Lista de Exercícios III_Introdução ao Cálculo_Trigonometria

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UNIVERSIDADE CATO´LICA DOM BOSCO
DISCIPLINA: INTRODUCA˜O AO CA´LCULO
PROF. Me. DIEˆGO LUIZ RODRIGUES SANTOS
LISTA III: Func¸o˜es Trigonome´tricas
1-) Sabendo que cosx = − 25 e que x esta´ contido no intervalo pi2 < x < pi,
calcule:
a-) sen x, b-) tg x, c-) sec x, d-) cossec x, e-) cotg x.
Determine tambe´m, o valor do arco x.
Resp.: a-)
√
21
5 , b-) −
√
21
2 , c-) -
√
5
2 , d-)
5
√
21
21 , e-) -
2
√
21
21
2-) Encontre, dentro do intervalo pedido, as soluc¸o˜es das equac¸o˜es trigonome´tricas
abaixo:
a-) 3tgx+ 4
√
3 = 5
√
3, no intervalo 0 < x < pi2 ;
b-) cos2 x−3 cosx+2 = 0, no intervalo 3pi2 < x ≤ 2pi (Sugesta˜o: use um artif´ıcio)
Resp.: a-) x = pi6 ; b-) x = 2pi.
3-) Sabendo que secx = 3, calcule o valor da expressa˜o A = sen2x+ 2tg2x.
Resp.: A = 1529 .
4-) Sendo que cotg x = 247 e pi < x <
3pi
2 , calcule o valor da expressa˜o
Y =
tgx. cosx
(1 + cosx)(1− cosx) .
Resp.: Y = − 257 .
5-) Reduza os arcos a seguir, ao primeiro quadrante. Em outras palavras, de-
termine o aˆngulo positivo do primeiro quadrante, cujas razo˜es trigonome´tricas
tenham, em valor absoluto, valor igual ao aˆngulo dado.
a-) 120o, b-) 240o, c-) 170o, d-) 215o, e-) 350o, f-) 280o, g-) 980o, h-) 2345o,
i-) 5000o, j-) 1280o.
Algumas Respostas: a-) 60o, e-) 10o.
6-) Fac¸a um esboc¸o dos gra´ficos, no intervalo 0 ≤ x ≤ 2pi das func¸o˜es trigonome´tricas
abaixo:
a-) f(x) = 2senx
b-) f(x) = 2cosx
c-) f(x) = sen(2x)
d-) f(x) = cos(2x)
1
e-) f(x) = sen(4x)
f-) f(x) = cos(4x)
g-) f(x) = 2sen(2x)
h-) f(x) = tg(2x)
i-) f(x) = cotg(2x)
j-) f(x) = cossec (2x)
k-) f(x) = sec(2x)
7-) Demonstre as seguintes identidades trigonome´tricas:
a-) 1 + tg2x = tg2x.cossec2x
b-) (senx+ tgx)(cosx+ cotgx) = (1− senx)(1 + cosx)
c-) (1− cos2x)(cotg2x+ 1) = 1
d-) (1 + tg2x)(1− sen2x) = 1
e-) 2.secx.tgx = 1cossecx−1 +
1
cossecx+1
f-) (1− tgx)2 + (1− cotg2x)2 = (secx− cossecx)2
g-) 1−cosxsenx.cosx + senx =
1−cosx
tgx + tgx
h-) cos4x+ sen4x+ 2.(senx.cosx)2 = 1
i-) (tgx+ cotgx)(secx− cosx)(cossecx− senx) = 1
j-) cossec2x+ tg2x = sec2x+ cotg2x
k-) cotg
2x
1+cotg2x = cos
2x
l-) 2(senx+ tgx)(cosx+ cotgx) = (1 + senx+ cosx)2
m-) 1−2.cos
2x+cos4x
1−2.sen2x+sen4x = tg
4x
n-) (cotgx− cosx)2 + (1− senx)2 = (1− cossecx)2
o-) 1−cosx1+cosx = (cossecx− cotgx)2
p-) cossec6x− cotg6x = 1 + 3.cotg2x.cossec2x.
2