Lista de exercícios cálculo III

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Universidade Federal do Ceará
Centro de Ciências
Departamento de Matemática
Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral
Atividade: AP1
Modalidade: Equipe
Turma:
Curso:
Membros da Equipe:
1. Calcular os seguintes limites:
(a) lim
x→0
√
(1 + x)(4 + x)− 2
x
(b) lim
x→∞
(√
x−
√
x−
√
x+
√
x
)
2. A partir do limite fundamental
lim
h→0
senh
h
= 1,
calcular os seguintes limites:
(a) lim
h→0
sen 2h
h
(b) lim
h→0
sen 3h
sen 5h
(c) lim
h→0
1− cosh
h
(d) lim
h→0
tg h
h
(e) lim
h→0
hcotg h
(f) lim
h→0
1− cosh
h2
3. A partir do limite fundamental
lim
n→∞
(
1 +
1
n
)n
= e,
calcular os limites seguintes:
1
(a) lim
n→∞
(
1 +
2
n
)n
(b) lim
n→∞
(
1 +
1
2n
)n
(c) lim
n→∞
(
1 +
2
3n
)n
(d) lim
n→∞
(
1− 2
n
)n
(e) lim
n→∞
(
1− 1
2n
)n
(f) lim
n→∞
(
1− 2
3n
)n
4. A partir do limite fundamental
lim
h→0
eh − 1
h
= 1,
calcular os seguintes limites:
(a) lim
h→0
eαh − 1
h
, em que α ∈ R.
(b) lim
h→0
eαh − 1
eβh − 1
, em que α, β ∈ R.
(c) lim
h→0
ah − 1
h
, em que 1 6= a > 0.
(d) lim
n→∞
n
(
n
√
a− 1
)
, n ∈ N, 1 6= a > 0.
(e) lim
h→0
ex+h − ex
h
(f) lim
h→0
ax+h − ax
h
, em que 1 6= a > 0
(g) lim
h→0
aαh − 1
h
, com 1 6= a > 0, α ∈ R
(h) lim
h→0
ln(1 + h)
h
(i) lim
h→0
loga(1 + h)
h
, em que 1 6= a > 0.
(j) lim
h→0
ln(x+ h)− lnx
h
, em que x > 0
2
(k) lim
h→0
loga(x+ h)− logax
h
, em que x > 0 e 1 6= a > 0.
5. Calcular os seguintes limites nos quais [x] refere-se à função ”máximo in-
teiro”:
(a) lim
x→0+
x
a
[
b
x
]
, se a > 0 e b > 0
(b) lim
x→0+
[x
a
] b
x
, se a > 0 e b > 0
(c) lim
x→0-
x
a
[
b
x
]
, se a > 0 e b > 0
(d) lim
x→0-
[x
a
] b
x
, se a > 0 e b > 0
6. Considere, por definição, que o número π é a medida numérica da área da
região circular de raio 1.
(a) Calcular o maior inteiro que não supera π.
(b) Usando poĺıgonos regulares inscritos no ćırculo de raio 1(um), aproximar
o número π em uma casa decimal.
(c) Estabeleça, através de poĺıgonos regulares inscritos em uma circun-
ferência, um limite que defina o número π como a medida numérica
da área da região circular de raio 1.
7. Provar que uma reta r é tangente a uma circunferência C se, e somente se,
tiver um único ponto de contato com esta circunferência.
8. Provar que se uma reta r é tangente a uma parábola P então esta reta tem
um único ponto de contato com esta parábola.Mostre que a rećıproca não é
verdadeira como no caso da circunferência.
9. Provar que as regiões circulares de raio r são convexas.
10. Mostrar que a região situada acima do gráfico da parábola y = x2 é convexa.
11. Mostrar que a região delimitada por uma elipse é convexa.
12. Seja f : [a, b] −→ R e x0 ∈ [a, b]. Provar que se f é cont́ınua em x0 então
g(x) = |f(x)| é cont́ınua em x0. Dê exemplo de uma função com módulo
cont́ınuo sem que a função o seja em um determinado ponto x0.
13. Dê exemplo de uma função que tenha derivada nula em cada ponto do seu
domı́nio mas que não seja constante.
3
14. Esboçar, usando propriedades da derivada, o gráfico das seguintes funções:
(a) f(x) = x3 − 3x, x ∈ R
(b) f(x) =
x
x2 + 1
, x ∈ R
(c) f(x) = x+
1
x
, x 6= 0
(d) f(x) =
x
x2 − 1
, x ∈ R
(e) f(x) = x− 1
x
, x 6= 0
15. Calcular as seguintes integrais:
(a)
∫ 4
0
x2 dx
(b)
∫ π
4
0
1
x2 + 1
dx
(c)
∫ π
4
0
cos2x dx
(d)
∫ π
2
0
sen3x dx
4