lista2 Tac 2

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Lista extra 12 - curvas de n´ıvel, gra´ficos, limites e continuidade
1. Esboce as curvas de n´ıvel e o gra´fico das func¸o˜es abaixo.
a) f(x, y) = x+ y b) f(x, y) = y2 − x c) f(x, y) = x2 + 2y2
d) f(x, y) =
√
x2 + y2 e) f(x, y) = e−x
2
−y
2
f) f(x, y) = y2 − x2
g) f(x, y) = ysen(x) h) f(x, y) =
1
x2 + y2
2. Obtenha e esboce os conjuntos de n´ıvel poss´ıveis de cada uma das func¸o˜es.
a) f(x, y) = arcsin(xy) b) f(x, y, z) = x2 + y2 − z2 c) f(x, y, z) = x+ y + z
d) f(x, y, z) = z − x2 − y2 e) f(x, y) = x2 + y2 f) f(x, y) =
x
y − 1
g) f(x, y) = ysen(x) h) f(x, y) = arctan(x2 + y2)
3. A temperatura em um ponto (x, y) em uma placa de metal plana e´ T graus, onde T = 8x2 + 2y2.
Trace as isotermas para T = 8, T = 2 e T = 0.
4. O potencial ele´trico em um ponto (x, y) de uma placa no plano xy e´ dado por V =
4√
9− x2 − y2
.
Trace as curvas equipotenciais para V = 4 e V = 2 volts.
5. Seja f(x, y, z) = x2 − y2 + z2. Desenhe a superf´ıcie de n´ıvel que conte´m o ponto (1, 0, 0).
6. Calcule os limites, quando existirem.
a) lim
(x,y)→(0,0)
x+ y
y4 + x2 + 2
b) lim
(x,y)→(0,0)
sen(xy)
x
c) lim
(x,y)→(0,0)
x
x+ y
d) lim
(x,y)→(0,0)
x2 − y2
x2 + y2
e) lim
(x,y,z)→(0,0,0)
x3 + y + z2
x4 + y2 + z3
f) lim
(x,y)→(1,1)
x2 − 2x+ 1
x2 − y2 − 2x+ 2y
g) lim
(x,y)→(1,2)
1− cos(xy − 2x)
(y − 2)2
h) lim
(x,y)→(0,0)
x3 − y3
x2 + y2
7. Obtenha o maior subconjunto de Rn, n=2 ou 3, no qual a func¸a˜o e´ cont´ınua.
a) f(x, y) =
x+ y
x− y
b) f(x, y) = x3 + y2 + xy
c) f(x, y) =


x2y
x2 + y2
; (x, y) 6= (0, 0)
0; (x, y) = (0, 0)
d) f(x, y, z) =
sen(xy) + cos(xy)
x2 + y2 + z2 − 4
e) f(x, y, z) =
√
2− x2 − y2 − z2
8. A func¸a˜o f(x, y) = |x+ y − 1| e´ cont´ınua em R2 ? Justifique.
Respostas:
(1)
-5
-4
-3
-2
-1
 0
 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
-3 -2 -1 0 1 2 3
(a)
-10
-8
-6
-4
-2
 0
 2
 4
 6
 8
-10-8
-6 -4
-2 0
 2 4
 6 8
 10
-20-15
-10-5
 0 5
 10 15
 20 (a)
-5
-4
-3
-2
-1
 0
 1
 2
 3
 4
 5
-6 -3 0 3 6 9 12 15 18
(b)
-10
-5
 0
 5
 10
 15
 20 -5 -4 -3
-2 -1 0
 1 2 3
 4
-30
 0
 30
(b)
-4
-3
-2
-1
 0
 1
 2
 3
 4
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
(c)
-4
 0
 4 -4
-2
 0
 2
 4
 0
 2
 4
 6
 8
 10
(c)
-4
-3
-2
-1
 0
 1
 2
 3
 4
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
(d)
-4
-2
 0
 2
 4
-4 -2 0 2 4
 0
 2
 4 (d)
-4
-3
-2
-1
 0
 1
 2
 3
 4
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
(e)
-2 -1
 0 1
 2
-2
-1
 0
 1
 2
 0
 1 (e)
-4
-3
-2
-1
 0
 1
 2
 3
 4
 5
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
(f)
-2
-1
 0
 1
 2
-2
-1
 0
 1
 2-4
-2
 0
 2
 4 (f)
-30
-20
-10
 0
 10
 20
 30
 40
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
(g)
-3 -2 -1
 0 1 2
 3
-15
-10
-5
 0
 5
 10
 15
-18
-12
-6
 0
 6
 12
 18 (g)
-4
-3
-2
-1
 0
 1
 2
 3
 4
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
(h)
-2 -1 0 1 2
-2
-1
 0
 1
 2
 0
 2
 4
 6
 8
 10 (h)
(2) Conjuntos de n´ıvel
-12
-10
-8
-6
-4
-2
 0
 2
 4
 6
 8
 10
 12
-2 -1 0 1 2
(a)
-4 -3
-2 -1
 0 1
 2 3
 4
-4-3-2-1
 0 1 2 3
 4
-4
-2
 0
 2
 4
(b)
-4
-3
-2
-1
 0
 1
 2
 3
 4-4 -3 -2
-1 0 1 2 3 4
-4
-2
 0
 2
 4
 6
 8
(c)
-2
-1
 0
 1
 2-2 -1 0 1
 2
-2
 0
 2
 4
(d)
-4
-3
-2
-1
 0
 1
 2
 3
 4
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
(e)
-6
-5
-4
-3
-2
-1
 0
 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
-2 -1 0 1 2 3
(f)
-4
-3
-2
-1
 0
 1
 2
 3
 4
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
(g)
-4
-3
-2
-1
 0
 1
 2
 3
 4
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
(h)
(2) Equac¸o˜es: a) xy = sen(c) para −pi
2
< c < pi
2
b)x2 + y2 − z2 = c hip. 1-folha se c > 0,
hip. 2 folhas se c < 0, cone se c = 0 c)x + y + z = c planos perpendiculares a` direc¸a˜o (1, 1, 1)
d)z−x2 − y2 = c parabolo´ides e)x2 + y2 = c c´ırculos centrados na origem. f) x
y−1
= c, x = 0 p/ c = 0,
y = 1 + x
c
p/ c 6= 0. g)ysen(x) = c, p/ c = 0 fica y = 0 ou x = k.pi;para c 6= 0 fica y = c.cossec(x).
h)x2 + y2 = tan(c) c´ırculos.
(3)
-2
-1
 0
 1
 2
-2 -1 0 1 2
T=8
T=2
T=0
(4)
-3
-2
-1
 0
 1
 2
 3
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3
V=4
V=2
(5)
-4
-2
 0
 2
 4
-4 -2 0
 2 4
-4
-2
 0
 2
 4
(1,0,0)
(6)a)0 b)0 c)na˜o existe d)na˜o existe e)na˜o existe f)na˜o existe g)1/2 h)0
(7)a){(x, y) ∈ R2; x 6= y} b)R2 c)R2 d){(x, y, z) ∈ R3; x2+y2+z2 6= 4} e){(x, y, z) ∈ R3; x2+y2+z2 <
2}
(8) Sim. E´ a composta do mo´dulo com o polinoˆmio x+ y − 1, ambas func¸o˜es cont´ınuas.