Lajes Armadas em Duas Direções

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DIMENSIONAMENTO DE LAJES ARMADAS 
EM DUAS DIRECÇÕES 
 
 
EXEMPLO DE APLICAÇÃO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Carlos Moutinho 
 
FEUP, Maio de 2002 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1. Dados Gerais 
 
- Laje destinada a zona comercial (Q = 4 kN/m2) 
- Peso de revestimentos e paredes divisórias: 3 kN/m2 
- Materiais: C20/25; A400 
 
2. Geometria 
0.30 0.30 0.306.70 4.70
0.30
0.30
0.30
4.70
4.70
P1VIGA 1
L1
L2
L3
L4
P2 P1
P1
P1 P1
VIGA 2
VIGA 1
VI
G
A 
3
VI
G
A 
4
PA
R
ED
E 
1
1-2y
1-2y 3-4y
3-4y
1-3x 1-3x
2-4x 2-4x
Planta estrutural 
 
3. Pré-dimensionamento da laje 
 
Critério utilizado: Verificação do estado limite de deformação sem cálculo directo 
λ≤
d
l
; slT KKK σλλ ×××= 0 
λ = 32 × 1 × 1 × 1.25 = 40 → =≥
40
5d 0.125 m 
com 
0λ = 32 (caso 2 do quadro 4.14 do EC2 para todas as lajes) 
TK =1 (laje maciça) 
LK =1 (vão < 7m) 
cals
effs
yk
s A
A
f
K
,
,400
⋅=σ =1×1.25=1.25(ter em conta o factor αdef = 1.25 na atribuição de armaduras) 
 
Dimensões adoptadas para todas as lajes: 
h = 0.17 m ; d = 0.14 m 
Dimensionamento de lajes armadas em duas direcções – exemplo de aplicação 2 
4. Acções 
 
Acções permane tes: 
 
 Peso próprio (0.17 × 25) 4.25 kN/m2 
 Rev. + P. divisórias 3.00 kN/m2 
 
 G = 7.25 kN/mk 2 
Acções variáveis: 
 
 Sobrecarga Q = 4 kN/mk
2 
 
dS = 1.35 + 1.5 = 1.35 × 7.25 + 1.5 × 4 = 15.79 kN/mkG kQ
2 
 
5. Cálculo dos momentos flectores máximos 
 
5.1 Cálculo dos momentos iniciais 
 
Utilização do método do Regulamento Britânico (Norma BS8110) cujos coeficientes sxβ e syβ já 
incluem a influência da alternância de sobrecargas e da redistribuição de esforços (ver tabelas em 
anexo). 
 
 
Lajes L1 e L2: 
 
 
 
 
3M4M 4M
1M
2M
 
yl 
 
Lajes L3 e L4: 
 
 
 
7M8M
 
 
5M 
 xl
6M
yl
 
Dimensionamento de lajes armadas em duas direcçõ
Painel tipo 3 
xl = 5.00 m; l = 7.00 m y
n
 
x
y
l
l
= 1.4 
=1M 0.047 × 15.79 × 5
2 = 18.55 kN×m/m 
=2M 0.063 × 15.79 × 5
2 = 24.87 kN×m/m 
=3M 0.028 × 15.79 × 52 = 11.05 kN×m/m 
=4M 0.037 × 15.79 × 5
2 = 14.60 kN×m/m 
xl
 
 
Painel tipo 4 
xl = = 5.00 m yl
x
y
l
l
= 1.0 
== 75 MM 0.035 × 15.79 × 52 =13.82 kN×m/m 
== 86 MM 0.047 × 15.79 × 52 =18.55 kN×m/m 
 
 
es – exemplo de aplicação 3 
5.2 Equilíbrio de momentos flectores sobre os apoios de painéis adjacentes 
 
Regras para o equilíbrio de momentos: 
 
a) Tratar os valores obtidos pela utilização das tabelas como momentos iniciais e equilibrar os 
momentos negativos sobre os apoios de acordo com a rigidez relativa dos vãos adjacentes; 
b) Em cada tramo, a soma dos módulos dos momentos negativos e positivo mantém-se constante 
antes e após o equilíbrio; 
c) Caso o momento positivo diminua, devido à aplicação da regra enunciada na alínea anterior, é 
conveniente manter o valor inicial. 
 
Neste exemplo é necessário equilibrar os momentos flectores negativos sobre os apoios dos 
painéis 1 e 3 (direcção 1-3x) e dos painéis 2 e 4 (direcção 2-4x). 
 
Direcção 1-3x = 2-4x: 
 
 
CdM
AM CeM
BM
DM
 
 
Momentos negativos: 
 
Momento a distribuir: = |14.60 – 18.55| = 3.95 kN× /m || CdCe MMM −=∆
 
7
44 EI
l
EIk
e
e == ; 5
33 EI
l
EI
d
d ==k 
 
M
kk
k
MM
kk
k
MM
de
d
Cd
de
e
CefinalC ∆×−=∆×+
+=, 
 
M
 
 
Mo
 
1º
 
2º
 
 
 
 
 
 
Dim
finalC , = 14.60 + 0.488 × 3.95 = 18.55 – 0.512 × 3. 5 = 16.53 kN×m/m 
mentos positivos: 
 tramo: manter o inicial → = 11.05BfinalB MM =,
 tramo: ⇔ finalDfinalCDCd MMMM ,, +=+ DM ,
 finalDM 13.82 + (18.55 –=,
ensionamento de lajes armadas em duas direcções – exemplo de a
9
 kN×m/m 
( CdDfinal MM +=
 16.53) = 15.84 kN
plicação 
m
+
)finalCM ,− 
×m/m 
 4 
5.3 Diagramas finais de momentos flectores 
 
Direcção 1-3x = 2-4x: 
 
 
 
 
14.60 16.53 
 
 
 11.05 
 
 
15.84 
 
Direcção 1-2y : 
 
24.87 
18.55 18.55
 
Direcção 3-4y : 
 
 
 
18.55 
13.82 13.82
 
Dimensionamento de lajes armadas em duas direcções – exemplo de aplicação 5 
6. Cálculo das armaduras principais 
 
Armadura mínima: 
 
min,sA = 0.0015 = 0.0015 × 100 × 14 = 2.10 cmdbw ×× 2/m 
 
Armadura para momentos flectores máximos: 
 
 
Direcção Msd 
(kN×m/m) 
As 
(cm2/m) 
As,cal = As 
× αdef (*) 
(cm2/m) 
Armadura 
Adoptada 
As,eff 
(cm2/m) 
14.60 3.14 3.93 φ8//0.10 5.03 
11.05 2.36 2.95 φ8//0.20+φ6//0.20 3.92 
16.53 3.57 4.46 φ8//0.10 5.03 
 
1-3x 
 2-4x 
15.84 3.41 4.26 φ8//0.10 5.03 
24.87 5.47 6.84 φ10//0.10 7.85 1-2y 
18.55 4.02 5.03 φ8//0.10 5.03 
18.55 4.02 5.03 φ8//0.10 5.03 3-4y 
13.82 2.97 3.71 φ8//0.20+φ6//0.20 3.92 
(*) Eventualmente agravar apenas armadura inferior 
 
 
7. Verificação ao esforço transverso 
 
Utilização do método do Regulamento Britânico para a determinação dos esforços transversos 
máximos nos apoios, sendo os coeficientes vxβ e vyβ retirados das tabelas em anexo. 
 
Corte no apoio intermédio das lajes L1 e L2: 
 
Painel tipo 3 
xl = 5.00 m; l = 7.00 m y
x
y
l
l
= 1.4; vxβ =0.49 
sxv = 0.49 × 15.79 × 5 = 38.68 kN/m 
 
Corte no apoios interiores das lajes L3 e L4: 
 
Painel tipo 4 
xl = l = 5.00 m y
x
y
l
l
= 1.0; vxβ = vyβ = 0.40 
sxv = 0.40 × 15.79 × 5 = 31.58 kN/m 
 
∴ v = 38.68 kN/m sd
 
dkv lRdRd ×+××= )402.1(1 ρτ =260 × (1.6 – 0.14) × (1.2 + 40 × 0.0036) × 0.14 = 71.42 kN/m 
 
sdv ≤ v ∴dispensa armadura de esforço transverso 1Rd
 
Dimensionamento de lajes armadas em duas direcções – exemplo de aplicação 6 
8. Verificação dos estados limites de utilização 
 
Estado limite de deformação: 
 
Verificação implícita no pré-dimensionamento da espessura da laje (ver ponto 3). 
 
Estado limite de fendilhação: 
 
De acordo com o parágrafo 4.4.2.3(1) do EC2, as lajes cuja espessura total não exceda 200mm 
não necessitam de medidas específicas para controlar a fendilhação, desde que se respeite as 
disposições construtivas indicadas na secção 5.4.3. 
 
Por outro lado, tendo-se utilizado um diâmetro máximo de varões de 10mm, facilmente se verifica 
que a tensão na armadura na combinação quase permanente não excede o valor de 360MPa 
(visto que em estado limite último a tensão na armadura é de 348MPa), valor limite indicado no 
quadro 4.11 do EC2 para que seja verificado o estado limite de fendilhação. 
 
 
9. Desenhos 
 
(Ver páginas seguintes) 
 
 
BIBLIOGRAFIA 
- Apontamentos da disciplina de Estruturas de Betão “Cálculo de esforços em lajes armadas em 
duas direcções” do Prof. Joaquim Figueiras; 
- Pré-norma Europeia Eurocódigo 2, 1991; 
- Norma Britânica BS8110, parte 1, 1985. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Dimensionamento de lajes armadas em duas direcções – exemplo de aplicação 7 
 
 
 
 
 
 
 
ARMADURAS INFERIORES – DIRECÇÃO X 
(Esc. 1/100) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Dimensionamento de lajes armadas em duas direcções – exemplo de aplicação8 
 
 
 
 
 
 
 
ARMADURAS INFERIORES – DIRECÇÃO Y 
(Esc. 1/100) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Dimensionamento de lajes armadas em duas direcções – exemplo de aplicação 9 
 
 
 
 
 
 
 
ARMADURAS SUPERIORES – DIRECÇÃO X 
(Esc. 1/100) 
 
 
 
 
 
 
 
0.30 6.70 0.30 0.304.70
4.70
0.30
0.30
0.30
4.70
 
 
 
 
 
Nota: armadura de distribuição para φ8//0.10 e φ8//0.20: φ6//0.20 
 
 
 
 
 
 
 
 
Dimensionamento de lajes armadas em duas direcções – exemplo de aplicação 10 
 
 
 
 
 
 
 
ARMADURAS SUPERIORES – DIRECÇÃO Y 
(Esc. 1/100) 
 
 
 
 
 
0.30 6.70 0.30 4.70 0.30
0.30
4.70
0.30
4.70
0.30
 
 
 
 
 
 
 
 
Nota: armadura de distribuição para φ8//0.10 e φ8//0.20: φ6//0.20 
 armadura de distribuição para φ10//0.10 e φ10//0.20: φ8//0.20 
 
 
 
 
 
 
Dimensionamento de lajes armadas em duas direcções – exemplo de aplicação 11 
 
 
 
ARMADURAS SUPLEMENTARES – AMBAS AS DIRECÇÕES 
(A ADICIONAR ÀS ARMADURAS PRINCIPAIS) 
(Esc. 1/100) 
 
0.30 0.306.70 4.70
4.70
0.30
0.30
4.70
0.30
0.30
 
 
 
 
CORTE NUM APOIO DESCONTÍNUO 
(Esc. 1/20) 
 
Dimensionamento de lajes armadas em duas direcções – exemplo de aplicação 12 
0.17
0.33
0.50
armadura superior
armadura inferior
0.30
0.35
da laje
da laje
estribos da viga
da viga
armadura longitudinal
 
Tipo de painel e
momentos considerados
1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.75 2.0
1 Quatro lad contínuos
Momento n
o lado cont
Momento p
a meio vão
2 Um lado m
Momento n
o lado cont
Momento p
a meio vão
3 Um lado m
Momento n
o lado cont
Momento p
a meio vão
4 Dois lados
descontín
Momento n
o lado cont
Momento p
a meio vão
5 Dois lados
descontín
Momento n
o lado cont
Momento p
a meio vão
6 Dois lados
descontín
Momento n
o lado cont
Momento p
a meio vão
7 Três lados
(um lado m
Momento n
o lado cont
Momento p
a meio vão
8 Três lados
(um lado m
Momento n
o lado cont
Momento p
a meio vão
9 Quatro lad
Momento p
a meio vão
Relação l y/ l x
Coeficientes para o menor vão, βsx
C
oe
f. 
pa
ra
 o
 
m
ai
or
 v
ão
, β
sy
, 
pa
ra
 to
do
s 
os
 
va
lo
re
s 
de
 l y
/l x
 
C
as
o
 
 
 
 
 
Quadro 1
Dimensionamento
os
egativo sobre
ínuo
ositivo
enor descontínuo
egativo bre
ínuo
ositivo
aio descontínuo
eg vo sobre
ínuo
ositivo
 adjacentes
uos
egativo sobre
ínuo
ositivo
 menores
uos
egativo sobre
ínuo
ositivo
 maiores
uos
egativo sobre
ínuo
ositivo
 descontínuos
aior contínuo)
egativo sobre
ínuo
ositivo
 descontínuos
enor contínuo)
egativo sobre
ínuo
ositivo
os descontínuos
ositivo
0.024
0.065 0.032
0.024 0.028 0.032 0.036 0.039 0.041 0.045 0.049
0.047 0.051 0.053 0.0600.032 0.037 0.043
0.037 0.043 0.048 0.051 0.055 0.057 0.064 0.068 0.037
0.0 0.032 0.036 0.039 0.041 0.044 0.048 0.052 0.028
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
-
0.0
0.0
0.0
-
0.0
0.0
l
syM
sxM
y
 – Coeficientes de
c
 de lajes armadas em du
28
r 
ati
so
37 0.044 0.052 0.057 0.063 0.067 0.077 0.085 0.037
28 0.033 0.039 0.044 0.047 0.051 0.059 0.065 0.028
47 0.053 0.060 0.065 0.071 0.075 0.084 0.091 0.047
35 0.040 0.045 0.049 0.053 0.056 0.063 0.069 0.035
45 0.049 0.052 0.056 0.059 0.060 0.065 0.069 -
35 0.037 0.040 0.043 0.044 0.045 0.049 0.052 0.035
- - - - - - - 0.04
35 0.043 0.051 0.057 0.063 0.068 0.080 0.088 0.035
57 0.064 0.071 0.076 0.080 0.084 0.091 0.097 -
43 0.048 0.053 0.057 0.060 0.064 0.069 0.073 0.043
- - - - - - - 0.05
43 0.051 0.059 0.065 0.071 0.076 0.087 0.096 0.043
56 0.064 0.072 0.079 0.085 0.089 0.100 0.107 0.056
5
7
 
 
 
 
yx ll ≤ 
2
xdsxsx lSM ××= β 
2
xdsysy lSM ××= β 
 
x l 
 momento para painéis rectangulares suportados nos 4 lados, 
om armadura de torção nos cantos 
as direcções – exemplo de aplicação 13 
Tipo de painel e
lados considerados
1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.75 2.0
1 Quatro lados contínuos
Lado contínuo 0.33 0.36 0.39 0.41 0.43 0.45 0.48 0.50 0.33
2 Um lado menor descontínuo
Lado contínuo 0.36 0.39 0.42 0.44 0.45 0.47 0.50 0.52 0.36
Lado descontínuo - - - - - - - - 0.24
3 Um lado maior descontínuo
Lado contínuo 0.36 0.40 0.44 0.47 0.49 0.51 0.55 0.59 0.36
Lado descontínuo 0.24 0.27 0.29 0.31 0.32 0.34 0.36 0.38 -
4 Dois lados adjacentes
descontínuos
Lado contínuo 0.40 0.44 0.47 0.50 0.52 0.54 0.57 0.60 0.40
Lado descontínuo 0.26 0.29 0.31 0.33 0.34 0.35 0.38 0.40 0.26
5 Dois lados menores
descontínuo
Lado contínuo 0.40 0.43 0.45 0.47 0.48 0.49 0.52 0.54 -
Lado descont
6 Dois lados m
descontínuo
Lado contínuo
Lado descont
7 Três lados d
(um lado ma
Lado contínuo
Lado descont
8 Três lados d
(um lado me
Lado contínuo
Lado descont
9 Quatro lados
Lado descont
Coeficientes para o lado maior, βvx
C
oe
f. 
pa
ra
 o
 la
do
 
m
en
or
, β
vy
, p
ar
a 
to
do
s 
os
 v
al
or
es
 
de
 l y
/l x
 
C
as
o
Relação l y/ l x
 
 
 
 
 
v
 
 
 
 
 
 
 
Quadro 2
Dimensionamento d
s
ínuo - - - - - - - - 0.26
aiores
s
- - - - - - - - 0.40
ínuo 0.26 0.30 0.33 0.36 0.38 0.40 0.44 0.47 -
escontínuos
ior contí o)
0.45
ínuo 0.30
escontínuos
nor contínuo)
-
ínuo 0.29
 descontínuos
ínuo 0.33
l
sv
syv
sx
yl
 
 
 
0.75 l 
 
 
 – Coeficientes de 
co
e lajes armadas em duas 
0.48 0.51 0.53 0.55 0.57 0.60 0.63 -
nu
0.32 0.34 0.35 0.36 0.37 0.39 0.41 0.29
- - - - - - - 0.45
0.33 0.36 0.38 0.40 0.42 0.45 0.48 0.30
0.36 0.39 0.41 0.43 0.45 0.48 0.50 0.33 
 
 
 
 
 
yx ll ≤ 
xdvxsx lSv ××= β 
xdvysy lSv ××= β 
 
 l x
reacção para painéis rectangulares suportados nos 4 lados, 
m armadura de torção nos cantos 
direcções – exemplo de aplicação 14 
 
REGRAS SIMPLIFICADAS PARA DISPENSA DE ARMADURAS EM LAJES 
 
100%
40%
0.2 l
100%
50% armadura para
momentos negativos
eixo do apoio
vão efectivo l
face do apoio
l0.15
> 0.45
l0.3
momentos positivos
armadura para
100%
vão efectivo
eixo do apoio
face do apoio
0.1 l
40% momentos positivos
armadura para
l
φ
a) Apoio interior 
b) Extremidade 
 simplesmente 
 apoiada 
 
 
No
 
 
 
Dim
vão efectivo
> 0.45
eixo do apoio
face do apoio
l / 2
100%
50%
momentos negativos
armadura para
l
d / 2
φ
 
c) Consola 
ta: d - altura útil Válido para: 
 l - vão efectivo Cargas distribuídas 
 φ - diâmetro dos varões Vãos aproximadamente iguais 
ensionamento de lajes armadas em duas direcções – exemplo de aplicação 15 
DIVISÃO DA ARMADURA INFERIOR EM FAIXAS 
 
 
 
 
 
 
 lx/8 Faixa lateral 
Fa
ix
a 
ce
nt
ra
l
Fa
ix
a 
la
te
ra
l
Fa
ix
a 
la
te
ra
l
 
 
 lx 
 
 
x l 3/4lxFaixa central 
 
 
 lx/8 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Faixa lateral 
 
ly/8 
 
3/4ly 
 
 ly/8 
 
ly 
 
 
 
- Nas faixas centrais colocar a armadura para os momentos máximos 
- Nas faixas laterais colocar a armadura mínima 
 
 
 
 
 
 
ARMADURAS DE CANTO 
 
 
 
 
3/4As,vão 
ambas as faces 
 
 
1/2As,vão 
face superior
 
 
 0.3lx 
 
 
 0.3lx 
 
 
 
 
 0.3lx 
 
As,vão 
 
 
1/2As,vão 
face superior 
 
 
 lx 
 
 
 0.3lx 
 
 
0.3lx 
 
 
 0.3lx 
 
 
 0.3lx 
 
 
 0.3lx 
 
ly 
 
 
 
- A armadura principal existente na zona dos cantos pode ser contabilizada
 
 
Dimensionamento de lajes armadas em duas direcções – exemplo de aplicação 
ly 
 
 como armadura de canto 
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	Msd
	ARMADURAS INFERIORES – DIRECÇÃO X
	ARMADURAS INFERIORES – DIRECÇÃO Y
	ARMADURAS SUPERIORES – DIRECÇÃO X
	ARMADURAS SUPERIORES – DIRECÇÃO Y
	ARMADURAS SUPLEMENTARES – AMBAS AS DIRECÇÕES
	\(A ADICIONAR ÀS ARMADURAS PRINCIPAIS\)
	CORTE NUM APOIO DESCONTÍNUO
	
	REGRAS SIMPLIFICADAS PARA DISPENSA DE ARMADURAS EM LAJES