METODO

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METODO GRAFICO
PRESENTACION
Algumas vezes, nas primeiras classes do curso de Investigação de Operações levamo-nos só pelo desejo de realizar um modelo matemático que trate de refletir a realidade através de uma Função Objetivo e algumas restrições, mas como as vontades de seguir aprendendo faz com que surjam novas perguntas . Em um bom dia interrogamos a nosso professor a respeito da solução que deve ter todo modelo, ele como sempre sonriente e com uma expressão de mistério nos disse:” Acho que já é o momento de que tenham algumas respostas a alguns modelos que puderam resolver em suas primeiras classes”, felizes por este anúncio é que nos propusemos a pôr atenção a suas palavras e sacar o melhor proveito aos conhecimentos de nosso professor, que sem o saber se voltava a cada vez mas respeitado por nós.
Claro que eu não me perdi nenhuma classe a respeito de gráficas, mas como sempre chegou no dia do exame, chegue cedo ,confiado me sentei adiante e quando o professor começou a ditar as perguntas a respeito de gráficas eu com voz baixa dizia: desta vez faço-mo todo o exame, !mas que surpresas tem a vida! nenhuma das gráficas ditadas pareciam-se às que resolvemos em classe , que se vai fazer ,outra vez aquela personagem nobre, sereno e quase enigmático voltava a ganhar.
Entendi a mensagem, tem-se que pesquisar e como to disse no primeiro livro , ainda sigo pesquisando e ainda me encontro com algumas coisas que parecessem fáceis a primeira vista mas que precisam algum desenvolvimento especial.
É por isso que agora, neste segundo livro quero te dar a conhecer como solucionar graficamente os modelos matemáticos que se elaboram em um modelo de programação linear, será necessário primeiro fazer uma introdução de como realizar as gráficas, dar a conhecer os diferentes tipos de gráficos, os casos especiais que podemos encontrar e ademais ingressar a explicar os resultados aos modelos graficados.
Como vez, temos uma grande aventura que realizar , espero que me acompanhe e que este livro te seja de muita utilidade para que afiances mas teus conhecimentos quanto à Investigação de Operações.
Não quisesse deixar de aproveitar a oportunidade para render o merecido reconhecimento e agradecimento a minhas amigas e amigos das diferentes universidades da cidade deTrujillo que através de todos estes anos me deram a oportunidade de ser participe de suas esperanças e sonhos em seu caminho a ser profissional e poder estar juntos em nossas conversas de estudo, Obrigado por sua confiança
CAPITULO I
COMO GRAFICAR
1.- METODO GRAFICO
Indubitavelmente plasmar um modelo e tratar de resolvê-lo graficamente tem uma limitação muito grande, só podem ser resolvido modelos que tenham só duas variáveis( bidimensional ) já que contamos com um plano formado por X1 e X2 que é a região na qual vamos trabalhar, poderia ser tido a possibilidade de trabalhar com modelos que têm três dimensões mas ser-->[Author:SJV]ía muito tedioso ( no entanto em parte-a final deste livro realizaremos alguns exemplos para resolver estes tipos de modelos).
Vamos então a desenvolver modelos relativamente pequenos mas que sejam proveitosos para cumprir com os objetivos que desejamos atingir , os quais são familiarizar com uma representação geométrica de um modelo linear e chegar a ter algumas respostas importantes a algumas perguntas que nos vamos propor através do desenvolvimento do tema.
2.- PASSOS PARA RESOLVER MODELOS DE PROGRAMACION LINEAR MEDIANTE GRAFICAS
Vai ter-se que levar uma ordem para poder resolver um modelo, suponhamos que temos o seguinte problema proposto:
Exemplo 1.-
Maximizar = 4 x1 + 9 x2
sujeito a:
5x1 + 8x2 <= 50
6x1 + 5x2 <= 60
8x1 - 5x2 <= 40
x1>=0, X2>=0
Os passos que temos que seguir são os seguintes:
1.- TODA RESTRIÇÃO DEVE ser CONVERTIDO A IGUALDADE,SEJA QUAL SEJA SUA ORIENTAÇÃO
Aplicando este primeiro passo a nosso exemplo:
5x1 + 8x2= 50
6x1 + 5x2 = 60
8x1 + 5x2 = 90
2.- DEVE ser ACLARADO As VARIÁVEIS NA cada UMA DAS RESTRIÇÕES, COLOCANDO A UMA DAS VARIÁVEIS O VALOR DE ZERO E ACLARANDO A OUTRA.
Em nosso exemplo:
Para a primeira restrição:
5x1 + 8x2 = 50
Se x1= 0 , a restrição fica:
5(0) + 8x2 = 50
aclarando x2= 50/8
Então agrupando em par ordenado: (x1,x2) = ( 0,50/8) ,
Depois se x2=0, a restrição fica:
5x1 + 8(0) = 50
aclarando x1 = 50/5Então agrupando em pares ordenados: (x1,x2) = ( 50/5,0)
Para a segunda restrição:
6x1 + 5x2 = 60
se X1=0. A restrição fica:
6(0) + 5x2 = 60
aclarando x2= 60/5
então agrupando em pares ordenados: (x1,x2) = (0,60/5)
Depois ,se x2=0, a restrição fica
6x1 + 5(0) = 60
aclarando : x1= 60/6
então agrupando em pares ordenados: ( x1,x2)=(60/6,0)
Para a terceira restrição:
8x1 +5x2 = 40
se x1=0 , a restrição fica:
8(0) + 5x2 = 40
aclarando:
x2 = 40/5
então agrupando em pares ordenados: (x1,x2) =(0, 40/5)
Depois, se x2=0, a restrição fica:
8x1+5(0)=40
aclarando: x1= 40/8
então agrupando em pares ordenados: (x1,x2) =(40/8,0)
3.- REALIZAR A GRÁFICA .
Tendo os pares ordenados podemos realizar a gráfica já que pela cada restrição temos dois pontos, os quais ao se unir nos darão as linhas retas que são as representações geométricas das restrições.
(x1,x2) = ( 0,50/8=6.23) , (x1,x2) =(50/5=10,0)
(x1,x2) = (0,60/5=12) , (x1,x2) =(60/6=10,0)
(x1,x2) =(0, 40/5=8) , (x1,x2) =(40/8= 5,0)
x2 12
( I I )
11
10
9
8 ( III )
7
6
5
( I )
4
3
2
1
X1
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
4.- ORIENTAÇÃO
A parte mas importante na gráfica é a orientação, para este caso vamos tomar em conta as seguintes condições gerais de acordo aos tipos de restrições que se tem:
Restrição Orientação
<= Acerca-se à origem
= Conserva-se a restrição como uma linha
>= Afasta-se da origem
Devemos clarificar que estas orientações servem para restrições que contenham as duas variáveis, lado direito positivo e com valores numéricos diferentes de zero( casos diferentes o trataremos posteriormente) .
Então nossa gráfica fica:
x2 12
( I I )
11
10
9
8 ( III )
7
6
5
( I )
4
3
2
1
X1
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
5.- LOCALIZAÇÃO DA REGIÃO EXEQÜÍVEL
Uma vez dada a orientação à cada restrição é importante achar uma região onde todas as restrições se cumpram, esta região se chamaREGION EXEQÜÍVEL que não vem a ser senão o local onde se vai encontrar a solução a nosso problema linear proposto, é por isso que devemos ter muita visão para localizar esta região , é necessário clarificar que há vezes em que não pode ser achado uma região exeqüível .
Para nosso exemplo , a região exeqüível esta dada pela região com bordas mas escuros e limitado com as letras A, B , C e D.
Então nossa gráfica fica:
X2
12
( I I )
11
10
9
8 ( III )
7
B
6
C
5
( I )
4
3
2 REGION
1 EXEQÜÍVEL
X1
A D.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
Como vez, a região exeqüível é aquela que em seus cantos A,B,C,D têm as possibilidades de ser o ponto que solucione o modelo, a esse ponto lhe chamaremos PONTO OPTIMO.
6.- ACHAR O PONTO OPTIMO
Uma vez que se identificaram os pontos extremos, vamos substituir as coordenadas dos pontos extremos na Função Objetivo:
Pontos Coordenadas MAX. F.o. 4x1 + 9x2
A ( 0 , 0 ) 4(0) + 9(0) = 0
B ( 0, 6) 4(0) + 9(6) = 54
*C (1.79488 , 5.1282) 4(1.79488 ) + 9( 5.1282) =53.33332
D ( 5 , 0) 4(5) + 9(0) = 20
*O ponto C acha-se por equações simultâneas das retas que dão origem a este ponto, isto é as retas I e II, calculando:
( I ) 5x1 + 8x2 = 50 (-8 )
(II ) 8x1 - 5x2 = 40 (5 )
-64x2+25x2= -400+200
-39x2 = -200
x2 = 5.1282
Substituindo em ( I ) :
5x1 + 8(5.1282)=50
Como a Função Objetivo é de maximização , então se comparam os resultados de substituir as coordenadas dos pontos extremos na função objetivo e se elege o maior, para este exemplo:
54 é o maior valor e então o ponto B é o ponto optimo.
7.- GRAFICA DA FUNÇÃO OBJETIVO
Bom mas agora falta graficar a Função objetivo, procederemos da seguinte maneira:
Maximizar = 4 x1 + 9 x2
Como podemos ver a função objetivo não tem lado direito, então nós o vamos criar multiplicandoseus coeficientes, então fica assim:
4x1 + 9x2 = (4)(9)
Agora podemos tratar à função Objetivo como o fizemos com as restrições:
4x1 + 9x2= (4)(9)
Sim x1=0 então:
4(0) + 9x2= (4)(9)
aclarando:
x2= 4(9)/9 então fica : x2=4 o par ordenado é: (x1,x2) = (0,4)
Depois :
4x1 + 9x2= (4)(9)
se x2=0 então: 4x1 + 9(0)= (4)(9)
x1 = (4)(9)/4
fica: x1= 9 o par ordenado é: (x1,x2)= (9,0)
A gráfica é:
X2
12
( I I )
11
10
9
8 ( III )
7
B
6
C
5
( I )
FUNÇÃO 4
OBJETIVO
3
2 REGION
1 EXEQÜÍVEL
X1
A D.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
8.- GRAFICAR A FUNÇÃO OBJETIVO NO PONTO OPTIMO
Agora, o único que nos falta é transladar a Função Objetivo(F.o.) no ponto ótimo, então o F.o. iguala-se ao valor máximo, isto é 54:
4x1 + 9x2 = 54
aclarando X1:
4x1 + 9(0) = 54
x1 = 13.5 , as coordenadas fica : ( 13.5 , 0 )
aclarando X2:
4(0) + 9x2 = 54
x2 = 6 , as coordenadas fica: ( 0 , 6 )
Tendo estes dois pontos, o gráfica final fica:
X2
12
( I I )
11
10
9
8 ( III )
7
B
6
C
5
( I )
4
3
F.o Localização Final
2 REGION
1 EXEQÜÍVEL
X1
A D.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
F.o. Localização Inicial
Como pode ser apreciado o F.o. transladou-se para o ponto optimo.
Então a resposta é:
Rpta.
x1= 0 , x2 = 6 . o valor do F.o. é: 54
Como as variáveis são >= que zero , então a gráfica fica no primeiro quadrante, mas nada impede que em algum momento se tenha regiões exeqüíveis em outros quadrantes quando se tenham variáveis irrestrictas( são aquelas que podem ter valores positivos ou negativos) isso vai acontecer quando experimentemos com outros exemplos pelo momento nos limitaremos ao primeiro quadrante.
Agora vamos a graficar outro modelo:
EXEMPLO 2:
Minimizar 8X1 + 5X2
SUJEITO A:
5X1 + 6X2 >= 30
3X1 + 6X2 >= 18
2X1 + 4X2 >= 8
X1>=0, X2>=0
SOLUCION:
( I ) 5x1 + 6x2 = 30
Se: X1 = 0 então X2 = 5, a coordenada é : ( 0,5)
Se : X2=0 então X1 = 6 , a coordenada é : ( 6,0)
( II ) 3x1 + 6x2 = 18
Se : X1=0 então X2- 3 , a coordenada é : ( 0,3)
Se: X2=0 entoncesX1=6, a coordenada é: ( 6,0)
( III ) 2x1 + 4x2 = 8
Se X1=0 então: X2=2, a coordenada é: ( 0,2)
Se X2= 0 então: X1=4, a coordenada é: (4,0)
Como todas as restrições são >= ,então todas se afastam da origem,
Graficando:
X2
7
6
5 A =(0,5)
4
3 ( I )
( II )
2
( III )
1
B=(6,0)
0 1 2 3 4 5 6 7 X1
Buscando ponto Optimo:
PONTOS COORDENADAS MIN. 8X1 + 5X2
A ( 0, 5) 8(0) + 5(5) = 25
B ( 6,0 ) 8(6) + 5(0) =48
Ao comparar os pontos ,o ponto mínimo é A com valor de 25.
Para culminar a gráfica, vamos desenhar o F.o. em sua localização inicial:
8x1 + 5x2 = (8)(5)
Se : X1= 0 então X2=8, a coordenada é: ( 0,8)
Se X2=0 então X1= 5 , então a coordenada é: ( 5,0)
Agora o F.o. translada-se no ponto optimo:
8x1 + 5x2 = 25
Se X1=0 então: x2=5, a coordenada é: (0,5)
Se x2=0 então: x1= 3.125, a coordenada é: ( 3.125 , 0)
O gráfica final fica:
Graficando:
X2
8
7
6
5 A =(0,5)
4 REGION EXEQÜÍVEL
3 ( I )
( II )
2
( III )
1
B=(6,0)
0 1 2 3 4 5 6 7 X1
F.o. Localização Inicial
F.o. Localização Final
Como pode ser observado o F.o. teve que baixar em busca do ponto ótimo.
Rpta.
X1= 0 , X2= 5 , o valor do F.o. é 25
Exemplo 3:
Maximizar: 3x1 + 2x2
sujeito a:
2x1 + 4x2 <= 16
4x1 - 5x2 <= 20
6x1 - 3x1 <= 18
X1>=0, X2 >=0
Solução:
( I ) 2x1 + 4x2 = 16
Se: x1=0 então: x2= 4 , a coordenada é: ( 0 ,4 )
Se: x2=0 então: x1= 8 , a coordenada é: ( 8 , 0)
( II) 4x1 - 5x2 = 20
Se: x1=0 então: X2= -4 , a coordenada é: ( 0, -4)
Se: x2=0 então: X1= 5 , a coordenada é: ( 5, 0)
( III ) 6x1 - 3x2 = 18
Se: x1=0 então x2= -6 , a coordenada é: ( 0, -6)
Se: X2=0 então X1= 3 , a coordenada é: ( 3, 0 )
Como todas as restrições são <= , então todas se acercam à origem.
Graficando:
X2 ( III )
4 A ( I )
( II )
3
B
2 REGION
1 EXEQÜÍVEL
0 1 2 3 4 5 6 7 8 X1
D C
-1
-2
-3
-4
-5
-6
Agora vamos achar os pontos ótimos,
PONTOS OPTIMOS COORDENADAS F.o. MAX. 3X1 + 2X2
A ( 0, 4 ) 3(0) + 2(4) = 8
B *( 4, 2 ) 3(4) + 2(2) = 16
C ( 3, 0 ) 3(3) + 2(0) = 9
D ( 0, 0 ) 3(0) + 2(0) = 0
* Achando as coordenadas para B:
(I) 2x1 + 4x2 = 16 (-3)
 6x1 - 3x2 = 18
-15x2= - 30
x2= 2
Substituindo em (I): 2x1 + 4(2) = 16
2x1=8
x1=4
a coordenada é: ( 4 , 2 )
Ao comparar os resultados dos pontos no F.o. o maior valor: 16 , portanto o ponto ótimo é B.
Para culminar a gráfica, falta o F.o. então:
Posição Inicial:
3x1+ 2x2= (3)(2)
Se x1=0 , então x2=3 , portanto a coordenada é: ( 0,3)
Se x2=0, então x1=2 , portanto a coordenada é: ( 2,0)
Posição Final:
3x1+2x2= 16
Se x1=0, então x2=8, portanto a coordenada é: ( 0,8)
Se x2=0, então x1=16/3=5.333 , portanto a coordenada é: (5.333,0)
O gráfica final fica:
8
//
X2 ( III )
4 A ( I )
( II )
3
B
2 REGION
1 EXEQÜÍVEL
0 1 2 3 4 5 6 7 8 X1
D C
-1 POSICION
FINAL
-2 POSICION
INICIAL
-3
-4
-5
-6 Rpta. X1= 4 , X2=2 . F.o. = 16
Como te deste conta já usamos outro quadrante para a gráfica, isto acontece por que temos coeficientes negativos nas variáveis das restrições mas apesar disso a região exeqüível se encontra no primeiro quadrante por que as variáveis são maiores que zero:
( x1>=0, x2>=0).
EXEMPLO 4:
MINIMIZAR 5X1 - 6X2
SUJEITO A:
3X1 - 5X2 <= 15
4X1 + 3X2 = 12
2X1 + 6X2>= 12
x1>=0, x2>=0
Solução:
 3x1 - 5x2= 15
Se x1=0, então x2=-3, as coordenadas são: ( 0,-3)
Se x2=0, então x1= 5, as coordenadas são: ( 5,0)
 4x1 + 3x2 = 12
Se x1=0, então X2= 4 , as coordenadas são: ( 0,4)
Se x2=0 , então x1=3 , as coordenadas são: ( 3,0)
 2x1 + 6x2= 12
Se x1=0, então x2=2, as coordenadas são: (0,2)
se x2=0 , então x1=6, as coordenadas são: ( 6,0)
Orientação:
(I): acerca-se à origem
(II): fica só a linha graficada.
(III): afasta-se da origem
Graficando:
X2
5
REGION
4 EXEQÜÍVEL
A
3 (I)
2
B
1
0
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x1
-1
-2 (III)
-3 (II)
-4
Agora te dá conta que a Região Exeqüível é um segmento que vai desde o ponto A para o ponto B, isto acontece por que se tem uma restrição com orientação de igualdade (=), então recorda:
Uma restrição com orientação =, dá uma região exeqüível que é um segmento ou em extremo um ponto.
PONTOS COORDENADAS MNIMIZAR 5X1-6X2
A ( 0 , 4 ) 5(0) - 6(4) = -24
B *( 2, 1.333) 5(2) - 6(1.333) = 2
* Ponto B:
Como é a interseção de II e III:
As coordenadas acham-se por equações simultâneas:
(II) 4X1 + 3X2 = 12
(III) 2X1 + 6X2 = 12 (-2)
-9x2=-12
x2= 1.333
Substituindo em (II) :
4x1 + 3(1.333) = 12
x1 = 2
Ao comparar os resultados das coordenadas remplazadas no F.o. tem-se que em ponto mínimo é A com valor -24.
Agora falta graficar o F.o.
Posição Inicial:
5x1 - 6x2 = (5)(-6)
Se x1=0 então x2=5, as coordenadas são: ( 0, 5 )
Se x2=0 então x1= -6, as coordenadas são: (-6,0)
Posição Final:
5x1-6x2= -24
Se x1=0 então x2=4, as coordenadas são: (0,4)
Se x2=0 então x1=-24/5=-4.8 , as coordenadas são: ( -4.8,0)
A gráfica fica: Agora o F.o. encontra-se no segundo quadrante por que um de seus coeficientes é negativo , mas isso não afeta em nada o procedimento.
POSICION INICIAL
X2 POSICION FINAL
5
REGION
4 EXEQÜÍVEL
A
3 (I)
F.o. 2
B
1
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x1
-1
-2 (III)
-3 (II)
-4
EXEMPLO 5:
MINIMIZAR 6X1 - 5X2
SUJEITO A:
3x1 + 4x2 <= 15
-2x1 - 3x2 <= 6
x1 >=2
x1>=0, x2>=0
Solução:
 3x1 + 4x2 = 15
Se x1=0 então x2=15/4=3.75 , as coordenadas são: (0,3.75)
Se x2=0 então x1=5, as coordenadas são: (5,0)
 -2x1-3x2=6
Se x1=0 então x2= -2, as coordenadas são: (0,-2)
Se x2=0 então x1=-3, as coordenadas são: (-3,0)
 x1=2
a terceira restrição só se converte em uma linha.
Orientação:
 acerca-se à origem
 acerca-se à origem
 afasta-se da origem
Graficando:
X2
5
4
(III)
3
A
2
1 REGION
EXEQÜÍVEL
0 C B
-3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 X1
-1 (I)
-2
(II)
PONTOS COORDENADAS MIN. 6X1-5X2
A ( * 2 , 2.25 ) 6(2) - 5(2.25) =0.75
B ( 5 , 0 ) 6(5) - 5(0) = 30
C ( 2 , 0 ) 6(2) - 5(0) = 12
* Achando as coordenadas para B mediante equações simultâneas:
O ponto B é a interseção de I e III:
(I) 3x1 + 4x2 = 15
(III) x1 = 2
Substituindoem I: 3(2) + 4x2 = 15
x2= 2.25
As coordenadas de B são: ( 2, 2.25)
Ao comparar os resultados de substituir as coordenadas no F.o. vê-se que o menor valor é
 que corresponde no ponto A.
Agora graficando o F.o.
Posição inicial:
6x1 - 5x2 = (6)(-5)
Se x1=0 aclarando: x2=6 então as coordenadas são: (0,6)
se x2=0 aclarando: x1= -5 então as coordenadas são: (-5,0)
Posição final:
6x1 - 5x2 = 0.75
Se x1=0 aclarando: x2= -0.15 então as coordenadas são: (0,-0.15)
Se x2=0 aclarando: x1=0.125 então as coordenadas são: (0.125,0)
O gráfica final fica: POSICION INICIAL
X2 6
5
4
(III)
3 POSICION FINAL
A
2
1 REGION
EXEQÜÍVEL
0 C
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 X1
-1 (I)
-2
(II)
Rpta . X1=2 , X2= 2.25 , O valor do F.o. é 0.75
EXERCÍCIOS:
GRAFICAR :
1.- MAX IMIZAR : 3X1 + 4X2 2.- MAXIMIZAR : 4X1 - 5X2
SUJEITO A: SUJEITO A:
3X1 + 4X2 <=20 2X1 - 5X2 >= 30
4X1 - 6X2>=10 2X1 + 4X2 <= 40
X1 + X2>=4 X1 - X2 >=20
X1>=0, X2>=0 X1>=0, X2>=0
Rpta: x1=6.66 , x2= 0 , F.0. : Z = 20 Rpta. X1=20 , x2=0 , F.o. Z=80
3.-MINIMIZAR : 6X1 + 7X2 4. - MINIMIZAR : 5X1 + 3X2
SUJEITO A: SUJEITO A:
X1 + 5X2 >= 12 3X1 + 5X2 >= 4
2X1 + 6X2 <=24 4X1 - 4X2 <= 12
X1 + X2 >= 3 X1 >= 3
3X1 - 4X2 <=10 X2 <= 5
X1>=0, X2>=0 X1>=0, X2>=0
Rpta. X1= 0.75 , x2=2.25 . F.o. Z=20.25 Rpta. X1=3 , X2=0, F.o. Z=15
5.- MAXIMIZAR 8X1 + 9X2 6.- MAXIMIZAR 5X1 + 8X2
SUJEITO A: SUJEITO A:
2X1 + 6X2 >=12 -3X1 + 4X2 <= 12
X1 + 6X2 >= 20 2X1 - 6X2 <= 20
X1 + X2 <= 60 X1>=10
X1 >= 10 X2>= 3
X2 <= 5 2X1 + 5X2 <= 40
X1>=0, X2>=0 X1>=0, X2>=0
Rpta. X1=55, X2=5 , F.o. Z=485 Rpta. X1= 12.5 , X2=3 , F.o. Z=86.5
7.- MAXIMIZAR 10X1 - 6X2 8.- MINIMIZAR 4X1 - 3X2
SUJEITO A: SUJEITO A:
-3X1 +6X2 <= 40 -3X1 - 2X2<=12
4X2>=12 -5X1 - 6X2<=15
3X2 <=15 7X1 + 10X2 <=15
X1-X2<=30 X1>=2
-X1- X2<=40 X2<=5
X1>=0, X2>=0 X1>=0, X2>=0
Rpta. X1=35, X2=5 , F.o. Z=320 Rpta. X1=2 , X2=0.10 , F.o. Z=7.70
9.- MINIMIZAR -5X1 - 6X2 10.- MINIMIZAR -10X1 - X2
SUJEITO A: SUJEITO A:
X1 >=4 X1 - X2 >= 3
X2<=10 X1 + X2 <= 10
X1 - X2 >=5 X1>=2
2X1 - 5X2 <=10 X2<=5
X1 + X2 <=15 X1 + 3X2 <=12
X1>=0, X2>=0 X1>=0, X2>=0
Rpta. X1=10 , X2=5, F.o. Z= -80 Rpta. X1=10 , X2=0 , F.o. Z=-100
3.- GRAFICAS DE MODELOS COM LADOS DIREITOS NEGATIVOS:
CAPITULO II
GRAFICAS COM LADOS DIREITOS NEGATIVOS
Até agora só resolvemos problemas com lados direitos positivos, mas que fazemos se nos dão para graficar com lados direitos negativos, bom para isto temos que tomar em conta o seguinte:
a)Para restrições que contêm duas variáveis:
por exemplo: 4x1- 5x2<=-3 vamos multiplicar por -1 a restrição ficando -4x1+5x2>=3 e aplicaremos a regra dos lados direitos (quadro ) que neste caso como a restrição se passou a = >a orientação seria afastar da origem.
O mesmo para 5x1+5x2>=-4 , multiplicando por -1 tem-se: -5x1-5x2<=4 neste caso a gráfica se acercaria à origem.
 Para restrições que têm uma só variável:
Para restrições da forma: xi >= -b
Leva-se só a lógica para sua orientação, por exemplo se se tivesse:
X2>=-6, tem-se que graficar a partir de x2=-6 e como a orientação é >= é lógico que tem que abranger a valores como -5,-4,-3,-2,-1,0,1….etc, isto é dirige-se à origem.
Outro exemplo : x1 >=-3 , tem-se que graficar a partir de x1=-3 e como a orientação é >= é lógico que tem que abranger a valores como -2,-1,0,1,2 etc.
Para restrições da forma -Xi >= - b e -Xi <= -b
Multiplica-se por -1 e a partir disso se gráfica, exemplo: -x1>= -8 multiplicando por -1 tem-se
x1 <= 8 se gráfica acercando à origem.
Outro exemplo: -x1 <= -10 multiplicando por -1 tem-se x1>= 10 se gráfica afastando da origem.
EXEMPLO 6
MAXIMIZAR 9X1 + 8X2
SUJEITO A:
X1<= 5
X2>=-2
X1-X2 >= -3
X1>=0,X2>=0
Solução:
( I) x1= 5
 X2=-2
 x1-x2>=-3,multiplicando por -1:
-x1+x2<=3* , então a restrição fica assim -x1+x2=3 , lista para aclarar variáveis
Se x1=0 tem-se que x2=3, tendo as seguintes coordenadas: ( 0,3)
Se x2=0 tem-se que x1=-3, tendo as seguintes coordenadas: (-3,0 )
Orientação:
(I) : acerca-se à origem
(II) : se a respeito da origem C GRAFICA DA FUNÇÃO OBJETIVO:
 : *Como a restrição fica >= 9X1 +8X2 =(9)(8)
afasta-se da origem. Se x1=0 então x2= 9, as coordenadas são (0,9)
Se x2=0 então x1=8 , as coordenadas são: (8,0)
Graficando: Posição inicial: (0,9) , (8,0)
X2
4 F.o.
B
3 REGION (I)
2 EXEQÜÍVEL
(III)
1 D
-3 -2 -1 A 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 X1
-1
(II)
-2
Ponto C: Interseção de I e III, utilizando equações simultâneas
x1=5
-x1+x2=3
x2=8
Então o ponto C é: (5,8)
PONTOS COORDENADAS MAX . 9X1+ 8X2
A ( 0,0) 9(0) + 8(0)=0
B ( 0, 3 ) 9(0) +8(3)=24
C ( 5,8 ) 9(5) + 8(8)=109
D (5, 0) 9(5) + 8(0) =45
O ponto ótimo é o ponto C com valor de 109:
graficando a função Objetivo para que passe pelo ponto ótimo se tem:
9x1 + 8x2 = 109
Se x1=0 x2=13.625, as coordenadas são: (0,13.625)
Se x2=0 x1=12.11 , as coordenadas são: (12.11 , 0)
13
Posição Inicial: (8,0) , (0,9)
12 Posição Final: (0,13.625),(12.11,0)
11 Resposta: x1=5, x2=8 ,O valor do F.o. é 109
10
9
8
7
6
5
X2
4 F.o. POSICION FINAL
B
3 REGION
EXEQÜÍVEL
2 (I) POSICION INICIAL
(III)
1 D
-3 -2 -1 A 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 X1
-1
(II)
-2
Exemplo 7.
Maximizar 8x1 + 6x2
sujeito a:
x1 - x2 <= - 9
x1+3x2>=-10
-x1<=3
x2<=10
x1>=0,x2>=0
Solução:
 x1-x2<=-9,multiplicando por -1 fica: -x1+x2>=9,esta restrição vamos a graficar,
-x1 + x2 = 9
Se x1=0 x2= 9
Se x2=0 x1= -9
 x1+3x2>=-10, multiplicando por -1 fica: -x1-3x2<=10, esta restrição vamos a graficar,
-x1 - 3x2 = 10 X2
Se x1=0 x2= -10/3
Se: x2=0 x1= -10 (I)
10 A B
 -x1= 3 (IV)
então: x1= -3 9 C
(IV) x2 = 10
(III) 8
Gráfica da Função Objetivo:
Graficando: 7 8x1 + 6x2 =( 8)(6)
Se x1=0 então x2=8,então
6 as coordenadas são: (0,8)
Se x2=0 então x1=6,então
5 as coordenadas são : (6,0)
4
3
2
1
-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 X1
-1
-2
-3
-4 (II)
Achando ponto B:
(I) -x1 + x2 = 9
(IV) x2=10 ( -1)
-x1=-1, então: x1=1
PONTOS COORDENADAS MAX. 8X1+6X2
A ( 0 , 10 ) 8(0) + 6(10) = 60
B ( 1 , 10 ) 8(1) + 6(10) = 68
C ( 0, 9 ) 8(0) + 6( 9) = 54
Resposta: O ponto ótimo é B , com coordenadas: x1=1 , x2=10
Transladando a função Objetivo:
8x1 + 6x2 = 68
Se x1=0 então x2=11.333, então as coordenadas são: (0,11.333)
Se x2=0 então x1=8.5, então as coordenadas são: (8.5,0)
X2 11.333
(I)
10 A B
(IV)
9 C
(III) 8
:
7
6
5
4
3
POSICION POSICION
2 INICIAL FINAL
1
-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 X1
-1
-2
-3
-4 (II)
EXEMPLO 8:
MINIMIZAR 5X1-3X2
SUJEITO A:
X1>=-3 X2 POSICION INICIAL
X2>=-4 (III) POSICION INICIAL
-X1>=-6
-X1-X2 <=-4
X1-X2 >=-6 D
X1>=0,X2>=0
Solucíón: (V)
 x1=-3
 x2=-4
 -x1>=-6, multiplicando por -1, tem-se: C x1<=6., então x1=6.
 -x1-x2<=-4, multiplicando por -1, 6
Tem-se x1+x2>=4,então:
Se x1=0 x2=4 5
Se x2=0 x1=4 (I)
 Multiplicando por -1 4
-x1+x2<=6,então: B
-x1+x2=6 3
Se x1=0 x2=6
Se x2=0 x1=-6 2 (IV)
F.o 1
A E
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 x1
-1
Gráfica da função Objetivo -2
5X1-3X2= (5)(-3) - 3
Sim x1=0 então x2=5 ,
as coordenadas são : (0,5) -4
Se x2=0 então x1=-3 (II)
as coordenadas são : (-3,0)
Coordenadas do ponto D: Equações simultâneas entre (III) e (V)
x1-x2=-6
x1=6
então x2=12
PONTOS COORDENADAS MIN 5X1- 3X2
A ( 4,0) 5(4) - 3(0) =20
B ( 0, 3 ) 5(0) -3(3) = -9
C ( 0,6 ) 5(0) -3(6) =-18
D (6,12) 5(6) -3(12)=-6
E ( 6, 0) 5(6) - 3(0) = 30
O ponto C é o ponto ótimo por ter o valor mas pequeno.
Então transladando a função Objetivo no ponto optimo tem-se:
5x1 - 3x2 = -18
Se x1=0 então x2=6, a coordenada é: (0,6)
Se x2=0 então x1=-3.6, a coordenada é: (-3.6,0)
Rpta. X1=0, x2=6 o valor da função Objetivo é -18.
EXEMPLO 9:
MINIMIZAR - 3X1 - 6X2
SUJEITO A:
X1>=-4
-X2 <= -3
-X1-X2 <=-4
X1>=3
X1>=0, X2>=0,
Solução:
 x1 = -4 ,
 -x2<=-3, multiplicando por -1 tem-se x2>= 3 então x2=3
(III) -x1-x2<=-4, multiplicando por -1 tem-se x1+x2 >= 4 então x1+x2=4:
se x1=0 então x2=4, a coordenada é (0,4)
se x2=0 então x1=4, a coordenada é (4,0)
(IV) x1=3Orientação:
 Acerca-se à origem.
 Afasta-se da origem.
 Afasta-se da origem.
 Afasta-se da origem.
Gráfica da posição inicial do F.o. -3x1-6x2= (-3)(-6)
Sim x1=0 então x2=-3, a coordenada é (0,-3)
Sim x2=0 então x1=-6, a coordenada é (-6,0)
Graficando tem-se:
x2
4 (IV) REGION EXEQÜÍVEL
A (II)
3
2 POSICION
(I) FINAL
1 (III)
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x1
-1
-2
POSICION
INICIAL -3 F.o.
-4
O único ponto é o ponto A, portanto as coordenadas do ponto ótimo é:
x1=3 , x2=3 e o valor da Função Objetivo é: -3(3) - 6(3)= -27
A posição final da Função Objetivo é:
-3x1-6x2= - 27
se x1=0 então x2=4.5
se x2=0 então x1= 9
EXEMPLO 10:
MAXIMIZAR -4X1 + 7X2
SUJEITO A:
6X1 + 7X2 <= 10
X1>=-3
- X2 <= -0.5
5X1 - 7X2 >=18
X1>=0, X2>=0,
Solução:
 6x1 + 7x2 = 10
Se x1=0 então x2 = 1.428 , a coordenada é (0, 1.428)
Se x2=0 então x1= 1.667 , a coordenada é ( 1.667 , 0)
 x1= -3
 -x2 <= -0.5 multiplicando por -1 tem-se x2 >= 0.5 então x2=0.5
 5x1 - 7x2 = 18
Se x1=0 então x2=2.5714, a coordenada é ( 0, 2.5714)
Se x2=0 então x1=3.6 , a coordenada é (3.6 , 0 )
Gráfica da Função Objetivo
Posição Inicial:
-4x1 + 7x2 = (-4)(7)
Se x1=0 então x2= -4, a coordenada é (0,-4)
Se x2=0 então x1= 7 , a coordenada é (7,0)
Orientação:
 Acerca-se à origem.
 Acerca-se à origem. X2 (II)
 Afasta-se da origem.
 Afasta-se da origem. (IV)
2
(I)
1 B (III)
0.5 C
A
-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 x1
-1
Ponto C: Interseção de I e III:
6X1 +7X2 =10 -2
X2=0.5
-3
X1= 1.08333
Então a coordenada é: -4 POSICION INICIAL DO F.o.
(1.08333,0.5)
PONTOS COORDENADAS MAX. -4X1+7X2
A ( 0 , 0.5 ) -4(0) + 7(0.5)=3.5
B ( 0 , 1 ) -4(0) + 7(1) = 7
C (1.08333, 0.5 ) -4(1.08333)+7(0.5)=-0.833
O ponto optimo é o ponto B então o valor do F.o. é 7
Localização final da Função Objetivo:
-4x1 + 7x2 = 7
Se x1=0 aclarando x2= 1 , então as coordenadas são ( 0, 1 )
Se x2=0 aclarando x1= -1.75, então as coordenadas são ( -1.75,0)
O gráfica final fica:
X2 (II) POSICION FINAL DO F.o.
 . (IV)
2
(I)
1 B (III)
0.5 C
A
-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 x1
-1
-2
-3
-4 POSICION INICIAL DO F.o.
-5
Resposta: x1=0, x2=1 o valor da função objetivos é 7.
Grafique os seguintes exemplos:
1.- MAXIMIZAR : 9X1 - 10X2 2.- MINIMIZAR 4X1 + 12X2
SUJEITO A: SUJEITO A:
-3X1 + 6X2 <=-10 - 4X1 -7X2 <= -40
-3X1 - 7X2 >= -12 X1<=3
X2 <=13 X2<=5
X1 >= 2 -X1 - X2 >= -20
X1>=0 , X2>=0 X1>=1
Rpta. X1=4 , X2=0 , Z=36 x1>=0 , x2>=0
Rpta. X1=3 , X2=4 , Z=60
3.- MAXIMIZAR 7X1 + 6X2 4.- MINIMIZAR 5X1 + 9X2
SUJEITO A: SUJEITO A:
-6X1 - 6X2 >= -45 - 9X1 - 6X2 <= -12
-4X1 - 6X2 <= - 3 5X1 - 4X2 <= 3
-X1 + X2 <= - 5 -X1 <= - 4
X2 <= 3 -X2 >= -10
X1>=0, X2>=0 X1 - X2 <= 12
Rpta. X1=7.5 , X2=0 , Z= 52.5 X1 >=0, X2>=0
Rpta. X1=4 , X2=4.25 , Z=58.25
5.- MAXIMIZAR 6X1 + 8X2 6.- MINIMIZAR X1 + X2
SUJEITO A: SUJEITO A:
-5X1 -7X2 <= -35 X1 + X2 >= 1
4X1 - 6X2 <= 45 - X1 + X2 >= -12
X1 + 5X2 <= 23 -2X1 + 3X2 >=-15
X1 - X2 >= 3 3X1 + 5X2 >=12
X1>=0, X2>=0 X1>=0, X2>=0
Rpta. X1=13.961538 , X2=1.807692 Rpta. X1=0 , X2=2.4 , Z=2.4
Z=98.23077
7.- MAXIMIZAR 60X1 + 70X2 8.- MINIMIZAR 6X1 - 8X2
SUJEITO A: SUJEITO A:
5X1 + 7X2 <= 300 4X1 - 8X2 <= 34
3X1 - 6X2 >= 2 -2X1 + 5X2 <= - 4
X1 <= 50 -2X1 - 5X2 >=- 46
3X1 - 5X2 >=15 X1 >= 2
X2>=15 X2 <=10
X1>=0 , X2>=0 X1>=0 , X2>=0
Rpta. X!=39 , X2=15 , Z=3390 Rpta. X1=2 , X2=0 , Z=12
9.- MAXIMIZAR X1 + X2 10.- MINIMIZAR X1-X2
SUJEITO A: SUJEITO A:
3X1 + 7X2 >= 3 - 4X1 + 5X2 <= -2
-4X1 -7X2 >= -15 - 4X1 - 7X2 >= -19
-3X1 - 7X2<= -2 X1>=3
4X1 + 6X2 <= 15 2X1 + 5X2 <= 20
-3X1 + 6X2 >= -12 X2 <= 3
X2>=2 - X1 - 5X2 >= -20
X1>=0 , X2>=0 X1>=0 , X2>=0
Rpta. X1=0.25 ,X2=2, Z=2.25 Rpta. X1=3 , X2=1, Z=2
CAPITULO III
GRAFICAS COM LADOS DIREITOS COM VALOR DE ZERO
.- GRAFICAS COM LADOS DIREITOS COM VALOR DE ZERO
A variedade de gráficas muitas vezes leva-nos a toparnos com restrições que após realizar o modelo de programação linear onde os lados direitos devem ser considerado como valores numéricos nos enfrentamos a modelos como por exemplo:
x1- x2 <=0, x1 +x2 >=0 , x1 + 3x2 = 0
Estas restrições aparecem na maioria dos casos quando se têm problemas de mistura, por exemplo
se desejamos no mínimo que x1 seja o 60% da mistura total a restrição ficaria:
x1
>= 0.60
x1 +x2
Realizando as operações: x1 >= 0.60(x1 + x2)
então: x1 -0.60x1-0.60x2>=0
a restrição fica: 0.40x1 - 0.60x2 >=0
Este tipo de restrições tem outra maneira de graficar e portanto de orientação.
Para restrições da forma : ax1 + bx2 >=0
Exemplo:
4x1 + 8x2 >=0
Igualando:
4x1+ 8x2=0
4x1= -8x2
aclarando:
x1= -2x2
Tabulando:
-2 x2 x1 Coordenadas
(x1,x2)
Se -2(0) 0 ( 0, 0)
Se -2(1) -2 (-2,1)
Se -2(2) -4 (-4,2)
x2
A gráfica fica: 2
1
-4 -3 -2 -1 0 x1
Orientação:
4x1 + 8x2 >=0
Toma-se um ponto exterior à linha traçada ( isto é que não pertence a ela) por exemplo: (0,2) , substituindo na restrição: 4(0) + 8(2)>=0
então: 16 >=0 se, a reta é orientada no ponto (0,2)
O gráfica final fica:
REGION
EXEQÜÍVEL x2
: 2
1
-4 -3 -2 -1 0 x1
Para restrições da forma -3x1 + 9x2>=0
Igualando: -3x1 + 9x2=0
-3x1= -9x2
aclarando: x1= 3x2
Tabulando:
3x2 x1 Coordenadas
(x1,x2)
Se 3(0) 0 (0,0)
Se 3(1) 3 (3,1)
Se 3(2) 6 (6,2)
x2
A gráfica fica:
2
1
0 1 2 3 4 5 6 7 x1
Orientação: Tomando o ponto (1,0) como ponto de orientação:
- 3x1 + 9x2 >=0
Substituindo: -3(1) + 9(0) >=0
-3 >=0 ,não então a reta se orienta para o lado oposto deste ponto.
Gráfica final:
x2
REGION EXEQÜÍVEL
2
1
0 1 2 3 4 5 6 7 x1
Para restrições da forma 6x1 - 4x2 <= 0
Igualando: 6x1 - 4x2 = 0
aclarando: x2
6x1 =4x2 Gráfica Inicial:
x1= (4/6)x2 12
11
Tabulando: 10
9
(4/6) x2 x1 Coordenadas 8
(x1,x2) 7
6
Se (4/6)0 0 ( 0, 0) 5
Se (4/6)6 4 (4, 6) 4
Se (4/6)12 8 (8,12) 3
2
1
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 x1
Utilizando um ponto de orientação por exemplo (0,5), substituindo este ponto na restrição
6x1 - 4x2 <= 0
6(0) - 4 (5) <= 0
-20 <=0 se , como cumpre a restrição se orienta para este ponto.
Gráfica Final:
x2
12
11
: 10 REGION
9 EXEQÜÍVEL
8
7
6
5
4
3
2
1
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 x1
Então agora que já temos a noção de como graficar as restrições cujos lados direitos têm valor de zero, vamos resolver os seguintes exemplos:
Exemplo 11
Max 8x1 + 4x2
sujeito a:
x1 <= 4
-x1 + x2 >=0
2x1 + 5x2 <= 10
x1 >=0 , x2>=0
Solução:
(I) x1= 4
 -x1 + x2 =0
Aclarando: x2=x1
Tabulando:
x1 x2 Coordenadas
(x1,x2)
0 0 ( 0,0)
1 1 (1,1)
2 2 (2,2)
Utilizando no ponto (0,2) como ponto de orientação se substitui na restrição:
-1(0) + 1(2) >=0
então 2 >=0 se cumpre, então a restrição deve ser orientado a este ponto.
 2x1 + 5x2 = 10
Se x1=0 aclarando x2= 2, então as coordenadas são (0,2)
Se x2=0 aclarando x1=5 , então as coordenadas são (5,0)
Orientação:
 Acerca-se à origem.
 Acerca-se no ponto (0,2).
 Acerca-se à origem.
Localização Inicial do F.o.
8x1 + 4x2 = (8)(4)
Se x1=0 então x2=8, as coordenadas são (0,8)
Se x2=0 então x1= 4, as coordenadas são (4,0)
Gráfica Inicial:
x2
8
7
6
5
4
3 (II) (I)
2
B
1 C
A
0 1 2 3 4 5 x1
(III)
POSICION
INICIAL DO F.o
Achando o ponto C que é a interseção de II e III:
 -x1+x2=0 (2)
 2x1+5x2=10
7x2= 10
aclarando: x2= 10/7 , substituindo este valor em (II)
-x1+ 10/7 =0
aclarando: x1=10/7
Então:
PONTOS COORDENADAS MAX. 8X1+ 4X2
A ( 0 , 0 ) 8(0) + 4(0) = 0
B ( 0 , 2 ) 8(0) + 4(2) =8
C (10/7 ,10/7 ) 8(10/7)+4(10/7)=17.1428
Ponto ótimo: é o ponto C , transladando a função objetivo para que passe por esse ponto:
8x1 + 4x2 = 17.1428
Se x1=0 aclarando x2=4.2857, então a coordenada é (0,4.2857)
Se x2=0 aclarando x1= 2.14285, então a coordenada é ( 2.14285 , 0)
O Gráfica final fica:
Gráfica Final:
x2
8
7
6
5
4
3 (II) (I)
2
B
1 C
A
0 1 2 3 4 5 x1
(III)
POSICION
INICIAL DO F.o
POSICION
FINAL DO F.o.
Resposta: x1= 10/7 , x2= 10/7 , o valor do F.o. é : 17.1428
EXEMPLO 12:
Minimizar 6x1 - 5x2
sujeito a:
- 4x1 - 5x2 <= - 20
2x1 -3 x2 >=0
x1 <= 6
x1>=0 , x2>=0
Solução:
 -4x1 - 5x2 <=-20 , multiplicando por -1 tem-se 4x1+5x2>=20, então:
4x1 + 5x2 = 20
Se x1=0 aclarando x2=4 , então a coordenada é: (0,4)
Se x2=0 aclarando x1=5, então a coordenada é: (5,0)
 2x1 - 3x2 =0
aclarando : 2x1=3x2
então: x1= 1.5x2
Tabulando:
1.5 x2 x1 Coordenada
Se 1.5( 0) 0 (0,0)
Se 1.5( 1) 1.5 (1.5,1)
Se 1.5(2) 3 (3,2)
(III) x1= 6
Orientação:
Utilizando o ponto (0,5) como ponto de orientação se tem:
2x1 - 3x2 >=0
2(0) - 3(5) >=0
-15 >=0 não , então a restrição de se orientar ao lado oposto de (0,5)
Orientação:
 afasta-se da origem.
 Afasta-se do ponto (0,5)
 Acerca-se à origem.
Localização inicial do F.o:
6x1 - 5x2 = ( 6)(-5)
Se x1=0 aclarando x2= 6, então a coordenada é: (0,6)
Se x2=0 aclarando x1= -5, então a coordenada é: (-5,0)
Gráfica Inicial: x2
6
5
(I) (III)
4
B
POSICION INICIAL 3 (II)
DO F.o.
2 REGION
A EXEQÜÍVEL
1
D C
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 x1
Achando ponto A:
Interseção de I e II: 4x1 + 5x2=20
2x1 - 3x2=0 (-2)
11x2= 20
x2= 1.8181, substituindo em (I) 4x1 + 5(1.8181)=20
tem-se x1=2.7272 , então a coordenada é: (2.7272 , 1.8181)
Achando ponto B:
Interseção de II e III: 2x1 - 3x2=0
x1=6
2(6) - 3x2 =0
aclarando: x2=4 , então a coordenada é: (6, 4)
Ponto C: (6,0)
Ponto D: (5,0)
PONTOS COORDENADAS MIN 6X1 - 5X2
A (1.8181 , 2.7272) 6(2.7272) - 5(1.8181)= 7.2727
B ( 6, 4 ) 6(6) - 5(4) = 16
C (6.0) 6(6) - 5(0) = 36
D (5,0) 6(5) - 5(0) = 30
Ponto optimo: A
Posição Final do F.o.
6x1 - 5x2 = 7.2727
Se x1=0 aclarando x2= -1.45454 , então a coordenada é: (0, -1.45454)
Se x2=0 aclarando x1=1.2121 , então ;a coordenada é: ( 1.2121, 0)
Gráfica Final:
x2
6
5 POSICION FINAL
(I) (III) DO F.o.
4
B
POSICION INICIAL 3 (II)
DO F.o.
2 REGION
A EXEQÜÍVEL
1
D C
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 x1
-1
Resposta: X1= 1.8181 , x2= 2.7272 o valor do F.o. é: 7.2727
Exemplo 13:
Maximizar 7x1 - 8x2
sujeito a:
x1 - 2x2 >=0
x1 - 3x2 <=0
2x1 + 4x2 <= 10
X1>=0 , X2>=0
Solução:
 x1 - 2x2=0
aclarando: x1= 2x2
Tabulando:
2 x2 x1 Coordenadas
Se 2(0) 0 (0,0)
Se 2(1) 2 (2,1)
Se 2(2) 4 (4,2)
Se tomamos a (0,5) como ponto de referência se tem:
1(0) - 2(5) >=0
então: -10 >=0 , não cumpre , então a restrição não se orienta para o ponto (0,5).
(II) x1 - 3x2 =0
aclarando: x1= 3x2
Tabulando:
3x2 x1 Coordenadas
Se 3(0) 0 (0,0)
Se 3(1) 3 (3,1)
Se 3(2) 6 (6,2)
Tomando o ponto (0,2) como ponto de referência se tem:
 - 3(2) <=0
então: -6 <=0, se cumpre , então a restrição se a respeito do ponto (0,2).
(III)
2x1 + 4x2 = 10
Se x1=0 aclarando x2=2.5 ,então a coordenada é: (0,2.5)
Se x2=0 aclarando x1=5 ,então a coordenada é: (5,0)
Orientação:
 Afasta-se do ponto (0,5)
 Acerca-se no ponto ( 0,2)
(III) Acerca-se à origem.
Localização Inicial da Função Objetivo:
7x1 - 8x2 =(7)(-8)
Se x1=0 aclarando x2=7 , então a coordenada é: (0,7)
Se x2=0 aclarando x1=-8, então a coordenada é: (-8,0)
Gráfica Inicial:
X2
7
POSICION 6
INICIAL DA
F.o. 5
4 (I)
(III)
3
2 (II)
B
1 C
-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 X1
A
Pontos Extremos:
A: (0,0)
B: Interseção de I e III achando as coordenadas deste ponto por equações simultâneas:
x1 - 2x2=0 (-2)
2x1 +4x2=10
8x2=10
aclarando: x2=1.25
Substituindo em (I): x1 - 2(1.25)=0
x1=2.50, então a coordenada é (2.50 ,1.25)
C: Interseção de II e III, achando as coordenadas deste ponto por equações simultâneas:
x1 - 3x2=0 (-2)
2x1 + 4x2=10
10x2= 10
então: x2=1, substituindo em II :
x1 - 3(1)=0
então: x1=3, portanto a coordenada é (3,1)
PONTOS COORDENADAS MAXIMIZAR 7X1 - 8X2
A (0,0) 7(0) - 8(0) =0
B (2.50 , 1.25) 7(2.50) - 8(1.25)= 7.5
C (3,1) 7(3) - 8(1) =13
O ponto ótimo é C, pelo que transladando o F.o. para esse ponto tem-se:
7x1 - 8x2=13
Se x1=0 , aclarando: x2=-1.625 , então a coordenada é : (0, -1.625)
Se x2=0 , aclarando : x1=1.857 , então a coordenada é: (1.857 , 0)
O gráfica Final é:
X2
7
POSICION 6
INICIAL DA
F.o. 5 POSICION FINAL DO F.o.
4 (I)
(III)
3
2 (II)
B
1 C
-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 X1
A
-1
Rpta. X1=3 , X2=1, Valor de F.o. Z=13
Exemplo 14:
Maximizar 3x1 + 2x2
sujeito a:
-2x1 + x2>=0
-3x1 + 6x2 >=-10
x1 >=-5
-4x1+7x2<=28
x1>=0 , X2>=0
Solução:
 -2x1 + x2 = 0
Aclarando: x2=2x1
Tabulando:
2x1 x2 Coordenadas
Se 2(0) 0 (0,0)
Se 2(1) 2 (1,2)
Se 2(2) 4 (2,4)
Utilizando o ponto (0,5) como ponto de referência e substituindo na restrição:
-2(0) + 5 >=0
então: 5>=0 se cumpre, portanto a restrição orienta-se para o ponto (0,5)
 -3x1 + 6x2 >=-10 , multiplicando por -1 tem-se: 3x1 - 6x2<= 10 , então:
3x1 - 6x2=10
Se x1=0 aclarando x2= -1.667 , então as coordenadas são: (0, -1.667)
Se x2=0 aclarando x1= 3.333 , então as coordenadas são: ( 3.333 , 0)
 x1 >=-5 , multiplicando por -1 tem-se -x1 <= 5, então:
5,4,3,2,1,0….estão compreendidos nesta restrição.
 -4x1+7x2=28 ,
Se x1=0 aclarando x2=4, então as coordenadas são: (0,4)
Se x2=0 aclarando x1= -7 , então as coordenadas são: ( -7,0)
Orientação:
 orienta-se para (0,5)
 Acerca-se à origem.
 Acerca-se aos pontos 5,4,3,2,1,0…
 Acerca-se à origem.
Posição Inicial da Função Objetivo:
3x1 + 2x2= (3)(2)
Se x1=0 aclarando x2=3 , as coordenadas são: (0,3)
Se x2=0 aclarando x1= 2 , as coordenadas são: (2,0)
Gráfica Inicial: (III)
X2
A
POSICION INICIAL
DO F.o. 5
(IV)
4 ( I )
B REGION
3 EXEQÜÍVEL
2
1 (II)
C
-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 X1
-1
-2
Pontos Extremos:
A é a interseção de (I ) e ( IV), aclarando por equações simultâneas:
 -2X1 + X2=0 (-7)
(IV) -4X1 + 7X2 =28
10x1 = 28
aclarando: x1=2.8, substituindo em (I):
-2(2.8) + x2=0
então: x2= 5.6 , a coordenada é: ( 2.8 , 5.6)
B : (0,4)
C : (0,0)
PONTOS COORDENADAS MAXIMIZAR 3X1 + 2X2
A (2.8,5.6) 3(2.8) + 2(5.6) =19.6
B (0 , 4) 3(0) +2(4)= 8
C (0,0) 3(0) + 2(0) =0
O ponto ótimo é A , então transladando a Função Objetivo a este ponto tem-se:
3x1 + 2x2 = 19.6
Se x1=0 aclarando x2=9.8 , então as coordenadas são: ( 0, 9.8)
Se x2=0 aclarando x1=6.533 , então as coordenadas são: (6.5333, 0)
X2
10
O gráfica final é: 9
8
7 (III)
6 A
POSICION INICIAL
DO F.o. 5
(IV)
4 ( I )
B REGION
3 EXEQÜÍVEL
2
POSICION FINAL
DO F.o.
1 (II)
C
-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 X1
-1
-2
Rpta. X1=2.8 , X2=5.6 , o valor do F.o. é Z=19.6
Exemplo 15.-
Minimizar 6x1 - 5x2
sujeito a:
x1 <= 4
5x1 - 4x2=0
x2<=5
2x1 + 3x2 >=6
x1>=0 , x2>=0
Solução:
 x1=4 , valores como 4,3,2,1,0 cumprem a restrição.
 5x1 - 4x2 = 0
aclarando: 5x1=4x2
então: x1= 4x2/5 , depois : x1= 0.8x2
0.8x2 x1 Coordenadas
Se 0.8(0) 0 (0,0)
Se 0.8(1) 0.8 (0.8,1)
Se 0.8(5) 4 (4,5)
Como a restrição tem orientação de igualdade então na gráfica só se considera a linha traçada.
 x2=5 , valores como 5,4,3,2,1,0 cumprem a restrição.
 2x1 + 3x2=6
Se x1=0 aclarando x2= 2 , então as coordenadas são: (0,2)
Se x2=0 aclarando x1=3, então as coordenadas são: (3,0)
Orientação:
 Valores como 4,3,2,1,0 cumprem a restrição.
 A linha traçada.
 Valores como 5,4,3,2,1,0 cumprem a restrição.
 Afasta-se da origem.
Posição Inicial da Função Objetivo:
6x1 - 5x2 = (6)(-5)
Se x1=0 aclarando x2=6, então as coordenadas são: (0,6)
Se x2=0 aclarando x1= -5, então as coordenadas são: (-5,0)
Gráfica Inicial:
6
POSICION INICIAL DO B
F.o. 5
(III)
4
(II)
3
(IV) (I)
2
A
1
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7
Por ter a (II) como direção uma igualdade (=) , então a região exeqüível é um segmento.
Ponto A : Interseção de (II) e (IV)
Achando as coordenadas por equações simultâneas:
5x1 - 4x2=0 (3)
2x1 + 3x2=6 (4)
23 x1 = 24
x1 =1.043
Substituindo em (II):
5(1.043) - 4x2=0
 - 4x2=0
5.215= 4x2
então: x2=1.30375
as coordenadas são: (1.043 , 1.30375)
Ponto B: (4,5)
PONTOS CORDENADAS MINIMIZAR0 6X1 - 5X2
A (1.043 , 1.30375) 6(1.043) - 5(1.30375) = -0.26075
B (4,5) 6(4) - 5(5) = -1
Então o ponto optimo é: B com valor -1, transladando a função Objetivo para que passe pelo ponto optimo se tem:
6x1 - 5x2 = -1
se x1=0 aclarando x2=-0.20 , então as coordenadas são: ( 0,-0.20)Se x2=0 aclarando x1=-0.1666 , então as coordenadas são : (-0.1666,0)
Gráfica Final:
POSICION FINAL
6 DO F.o.
POSICION INICIAL DO B
F.o. 5
(III)
4
(II)
3
(IV) (I)
2
A
1
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7
Rpta. X1=4 , X2=5 , o valor do F.o. é Z= -1
EXERCÍCIOS:
1.- MAXIMIZAR X1 + 6X2 2.- MINIMIZAR 4X1 + 5X2
SUJEITO A: SUJEITO A:
3X1 - 4X2<=0 2X1 + 6X2 >=3
3X1 + X2 >=1 3X1 - 4X2<=0
-X2 >= -12 4X1 + 6X2 >=0
X1>=1 X2<=15
X1<=20
X1>=0 ,X2>=0 X1>=0 , X2>=0
Rpta. X1=16 , X2=12 , F.o. Z=88 Rpta. X1=0 , X2=0.50 , F.o. Z=2.50
3.- MAXIMIZAR 3X1 + 6X2 4.- MAXIMIZAR 6X1 + 8X2
SUJEITO A: SUJEITO A:
X2 <= 12 5X1 - 6X2 <=0
X1<=5 -X1 - 6X2 <= -2
X1 - 4X2 =0 X2 <= 15
X1 <= 20
X1>=0 ,X2>=0 X1>=0 , X2>=0
Rpta. X1=5 , X2=1.25 , F.o. Z=22.5 Rpta. X1=18 , X2=15 , F.o. Z=228
5.- MINIMIZAR 6X1 + 9X2 6.- MINIMIZAR 5X1 + 6X2
SUJEITO A: SUJEITO A:
5X1 + 6X2 <= 120 3X1 + 6X2 >= 12
4X1 - 6X2 >=0 4X1 - 6X2 <=0
-X1 >= -10 X2>= 12
X2 >= 1 X1 + 4X2 >= 1
X1>=0 ,X2>=0 X1>=0 , X2>=0
Rpta. X1=1.50 , X2=1 . F.o. Z=18 Rpta. X1=0 , X2=12, F.o. Z=72
7.- MAXIMIZAR 10X1 + 12X2 8.- MINIMIZAR 7X1 - 7X2
SUJEITO A: SUJEITO A:
6X1 + 7X2 >= 10 4X1 - 5X2 >=0
5X1 - 5X2 <=0 X1 -3X2 <=0
X1>=1 X1>=2
X2 <= 12 X2 <=10
2X1 + 4X2 >=0
X1>=0 ,X2>=0 X1>=0 , X2>=0
Rpta. X1=12 ,X2=12 ,F.o. Z=264 Rpta. X1=2, X2=1.6 . F.o. Z=2.8
9.- MAXIMIZAR 5X1 + 6X2 10.- MINIMIZAR X1 - X2
SUJEITO A: SUJEITO A:
5X1 - 6X2 >=0 -2X1 - 5X2 <= -2
-X1 >= -19 3X1 - 4X2 >= -12
-2X1-7X2 >= -10 3X1 - 4X2 <=0
X2 >= 1 X2 <= 10
X1>=0 ,X2>=0 X1>=0 , X2>=0
Rpta. X1=5.5. , X2=1 , F.o. Z=33.5 Rpta. X1=0 , X2=10 , F.o. Z= -10
32
GRAFICAS
32
í