serie de fourie aplicacao

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SÉRIE DE FOURIER E APLICAÇÃO 
 
 
 Junior J. Reginatto1 
Lucia Menoncini 2 
 
Resumo: A Série de Fourier possui um vasto campo de aplicações em diferentes áreas do 
conhecimento, como nas Engenharias, na Física e na Matemática. Além dessa importância na área 
científica clássica, a Série de Fourier também auxiliou no desenvolvimento da música. 
Matematicamente podemos “manipular” uma nota musical através do desenvolvimento de uma Série 
de Fourier. Assim, este estudo abrange uma aplicação da Serie de Fourier envolvendo ondas sonoras 
e, aproveitando a similaridade com o tema, também aborda a relação Música e Matemática, uma vez 
que a música pode ser vista como uma série de fenômenos ondulatórios. Os conceitos que embasam 
o estudo estão compilados a partir do estudo teórico. Através destes propomos uma aplicação 
prática: captar uma onda sonora de um instrumento musical e realizar seu desenvolvimento em Série 
de Fourier, encontrando assim a análise e síntese do som emitido. A partir desta experiência e 
embasados pelo conhecimento teórico, pelas relações matemáticas que regem o comportamento da 
escala musical contemporânea e pelas características físicas das ondas sonoras, foi proposta uma 
alteração na construção da Viola Brasileira (Viola Caipira), instrumento acústico tipicamente brasileiro, 
visando melhorar o desempenho sonoro deste. O som capturado para o estudo e desenvolvimento da 
situação prática (Aplicação) da Série de Fourier também foi extraído a partir da excitação de uma 
corda da Viola Brasileira e os resultados confirmaram a aplicabilidade da Série de Fourier na análise 
e síntese do som. O trabalho propiciou ao autor desenvolver uma nova proposta na construção de 
instrumentos musicais com caixa acústica, baseado nos resultados obtidos matematicamente. 
Palavras-chave: Ondas sonoras. Matemática. Música. 
 
 
1. Introdução 
 
Atualmente, diante da competitividade entre as empresas, está se tornando 
cada vez mais comum o uso da modelagem matemática para aperfeiçoar processos 
e resolver problemas. A empresa ou administrador que ignora essa realidade pode 
acabar não sendo competitivo ou ter dificuldades no mercado. 
A matemática tem este papel de aperfeiçoar processos desde os primeiros 
tempos. Apesar de muitas vezes o estudo matemático aparecer descaracterizado, a 
matemática surgiu e desenvolveu-se para solucionar problemas. 
É com este intuito que nos dedicamos aqui ao estudo da Série de Fourier. No 
entanto, o que é uma Série de Fourier? Qual é a sua importância? 
Basicamente, a Série de Fourier é uma expressão matemática para descrever 
fenômenos ondulatórios. Trata-se de um assunto fascinante que passou 
despercebido por grandes matemáticos, até que Jean Baptiste Joseph Fourier 
 
1
 Graduado em Matemática Licenciatura Plena pela Universidade Comunitária da Região de Chapecó 
UNOCHAPECÓ - junior@reginatto.com 
2
 Professora Mestre da ACEA/UNOCHAPECÓ – luciam@unochapeco.edu.br 
(1768-1830), com sua astúcia, conseguisse descrever uma função mais ou menos 
complicada em uma forma “simples” de visualizar e manipular. 
Também podemos destacar que a Série de Fourier vai além do que outras 
séries ou métodos são capazes. Figueredo (1977, p. 1) responde a pergunta do por 
que estudar Séries de Fourier da seguinte maneira: 
 
”[...] Estudaremos o problema da condução do calor numa barra. Na 
tentativa de resolvê-lo, usaremos a matemática que aprendemos nos 
cursos de Cálculo Diferencial e Integral e de Equações diferenciais, e 
chegaremos à conclusão que ela é insuficiente [...] a resolução desse 
problema requer algo a mais, e esse algo a mais é a série de Fourier”. 
 
 
Segundo o site www.seara.ufc.br, “Fourier foi levado a desenvolver suas 
séries ao estudar a propagação de calor em corpos sólidos. Admitindo que essa 
propagação devesse se dar por ondas de calor”. No entanto, a dimensão do 
resultado encontrado por Fourier em sua Série vai muito além disso. 
A demonstração da solução desse problema físico delimitou novas fronteiras 
na matemática e, como se isso já não fosse o bastante, ajudou a responder outras 
questões físicas envolvendo ondas. Entre outras curiosidades, de acordo com 
Abdounur (2006, p. 267), “a Série de Fourier respondeu com firmeza uma dúvida 
levantada por Pitágoras no século VI a.C”, a respeito do estudo feito por este famoso 
matemático que envolvia a relação entre música e matemática. Dessa forma, como 
podemos observar, a descoberta feita por Fourier é de grande relevância para o 
nosso dia-a-dia. Seja para aplicar o conhecimento para a resolução de um problema 
ou para aguçar ou despertar o interesse e a curiosidade neste ramo da matemática. 
O estudo da Série de Fourier, por si só já é envolvente. No entanto, buscamos 
aproximar a Matemática envolvida com um tema interessante e cativante para 
muitos, que é a Música, respondendo questões como: Como fazer uma aplicação da 
Série de Fourier envolvendo ondas sonoras? Quais as relações matemáticas que 
regem a frequência das notas musicais? 
Se olharmos a música matematicamente, veremos uma série de fenômenos 
ondulatórios e uma “dança de logaritmos”. Música é essencialmente Matemática! 
Assim, o objetivo que orientou nosso estudo foi aplicar a série de Fourier a 
uma onda sonora. Fazendo isso, buscamos sempre explicitar as relações existentes 
entre música e matemática. 
 
2. Materiais e Métodos 
 
Para desenvolver este estudo, utilizamos a seguinte metodologia: realizamos 
uma pesquisa de cunho bibliográfica acerca da teoria abarcada na Série de Fourier, 
bem como no aprendizado dos conceitos musicais. 
Partindo deste estudo bibliográfico propomos uma aplicação da Série de 
Fourier “colhendo” uma onda sonora de um instrumento musical tipicamente 
brasileiro, conhecido como Viola Caipira ou, também, Viola Brasileira. Por fim, 
aproveitando o conhecimento teórico adquirido e conhecendo a estrutura do 
instrumento em estudo propomos pequenas alterações neste, tendo como pilar de 
sustentação da proposta as relações entre Música e Matemática. 
 
3. Resultados e discussão 
 
Podemos constatar inúmeros avanços que foram alcançados na matemática 
e, graças a eles, podemos continuar pesquisando e avançando em relação ao já 
descoberto. Assim, buscamos contribuir para esse “avanço contínuo”. Tanto no 
avanço pessoal como social, pois entendemos que um trabalho científico sempre 
deve propor algo novo. 
 
3.1. Som, ondas e números 
 
 Com objetivo de utilizar a Série de Fourier para modelar e resolver uma 
situação que envolva ondas sonoras, o estudo torna-se bastante amplo. O 
conhecimento matemático para o desenvolvimento de uma Série de Fourier exige 
uma bagagem que contemple diversos assuntos da própria matemática, como: 
sequências numéricas, séries numéricas, séries de potência, polinômio de Taylor e 
integrais trigonométricas. No entanto, quando falamos em ondas sonoras, 
necessitamos compreender também os fenômenos físicos que envolvem esse 
assunto. Vejamos a seguir algumas características desses fenômenos. 
 
3.1.1. Características do som 
 
As compressões e expansões produzidas por um elemento vibratório formam 
camadas de ar na atmosfera que são transmitidas através de ondas (tratamento 
físico dado ao som). É a esse fenômeno que denominamos onda sonora. “Ariquitas 
de Tarento (430- 360 a.C) já definira o som como sendo o resultado de pulsações de 
ar” (MENEZES, p. 45). 
Conforme Souza (2009) basicamente são três parâmetros que definem umsom: a sua altura, ou seja, a frequência (número de vibrações produzidas por 
segundo), a sua intensidade e o timbre, característica esta que dá identidade a um 
instrumento, que permite sabermos qual instrumento está emitindo um som. O 
Timbre pode ser descrito como a “impressão digital” do instrumento. 
Outra característica importante de uma onda é que ela transporta energia sem 
transportar matéria e o som tem uma velocidade de cerca de 330 a 360 metros por 
segundo no ar (depende da temperatura e da umidade do ar). Em geral, o som se 
propaga obedecendo a seguinte equação: 
 
 
 
onde representa a temperatura em graus Celsius. O módulo da velocidade de 
propagação de uma onda é . Onde representa comprimento de onda e 
representa a frequência. 
Imprimindo um impulso inicial à corda, por exemplo, é desencadeado um 
movimento oscilatório que gera uma amplitude máxima e uma amplitude mínima, 
chegando a posição de repouso. Em outras palavras, podemos dizer que o 
movimento oscilatório da corda repete-se durante um determinado tempo, até ser 
totalmente amortecido devido ao atrito com o ar. 
 No entanto, para efeitos de análise, admitimos que este efeito de 
amortecimento não se manifesta, ou seja, admitimos que o movimento oscilatório se 
repete indefinidamente mantendo as amplitudes máximas e mínimas ao longo do 
tempo. 
Quando uma corda é excitada, por exemplo, ocorre um movimento oscilatório 
principal ao longo de toda a corda, e movimentos secundários, chamados de 
harmônicos. A Figura 1 exemplifica o que estamos falando. 
 
Figura 1: Soma de harmônicos. 
Fonte: Elaborado pelo autor. 
 
Podemos destacar que foi analisando as propriedades dos sons harmônicos 
que, intuitivamente, o homem começou a perceber as relações entre a Matemática e 
a Música, conforme veremos adiante. 
Existem ainda outros fenômenos ondulatórios importantes, são eles: reflexão - 
quando uma onda reflete após bater em material reflexivo volta a direção de onde 
veio, devido à batida em material reflexivo; refração - mudança da direção das 
ondas, devido a entrada em outro meio; difração - quando uma onda é distorcida ao 
atravessar uma fenda ou ultrapassar um obstáculo, por exemplo. Pode ser 
entendida, também, como a capacidade da onda de passar por obstáculos. 
A altura do som (se grave ou agudo) está relacionada com a frequência deste 
som. Sendo que quanto maior a frequência mais agudo é o som. Verifica-se, 
também, que quanto maior a frequência menor será o comprimento de onda, ou 
seja, freqüência e comprimento de onda são grandezas inversamente proporcionais. 
Conforme a fómula nos permite visualizar. 
 
3.2. Série de Fourier 
 
Jean Baptiste Joseph Fourier chegou até suas séries trigonométricas quando 
em por volta de 1807 estudava a propagação de calor em corpos sólidos. No 
entanto, somente em 1822 ele publicou sua Théorie analytique de la chaleur, que 
significa Teoria Analítica do Calor. Desenvolvendo seu estudo, Fourier obteve um 
resultado que passou despercebido por gênios de sua época como Bernoulli e Euler. 
 Apesar de carente no rigor formal, Fourier mostrou que qualquer função, por 
mais complicada que seja, pode ser decomposta como uma soma de senos e 
cossenos com amplitudes, fases e períodos escolhidos convenientemente. 
Vejamos um exemplo de função que pode ser descrita como uma Série de 
Fourier: (esta função também é conhecida como onda 
quadrada). 
 
 
Figura 2: Onda Quadrada. 
Fonte: Elaborado pelo autor 
 
A Série de Fourier encontrada a partir desta função é: 
 
 
 
A Figura 3, criada usando o software Maple, representa a expansão da Série 
de Fourier da expressão (1) para os primeiros 5 termos: 
 
 
Figura 3: Série para os primeiros 5 termos . 
Fonte: Elaborado pelo autor 
 
Percebe-se da Figura 3 que a aproximação aumenta conforme aumenta 
número de termos da Série. Assim, através do que a Série de Fourier nos permite, 
podemos decompor uma onda sonora complexa isolando seus harmônicos ou sons 
fundamentais. 
 
3.3. Análise e síntese do som 
 
A onda escolhida para análise foi extraída a partir da execução da nota “Mi” 
na Viola Caipira. Fizemos a análise de somente uma corda. Porém, essa corda foi 
cuidadosamente escolhida, pois essa frequência é a mesma para 3 cordas do 
instrumento, ou seja, 30% do som emitido pela viola. 
Através de um programa de computador, Sony Sound Forge 9.0, sintetizamos 
a onda sonora de forma linear para podermos visualizá-la. A Figura 4 mostra o 
espectro obtido com a captação do som. 
 
 
Figura 4: Onda Mi 
 
 Note que a onda tem uma forma bastante complexa. Assim a dedução da 
função que gera essa onda torna-se muito difícil. Dessa maneira, sendo nosso 
trabalho apenas “propositivo”, isolamos o primeiro, segundo e terceiro harmônicos 
da onda através da técnica dos harmônicos, obtendo a onda explícita na Figura 5. 
 
Figura 5: Onda Mi - 3 harmônico. 
 Assim, utilizando o software Maple, conseguimos aproximar a onda através 
do Polinômio: . A Série de Fourier encontrada a partir do 
polinômio é: 
 
 
 
A Figura 6 representa a Série de Fourier (linha mais espessa) e o gráfico 
do polinômio . 
 
 Figura 6: Interpolação. 
Analisando a Figura 6, que representa a Série de Fourier, inferimos que ela 
descreve com precisão satisfatória, a onda captada do instrumento. 
 
3.3. Matemática e música 
 
 
 Vamos iniciar esta subseção com uma citação que busca retratar o poder 
“mágico” que a música pode exercer sobre a vida: “O poder conquistador supra-
humano da música já se expressa na mitologia grega em Orfeu, cujo canto 
acompanhado de lira sustava rios, amansava feras e movia pedras” (ABDOUNUR, 
2006, p. 3). 
 O poder da música esconde um emaranhado de conhecimentos matemáticos. 
Neste sentido, a matemática surge no campo da música para solucionar e 
desvendar alguns destes emaranhados, como o problema da consonância - uma 
harmonia de sons - e dissonâncias - oposto de consonância. Porém, em diversos 
povos a organização das escalas musicais e a relação da música com a matemática 
se deram de maneira diferente, embora contivessem aspectos comuns. 
A civilização grega foi a mais bem sucedida nesse processo. Através dos 
Pitagóricos e um instrumento chamado monocórdio, também desenvolvido por eles, 
os gregos conseguiram uma simbiose entre sons e aritmética. Descobriram que do 
comprimento de uma corda resultava no mesmo som uma oitava acima. Também 
descobriram que os intervalos de e geravam consonâncias. Dividiram, então, a 
escala através de intervalos de , que após 12 divisões resultava novamente a nota 
fundamental “quase” uma oitava acima. Construindo a escala pelo percurso descrito 
temos: e, finalmente, novamente. 
Matematicamente, N. O que impede a divisão natural, 
através de intervalos de quinta, de formar um ciclo perfeito. Mesmo assim, a escala 
com intervalos acusticamente perfeitos definida por Pitágoras foi usada durante 
séculos, até pouco depois da Idade Média, quando Andreas Werkmeister, usando 
logaritmos, distribui o valor da diferença (aproximadamente 1,013643) ao longo das 
12 notas. 
Matematicamente, Werkmeister sabia que a relação matemática entre uma 
oitava e outra era de 1 para 2. Dessa forma, ele tomou o comprimento inteiro e 
dividiu-o exponencialmente em doze partes, baseado na raiz duodécima de 2 (ou 
seja ). 
 A escala, então, deixou de ser expressa de maneira aritmética e passou a ser 
logarítmica. Graças a isso podemos deduzir qualquer freqüência a partir de uma 
freqüência inicial. Se = freqüência final; = freqüência inicial; e = número de 
semitons, entãotemos a fórmula: 
 
. 
 
 A partir dessa fórmula o fim de uma oitava passava a coincidir com o início da 
outra e assim os compositores estavam livres para passear de uma escala outra 
sem perder afinação. 
 
3.4. Caixa de ressonância 
 
 Basicamente a função da caixa de ressonância é amplificar o som emitido. A 
partir da vibração das cordas, o tampo da caixa de ressonância gera vibrações 
maiores. Essas vibrações são refletidas no interior da caixa até que elas passem 
pela abertura (também chamada de boca) da caixa de ressonância. 
 No entanto, conforme comentamos, as ondas sonoras possuem algumas 
características. Uma delas é sofrer difração ao passarem por uma fenda. Vale 
destacar que a onda só sofre difração se o comprimento de onda for da mesma 
grandeza da fenda. 
 A partir dessas constatações, nos propomos a encontrar uma abertura para a 
caixa de ressonância que consiga difratar todas as ondas emitidas pela viola caipira, 
a fim de produzir um som mais encorpado e abrangente. 
 A fórmula que relaciona comprimento de onda com frequência é , 
conforme vimos. Isolando alfa e substituindo pela fórmula que rege as frequências 
das notas musicais chegamos em: , 
Sabendo que a maior e a menor frequência obtida na viola afinada em Mi é 
387,8 e 123,5 Hz, respectivamente, obtemos os comprimentos adequados ao 
instrumento. 
 No entanto, ainda é necessário dividir o número encontrado por um múltiplo, 
contemplando as ondas harmônicas, e deixando as medidas em números 
praticáveis para construção do instrumento. 
 Através do estudo feito obtemos a seguinte função: 
 
 . 
 
Essa função transcrita em coordenadas polares gera um gráfico em espiral 
que se aproxima do centro. 
A figura abaixo foi elaborada com auxílio do software Winplot a partir da 
função obtida. 
 
 
Figura 7: Boca espiral. 
Fonte: Elaborado pelo autor 
 
Entendemos que o gráfico proposto abrange todos os comprimentos de onda 
do espectro sonoro da viola caipira brasileira. 
 
4. Considerações 
 
 O desenvolvimento deste estudo possibilitou, além de conhecimentos teóricos 
no campo da matemática e da música, a junção entre teoria e prática. 
Também mostrou que a matemática possui aplicações em diferentes áreas do 
conhecimento, inclusive em áreas que muitas vezes não se imagina estar presente, 
como é o caso da música. 
A música contempla um vasto e rico poderio matemático escondido em suas 
entranhas. Com isto, percebemos que o caminho científico até chegar à musica 
necessita um suporte matemático amplo, especialmente no que diz respeito a Série 
de Fourier. 
Através da relação “música e matemática” e observando as características 
físicas das ondas sonoras, identificamos uma maneira de melhorar o desempenho 
sonoro da caixa de ressonância da viola caipira. Dessa forma propomos um novo 
desenho para a abertura da caixa de ressonância de instrumentos acústicos. Ou 
seja, mais uma vez a matemática mostrou-se uma aliada no desenvolvimento da 
música. 
Então, toda vez que escutarmos ou cantarmos uma música, saberemos que, 
além do fascinante poder envolvente que ela proporciona, estamos, mesmo que 
indiretamente, estudando e contemplando a Matemática. 
 
5. Referências 
 
ABDOUNUR, Oscar João. Matemática e Música: o pensamento analógico na 
construção de significados. 4. ed. São Paulo: Escrituras, 2006. 
 
 
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25 jun. 2010. 
 
As séries de Fourier: Como representar qualquer função matemática – 
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jan. 2010. 
 
AVILA, Geraldo. As Séries Infinias. REVISTA DO PROFESSOR DE MATEMÁTICA 
- 3O. SBM. São Paulo. 1996. 
 
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tica musica/index. htm. Acesso em: 05 jun. 2010. 
 
FIGUEREDO, Djairo Guedes de. Análise de Fourier e Equações Diferenciais 
Parciais. Rio de Janeiro: Instituto de Matemática Pura e Aplicada, 1977. 
 
GUIDORIZZI, Hamilton Luiz. Um Curso de Cálculo. 5. ed. Rio de Janeiro: LTC, 
2002. 
 
 
MATOS, Marivaldo P. Séries e Equações Diferenciais. São Paulo: Makron, 2002. 
 
MENEZES, Flo. Música Maximalista: ensaios sobre a música especulativa e 
radical. 1.ed. São Paulo: Unesp, 2006. 
 
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