTOS – Conjunto de todos os fatos sobre os quais se quer uma medida de probabilidade. Em termos de conjuntos, é um conjunto ou subconjunto de S. Representa-se pelas letras maiúsculas do alfabeto. A, B, C,.,X,Y, Z.
ESPAÇO DE PROBABILIDADE - É o terno (ω,E,P) onde: ω é um conjunto chamado espaço amostra, E é uma coleção de subconjuntos de ω (chamados eventos) e P a probabilidade. O terno foi escolhido de modo a satisfazer:
 
1)Se A é um evento, então Ac é também um evento;
2)Se A1, A2 ,.., An são eventos então, a união dos (( Ai ) também é um evento. 
Se fizermos operações com conjuntos, podemos formar novos eventos, ou seja,
 
A ( B – É o evento que ocorre se A ocorre ou B ocorre ou ambos ocorrem;
A ∩ B - É o evento que ocorre quando A e B ocorrem; 
Ac - É o evento que ocorre se A não ocorre. Logo, A + Ac = 1. 
Eventos Mutuamente exclusivos – Dois eventos A e B são ditos mutuamente exclusivos, se eles não puderem ocorrer simultaneamente, isto é, A ( B = 0.
 
Exemplo: Seja E, lançar um dado e observar o resultado.
Sejam os eventos A = ocorrer número par
 B = ocorrer número impar.
Então, ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
A = {2,4,6}
B = {1,3,5}, A ( B = 0
 Definição de Probabilidade – Dado um espaço S, Probabilidade de um evento A, P(A) é uma função definida em ω que associa à cada evento um número real, satisfazendo os seguintes axiomas:
0 ( P(A) ( 1
P(S) = 1
3) Se A1, A2 ,.., An são eventos disjuntos (i.e.mutuamente exclusivos), 
então, P( ( Ai ) = ( P(Ai).
4)Se A e B forem eventos mutuamente exclusivos, A ( B = 0, então P(A ( B) = P(A) + P(B).
5)Se A e B não forem eventos mutuamente exclusivos, (A ( B) ( 0,então P(A ( B) = P(A) + P(B) – P(A ( B).
Espaços Amostrais Finitos Equiprováveis. 
 Quando associamos a cada ponto amostral a mesma probabilidade, o espaço amostra chama-se equiprovável ou uniforme. 
Em particular, se S contém “n” pontos, então, a probabilidade de cada ponto será 1 / n. Por outro lado, se um evento A contiver “r” pontos, então P(A) = r (1 / n) = r / n.
Este método de avaliar P(A) é freqüentemente enunciado da seguinte maneira:
P(A) = N.C.F(A) / N.T.C.
Observação: Trataremos sempre com espaços amostrais finitos equiprováveis. 
Exemplo: Seja E, escolher aleatoriamente uma carta de um baralho com 52 cartas.
Seja A = { a carta é de ouro}
Seja B = { a carta é uma figura}. Calcule P(A) e P(B).
R - P(A) = N.C.F(A) / N.C.T = 13 / 52 = 1 / 4.
 P(B) = N.C.F(B) / N.C.T = 12 / 52 = 3 /13.
Probabilidade Finita dos Espaços Amostrais Finitos. 
 Seja ω um espaço amostra finito ω = {a1 ,......., an}. Considere o evento formado por um resultado simples A = {ai}. A cada evento simples {ai} associaremos um número pi denominado probabilidade de {ai} satisfazendo as seguintes condições:
a) pi ( 0.i = 1, 2,..., n
b) p1 + p2 + ….+ pn = 1
Exemplo: No jóquei clube do Recife três cavalos denominados de A, B e C, estão em uma corrida; A tem duas vezes mais probabilidade de ganhar de B, B tem duas vezes mais probabilidade de ganhar de C. Quais são as probabilidades de vitória de cada um, isto é, P(A),P(B) e P(C)?
Faça P(C) = p, logo P(B) = 2P(C) = 2p e P(A) = 2P(B) = 4p.
4p + 2p + p = 1 donde p = 1 / 7 logo, temos:
P(A) = 4 / 7, P(B) = 2 / 7 , P(C) = 1 / 7.
Qual seria a probabilidade de B ou C ganhar? 
P(B ( C) = P(B) + P(C) – P(B (C) = 2 / 7 + 1 / 7 - 0 = 3 / 7.
RESOLUÇÃO DE EXERCÍCIOS.
Determine a probabilidade de cada evento:
a)Um número par aparece no lançamento de um dado não viciado.
R) Seja A = {um número par aparece}. 
 ω =(1,2,3,4,5,6), logo P(A) = n.c.f(A) / n.c.t = 3 / 6 = 1 / 2.
b)Um rei aparece ao extrair-se uma carta de um baralho.
R) Seja B = {a carta é de rei}.
 B= (Ro,Rc,Re,Rp), logo P(B) = n.c.f(B) / n.c.t = 4 / 52 = 1/13.
c)Pelo menos uma cara aparece no lançamento de 3 moedas.
R) Seja C = {pelo menos uma cara aparece}
 ω = (HHH,HHT,HTH,THH,THT,HTT,TTH,TTT), logo P(C) = n.c.f(C) / n.c.t =7/8. 
d)Um lote é formado por 10 peças perfeitas, 4 com defeitos e (2) duas com defeitos graves. Uma peça é escolhida ao acaso. Calcule a probabilidade de que:
a)Ela não tenha defeitos graves;
b)Ela não tenha defeitos;
c)Ela "ou seja" perfeita ou tenha defeitos graves.
 Define -se os eventos:
A - a peça é perfeita.
B - a peça tem defeitos.
C - a peça tem defeitos graves.
R) a)A ou B, P(A U B) = P(A) + P(B) – P(A (B), como P(A(B) = 0, logo
 P(AUB) = P(A) + P(B) = 10 / 16 + 4 / 16 = 14 / 16 ou 0,875. 
A, P(A) = 10 / 16.
A ou C, P(AUC) = P(A) + P(C) – P(A(C), como P(A(C)=0,logo
P(AUC) = 10 / 16 + 2 / 16 = 12 / 16. 
REGRAS DE CONTAGEM, COMBINAÇÕES E PERMUTAÇÕES.
 A possibilidade de determinar e contar os resultados experimentais são uma etapa necessária na atribuição de probabilidades.Vamos discutir agora três regras de cálculo que são úteis.
Experimentos de Múltipla etapa – A primeira regra de cálculo é para este tipo de experimento.
Considere o experimento de Lançar três moedas. Vamos definir os resultados experimentais em termos de caras e de coroas que aparecem nas faces voltadas para cima das três moedas. 
Se usarmos H para denotarmos cara e T para coroa, (H,H,H) indica o resultado experimental com cara na primeira na segunda e na terceira moeda. Continuando esta notação, podemos descrever um espaço amostra (S) para este experimento, como segue:
 ω = (HHH, HHT, HTH, HTT,THH, THT, TTH, TTT )
 
 Assim, vemos que os oitos resultados experimentais são possíveis. Neste caso, não é difícil listar todos os resultados do experimento.
A REGRA DE CONTAGEM para os experimentos de múltiplas etapas torna possível determinar o número de resultados experimentais sem lista-los.
A regra é a seguinte: Se um experimento pode ser descrito como uma seqüência de k etapas com n1 resultados possíveis na primeira etapa, n2 resultados possíveis na segunda etapa, e assim por diante, então o número total de resultados experimentais é dado por (n1)(n2)...(nk).
Observando o experimento do lançamento das três moedas e como conseqüência do primeiro arremesso da moeda (n1=2) em seguida o segundo arremesso da moeda (n2 =2) e assim o terceiro arremesso (n3=2), podemos ver que a partir da regra de contagem há (2).(2).(2)=8 resultados experimentais distintos.
 Uma outra maneira é, sabendo que estamos trabalhando com o espaço amostra finito, com “n” elementos e que o experimento apresenta apenas duas possibilidades, então 2n representa o número total de eventos extraídos de experimento. Assim, 23 = 8 pontos amostrais. 
 Uma representação gráfica que é bastante útil para visualizar e enumerar os resultados em um experimento de múltipla etapa é o diagrama de arvore.
Exemplo. 
COMBINAÇÕES - Uma segunda regra de contagem, que é freqüentemente útil, permite-nos contar o número de resultados experimentais quando n objetos estão para serem selecionados a partir de um conjunto de N objetos. Chamamos de regra de contagem para combinações.
O número de combinações de N objetos que são tomados n a n de cada vez é dado por: 
 
	
 
	
Por definição, 0( é igual a 1.
Como um exemplo da regra de contagem para combinações, considere um procedimento de controle da qualidade onde um inspetor seleciona aleatoriamente duas de cinco peças para testar com relação a defeitos.
Em um grupo de cinco peças, quantas combinações de duas peças podem ser selecionadas? Pela regra, N = 5 e n = 2, temos então,
5 C 2 = 5( / 2((5-2)( = 120 / 12 = 10 possibilidades.
Como segundo exemplo, considere que o sistema de loteria do Brasil use a seleção aleatória de seis inteiros de um grupo de 50 para determinar o ganhador semanal da loteria.
A regra de contagem para combinações para determinar o número de modos diferentes que seis inteiros podem ser selecionados de um grupo de 50 é:
 (50 C 6) = 50( / 6!(50-6)! = 15.890.700 possibilidades.
Isto nos diz que existem mais de 15 milhões de resultados experimentais que são possíveis no sorteio da loteria. Significando que se um individuo comprou um bilhete de loteria tem 1 chance em 15.890.700. 
Terceiro exemplo: Numa urna são misturadas dez bolas numeradas de 1 a 10. Duas bolas são retiradas (a, b) sem reposição. Qual a probabilidade de a + b = 10. 
R) Seja D = {a + b =10}.
 ω = (1,2,3,4,5,6,7,8,9,10)
onde: M = 4 possibilidades (6,4 1,9; 8,2; 7,3 )
 k = 1(das quatro apenas uma sairá)
 N = 10(números)
 n = 2.
 P(D) = ( M c k ) ) / ( N c n ) = ( 4 C 1) / (10 C 2) = 4 / 45
Quarto exemplo: Determine a probabilidade de aparecer duas cartas copas ao retirar-se duas cartas de um baralho de 52 cartas. 
R) ω = { baralho de 52 cartas } 
P(2 cartas de copas) = (13 C 2) / (52 C 2) = 78 / 1326 = 1 / 17 ou 5,88%.
Quinto exemplo: Determine a probabilidade de uma carta de copas e uma de ouro aparecerem ao extrair-se duas cartas de um baralho.
R) ω = {52 cartas}.
P(1 copa e 1 de ouro) = (13 C 1) x (13 C 1) / (52 C 2) = 13 x 13/1326 = 169 /1326 = 13 / 102 ou 12,74%
Sexto exemplo: Cinco cartas são retiradas de um baralho de 52 cartas. Determine a probabilidade de: (a) saírem 4 ases; (b) saírem 3 dez e 2 valetes; (c) ao menos um ser às.
R) 
P(4 ases) = (4 C 4) x (48 C 1)/(52 C 5) = 1 / 54145 ou 0.00001846.
P(3 dez e 2 valetes) = (4 C 3) x (4 C 2)/ (52 C 5) = 1/108290 
P(ao menos um ser às) = 1 – {P(nenhum às)}.
 P(nenhum às)= (48 C 5)/(52 C 5)= 35673/54145.
 1 – 35673/54145 = 34,11%.
 PERMUTAÇÕES - A terceira regra de contagem também é bastante útil porque permite calcular o número de resultados experimentais quando n objetos estão para serem selecionados a partir de um conjunto de N objetos onde a ordem de seleção é importante. Observação: Os mesmos n objetos selecionados em uma ordem diferente são considerados um resultado experimental diferente.
O número de permutações de N objetos tomados n de cada vez é dado por:
 N Pn = n! (
) = 
 
A regra de contagem para permutações está estritamente relacionada com aquela para combinações; no entanto, um experimento terá mais permutações do que combinações para o mesmo número de objetos. Isso porque para cada seleção de n objetos existem n! diferentes modos de ordená-los.
Como exemplo, considere o problema anterior do inspetor que está fazendo controle de qualidade das peças defeituosas. Quantas permutações podem ser selecionadas? Como N = 5 e n = 2, têm:
 5 P 2 = 5! / (5 – 2)! = 20 possibilidades. 
 
 PROBABILIDADE CONDICIONAL – Em muitas situações o objetivo é calcular a probabilidade de um evento restrito à determinada condição. É a chamada probabilidade Condicional. Por exemplo, na avaliação de um testediagnóstico, interessa conhecer a probabilidade de o teste ser positivo, dado que o paciente é ou não doente. Portanto, podemos calcular probabilidades condicionais, representadas por:
P(T+ | D+) e P(T+ | D -), onde:
T+ = corresponde o teste positivo
T - = corresponde o teste negativo
D+ = corresponde ao indivíduo portador da doença
D - = corresponde ao indivíduo não portador da doença
 
Para introduzir o conceito de probabilidade condicional, voltaremos a um exemplo simples. Seja E o lançamento de um dado.
Seja A = {sair o nº 3}. Então
 P(A) = 1 / 6
Considere agora o evento B = {sair um nº impar}. Então
 P(B) = 3 / 6 = 1 / 2.
Entretanto, estamos interessados em avaliar a probabilidade do evento A condicionada à ocorrência do evento B. Simbolicamente, temos: P(A / B); lê-se: probabilidade do evento A condicionada à ocorrência de B. Assim:
 P(A / B) = 1 / 3 (utilizando o espaço amostra reduzido). 
Formalmente definimos probabilidade condicional da seguinte maneira:
Dados dois eventos A e B, definimos P(A / B) a probabilidade condicionada do evento A, quando B estiver ocorrido, por:
 P (A / B) = P (A ( B) / P (B), P (B) ( 0
Agora utilizando a definição formal, temos:
P (A / B) = NCF (A ∩ B) / NCT 
 = 1 / 3
 NCF (B) / NCT. 
Exemplo1: Dois dados são lançados. Considere os eventos:
A = {(x1,x2) / x1 + x2 = 10)} ;
B = {(x1,x2) / x1 > x2 )}.
Calcular: P(A), P(B) e P(A / B).
	 LEMBRE-SE
A probabilidade condicional de ocorrência do evento A, dado que o evento B ocorreu, é P(A | B) = P(A (B) / P(B).
 
REGRA DO PRODUTO. 
 A partir da definição de probabilidade condicional, poderemos enunciar a regra do produto.
	“A probabilidade de ocorrência simultânea de dois eventos A e B, do mesmo espaço-amostra, é igual ao produto da probabilidade de um deles pela probabilidade condicional do outro, dado o primeiro”.
Assim: P(A / B) = P(A ∩ B) / P(B) 
 P(A ∩ B) = P(B).P(A / B). 
 
Exemplo2: Considere um lote formado por 12 peças, 4 (quatro) são defeituosas, e 2 peças são retiradas uma após a outra sem reposição. Qual a probabilidade de que ambas sejam perfeitas?
Resolução. A = {a primeira peça é perfeita}
 B = {a segunda peça é perfeita}
 P(A ∩ B) = P(A).P(B / A) = 8 / 12 x 7 / 11 = 56 / 132 ou 42%. 
Exemplo2: Um grupo de pessoas foi classificado quanto ao peso e pressão arterial de acordo com as proporções mostradas na tabela abaixo.
	Pressão. Peso
	Arterial. Excesso Normal Deficiente total
	Elevada. 0,10 0,08 0,02 0,20
	Normal. 0,15 0,45 0,20 0,80 
	Total. 0,25 0,53 0,22 1,00 
Seja E: uma pessoa é escolhida ao acaso do grupo. Definem-se os eventos:
A = {A pessoa ter pressão elevada}, Então, P(A) = 0,20.
B = {A pessoa tem excesso de peso}, Então, P(B) = 0,25. 
 
Deseja-se saber qual é a probabilidade de uma pessoa escolhida ao acaso ter pressão elevada dado que ela tem excesso de peso.
P(A | B) = P(A ∩ B) / P(B) = 0,10 / 0,25 = 0,4 
 
Em outras palavras, dentre as pessoas com excesso de peso, 40% tem pressão elevada.
Exemplo 3: Um lote é formado de 10 peças perfeitas, 4 com defeitos e duas com defeitos graves. Duas peças são retiradas ao acaso. Qual a probabilidade de que:
a)Ambas sejam perfeitas;
b)Pelo menos uma seja perfeita;
c)Nenhuma tenha defeito grave;
d)Nenhuma seja perfeita.
Ra) Definem - se os eventos :
	A = {a peça é perfeita}
	B = {a peça é perfeita}	
Observamos que as duas sejam perfeitas é o evento (A(B), logo,
P(A ( B) = P(A) x P(B|A) = 10/16 x 9/15 = 9/24 = 3/8.
Rb) Definem - se: A= {a peça é defeituosa}.
 B= {a peça é defeituosa}.
Observação: Primeiramente, calcula-se a probabilidade de nenhuma seja perfeita e em seguida subtrai-se do total ou 100% para se ter pelo menos uma perfeita.
P(Nenhuma perfeita) = P(A ( B) = P(A) x P(B|A) = 6/16x5/15 = 1/8
P(Pelo menos uma perfeita) = 1 – 1/8 = 7/ 8. 
 
Rc )Definem - se os eventos: P = {a peça é perfeita}.
	 D = {a peça é defeituosa}.
(P(D) U (D(P) U (P(P) U (D(D) aplicando à probabilidade aos eventos temos;. 
P(P) x P(D|P) + P(D) x P(P|D) + P(P) x P(P|P) + P(D) x P(D|D)=10/16X4/15 + 4/16X10/15 + 10/16X9/15 + 4/16X3/15 = 182/240 = 91/120.
RD) Definem - se os eventos: D = {a peça é defeituosa}
	 Dg= {a peça tem defeitos graves}.
(D ( Dg) U (Dg ( D) U (D ( D) U (Dg ( Dg)= P(D) x P(Dg | D) + P(Dg) x P(D | Dg) +P(D) x P(D | D) + P(Dg) x P(Dg | Dg) = 4/16x2/15 + 2/16x4/15 + 4/16x3/15 + 2/16x1/15 = 30/240 = 1/8.
INDEPENDÊNCA ESTATÍSTICA - (Eventos Independentes).
 Um evento A é considerado independente de um outro evento B se, a probabilidade de A é igual à probabilidade condicional de A, dado B, isto é,
P(A) = P(A / B)
É evidente que, se A é independente de B, B, é independente de A; assim:
		P(B) = P(B / A)
 Considerando a regra do produto, podemos afirmar que se A e B são independentes, então:
		
		P(A ∩ B) = P(A) . P(B)
Exemplo1. Em uma caixa temos 10 peças, das quais 4 são defeituosas. São retiradas duas peças, uma após a outra, com reposição. Calcular a probabilidade de ambas serem perfeitas.
Solução: Definem-se dois eventos: A = {a primeira peça é perfeita}
 B = {a segunda peça é perfeita}
P(A ∩ B) = P(A).P(B / A), como P(B / A) = P(B), então:
P(A ∩ B) = P(A).P(B) = (6 / 10). (6 / 10) = 36 / 100
Dados “n” eventos H1, H2,...,Hn, dizemos que eles são independentes se eles forem independentes 2 a 2, 3 a 3 ; n a n.
Isto é, se as igualdades abaixo forem verificadas:
P(A1 ∩ A2) = P(A1). P(A2); P(A n -1 ∩ A n) = P(A n-1) . P(A n) 2x2
P(A 1 ∩ A 2 ∩ A 3 ) = P(A 1). P(A 2) . P(A 3) ;....; P(A n-2 ∩ A n-1 ∩ A n )=
 
	ײ	ײ	 = P(A n-2). P(A n-1). P(A n) 3 x 3
P(A1 ∩ A2 ∩ ......∩ A n ) = P(A1). P(A2).P(A3)....P(A n-1).P(A n) n x n
Exemplo 2. Sendo S = {1, 2, 3, 4} um espaço-amostra equiprovável e A = {1,2}; B = {1,3}; C = {1,4} três eventos de ω.
Verifique se os eventos A, B e C são independentes.
 Para A e B, P(A) = ½; P(B)= ½; P(A ∩ B) = ¼, Logo,
 P(A ∩ B) = P(A) x P(B) = ¼.
 Para A e C, P(A) = ½; P(C) = ½ ; P(A ( C)= ¼ 
 P(A ( C) = P(A) x P(C) = ¼ 
 Para B e C, P(B) = ½ ; P(C) = ½ ; P(B ( C) = ¼ 
 P(B ( C)= P(B) x P(C) =1/4.
Logo, os eventos são independentes dois a dois.
Teorema de Bayes.
 Sejam A1, A2,........,An n eventos mutuamente exclusivos tais que A1 U A2 U .... ..An = ω. Sejam P(Ai) as probabilidades conhecidas dos vários eventos, e B um evento qualquer de ω tal que conhecemos todas as probabilidades condicionais P(B/Ai).
 Então, para cada “i”, teremos:
P(Ai/B) = P(Ai) x P(B/Ai) / P(A1) x P(B/A1) + P(A2) x P(B/A2) + ...+ P(An) x P(B / An).
Este resultado é importante porque relaciona probabilidades “a priori” P(Ai) com probabilidades “à posteriorí” P(Ai/B),probabilidade de Ai depois que ocorrer B.
Exemplo: A urna nº1 contém: 3bolas pretas, 1 branca e 4 vermelhas. A urna nº2 contém: 4bolas pretas, 3 brancas e 2 vermelhas. A urna nº3 contém: 2 bolas pretas,3 brancas e 3 vermelhas. Escolhe-se uma urna ao acaso e dela extraiu-se uma bola ao acaso, verificando-se que a bola é branca. Qual a probabilidade da bola ter vindo da urna nº2?
R) P(U1)= 1/3, P(U2) = 1/3, P(U3) = 1/3.
P(bola branca / U1)= 1/8, P(branca / U2) = 3/9=1/3, P(branca / U3)=3/8
P(Urna2|bola é branca) = P(U2) x P(branca/U2) / P(U1) x P(b/U1) + P(U2) x P(b/U2) + P(U3) x P(b/U3).
 
P(Urna2|bola é branca) = 1/3x1/3 / 1/3x1/8 + 1/3x1/3 + 1/ 3x3/8 = 
 1/9 / 1/24 + 1/9 + 3/24 = 1/9 / 20/72 = 18/45.
 
Variável Aleatória – Uma variável aleatória e uma descrição numérica do resultado de um experimento. Ela associa um valor numérico a cada resultado experimental possível. Podendo ser classificada como discreta ou continua
Distribuição Discreta da Variável Aleatória X 
	 
 Se uma variável X pode assumir um conjunto discreto de valores x1, x2,....,xn com probabilidades p1, p2,...,pn, respectivamente, sendo p1+ p2 +....+ pn = 1. Diz - se que está definida uma distribuição de probabilidade discreta de X.
Função discreta de probabilidade.
 A probabilidade de que a variável aleatória X assuma o valor x, é a função de probabilidade de X que representaremos por P(X=x). A função P(X=x) determina a distribuição de probabilidade da variável aleatória. A função pode ser expressa por uma tabela ou gráfico. Condições exigidas para uma função de probabilidade discreta:
Exemplos de variáveis Aleatórias discretas
Experimentos		 Variável Aleatória	(x) Possíveis valores para a variável.
Contata cinco clientes n° de clientes que solicita pedidos 0,1,2,3,4,5
Operar um restaurante 
por um dia Número de clientes 0,1,2,3,..... 
Exemplo1: Seja E: o lançamento de duas moedas; Seja X a variável que representa o nº de caras obtidas nas duas moedas.Construir a tabela da distribuição da Variável aleatória X.
ω = { HH, HT, TH, TT }.
P(X=x)= P(X=0)= sair duas coroas (TT) = ¼
P(X=x) = P(x=1)= sair uma cara (HT),(TH)= 2/4 = ½
P(X=x) = P(X=2)= sair duas caras (HH) = ¼
Então, 
 
X		0	1	2
P(x=x) ¼ 	½ 	¼ 
Construir o gráfico.
 	
 Exemplo2: Determinar a probabilidade de haver meninos e meninas em famílias com 3 crianças. Admitir as mesmas probabilidades para ambos. Definem - se os eventos: H = homem e M = mulher.
Seja X a variável aleatória que representa o número de meninos. 
ω = (HHH, HHT, HTH, HTT,THH , THT, TTH, TTT )
P(X=0) = P(TTT) = 1/ 8. 
P(X=1) = P(HTT,THT,TTH) = 3/8.
P(X=2) = P(THH,HTH,HHT) = 3/8.
P(X=3) = P(HHH) = 1/8
Colocando os dados na tabela temos;
Número de meninos		 0	 1	 2 3
Probabilidade p(X=x) 		1/8	3/8	3/8	1/8
Fazer gráfico.
Distribuição continua da Variável Aleatória X
As idéias anteriores podem ser estendidas no caso, em que, a variável X, possa assumir qualquer valor numérico em um intervalo ou uma coleção de intervalos. Suponha que X é uma variável aleatória, cujo contradomínio é um continuo de números,um intervalo, por exemplo 0 ( x ( 1. Neste caso a variável aleatória é chamada de continua.
Exemplos de variáveis Aleatórias continua.
Experimentos·· Variáveis Aleatória·(x) Possíveis valores para a variável
Operar um banco tempo entre chegadas dos clientes em minutos x ( 0
Encher um recipiente 
de refrigerante(300ml) número de ml 0 ( x ( 300 
 
Função densidade de Probabilidade.
 
 Seja X uma variável aleatória continua. A função densidade de probabilidade f(x) é uma função que satisfaz as seguintes condições:.
f(x) ( 0 para todo x ( Rx.
b)
 
Além disso, definimos, para qualquer a < b em Rx
	P(a < X < b) = 
 , em que Rx é o contradomínio de X. 
Observações importantes:
1)A definição acima também nos mostra que a probabilidade de qualquer valor especificado de X, por exemplo x0 , teremos P(X=x0) = 0, pois 
P (X=x0) = 
 
Sendo assim, as probabilidades abaixo serão todas iguais, se X for variável aleatória continua: 
 P(a ( X ( b), P(a ( X < b), P(a < X ( b), P(a < X < b).
2)Note que f(x), densidade de probabilidade,não é probabilidade. Somente quando a função for integrada entre dois limites, ela produzirá uma probabilidade, que será a área sob a curva da função entre x = a e x = b; a < b.
3)Poderemos fazer uma analogia com a mecânica e consideremos que numa variável aleatória discreta, a massa de probabilidade está concentrada pontos isolados da reta real, e, no caso da variável aleatória continua, a massa de probabilidade está espalhada de modo continuo em segmentos da reta real.
4)Quanto à função de repartição, neste caso ela é definida como:
 
 x
F(x) = ∫ f(x)dx
 -∞ 
Pode-se provar que f(x) = dF(x) / dx para todo x no qual F seja derivável. 
Exemplo1: Seja X uma variável aleatória continua, com a seguinte função de densidade de probabilidade:
f(x) = 2x para 0 < x < 1
 0 para quaisquer outros valores
∞ 1
 ( f(x)dx = ( 2xdx = 2 x2 / 2 = 1, como vemos, f(x) assim definida,é
-∞ 0 
realmente uma função densidade de probabilidade.
Exemplo 2: Verificar se f(x) = 2x + 3 se 0 < x ( 2
 0 se x ( 0 ou x > 2 
é uma f.d.p.
 ( 2 2 
Resolução: ( f(x)dx = ( (2x + 3) dx = 2( xdx + 3( dx = 2. x2/2 + 3x | = 4 + 6 = 10
 - ( 0 0 
Logo, não é uma função densidade de probabilidade.
O valor esperado ou esperança matemática de uma variável aleatória - é a medida da posição central para a variável aleatória.
A expressão matemática para o valor esperado da variável aleatória x discreta é dada por:
 
 	E[X] = (x = ( xi P(xi)
Exemplo: Qual o preço justo a pagar para entrar em um jogo no qual se pode ganhar $25,00 com probabilidade 0,2 ou $10,00 com probabilidade 0,4?
R) E[X] = 25,00x0,2 + 10,00x0,4 = $9,00 dólares.
Esperança matemática de uma variável aleatória continua.
 A expressão matemática para o valor esperado da variável aleatória x continua é dada por:
 	 (
	E[X] = (x = ( x.f(x)dx 
 - (
Exemplo1: Seja X uma variável aleatória continua, com a seguinte função de densidade: 
f(x) = 3x2 0 ( x < 1
 x < 0 e x ( 1
Calcular: E[X].
 ( 1 1 1 1
E[X] = ( x f(x) dx = ( x 3x2 dx = ( 3 x3dx = 3 ( x3 dx = 3.x4/4 | = ¾
 - ( 0 0 0 0 
Formulário Básico.
Regra da Contagem para Combinações.
N C n = N!/ n! (N-n)!
Regra da Contagem para permutações.
N P n = N!/ (N-n)!
Calculo da Probabilidade.
Lei da Adição P(A + B) = P(A) + P(B) – P(A(B).
Probabilidade Condicional. P(A|B) = P(A (B)/ P(B).
Regra do Produto. P(A ( B) = P(B)P(A|B).
Quando os eventos são independentes, então:
			 P(A ( B) = P(A)P(B).
 
Teorema de Bayes: P(Ai|B) = P(Ai)P(B|Ai) / 
P(Ai)P(B|Ai)
Distribuição de Probabilidade Binomial.
 
 A distribuição binomial de probabilidade é uma distribuição discreta que tem muitas aplicações.
Um experimento Binomial tem as seguintes propriedades:
a)O experimento consiste de uma seqüência de n ensaios idênticos.
b)Dois resultados são possíveis em cada ensaio, um definido como sucesso e o outro como fracasso.
c)A probabilidade de um sucesso, denotado por p, não se modifica de ensaio para ensaio.Conseqüentemente, a probabilidade de um fracasso, denotado por 1-p, não se modifica de ensaio para ensaio.d)Os ensaios são independentes.
Função Binomial de Probabilidade.
	
	f(k) = P(X = k) = n C k pk (1-p)n – k
onde:.
f(k) = a probabilidade de k sucessos em n ensaios.
n = número de ensaios.
p = probabilidade de sucesso em qualquer dos ensaios.
(1-p) = a probabilidade de um fracasso em qualquer dos ensaios.
A variável X tem distribuição binomial, com parâmetros n e p, e indicaremos pela notação X ( B(n,p). 
Exercício1. Uma moeda é lançada 20 vezes. Qual a probabilidade de saírem 8 caras?. 
Resolução: Seja X = o número de sucessos (cara), X = 0,1,2,....,20
p= ½ e 1 – p = ½ . Então,
	P(X = 8) = 20 C 8. (½)8 (½)12 = 0,12013.
Exercicio2.Um lote de aparelhos de TV é recebido por uma firma. 20 aparelhos são inspecionados. O lote é rejeitado se pelo menos 4 forem defeituosos. Sabendo-se que 1% dos aparelhos é defeituoso. a)Determinar a probabilidade da firma rejeitar todo o lote.
b)Determinar a probabilidade da firma rejeitar o lote se no máximo duas forem defeituosas.
Dados do problema: X ( B(20; 0,01).
a)P(X ( 4) = P(X=4) + P(X=5) + …+ P(X=20) ou pela fórmula do complementar
 1 – P(X < 4) = 1 – [ P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) + P(x=3)]
 =1 – [ 0, 81791 + 0,16523 + 0,01586 + 0,00096] =1–0,99996 =0,00004.
b)P(X ( 2) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) = 0,81791 + 0,16523 + 0,01586 = 0,999 
Propriedades da Distribuição Binomial. 
 
Media da binomial ( = n.p
Variância da Binômia (2 = n.p.q
Desvio padrão ( = ( n.p.q
Exemplo: achar a média e a variância da variável aleatória Y = 3X + 2, sendo X:B(20;0,3)
E[X] = n.p 20x0,3 = 6 Var[X] = n.p.q = 20x0.3x0,7 = 4,2
Logo, E[Y] = E(3X + 2) = 3E[X] + 2 = 3x6 + 2 = 20. e
Var[Y] = Var[3X + 2] = Var(3X + 2) = 9 var[X] = 9x4,2 = 37,8. 
Distribuição de Probabilidade Hipergeométrica.
 
 Considere uma população com N elementos, dos quais r têm uma determinada característica (a retirada de um desses elementos corresponde ao sucesso). Retiramos dessa população, sem reposição, uma amostra de tamanho n.
 Podemos tirar N C n amostras sem reposição. Os sucessos na amostra podem ocorrer de r C k maneiras e de fracassos de N-r C n-k modos.
Assim,
 P(X = k) = (r C k ) x ( N - r C n - k ) / N C n , 0 ( k ( n e k ( r
Dessa forma, a variável X tem distribuição hipergeométrica.
Exemplo1Considere um baralho com 52 cartas. Retiram-se 8 cartas ao acaso, sem reposição. Qual a probabilidade de que 4 sejam figuras ?
Seja X: o número de figuras em oito cartas.
r = 12, k = 4 N=52, n = 8.
P(X= 4) = 12 C 4 x 40 C 4 / 52 C 8 = 0,0601
Exemplo2 Uma firma compra lâmpadas por centenas. Examina sempre uma amostra de 15 lâmpadas para verificar se estão boas. Se uma centena inclui 12 lâmpadas queimadas, qual a probabilidade de se escolher uma amostra com pelo menos uma lâmpada queimada?
P(X ( 1) = 1 – [P(X < 1)] = 1 – [P(X = 0)] = 1 – [(12 C 0 x 88 C 15) / (100 C 15)] = 0, 8747
Propriedades da distribuição hipergeométrica.
Média E[X] = n.p
Variância Var [X] = n.p.q
Distribuição de Probabilidade Poisson. 
 Considere a probabilidade de ocorrência de sucessos em um determinado intervalo. A probabilidade da ocorrência de um sucesso no intervalo é proporcional ao intervalo. A probabilidade de mais de um sucesso nesse intervalo é bastante pequena com relação à probabilidade de um sucesso.
Seja X o número de sucessos no intervalo, então:
	P(X=k) = (( (k / k!
Onde ( é a média e ( o neperiano.
A distribuição de Poisson é muito utilizada nos problemas do dia-a-dia entre eles podemos citar;
a)Carros que passam por um cruzamento por minuto, durante uma certa hora do dia;
b)Erros tipográficos por página, em um material impresso;
c)Defeito por unidade ( m2, m3,.. , etc.,) por peça fabricada;
d)Colônias de bactérias numa dada cultura por 0,01 mm2, numa plaqueta de microscópio.
Exemplo1: Num livro de 800 páginas há 800 erros de impressão. Qual a probabilidade de que uma página contenha pelo menos 3 erros ?
X: número de erros por página.
( = 1.
P(X ( 3) = 1 – P(X < 3) = 1 – [P(X = 0) + P(X=1) + P(X=2)]
 
 1 – [ (-1 10 / 0! + (-1 11 / 1! + (-2 12 / 2!] = 
 1 – [0, 367879 + 0,367879 + 0,183940] = 
 1 – 0, 919698 = 0,080302 ou 8,03% 
Exemplo2 Numa central telefônica chegam 300 telefonemas por hora. Qual a probabilidade de que: 
a)Num minuto não haja nenhum chamado.
( = 5
P(X=0)= (-5 . 50 / 0! = 0,006738
b)Em 2 minutos haja 2 chamadas.
( = 10
P(X=2) = (-10 .102 / 2! = 0,002270.
Distribuição de Probabilidade Normal
 É uma das mais importantes distribuições de probabilidades, sendo aplicada em inúmeros fenômenos e constantemente utilizada para o desenvolvimento teórico da inferência Estatística.
	Seja X uma variável Aleatória continua. Se X terá distribuição normal se:
		f(x) = 1 / ( ( 2( e – ½ ( x - ( / ()2 -( < x < ( 
Onde ( e (2é sua média e variância.
A notação usada é N((,(2). Para o calculo das probabilidades, surgem dois grandes problemas: primeiro, para a integração de f(x), pois para o calculo é necessário o desenvolvimento em séries, segundo, seria a elaboração de uma tabela de probabilidades, pois f(x) depende de dois parâmetros.
	Para contornar esses problemas foi feita uma mudança de variável obtendo-se, assim, a distribuição normal padronizada ou reduzida.
A variável Z é dada por: Z = X - ( / ( , então, sua função densidade será:
 ((z) = 1/ ( 2( . e – ½ (z)2 - ( < z < (
A notação usada é N(0,1): z tem distribuição normal de média zero e variância 1. As probabilidades, isto é, as áreas sob esta curva estão tabeladas.
As principais características dessa função são:
a)o ponto de máximo de f(x) é o ponto X = (
b)os pontos de inflexão da função são: X = ( + ( e X = ( - (
c)a curva é simétrica com relação a (.
A tabela da curva normal.
 Há vários tipos de tabelas que oferecem as áreas (probabilidades) sob a curva normal. O tipo que iremos utilizar será a tabela de faixa central. 
A tabela da faixa fornece a área sob a curva normal padrão entre z = 0 e qualquer valor positivo de z. A simetria em torno de z=0 nos permite obter a área entre quaisquer valores de z (positivos ou negativos).
Exemplos de uso da tabela.
Determine as seguintes probabilidades:
a)P(0 ( z ( 1) = 0,3415
b)P(-2,55 < z < 1,2) = 0,3849 + 0,4946 = 0,8795
c)P(z ( 1,93) = 0,5000 – 0,4732 = 0,0268.
Exemplo1:As alturas dos alunos de uma determinada escola são normalmente distribuídas com média de 1,60m e desvio padrão de 0,30m. Encontre a probabilidade de um aluno medir:
a)Entre 1,50 e 1,80m;
b)mais de 1,75m;
c)menos de 1,48m.
Exemplo2: A duração de certo componente eletrônico tem media de 850 dias e desvio-padrão de 45 dias. Calcular a probabilidade desse componente durar:
a)Entre 700 e 1000 dias;
b)Mais que 800 dias; 
c)exatamente 1000 dias;
d)Qual deve ser o número de dias necessários para que tenhamos de repor no máximo 5% dos componentes.
R)a) P(700 ( X ( 1000) = P(z1 ( Z ( z2)= P(700 – 850 / 45 ( Z ( 1000 – 850 / 45) = 
 = P(- 3,33 ( Z ( 3,33) = 0,499566 + 0,499566 = 0,999132 ( 1.0
 b) P(X ( 800) = P(Z ( z1) = P(Z ( 800 – 850 / 45) = P(Z ( - 1,11) = 0,5 + 0,366501 = 0,86650l.
 c) P(X = 1000) = 0
 d)Para encontrarmos o valor de z que deixe 0, 05 à direita, devemos entrar na tabela procurando a probabilidade de 0,45 (tabela faixa central), para localizamos o valor de z = 1,64. logo, 
 1,65 = X – 850 / 45 = resolvendo vem X=776 dias.
Teorema da Combinação Linear
 A combinação de linear de variáveis normais independentes, é também uma variável normal. Assim:
(falta completar).
Métodos de Amostragem 
	Voltamos a falar do que havíamos dito no início do curso sobre a forma de como iríamos escolher uma parte da população.Quando se deseja colher informações sobre um ou mais aspectos de um grupo grande ou numeroso, verifica-semuitas vezes, ser praticamente impossível fazer um levantamento do todo. 
Daí a necessidade de investigar apenas uma parte dessa população ou universo. O problema da amostragem é, portanto, escolher uma parte (ou amostra), de tal forma que ela seja mais representativa possível do todo e, a partir dos resultados obtidos, poder inferir para o total da população. Para isso, devemos explicar o por que da seleção de uma amostra:
 
Porque em muitas situações uma amostra é a única forma plausível de aprender alguma coisa sobre uma população;
A natureza destrutiva de certos testes ;
A impossibilidade física de checar todos os itens na população;
O custo de estudar todos os itens em uma população é freqüentemente proibitivo;
Muitas vezes as estimativas baseadas em uma amostra são mais precisas do que os resultados obtidos através de um levantamento censitário;
Tempo muito elevado para a apuração de resultados em censos.
TIPOS DE AMOSTRAGEM - A amostragem pode ser do tipo probabilística ou não probabilística.
( Probabilísticas: amostragem aleatória simples, estratificada e sistemática. 
( Não probabilísticas: amostragem de julgamento, por cota e fatia. 
 A amostragem probabilística é o processo de seleção de uma amostra no qual cada unidade a se amostrar da população tem probabilidade diferente de zero e conhecida de pertencer à amostra.
Estão enquadrados nestes casos; a amostragem aleatória simples, estratificada e sistemática. 
 Na amostragem não probabilística, a probabilidade de seleção é desconhecida para alguns ou todos os elementos da população, a escolha é deliberada podendo alguns destes elementos ter probabilidade nula de pertencer à amostra, como por exemplo, em amostras intencionais, a esmo ou de voluntários.
 
 	AMOSTRAGEM CASUAL SIMPLES - Este tipo de amostragem é equivalente a um sorteio lotérico. Na prática, é realizada numerando-se a população de 1 a n e sorteando-se, a seguir, por meio de um dispositivo aleatório qualquer.
Exemplo: Obter uma amostra representativa de seis elementos para a pesquisa da estatura de sessenta alunos de psicologia da sala 505:
1)Numeramos os alunos de 01 a 60.
2)Colocamos dentro de uma caixa todas as fichas numeradas. Agitando sempre a caixa, para misturar bem, em seguida, retiramos, uma a uma as seis fichas com reposição.
Quando o número de elementos da amostra for muito grande posso utilizar também uma tabela de números aleatórios.
 AMOSTRAGEM ESTRATIFICADA - Muitas vezes a população se divide em subpopulações que chamaremos de estratos. Quando a variável em estudo no estrato apresenta-se homogênea e de estrato para estrato heterogênea, convém que o sorteio dos elementos leve em consideração tais estratos.
 
Exemplo: Suponha, no exemplo anterior que, dos sessenta alunos, 54 sejam meninas e 6 sejam meninos, vamos obter a amostra proporcional estratificada.
Sexo População % Amostra
F 54 5,4 5
M 6 0,6 1
Total 60 6,0 6
 AMOSTRAGEM SISTEMÁTICA - A amostragem sistemática é muito usada quando os elementos da população se acham ordenados. São exemplos os prontuários médicos de um hospital, lista de presença de alunos da universidade, etc.
 Nestes casos, a seleção dos elementos que formarão à amostra pode ser feita por um sistema imposto pelo pesquisador.
Exemplo: Suponha que a rua do Príncipe tenha novecentos prédios, e que a prefeitura deseja obter uma amostra de cinqüenta prédios para revisar o cadastro.
A prefeitura usará o seguinte procedimento: dividirá 900/50 = 18, e escolherá por sorteio aleatório um número de 1 a 18 inclusive, o qual indicaria o primeiro elemento sorteado para a amostra; os demais elementos seriam periodicamente considerados de 18 em 18.
Assim, se o número sorteado fosse o 7, tomaríamos , pelo lado direito da rua, o 7 º prédio, o 25º, 43º etc., até voltarmos ao início da rua, pelo lado esquerdo.
	
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