Unidade 9 função

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Matemática Básica Unidade 9 
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Unidade 9 
Introdução ao conceito de função 
 
 
 
 
Metas 
Esta aula é sobre uma noção matemática útil ao estudo de relacionamento entre 
grandezas. 
 
Objetivos 
Ao final desta aula você deve: 
 ter uma ideia intuitiva da noção matemática conhecida como função; 
 conhecer termos relacionados à noção de função; 
 conhecer a noção de gráfico de função e saber interpretar informações geométricas. 
 
 
 
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A noção de função 
 Ao se estudar fenômenos que ocorrem na natureza, verifica-se que sempre estão 
presentes duas (ou mais) grandezas relacionadas entre si. Por exemplo: 
1) A pressão atmosférica depende da altitude. 
2) A pressão de um gás dentro de um recipiente de volume fixo varia com a 
temperatura. 
3) O preço da corrida do taxi varia de acordo com a distância percorrida. 
 
 Quando se verifica uma relação entre duas grandezas dizemos que uma é (ou 
está em) função da outra. 
 
 Como já foi visto, de modo geral é possível trabalhar com variáveis numéricas 
no lugar de grandezas. Neste caso, busca-se relações matemáticas entre as variáveis para 
representar as relações entre as grandezas. 
 
Exemplo: Uma dívida de mil reais cresce com uma taxa de juros simples de 5% ao mês. 
Assim, o valor de dívida D está em função do número de meses n sem pagar. Como se 
pode conhecer a dívida acumulada ao longo de n meses? Analisando cada mês, tem-se 
que: 
 início: D0 = 1000 
 1
o
 mês: D1 = D0 + 5%D0 = 1000 + 50 = 1050 
 2
o
 mês: D2 = D1 + 5%D0 = 1050 + 50 = 1100 
 3
o
 mês: D3 = D2 + 5%D0 = 1100 + 50 = 1150 
 

 
 n
o
 mês: Dn = ? 
 Note que a sequência de valores forma uma progressão aritmética, onde o 
primeiro termo é 1000 e a razão é 50. Assim, é imediato deduzir que Dn = 1000 + 50n é 
uma expressão matemática que dá o valor do montante a cada mês. 
 
Exemplo: Se 12 operários, trabalhando 9 horas por dia, demoram 18 dias para construir 
um muro de 15 metros de comprimento, quantos dias tardarão 7 operários, trabalhando 
8 horas por dia, na construção de um muro de 21 metros de comprimento? 
 Para determinar uma expressão matemática que represente o problema dado, 
vamos analisar o comportamento da grandeza número de dias com relação a variação 
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das outras grandezas. O número de dias, D, é inversamente proporcional ao número de 
operários, O, é inversamente proporcional ao número de horas de trabalho por dia, H, e 
diretamente proporcional ao comprimento do muro, L. Assim, as grandezas do 
problema colocado se relacionam de acordo com a seguinte fórmula: 
 D = k
HO
L
.
, 
onde k é uma constante. A determinação desta expressão é consequência de um estudo 
sobre grandeza diretamente proporcional e inversamente proporcional. Se o leitor quiser 
saber mais sobre o assunto, pode consultar o livro Meu Professor de Matemática e 
outras histórias, de Elon Lages Lima, da SBM, Rio de Janeiro, 1991. 
 Comparando os primeiros dados com os últimos, através da constante k, temos 
que 
 
15
9.12.18
 = k = 
21
8.7.D
  D = 
8.7.15
9.12.18.21
 = 
5
243
 
 D = 48 dias 14 h 24 min. 
 
Exemplo: Suponhamos que M (unidades) de açúcar de cana é misturada num recipiente 
com água. Suponhamos que o açúcar de cana está sendo transformado, por ação 
catalítica, em açúcar invertido. Supondo que a taxa de reação do açúcar de cana neste 
problema é de 0,3 (unidades), em quanto tempo a quantidade de açúcar terá reduzido à 
metade? 
 Se representarmos o tempo decorrido por t e por u a quantidade de açúcar de 
cana que no instante t continua inalterada, o fenômeno fica descrito pela equação 
u = 5e
-0,3t
. 
Então, para responder o problema, devemos resolver a equação 
5/2 = 5e
-0,3t
. 
Resolvendo, 
 2 = e
0,3t
  ln 2 = 0,3t  t = (ln 2)/0,3 ≈ 2,31. 
 
Observação: A determinação da expressão u = 5e
-0,3t
 depende de conhecimentos de 
cálculo diferencial. O importante nestes exemplos é perceber como que problemas 
variados podem ser resolvidos por técnicas matemáticas a partir do momento que temos 
uma expressão matemática que representa a relação de dependência entre as grandezas 
envolvidas no fenômeno do problema. 
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 Se for decidido que é interessante interpretar matematicamente um determinado 
fenômeno, o problema que se deve considerar é o seguinte: dado um fenômeno, com as 
grandezas envolvidas interpretadas como variáveis numéricas, como representar o 
fenômeno matematicamente? Ou melhor, qual a expressão matemática que representa o 
fenômeno? Mais ainda, uma vez determinada uma relação matemática que represente o 
fenômeno estudado, o que podemos deduzir, ou prever sobre o fenômeno, a partir da 
expressão matemática? 
 Antes de alcançar o ponto de poder tentar responder este tipo de questão, é 
conveniente primeiro estudar variáveis relacionadas por expressões matemáticas, de um 
ponto de vista abstrato. 
 Assim, no estudo que segue, usaremos sempre duas variáveis matemáticas, por 
exemplo: x e y. Se tivermos que os valores numéricos da variável y dependem dos 
valores numéricos atribuídos à variável x, dizemos que a variável y está em função da 
variável x podemos indicar esta dependência pela representação simbólica, 
y = f(x). 
Quando temos uma variável em função de outra, dizemos simplesmente que temos uma 
relação de função. Numa relação de função, y = f(x), a variável x é chamada variável 
independente e a variável y é chamada variável dependente. É comum também falar 
sobre x dizendo o ponto x e sobre y dizendo o valor y. Deste modo, quando se tem y1 = 
f(x1), diz-se que y1 é o valor da função no ponto x1. 
 
Exemplo: Se y = x
2
 + x – 2, temos declarado que y está em função de x e, neste caso, 
temos explicitamente como se dá está relação de dependência, temos f(x) = x
2
 + x – 2. 
Em particular, podemos perguntar qual é o valor de y no ponto 3, por exemplo. Isto 
significa saber quanto vale y quando x = 3. Temos que o valor de y no ponto x = 3 é 10, 
o que é equivalente à informação f(3) = 10. Esta informação é obtida com a substituição 
de 3 no lugar de x na expressão de y, 3
2
 + 3  2 = 9 + 1 = 10. 
 
Atividade 1: Considere a relação de função dada por y = x
2
 – x – 6. 
a) Qual é a expressão matemática que determina a relação de função, y = f(x). 
b) Qual é o valor de y quando x = 0? 
c) Quais são os pontos x para os quais y tem valor 0? 
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 Em uma relação de função nem sempre conhecemos a expressão matemática que 
relaciona as variáveis. Nesta hora, a representação simbólica, y = f(x), é bastante útil. 
Aliás, a representação de uma variável pode ser feita por qualquer letra. Por exemplo, às 
vezes podemos ter também x em função de y, ou podemos ter a variável z em função da 
variável t. 
 
Atividade 2: Em uma relação de função matemática entre as variáveis a e t, a variável t 
é independente e a variável a é dependente. Represente esta ideia de função 
simbolicamente. 
 
Atividade 3: Admita uma relação de função, y = f(x) = x
2
 + bx + c. Sabe-se que f(0) = 1 
e que o valor de y no ponto 1 é 3. Determine b e c. 
 
Atividade 4: Quantos objetos matemáticos temos envolvidos numa relação de função? 
Identifique estes objetos. 
 
As relações de função básicas mais conhecidas num estudo inicial são: 
i) Relação afim: y = ax + b; 
ii) Relação quadrática: y = ax2 + bx + c; 
iii) Relação polinomial: y = anx
n
 + ... + a1x + a0; 
iv) Relação de radiciação: y = 
n x ; 
v) Relação exponencial:y = ax, a > 0, a  1; 
vi) Relação logarítmica: y = logb x, b > 0, b  1; 
vii) Relações trigonométricas: y = cos x, y = sen x e y = tg x. 
 
 Neste curso, só estudaremos de forma sistemática a relação de função do tipo 
afim, y = ax + b. Faremos isto na próxima unidade. 
 
 Dada uma relação de função y = f(x), às vezes a expressão f(x) pode impor 
restrições a escolhas da variável independente x. O domínio de uma relação de função é 
o subconjunto de onde a variável independente está definida. Por exemplo, se uma 
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função é dada pela expressão y = 
x
1
, não é possível escolher o ponto x = 0. Mais 
precisamente, o domínio de definição desta função é o subconjunto  {0}. Assim, 
quando uma função for dada via expressão, seu domínio será suposto o maior 
subconjunto de onde a expressão está bem definida. 
 
Notação: Às vezes denotamos o domínio de uma relação de função, y = f(x), por 
Dom(f). 
 
Atividade 5: Determine o domínio da relação de função dada. 
a) f(x) = 
1
1
x
 b) f(x) = x + 1 c) g(x) = x
2
 
d) f(x) = 
x
 e) f(x) = 
x3
 f) h(t) = 
t  3
 
g) g(x) = 
x
1
 h) f(x) = x
2/3
 
 
 O domínio de uma relação de função também pode ser definido a partir de 
alguma imposição do fenômeno representado pela relação de função matemática em 
questão. Por exemplo, se h é a função que representa a altura de uma pedra lançada no 
ar com relação ao tempo transcorrido, só tem sentido analisar a altura entre o intervalo 
de tempo em que a pedra é lançada e seu retorno ao chão. Ou seja, só tem sentido 
expressar h(t) para t variando entre t = 0 e t = tf (o tempo que a pedra toca no chão), o 
que é o mesmo que dizer que h(t) está definido para t  [0,tf]. 
 
Atividade 6: A fim de controlar seus gastos, uma pessoa usa o seu celular no sistema 
pré-pago. Ou seja, todo mês ele paga antecipadamente por créditos de ligação. Assim, 
ele vai poder falar em função da quantia paga antecipadamente. Se este comportamento 
fosse interprestado matematicamente por uma relação de função, y = f(x), com y 
representando o tempo usado para falar e x representando a quantia paga em créditos, o 
que seria Dom(f)? 
 
 Pelo que estamos vendo, quando temos uma relação de dependência, temos duas 
variáveis, y e x, e uma relação entre elas, y = f(x). Às vezes é preciso determinar o 
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domínio dos valores da variável independente, x. Como o aluno pode perceber, temos 
aqui um objeto matemático relativamente complexo, com várias componentes. 
 A componente que dá a expressão uma variável em função da outra é a mais 
importante, mas ela sozinha não define a relação completamente. Veja o exemplo a 
seguir. 
 
Exemplo: A relação de função y = x
2
, quando x está restrito ao intervalo [0, 1], é 
completamente diferente da relação de função y = x
2
, quando x está restrito ao intervalo 
[1, 1]. Por exemplo, na primeira relação, o valor y = 0,25 é obtido só com um ponto, 
com o ponto x = 0,5. Já na segunda relação, o valor y = 0,25 pode ser obtido a partir de 
dois pontos, os pontos x = 0,5 e x = 0,5. 
 
 A fim de deixar a referência a uma relação de função mais precisa, é comum 
usar uma notação especial. 
 
Notação: Quando uma variável y está em função de uma variável x, e esta está restrita a 
um subconjunto X de , a relação de função pode ser representada simbolicamente por 
f : X  , y = f(x). 
Importante: Como esta ideia sobre dependência entre variáveis envolve vários 
elementos, passamos a usar o nome função para fazer referência a todo estes conjunto 
de elementos. 
 
Exemplo: Considere a função f :  , y = 3x + 1. Isto significa que estamos 
considerando a relação de função y = f(x) dada pela regra y = 3x + 1 e também que a 
relação está definida para todo x  , isto é, Dom(f) = . 
 
Atividade 7: 
a) Considere a função f : [1, 3]  , y = f(x). Determine Dom(f). 
b) Uma função é dada pela relação entre as variedades, y = 
1x
. Represente esta 
função pela notação que você acabou de conhecer. 
c) Considere a função g : (0, 2)  , y = x3  x. Determine os pontos x para os quais 
tem-se o valor y = 0. 
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d) Uma empresa tem gasto mensal de 1100 reais com cada funcionário contratado. 
Usando as variáveis x e y para representar as grandezas funcionários e gasto mensal, 
respectivamente, escreva a função matemática que modela este fenômeno. 
 
Exemplo: A função f : [0,1]  , f(x) = x2, é a função que associa cada ponto x entre 0 
e 1 ao valor f(x) = x
2
. Já a função g : [1,1]  , f(x) = x2, é a função que associa cada 
ponto x entre 1 e 1 ao valor f(x) = x2. A função g é bem diferente da função f, apesar de 
as duas terem a mesma relação de função. Por exemplo, se for pedido para se 
determinar o ponto x do domínio cujo valor associado é 1, a resposta para a função f é 
única, pois f(1) = 1. Já para a função g, o problema não é tão simples, uma vez que 
temos g(1) = 1 e g(1) = 1, ou seja, a resposta não é única. 
 
 As funções podem ser classificadas nos mais variados tipos. Alguns exemplos de 
classificação são: crescente, decrescente, constante, injetiva (ou injetora), sobrejetiva 
(ou sobrejetora), bijetiva (ou bijetora) e limitada. 
 Como este é um primeiro estudo sobre o assunto, não vamos nos deter neste tipo 
de classificação de funções. Mas, este conteúdo será muito importante para o curso de 
Cálculo. Numa segunda oportunidade, na disciplina de Pré-Cálculo ou de Cálculo, é 
importante estudar esta parte também. 
 
O Plano Cartesiano 2 
 Um recurso importantíssimo em um estudo de funções é a noção de gráfico de 
função, conceito definido a partir do conjunto 2. O 2 é definido pelo conjunto 
 2 = {(x, y) | x, y  }. 
Exemplos de elementos de 2 são: (1, 0), (0, 0), (3, 6), (
2
, 2) e (, 1). 
 O 2 possui uma representação gráfica muito útil. Numa folha, desenhamos 
duas retas perpendiculares, uma horizontal e outra vertical. A horizontal é chamada 
eixo x. A vertical eixo y. O ponto de interseção é chamado centro ou origem, e denotado 
por O. 
 
 
 
 
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 y 
 
 
 x 
 O 
 
 
 A representação geométrica dos elementos de 2 se dá da seguinte forma: dado 
(a, b)  2, a partir da origem O, andamos a unidades na direção do eixo x, e depois b 
unidades na direção do eixo y. Aí, marcamos o elemento no papel. Por exemplo, os 
elementos A = (1, 1), B = (2, 1) e C = (0, 2) podem ser visualizados como 
 
 
 C 
 
 B A 
 
 
 
 
 
 
Atividade 8: 
a) Tente identificar, numa representação gráfica do 2, o conjunto {(x, y) 2 | y = 1}. 
b) Tente identificar, numa representação gráfica do 2, o conjunto {(x, y)  2 | x = y}. 
c) Tente identificar, numa representação gráfica do 2, o conjunto {(x, y) 2 | x = 2}. 
d) Numa representação gráfica do 2, identifique que objetos os seguintes elementos 
representam: (0,0); {(x, y)  2 | y = 0}; e {(x, y)  2 | x = 0}. 
 
Gráfico 
 O gráfico de uma função f : X  , y = f(x), é o conjunto dos pontos do plano 
cartesiano 2 formado por 
 Graf(f) = {(x, f(x)) ; x  Dom(f)} 
 O gráfico de uma função permite uma interpretação geométrica e, portanto, 
facilita a análise da relação entre as grandezas envolvidas na função. 
 
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Exemplo: Considere a função f : X  , y = x2  x + 4. A figura a seguir foi obtida do 
programa GeoGebra e representa o gráfico desta função. O aluno pode verificar que 
alguns pontos(x, y) do desenho satisfazem a condição y = f(x), que é a condição que 
determina o gráfico de f. Por exemplo, vemos que o ponto (0, 4) pertence à curva do 
desenho e, de fato, (4, 0) é um ponto do gráfico de f, pois f(0) = 02  0 + 4 = 4. 
 
 
Atividade 9: Verifique se os outros 5 pontos indicados no desenho pertencem ao 
gráfico de f, isto é, se satisfazem a condição y = f(x). 
 
Observação: Em matemática Básica, o aluno não vai aprender a construir gráfico de 
funções. Não é este o objetivo. Agora, a única preocupação deve ser aprender a 
compreender o gráfico dado. A única exceção é o gráfico de uma função afim, dada por 
uma relação do tipo y = ax + b, que será estudado na próxima unidade. 
 
Exemplo: Um dono de loja quer vender uma determinada mercadoria. Ele tem duas 
opções de fornecedores. O fornecedor A cobra por mês para entregar suas mercadorias 
um custo fixo de R$ 25 mais R$ 5 por mercadoria. O fornecedor B cobra por mês um 
custo fixo de R$ 60 e R$ 2 por mercadoria. Se a demanda pelo produto for bastante, 
com qual fornecedor o dono deve negociar? Exatamente a partir de quantas mercadorias 
encomendadas é mais vantagem trabalhar com este fornecedor? 
 Temos as relações de preços por fornecedores dadas pelas funções 
 PA = 5m + 25 e PB = 2m + 60, 
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cujos gráficos são dados a seguir (na próxima unidade, falaremos sobre gráfico deste 
tipo de função). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Só pelo aspecto do gráfico, vemos que, inicialmente, PA tem o preço menor. 
Contudo, vemos que PB passa a ter um preço menor quando o número de 
mercadorias é grande. Os dois fornecedores cobram o mesmo preço quando 
PA = PB, isto é, quando 5m + 25 = 2m + 60, donde m0 = 35/3 = 11 + 2/3. 
 
 Outro termo relacionado com função é o seguinte. Seja f uma função. O conjunto 
dos valores de f é denominado imagem de f: 
 Im(f) = {y  | x  Dom(f) e f(x) = y} = {f(x)  | x  Dom(f)} 
 
Exemplo: Para a função f :  , f(x) = x2, temos Im(f) = [0, +), pois todo número 
real positivo, ou igual a 0, possui uma raiz e os números negativos não possuem raiz 
real. 
 
 Uma ótima maneira de se analisar o conjunto imagem de uma função é pelo seu 
gráfico. Ainda falaremos melhor sobre isto. 
 
Atividade 10: 
a) Determine a imagem da função a partir de seu gráfico. 
 
i) 
 Preço PA 
 PB 
 
 60 
 
 
 25 
 
 
 m0 Mercadorias 
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ii) 
 
iii) 
b) Para cada item de (a), determine, caso exista, o valor máximo e mínimo que a função 
atinge. 
c) O desenho a seguir representa o gráfico de uma função f :  . Baseando-se na 
figura, resolva a inequação f(x) ≤ 0. 
 
 
 
Taxa de variação 
 Um conceito importante na análise entre duas variáveis é o de taxa de variação 
média. Esta ideia é naturalmente usada para se avaliar velocidade média. Por exemplo, 
um carro que fez um percurso de 15 km em 3 h (talvez por causa do trânsito), o fez com 
uma velocidade média de 
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3
15



t
d
= 5 km/h, 
onde usamos o  como um símbolo para indicar variação. Ou seja, este quociente 
representa que, em média, o carro percorria 5 quilômetros por hora. Observe que esta 
ainda é uma análise limitada, pois não indica exatamente como o carro percorreu todo o 
trajeto; de repente, ele ficou preso um longo tempo num determinado sinal, ou num 
momento do percurso entrou numa via expressa e imprimiu uma velocidade maior, de 
40, 60 ou até 80 km/h. Mesmo assim, esta análise pode ser interessante para, por 
exemplo, se decidir que é mais vantagem fazer o percurso de bicicleta (e, às vezes, até a 
pé). 
 
Definição: Se y está em função de x, y = f(x), o quociente 
12
12
12
12 )()(
xx
yy
xx
xfxf
x
y








 
é chamado a taxa de variação média de y com relação a x no intervalo de x1 a x2. 
 
Observação: Note o significado dos termos envolvidos. A expressão y = y2  y1 mede a 
variação de y entre y1 e y2, e analogamente para x. O quociente mede, então, a taxa 
entre estas duas variações. 
 
Exemplo: Considere a relação de função, y = x
3
  2x. A taxa de variação média de y 
com relação a x de 0 a 2 é 
.2
2
4
02
)0.20()2.22( 33






x
y
 
Ou seja, no intervalo de 0 a 2, para cada variação unitária de x, y varia em média 2 
unidades. 
 
Exemplo: Suponha que um objeto é largado de uma torre de altura de 125m. Segundo 
as leis de Newton, o movimento do objeto é descrito pela equação 
d = v0t + 1/2gt
2
  d = 5t2 ( g  10 m/s2). 
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Então, o objeto atinge o solo em 5 segundos e a distância percorrida a cada segundo é 
 t = 0  d = 0 
 t = 1  d = 5 
 t = 2  d = 20 
 t = 3  d = 45 
 t = 4  d = 80 
 t = 5  d = 125 
 Pelos resultados acima, vemos que, de segundo para segundo, a variação da 
distância percorrida aumenta cada vez mais (no 1
o
 segundo: y = 5m; no 2o segundo: y 
= 15m; no 3
o
 segundo: y = 25m; etc.). Intuitivamente, vê-se que o objeto cai com uma 
velocidade cada vez maior. Em função destes dados, podemos ver que a velocidade 
média, que coincide com a noção de taxa variação média entre d e t, é dada por 
vmed = 
05
0125
12
12








tt
dd
t
d
 = 25. 
 
Atividade 11: 
a) Dada a relação de função, y = 5x2, calcule a taxa de variação média de y com relação 
a x entre 1 e 4, e depois entre 4 e 7. 
b) Calcule a taxa de variação média de y = ax2 + bx + c com relação a x entre x1 e x2. 
c) Calcule a taxa de variação média de y = b com relação a x entre x1 e x2. Você já 
esperava este resultado? 
d) Numa relação de função, o valor de y é 5 quando x = 2 e a taxa de variação média de 
y com relação a x entre 2 e 7 é igual a 3. Determine o valor de y quando x = 7. 
 
Funções Partidas 
 Como já foi registrado aqui, uma função é um objeto complexo. Um destes 
elementos é uma regra que determina a relação de dependência, y = f(x). Contudo, a 
expressão matemática que define a expressão f(x) não precisa ser única. Ela pode variar 
ao longo do domínio da função. Quando isto acontece, dizemos que a função é uma 
função partida. 
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Exemplo: Seja f : [0, 2]  , definida por 






]2,1(,23
]1,0[),cos(
)(
xx
xx
xf
. A função f é um 
exemplo de função partida. Para pontos do domínio que estejam restritos ao intervalo 
[0, 1], a relação de função é dada pela expressão y = cos(x). Para pontos do domínio que 
estejam restritos ao intervalo (1, 2], a relação de função é dada pela expressão y = 3x  
2. 
 
Atividade 12: 
a) Uma função f tem o gráfico representado no desenho abaixo. A relação de função de f 
é dada por três regras, y = f1(x), y = f2(x) e y = f3(x). Para a regra y = f1(x), os valores de f 
são sempre positivos. Para a regra y = f2(x), a função apresenta um valor mínimo. E para 
a regra y = f3(x), a função apresenta uma raiz. Baseando-se nestas informações, faça a 
correspondência das três regras com as regiões indicadas no desenho. 
 
b) A função f : [0, 8]  , é definida por 









]8,5(),(
]5,2(),(
]2,0[),(
)(
3
2
1
xxf
xxf
xxf
xf
. As três regras que 
definem f são y = x + 6, √ , x
2
  7x + 12, não necessariamente nessa ordem. O gráfico 
de f é representado logo a seguir. Substitua valores nas expressões dadas e de acordo 
com o gráficorepresentado, identifique f1(x), f2(x) e f3(x). 
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Gabarito das atividades 
 
Atividade 1  solução: 
a) y = x
2
 – x – 6. 
b) y = 6 
b) y = 0  0 = x2  x  6  x = 2 ou x = 3. 
 
Atividade 2  solução: a = f(t). 
 
Atividade 3  solução: Como f(0) = 1, temos 1 = 02 +b.0 + c, donde c = 1. Como f(1) = 
3, temos 3 = 1
2
 + b.1 + 1, donde b = 1. Resposta: b = 1 e c = 1. 
 
Atividade 4  solução: Temos duas variáveis, a independente e a dependente e temos a 
relação de dependência entre elas, a regra y = f(x). Ou seja, temos três objetos. 
 
Atividade 5  solução: 
a) Dom(f) = – {1} b) Dom(f) = c) Dom(g) = 
d) Dom(f) = [0, +) e) Dom(f) = f) Dom(h) = [3, +) 
g) Dom(g) = (0, +) h) Dom(f) = 
 
Atividade 6  solução: Normalmente os créditos são pagos valores inteiros da nossa 
moeda real. Isto é, normalmente pagamos 20 reais, 60 reais, por exemplo. Neste caso, 
Matemática Básica Unidade 9 
17 
 
podemos estabelecer Dom(f) = . É claro que se quisermos considerar pagamentos de 
créditos de ligação com centavos também, o melhor é considerar o domínio de f como o 
conjunto dos racionais não-negativos. 
 
Atividade 7  solução: 
a) A notação f : [1, 3]  , y = f(x), está indicando, em particular, que Dom(f) = [1, 
3]. 
b) Vamos buscar a notação para a função f a partir das informações dadas. A expressão 
1x
 só faz sentido quando x – 1  0, isto é, quando x  1. Assim, devemos ter Dom(f) 
= [1, +). Já temos a regra, y = 
1x
. Logo, a função f é representada por 
f : [1, +]  , y =
1x
. 
c) Temos y = 0  x3 – x = 0  x(x2  1) = 0. O conjunto das soluções desta última 
equação é S = {1, 0, 1}. Contudo, 1 e 0 não pertencem ao domínio de g. Logo, o 
único ponto onde y tem valor igual a 0 é o ponto x = 1. 
d) Para representar a função pedida é preciso saber o domínio da função e a regra entre 
as variáveis. Com relação à regra, dizer que y acumula 1100 para cada x é o mesmo que 
dizer que y = 1100x. Esta é a regra que relaciona as variáveis x e y. A variável x é 
referente a pessoas, que são sempre dadas por quantidades inteiras e positivas. Assim, 
temos x restrita ao conjunto . Juntando estas informações, a função matemática que 
modela o problema descrito pode ser 
f :  , y = 1100x. 
 
 
Atividade 8  solução: 
a) É uma reta paralela ao eixo x e cortando o eixo y em 1. 
 
b) É uma reta passando pela origem e contendo o ponto (1,1). 
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18 
 
 
c) É uma reta perpendicular ao eixo x e cortando-o em 2. 
 
d) (0,0) é o ponto onde os eixos se cruzam; {(x, y)  R2 | y = 0} é o eixo x; {(x, y)  R2 | 
x = 0} é o eixo y. 
 
Atividade 9  solução: 
Os pontos indicados no desenho são (3, 2), (2, 2), (1, 4), (0, 4), (1, 2) e (2, 2). 
Nós já verificamos que o ponto (0, 4) está no gráfico de f dada por y = f(x) = x2  x + 4. 
Falta verificar os outros cinco pontos. Lembre-se que o ponto (x, y) está no gráfico de f 
se satisfaz a relação y = x2  x + 4. Temos: 
 f(3) = (3)2  (3) + 4 = 9 + 3 + 4 = 2  (3, 2)  Graf(f). 
 f(2) = (2)2  (2) + 4 = 4 + 2 + 4 = 2  (2, 2)  Graf(f). 
 f(1) = (1)2  (1) + 4 = 1 + 1 + 4 = 4  (1, 4)  Graf(f). 
 f(1) = 12  1 + 4 = 1  1 + 4 = 2  (1, 2)  Graf(f). 
 f(2) = 22  2 + 4 = 4  2 + 4 = 2  (2, 2)  Graf(f). 
 
Atividade 10  solução: 
Matemática Básica Unidade 9 
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a) i) Im(f) = [2, +); ii) Im(f) = [1, 1]; iii) Im(f) = (1, +). 
b) i) 2 é o valor mínimo que f atinge, não existe valor máximo; ii) 1 é o valor mínimo 
e 1 á o valor máximo; iii) não existe nem valor mínimo nem máximo. 
c) S = (∞, 0]  [1, 3]  [6,7]  [9, +∞). 
 
Atividade 11  solução: 
a) Temos 
25
3
75
3
1.54.5
14
)1()4( 22







 ff
x
y
e 
55
3
33.5
3
4.57.5
47
)4()7( 22







 ff
x
y
. 
b) 
12
1
2
12
2
2
12
12 ))(()()()(
xx
cbxxacbxxa
xx
xfxf
x
y








= 
 . 
bxxa
xx
xxbxxa



 )(
)()(
12
12
12
2
1
2
2
. 
c) 
0
)()(
1212
12 








xx
bb
xx
xfxf
x
y
. 
d) 
5
5)7(
27
)2()7(
3








fff
x
y
  f(7) = 15 + 5 = 10. 
 
Atividade 11  solução: 
a) A regra y = f1(x) é referente à região III; a regra y = f2(x) é referente à região II; a 
regra y = f3(x) é referente à região III. 
b) Temos f1(x) = √ ; f2(x) = x
2
  7x + 12; f3(x) = x + 6.