Coordenadas e Mudanca de Base

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Retirado de: 
 
http://wwwp.fc.unesp.br/~emilia/Cursos/GAAL/
Aulas/apostila.htm 
Teorema da Dimensão 
Teorema: Sejam e dois subespaços 
vetoriais de um dado espaço vetorial com 
dimensão finita, então: 
 
U W
   dim dimU V    dim dimW V
       dim dim dim dim    U W U W U W
Proposição: Se é um subespaço 
vetorial de tal que 
 
 
 então 
 
W
, , V
   dim dimW V
W V
Coordenadas 
Definição: Diz-se que uma base é 
ordenada se a ordem dos vetores é 
fixada. 
 
Proposição: Dada uma base ordenada 
para o espaço vetorial, cada vetor dele 
é escrito de maneira única como 
combinação linear dos elementos dessa 
base. 
Coordenadas 
Definição: Dados uma base ordenada 
para um subespaço vetorial real e um 
vetor do subespaço, chamamos de 
coordenadas do vetor com relação à 
base, aos escalares únicos da 
combinação linear. 
 
Notação:  
1
2
....B
n
v



 
 
 
 
  
 
Exercício 
 Dados os vetores abaixo, determine as 
coordenadas de cada um deles em 
relação às bases dadas em cada caso: 
 
  32,3, 1v   R
      1,1,1 , 1,1,0 , 1,1,0B  
   2 32 4v t t t   P R
 21, 1 , 1B t t  
Mudança de Base 
Sejam e 
 duas bases ordenadas de um mesmo 
espaço vetorial . 
 Dado um vetor , ele pode ser 
escrito das seguintes formas: 
 
vV
 1 1 2 2 ... 1n nv u u u     
 1 1 2 2 ... 2n nv w w w     
Mudança de Base 
   
1
2
1
...B
n
v



 
 
 
 
 
 
   
1
2
2
...D
n
v



 
 
 
 
 
 
Mudança de Base 
Como B é base, cada vetor da base D pode 
ser escrito como combinação linear dos 
vetores da base B, ou seja: 
1 11 1 21 2 1
2 12 1 22 2 2
1 1 2 2
...
...
(3)
...........................................
...
n n
n n
n n n nn n
w u u u
w u u u
w u u u
  
  
  
   
    


    
Substituindo (3) em (2) temos: 
 
 
 
1 11 1 21 2 1
2 12 1 22 2 2
1 1 2 2
...
... ...
... ...
n n
n n
n n n nn n
v u u u
u u u
u u u
   
   
   
    
     
    
 1 1 2 2 ... 2n nv w w w     
1 11 1 21 2 1
2 12 1 22 2 2
1 1 2 2
...
...
(3)
...........................................
...
n n
n n
n n n nn n
w u u u
w u u u
w u u u
  
  
  
   
    


    
 1 2, ,..., nB u u u =
 1 2, ,..., nD w w w =
Reagrupando (4) de modo a compará-lo com (1) 
temos: 
 
 
 
1 11 1 21 2 1
2 12 1 22 2 2
1 1 2 2
...
... ... (4)
... ...
n n
n n
n n n nn n
v u u u
u u u
u u u
   
   
   
    
     
    
 
 
 
1 11 2 12 1 1
1 21 2 22 2 2
1 1 2 2
...
... ... (5)
... ...
n n
n n
n n n nn n
v u
u
u
    
    
    
    
     
    
 1 1 2 2 ... 1n nv u u u     
 1 1 2 2 ... 1n nv u u u     
Comparando os vetores de (1) e (5) temos: 
1 11 12 1 1
2 21 22 2 2
1 2
.....
.....
. (6)
... ..... ..... ..... ..... ...
.....
n
n
n n n nn n
    
    
    
     
     
     
     
     
     
 
 
 
1 11 2 12 1 1
1 21 2 22 2 2
1 1 2 2
...
... ... (5)
... ...
n n
n n
n n n nn n
v u
u
u
    
    
    
    
     
    
11 12 1
21 22 2
1 2
.....
.....
..... ..... ..... .....
.....
n
n
n n nn
  
  
  
 
 
 
 
 
 
   
1 ,
D
ijB i j n

 
 M
Assim de (6) temos: 
1 11 12 1 1
2 21 22 2 2
1 2
.....
.....
. (6)
... ..... ..... ..... ..... ...
.....
n
n
n n n nn n
    
    
    
     
     
     
     
     
     
Coordenadas 
do vetor na 
Base B 
Coordenadas 
do vetor na 
Base D 
Matriz Mudança de Base 
de D para B 
O cálculo feito através da matriz de mudança de 
base é operacionalmente vantajoso quando 
trabalharmos com mais vetores, já que não 
teremos que resolver um sistema de equações 
para cada vetor. 
11 12 1
21 22 2
1 2
.....
.....
..... ..... ..... .....
.....
n
n
n n nn
  
  
  
 
 
 
 
 
 
   
1 ,
D
ijB i j n

 
 M
As colunas da matriz são as componentes dos 
vetores da base D na base B. 
http://ucsnews.ucs.br/ccet/deme/vslavier/alglin/base/base.htm 
Proposição: Se a matriz de mudança 
da base para a base 
ordenada é a matriz 
dada por e a matriz de mudança 
da base para a base 
 é a matriz dada por 
Então temos: 
 
 1 2, ,..., nB u u u V
 1 2, ,..., nD w w w V
 
B
D
M
 1 2, ,..., nD w w w V
 1 2, ,..., nG v v v V
 
D
G
M
     
B B D
G D G
M M M
Observações 
 
1) 
 
2) 
 
3) 
 
B
nB
IM
     
B B D
B D B
M M M
    
1
B D
D B

M M
Exercício 
Considere as bases ordenadas B e C, 
determine as matrizes abaixo: 
  ,
B
C
M
 
C
B
M
    2, 1 , 3,4B  
    1,0 , 0,1C 
Bases 
Ordenadas 
Base 
Canônica 
do Plano 
Cartesiano