Modelo de Ramsay-Cass-Koopmans_NotasI

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Marcelo de Sales Pessoa
Notas de aula: Modelo de Ramsay-Cass-Koopmans
Modelo Original (Ramsay - 1928)
max
c(t)
U (0) =
Z 1
0
ln c (t) dt s.a
a) _k (t) = k� (t)� c (t)� �k (t)
b) k (0) = 1
c) lim
t!1 k (t) e
��r(t)t � 0 (1)
onde 0 < � < 1; � > 0:
r (t) = �k (t)
��1 � �
e
�r (t) =
1
t
Z t
0
r (�) d�
Diferença em relação ao modelo do agente produtor-consumidor: � = 0:
Ramsay-Cass-Koopmans
Famílias
1. Trocam trabalho (L) por salário (w);
2. Recebem juros (r) pelos ativos (�);
3. São competitivas;
4. Poupam acumulando ativos (�) ;
5. Têm vida in…nita;
6 Crescem à taxa n;
obs.: Temos:
_L
L
= n
Então, fazendo L (0) = 1:
L (t) = ent
7. Têm taxa de impaciência � > 0:
8. São idênticas;
Problema das famílias
O problema da família representativa é:
max
c(t)
U (0) =
Z 1
0
e�(��n)tu [c (t)] dt
onde:
1
1. c (t) = C(t)L(t) é o consumo per capita;
2. � > n;
3. u (c) é tal que: u0 (c) > 0; u00 (c) < 0 e u (c) satisfaz as condições de Inada:
lim
c!0
u0 (c) =1
lim
c!1u
0 (c) = 0
Restrição Orçamentária
A renda vem do trabalho e dos ativos. O trabalho é remunerado com salário
e os ativos, com taxa de juros:
r (t)� (t) + w (t)L (t)
Então, temos a restrição orçamentária:
r (t)� (t) + w (t)L (t) = C (t) + S (t)
Então, como S (t) = _�;
_� = r�+ wL� C
Seja a = �L ; então,
_�
L
= _a+ an
Assim, a restrição orçamentária per capita é:
_a = (r � n) a+ w � c
Condição Anti-Esquema-Ponzi
lim
t!1 a (t) e
� R t
0
(r(�)�n)d� � 0
Solução do Problema das Famílias:
Temos:
max
c(t)
Z 1
0
e�(��n)tu [c (t)] dt s.a
_a = (r (t)� n) a (t) + w (t)� c (t)
a (0) = a0
2
lim
t!1 a (t) e
�(�r(t)�n)t � 0
Solução:
Condições necessárias de Pontryagin:
H = e�(��n)tu [c (t)] + v (t) [(r (t)� n) a (t) + w (t)� c (t)]
1)
@H
@c
= e(n��)tu0 (c)� v (t) = 0
2) _v = �@H
@a
= �v (t) [r (t)� n]
3) _a = (r (t)� n) a (t) + w (t)� c (t) ; a (0) = a0
4) lim
t!1 v (t) a (t) = 0
Equação de Euler do Consumo
Da condição 1), temos:
_v
v
= (n� �) + 1
u0 (c)
u00 (c) _c
Substituindo em 2), temos:
(n� �) + 1
u0 (c)
u00 (c) _c = �r + n
) _c
c
= � (r � �)
Condição de transversalidade e condição Final
Temos:
_v = �v (t) [r (t)� n]
Então,
v (t) = v (0) e�(�r(t)�n)t
Substituindo na condição de transversalidade, temos a condição de fronteira
…nal para a (t) :
lim
t!1 a (t) e
�(�r(t)�n)t = 0
Função Consumo
3
Resolvendo a EDO da restrição orçamentária para a; temos
_a� (r (t)� n) a (t) = w (t)� c (t)
, a (T ) e�(�r(T )�n)T +
Z T
0
c (t) e�(�r(t)�n)tdt = a (0) +
Z T
0
w (t) e�(�r(t)�n)tdt
Como
lim
t!1 a (t) e
�(�r(t)�n)t = 0
e fazendo: Z 1
0
w (t) e�(�r(t)�n)tdt = ~w (0)
Então, temos: Z 1
0
c (t) e�(�r(t)�n)tdt = a (0) + ~w (0)
Como
_c
c
= � (r (t)� �)
Então,
c (0) = � (0) [a (0) + ~w (0)]
onde
� (0) =
1R1
0
e[�r(t)(��1)���+n]tdt
Firmas
Avanço tecnológico:
Hicks:
Y (t) = F (K (t) ; L (t) ; T (t)) = F (T (t)�K (t) ; T (t)� L (t))
Harrod:
Y (t) = F (K (t) ; L (t) ; T (t)) = F (K (t) ; T (t)� L (t))
Solow:
Y (t) = F (K (t) ; L (t) ; T (t)) = F (T (t)�K (t) ; L (t))
4
Hipóteses sobre as …rmas
1. Função de produção:
Y (t) = F (K (t) ; L (t) ; T (t))
onde Y é o produto, K é o capital, L é o trabalho e T é a tecnologia.
2. A função de produção é neoclássica;
3. A função de produção tem progresso tecnológico de Harrod;
4. A tecnologia aumenta a uma taxa constante x:
Obs.: Temos
_T
T
= x
Então, assumindo T (0) = 1 :
T (t) = ext
5. Uma unidade do produto pode ser usada como uma unidade de consumo
C ou como uma unidade de capital K:
6. As …rmas alugam o capital das famílias K (t) e pagam R (t) por ele.
obs.: Supondo risco zero e não-arbitragem, devemos ter:
r (t) = R (t)� �
Produtividade Marginal do Trabalho e do Capital
Def.: Trabalho efetivo:
L^ � L (t) :T (t)
Então,
Y (t) = F
�
K (t) ; L^ (t)
�
Agora:
y^ � Y (t)
L^ (t)
k^ =
K (t)
L^ (t)
Sendo assim,
y^ = f
�
k^ (t)
�
Então, temos:
5
@Y
@K
= f�
�
k^
�
@Y
@L
=
h
f
�
k^
�
� k^f�
�
k^
�i
ext
Lucro
O lucro da …rma é dado por:
� = F
�
K; L^
�
�R (t)K (t)� w (t)L (t)
Em termos per capita, temos:
� = L^
h
f
�
k^
�
� (r (t) + �) k^ � w (t) e�xt
i
Maximização do Lucro
A alocação dos insumos que trará o máximo lucro é encontrada derivando a
equação do lucro em relação a k^ e igualando-a a 0. Nesse caso, teremos:
f 0
�
k^
�
= r (t) + �
Num mercado competitivo, em equilíbrio, o lucro econômico deve ser zero:
) w (t) = ext
h
f
�
k^
�
� f 0
�
k^
�
k^
i
EDO do capital
Equilíbrio
Nessa economia, podemos considerar: a = k:
Nesse caso, como:
_a = (r (t)� n) a (t) + w (t)� c (t)
f 0
�
k^
�
= r (t) + �
w (t) = ext
h
f
�
k^
�
� f 0
�
k^
�
k^
i
k = k^ext
Então,
:
k^ = f
�
k^
�
� c^ (t)� (x+ � + n) k^
EDO do consumo
6
Temos:
_c
c
= � [r (t)� �]
f 0
�
k^
�
= r (t) + �
c = c^ext
Então,
:
c^
c^
= �
h
f 0
�
k^
�
� � � �� 
x
i
Condição …nal em k
Da condição de transversalidade do problema das famílias, temos:
lim
t!1 a (t) e
�(�r(t)�n)t = 0
Então,
lim
t!1 k^ (t) e
� R t
0 (f
0(k^(�))���n�x)d� = 0
Equilíbrio Competitivo Pareto Ótimo
Problema do planejador central:
max
c(t)
Z 1
0
e�(��n)t
c1�
1� 
 dt s.a
:
k^ = f
�
k^
�
� c^ (t)� (x+ � + n) k^
k^ (0) = k^0
lim
t!1 k^ (t) e
�(�r(t)�n�x)t � 0
A solução desse problema é idêntica à solução encontrada na economia an-
terior:
:
c^
c^
= �
h
f 0
�
k^
�
� � � �� 
x
i
Logo, o equilíbrio competitivo é Pareto ótimo. Esse resultado pode ser con-
seguido também através da veri…cação das condições do 1o Teorema do Bem-
Estar Social:
1. Mercados completos;
7
2. Competição perfeita;
Sistema de EDOs
:
c^
c^
= �
�
f 0
�
k^
�
� � � �� 
x
�
:
k^ = f
�
k^
�
� c^ (t)� (x+ � + n) k^
Condição inicial: k^ (0) = k^0
Condição …nal:
lim
t!1 k^ (t) e
� R t
0 (f
0(k^(�))���n�x)d� = 0
Solução Grá…ca
Como as taxas de crescimento no estado estacionário de k^ e de c^ são iguais
a zero, temos:
f 0
�
k^�
�
� � = �+ 
x
Da outra EDO, temos:
c^� = f
�
k^�
�
� (x+ � + n) k^�
Derivando em relação a k^� :
dc^�
dk^�
= f 0
�
k^�
�
� (x+ � + n)
dc^�2
d2k^�
= f 00
�
k^�
�
< 0
e, na regra de ouro,
f 0
�
k^�g
�
� � = x+ n
Da condição de transversalidade:
lim
t!1 k^ (t) e
� R t
0 (f
0(k^(�))���n�x)d� = 0
No estado estacionário, como k^� é constante e > 0, para que essa condição
seja satisfeita, devemos ter:
f 0
�
k^�
�
� � > n+ x
Agora, sabemos que, no estado estacionário (EDO do consumo):
8
f 0
�
k^�
�
� � = �+ 
x
Então,
� > n+ (1� 
)x
Como:
f 0
�
k^�
�
= � + �+ 
x
f 0
�
k^�g
�
= � + x+ n
Pela condição, �+ 
x > n+ x; então,
k^� < k^�g
Dinâmica de Transição
Temos 3 estados estacionários para
�
k^; c^
�
: (0; 0);
�
k^�; c^�
�
; (k^��; 0):
O terceiro estado estacionário ocorre no ponto em que a curva cruza o eixo
k^; quando:
f
�
k^��
�
� (x+ � + n) k^�� = 0
Porém, apenas
�
k^�; c^�
�
satisfaz as condições de equilíbrio dinâmico: Os de-
mais possuem consumo 0 e k^�� > k^�g :
Governo
Governo com orçamento equilibrado G = 
; onde G são os gastos do governo
e 
 são impostos lump sum.
Alteração nas EDOs:
A restrição orçamentária das famílias será:
_a = (r (t)� n) a (t) + w (t)� c (t)� i (t)
onde i é o imposto per capita.
Então,
:
k^ = f
�
k^
�
� c^ (t)� g^ (t)� (x+ � + n) k^
9