Ferramental Matemático_OTI_Notas2I

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Marcelo de Sales Pessoa
Otimização Dinâmica
Problema Típico
O problema típico é:
max
c(t)
V (0) =
Z T
0
v (k (t) ; c (t) ; t) dt s.a (1)
a) _k (t) = g (k (t) ; c (t) ; t)
b) k (0) = k0 > 0
c) k (T ) :e��r(T ):T � 0
Onde:
V (0) é o valor da função objetivo no instante t = 0: Essa função objetivo
é a integral no intervalo de 0 a T de funções de felicidade v (:) que podem ser
funções de utilidade, função de lucro, funções objetivo do governo, etc.
c (t) é a variável de controle. É o que o agente escolhe para maximizar a
função.
k (t) é a variável de estado.
obs.: tanto k como c podem ser vetores. Isso signi…ca que podemos ter n
variáveis de estado e m variáveis de controle.
�r (t) é a taxa média de desconto que vigora entre 0 e t;
T é a data …nal do planejamento, que pode ser …nita ou in…nita;
a) restrição de acumulação ou equação de transição ou equação de movi-
mento. Também é chamada de equação de Euler. Trata-se de uma equação
diferencial que mostra como a escolha da variável de controle afeta a trajetória
da variável estado.
b) condição inicial.
c) condição …nal.
Restrição com horizonte in…nito
Se T for in…nito, c) …ca igual a:
lim
t!1 k (t) :e
� R t
0
r(�)d� � 0
Derivação Heurística das Condições Necessárias
Das condições de Karush-Kuhn-Tucker, temos:
1) DL = 0;
2) _k (t) = g (k (t) ; c (t) ; t) ; k (T ) :e��r(T ):T � 0; k0 > 0; � � 0; � (t) � 0:
3) �k (T ) e��r(T ):T = 0:
Montando a função lagrangiana:
1
L =
Z T
0
v (k (t) ; c (t) ; t) dt+
Z T
0
� (t)
h
g (k (t) ; c (t) ; t)� _k (t)
i
dt+�k (T ) e��r(T ):T
onde � (t) é o multiplicador de Lagrange associado à restrição a). Ele pode
ser chamado de variável de coestado ou multiplicador de Lagrange dinâmico e
� é o multiplicador de Lagrange associado à restrição k (T ) :e��r(T ):T � 0:
Então,
L =
Z T
0
[v (k (t) ; c (t) ; t) + � (t) g (k (t) ; c (t) ; t)] dt+
Z T
0
_� (t) k (t) dt� � (T ) k (T )
+� (0) k (0) + �k (T ) e��r(T ):T
A expressão na primeira integral é chamada de Hamiltoniano:
Def.: Hamiltoniano: H (k; c; t; �) � v (k; c; t) + �g (k; c; t) :
Devemos ter:
i)
@H (:)
@c
= 0
ii) _� (t) = �@H (:)
@k
iii) � (T ) = �e��r(T ):T
Além disso, como devemos ter a condição de folga complementar de Karush-
Kuhn-Tucker (KKT):
�k (T ) e��r(T ):T = 0
Podemos usar iii) para fazer:
� (T ) k (T ) = 0
Essa condição é chamada de condição de transversalidade.
Condições Necessárias para Problema de Otimização Dinâmica com Tempo
Finito
Assim, resumindo, temos as seguintes condições necessárias:
1)
@H
@c
= 0
2) _� = �@H
@k
3) � (T ) k (T ) = 0
2
4) restrições válidas
obs.: As condições 1) e 2) vêm da condição DL = 0 de KKT; a condição
3) vem da condição DL = 0 e da condição de transversalidade de KKT ; e a
condição 4) é idêntica em KKT.
Condições Su…cientes
Se v (:) e g (:) forem côncavas em k e em c; então, as condições necessárias
também são su…cientes.
Trajetória Ótima do Hamiltoniano
A derivada total do hamiltoniano na trajetória ótima em relação ao tempo
é:
dH (k; c; �; t)
dt
=
@H
@t
Horizontes In…nitos
Problema com horizonte in…nito:
max
c(t)
V (0) =
Z 1
0
v (k (t) ; c (t) ; t) dt s.a
a) _k (t) = g (k (t) ; c (t) ; t)
b) k (0) = k0 > 0
c) lim
t!1 k (t) :e
��r(t):t � 0
Condições Necessárias para Problema de Otimização Dinâmica com Hori-
zonte In…nito
1)
@H
@c
= 0
2) _� = �@H
@k
3) lim
t!1� (t) k (t) = 0 ou limt!1H (t) = 0
4) restrições válidas
O Modelo de Crescimento Neoclássico
Problema
3
Seja o seguinte problema:
max
c(t)
U (0) =
Z 1
0
e��t ln c (t) dt s.a
a) _k (t) = k� (t)� c (t)� �k (t)
b) k (0) = 1
c) lim
t!1 k (t) e
��r(t)t � 0 (2)
onde 0 < � < 1;
r (t) = �k (t)
��1 � �
e
�r (t) =
1
t
Z t
0
r (�) d�
Parâmetros da Função Objetivo
Parâmetro de Impaciência: �. Re‡ete o quanto o agente prefere consumir
hoje ao invés de amanhã, pois é a taxa à qual esse agente desconta a utilidade
do consumo amanhã.
Def: Medida de Aversão ao Risco Absoluta de Arrow-Pratt:
A (c) = �
u00(c)
u0(c)
:
Def: Medida de Aversão ao Risco Relativa de Arrow-Pratt:
R (c) = �c
u00(c)
u0(c)
:
Essa medida diz o quanto o agente deseja suavizar consumo no tempo.
obs.:
Def.: Regra de L’Hôpital: Sejam f (x) e g (x) funções tais que:
lim
x!x� f (x) = 0
lim
x!x� g (x) = 0
Então,
lim
x!x�
f (x)
g (x)
= lim
x!x�
f 0 (x)
g0 (x)
4
Elasticidade de Substituição Intertemporal do Consumo ESIC
� = �
d ln
�
ct+1
ct
�
d ln
�
u0(ct+1)
u0(ct)
�
Podemos fazer também:
� =
d ln
�
ct+1
ct
�
dr
Análise das Restrições
Função de Produção
Temos:
Y (t) = F (K (t) ; L (t) ; T (t))
onde:
Y (t) é o ‡uxo de produto em t:
K (t) é o capital que se deprecia à taxa �:
L (t) é o trabalho.
T (t) é a tecnologia.
obs.: Capital e trabalho são bens rivais: não podem ser usados por mais de
um agente ao mesmo tempo. Tecnologia é um bem não-rival.
Os bens produzidos podem ser consumidos ou investidos:
Y (t) = C (t) + I (t)
onde I (t) é o investimento, a criação de unidades de capital K (t) :
Dadas essas de…nições,
Investimento é igual a poupança:
I (t) = Y (t)� C(t)
Então, a variação no estoque de capital ao longo do tempo é:
_K (t) = F (K (t) ; L (t) ; T (t))� C(t)� �K (t)
Assumimos que L (t) cresce a uma taxa constante n: Então,
_L
L
= n
Função de Produção Neoclássica
Em nosso modelo, a função de produção é neoclássica. Por isso, esse modelo
é chamado de Modelo de Crescimento Neoclássico.
Dizemos que uma função de produção F (K;L; T ) é neoclássica se ela apre-
senta:
5
1. Retorno constante de escala
Def.: Função homogênea: uma função f é dita homogênea do grau k se:
f (�v) = �kf (v) :
Def.: Retorno constante de escala: uma função de produção apresenta re-
torno constante de escala se for homogênea do grau 1 nos insumos:
Y (t) = F (�K (t) ; �L (t) ; T (t)) = �F (K (t) ; L (t) ; T (t))
2. Produtividade Marginal positiva e decrescente:
8K > 0 e 8L > 0; temos:
@F
@K
> 0;
@2F
@K2
< 0
@F
@L
> 0;
@2F
@L2
< 0
3. Condições de Inada
lim
K!0
�
@F
@K
�
= lim
L!0
�
@F
@L
�
=1
lim
K!1
�
@F
@K
�
= lim
L!1
�
@F
@L
�
= 0
4. Essencialidade:
F (0; L) = F (K; 0) = 0
Variáveis Per Capita
Como a função de produção é neoclássica, podemos fazer:
Y = F (K;L; T )
Temos
@Y
@K
= f 0 (k)
e
@Y
@L
= f (k)� kf 0 (k)
Podemos fazer:
6
_K (t) = s (t)Y (t)� �K (t)
onde s (t) é a fração do produto que é poupada.
Em termos per capita, temos:
_k = sf (k)� (� + n) k
Essa é a equação de acumulação do capital per capita. Se …zermos a hipótese
de que a taxa de poupança s é constante, exógena, então, essa equação é a
equação fundamental do modelo de Solow-Swan.
Função de Produção Cobb-Douglas
Y = AK�L1��
onde A é o nível da tecnologia e 0 < � < 1:
Cobb-Douglas per capita:
y = Ak�
Numa economia competitiva, os insumos são remunerados de acordo com
suas produtividades marginais. Então,
R = �Ak��1
e
w = (1� �)Ak�
Assim, nummercado competitivo, � é a parcela da renda destinada ao capital
e 1� � é a parcela da renda destinada ao trabalho.
Solução do Problema
hamiltoniano:
H (c; k; �; t) = e��t ln c+ � (k� � c� �k)
condições necessárias:
1) e��t
1
c
� � = 0
2) _� = �� ��k��1 � ��
3) lim
t!1� (t) k (t) = 0
4) _k = k� � c� �k; k (0) = 1; lim
t!1 k (t) e
��r(t)t � 0
As condições 2) e 4) formam um sistema de EDO:
7
_� = �� ��k��1 � ��
_k = k� � c� �k
Podemos montar um sistema apenas em função de c e de k, usando a condição
1) :
_�
�
= ��� _c
c
Então, substituindo na condição 2):
_c
c
= �k��1 � � � �
Sistemade EDO
Agora, temos o sistema:
_c = c
�
�k��1 � � � ��
_k = k� � c� �k
Temos, no estado estacionário do consumo:
k� =
�
�
� + �
� 1
1��
Agora, encontrando c� :
c� = k�� � �k�
Para encontrar a trajetória especí…ca, precisamos das condições terminais.
Temos a condição inicial k (0) = 1 e a condição de transversalidade:
lim
t!1� (t) k (t) = 0
Da condição 1, temos:
_�
�
= ��� _c
c
Por isso, no estado estacionário, no limite, podemos fazer:
lim
t!1 e
��tk (t) = 0
Assim, teremos as condições: k (0) = 1 e limt!1 e��tk (t) = 0:
Condição sobre o Hamiltoniano vs Condição sobre � (t) k (t)
8
Temos essas duas condições necessárias possíveis:
lim
t!1� (t) k (t) = 0
e
lim
t!1H (t) = 0
Agora, suponha um problema em que � = 0: Nesse caso, o hamiltoniano
será:
H (c; k; �; t) = ln c+ � (k� � c� �k)
Então, teremos a condição necessária de Pontryagin:
� =
1
c
Por isso,
lim
t!1� (t) =
1
c�
e não:
lim
t!1� (t) = 0
Sendo assim, a condição de transversalidade …ca:
lim
t!1� (t) k (t) =
k�
c�
6= 0
Por isso, podemos ter um estado estacionário sem a condição de transversal-
idade acima, ou seja, ela não é uma condição necessária em todos os problemas.
Assim, para problemas sem taxa de desconto, devemos ter:
lim
t!1H (t) = 0
9