Atividade Aberta 3 - Resolução

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CÁLCULO II 
Atividade Aberta 3 - Resolução 
 
Questão 1 
 
O gráfico da função 
)x(fy 
 passa pelo ponto (1, 6) e a inclinação de sua reta tangente no 
ponto (x, y) é 
1x2m 
. Com base nessas informações: (a) determine a função 
)x(fy 
; 
(b) calcule o valor de y quando 
2x 
; (c) escreva a equação da reta tangente à curva 
)x(fy 
 no ponto (1, 6) ; (d) esboce o gráfico da função 
)x(fy 
 e o da reta tangente 
obtida no item (c). 
 
Solução 
 
a) A inclinação da reta tangente ao gráfico de uma função 
)x(fy 
no ponto (x, y) é o 
valor de sua derivada nesse mesmo ponto. Portanto, podemos escrever: 
f (x) 2x 1  
. 
Integrando, obtemos: 
 
2f (x) (2x 1)dx x x C    
. Como o ponto (1, 6) pertence ao gráfico de 
)x(fy 
, 
temos: 
2f (1) 6 1 1 C 6 C 4      
. 
 Portanto, a função procurada é 
2f (x) x x 4  
. 
 
b) O valor de y quando 
2x 
 é 
2f (2) 2 2 4 10   
. 
 
c) A equação da tangente ao gráfico de 
2f (x) x x 4  
no ponto 
(1,6)
 tem inclinação 
m f (1) 2.1 1 3   
. Portanto, sua equação é: 
y 6 3(x 1) ou y 3x 3    
. 
 
d) Um esboço dos gráficos da função 
2f (x) x x 4  
 e da tangente 
y 3x 3 
estão a 
seguir. 
 
 
 
Questão 2 
 
A velocidade de uma partícula que se move em linha reta é dada, em metros por segundo, 
pela função 
2v(t) t 2t 8, 0 t 10    
. Com base nessas informações: (a) ache o 
deslocamento dessa partícula durante o intervalo de tempo dado; (b) determine o intervalo 
em que essa partícula se move para a direita; (c) calcule a distância percorrida pela partícula 
durante o intervalo de tempo dado; (d) esboce os gráficos da função velocidade e da função 
aceleração em um mesmo sistema de eixos. 
 
Solução 
 
Começamos por determinar a função posição e a função aceleração. Para achar a função 
posição, fazemos: 
2 3 21s(t) (t 2t 8)dt t t 8t C
3
      
. Por seu lado, a função 
aceleração é: 
a(t) v (t) 2t 2  
. 
Determinamos, também, a variação de sinal da função velocidade: 
2v(t) 0 t 2t 8 0 t 2 ou t 4.        
 Com isso, podemos afirmar que 
v(t) 0
 para 
0 t 4 
 e 
v(t) 0
 para 
4 t 10 
. 
 
a) O deslocamento dessa partícula durante os 10 segundos do intervalo é: 
3 21 460s(10) s(0) 10 10 8 10 C C m
3 3
        
 
b) A partícula se move no para a direita para 
4 t 10 
, intervalo em que 
v(t) 0
. 
c) A distância percorrida por essa partícula durante os dez primeiros segundos é: 
d s(10) s(4) s(4) s(0)
460 80 80 540 80 620
C C C C m
3 3 3 3 3 3
   
 
            
 
 
 
d) Um esboço do gráfico da função velocidade e do gráfico da aceleração está abaixo. 
 
 
 
 
Questão 3 
 
A região R, limitada pelos gráficos das funções 
2 2y 4x x e y 2x 8x   
, gira em torno 
da reta 
x 1 
, dando origem a um sólido de volume V. Após esboçar o gráfico da região R 
e indicar um elemento típico de volume, calcule o valor de V. (Sugere-se usar o método das 
cascas cilíndricas para achar esse volume.) 
 
 
Solução 
 
A figura traz um esboço da região R e a indicação de um elemento de volume. 
 
Um elemento de volume é dado por 
2V 2 (x 1)( 3x 12x) x      
. Como x varia de 
0
 a 
4
, podemos escrever: 
4
3 2
0
4
4 3 2
0
V 2 ( 3x 9x 12x)dx
3
2 x 3x 6x 192
4
    
 
       
 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Questão 4 
 
A figura abaixo apresenta a região limitada pelo gráfico da função 
3xy 
 e pelo gráfico da 
reta 
2x3y 
, que é tangente à curva 
3xy 
 no ponto 
)1,1(
. Calcule a medida da área 
dessa região. 
 
 
 
 
Solução 
 
Os pontos de interseção dessas duas curvas são soluções do sistema de equações: 
3
3 3 2
x 1 e y 1y x
x 3x 2 x 3x 2 0 (x 1)(x x 2) 0
x 2 e y 8y 3x 2
  
             
     
 
 
Assim, a medida da área da região é o valor da integral: 
 
1
3
2
1
4 2
2
A x (3x 2) dx
1 3
x x 2 x
4 2
1 3
2 4 6 4
4 2
27
ua
4


    

   

     


 
 
 
 
 
 
Questão 5 
 
a. Determine o volume do sólido gerado pela revolução da região delimitada pelas curvas 
y x e y x 
 em torno do eixo 
y 1
. Esboce a região e um elemento típico de 
volume. 
 
 
Solução 
 
Um esboço do gráfico da região e um elemento típico de volume estão na figura. 
 
Um elemento de volume é dado por 
2V 2 y(y y) y    
. Como y varia de 0 a 1 na região 
considerada, temos: 
 
11
2 3 3 4
0 0
1 1
V 2 (y y )dy 2 y y
3 4 6
 
       
 

. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b. Determine o volume do sólido gerado pela revolução da região delimitada pelas curvas 
y x e y x 
 em torno do eixo 
x 1 
. Esboce a região e um elemento típico de 
volume. 
 
 
Solução 
 
Um esboço do gráfico da região e um elemento típico de volume estão na figura. 
 
 
 
 
Um elemento de volume é dado por 
V 2 (x 1)( x x) x     
. Como x varia de 0 a 1 na 
região considerada, temos: 
 
11
2 5 2 3 2 3 2
0 0
2 2 1 1 7
V 2 (x x x x x)dx 2 x x x x
5 3 3 2 15
 
           
 

.