Gabarito P2 2015.2 (Pedro)

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UFRGS - Universidade Federal do Rio Grande do Sul
IME - Instituto de Matemática e Estatística
DMPA - Departamento de Matemática Pura e Aplicada
MAT01169-E1 - Cálculo Numérico
Prova 2 - Data: 28/10/2015
Nota
Nome: GABARITO Matrícula:
• Responda às questões individualmente.
• O uso do computador é exclusivo para o Scilab disponível no sistema operacional Ubuntu logado
na conta Prova.
• Não use rotinas prontas além das já disponíveis no Scilab instalado.
• Nas questões de múltipla escolha (Questões de 1 a 5), assinale com X a alternativa correta.
• Na questão discursiva (Questão 6), siga as instruções mencionadas na questão.
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Questão 1 (1,5 Ponto). Considere o seguinte sis-
tema linear:
2x1 − x2 + x3 = −1
x1 + 1, 5x2 + x3 = 3
−x1 − x2 + 2x3 = 0
Sejam, também, x0 uma aproximação inicial da
solução e xe a solução exata deste sistema. As-
sinale a alternativa que corresponde à afirmação
falsa.
��SSa) Para este sistema e para qualquer x0 6= xe o
método de Jacobi será divergente.
b) Se x0 6= xe, então o método de Gauss-Seidel
será convergente para o sistema dado.
c) A matriz dos coeficientes do sistema dado
não é estritamente diagonal dominante.
d) Este sistema tem solução única.
e) Se x0 6= xe, então o método de Jacobi será
convergente para o sistema dado.
Questão 2 (1,0 Ponto). Seja dado o sistema li-
near Ax = b com:
A=

3, 47 −0, 17 0, 48 0, 42
0, 01 −3, 03 0, 32 −0, 50
0, 02 0, 30 3, 91 0, 03
0, 06 0, 29 −0, 25 4, 1
 b=

0, 56
0, 20
0, 33
0, 21

Considere como aproximação inicial da so-
lução deste sistema o vetor coluna x(0) =
(−45, 35, −43, −33, 5). Faça três iterações do
método de Jacobi para calcular uma aproximação
da terceira componente da solução de Ax = b, i.e.,
o valor de x(3)3 . Assinale a alternativa que corres-
ponde a este valor com 5 dígitos significativos (por
arredondamento).
��SSa) 0, 045147
b) 0, 056384
c) 0, 088276
d) 0, 088298
e) nenhuma das demais alternativas corres-
ponde ao valor solicitado.
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Questão 3 (1,5 Ponto). Considere o seguinte sis-
tema de equações:
5x21 − x22 = 1
x2 − 14(senx1 + cosx2) = 0
Para resolver este sistema, considere que o método
de Newton seja aplicado com aproximação inicial
x(0) = (1, 5, 1, 5). Faça, então, três iterações deste
método e forneça o valor de x(3)1 com 5 dígitos sig-
nificativos (por arredondamento).
��SSa) 0, 47661
b) 7
c) 0, 47366
d) 0, 32760
e) nenhuma das demais alternativas corres-
ponde ao valor solicitado.
Questão 4 (1,5 Ponto). Considere o problema de
aproximar a função f(x) =
√
1 + x pelo polinô-
mio:
p(x) = a1 + a2x+ a3x2 + a4x3
que interpola os pontos {xi, f(xi)}4i=1, onde x1 =
0, x2 = 0, 3, x3 = 0, 6 e x4 = 0, 9. Assinale a
alternativa que corresponde ao valor de a3 com 3
dígitos significativos (por arredondamento).
��SSa) −0, 109
b) 0, 498
c) 0, 0259
d) não é possível resolver este problema, pois a
função f(x) não é contínua.
e) nenhuma das demais alternativas corres-
ponde ao valor solicitado ou está correta.
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Questão 5 (1,5 Ponto). Considere a seguinte ta-
bela de pontos:
i 1 2 3 4
xi −0, 50 −0, 30 −0, 10 0, 10
yi 0, 36 0, 55 0, 82 1, 12
Calcule os parâmetros a1 e a2 de forma que a reta
y = a1 + a2x melhor se ajuste (no sentido de mí-
nimos quadrados) aos pontos {(xi, yi)}4i=1 dados.
Assinale a alternativa que corresponde ao valor de
a2 com quatro dígitos significativos (por arredon-
damento).
��SSa) 1, 275
b) 0, 803
c) não é possível resolver, pois trata-se de um
problema de mínimos quadrados não linear.
d) 0, 967
e) nenhuma das demais alternativas corres-
ponde ao valor solicitado ou está correta.
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Questão 6 (3,0 Pontos). Considere que p seja a seguinte função de r:
p = k1ek2r + k3.
Use o método de Newton para determinar os parâmetros k1, k2 e k3, sabendo que p(0) = 3, 05,
p(1) = 1, 9 e p(2) = 1, 61. Obtenha os parâmetros com pelo menos cinco dígitos significativos.
Atenção: A resposta desta questão deve incluir todos os comentários e instruções (inclusive o script
do Scilab) para que os cálculos realizados estejam devidamente justificados e possam ser reproduzidos.
Da aplicação do método de Newton, explique como foi feita a escolha da aproximação inicial e forneça,
pelo menos, os valores dos parâmetros calculados na primeira e nas últimas duas iterações.
Espaço reservado para os cálculos e resposta da questão discursiva.
Trata-se de um problema de interpolação. Para determinarmos os coeficientes k1, k2 e k3, devemos
resolver o seguinte sistema de equações não-lineares:
k1 + k3 = 3, 05
k1e
k2 + k3 = 1, 9
k1e
2k2 + k3 = 1, 61
(1)
O método de Newton alicado a este sistema nos fornece a seguinte iteração:
k(n+1) = k(n) −
[
J(k(n)
]−1
F (k(n)) (2)
com k(0) dado e:
function [y]=F(k)
y(1) = k(1) + k(3) - 3.05
y(2) = k(1)*exp(k(2)) + k(3) - 1.9
y(3) = k(1)*exp(2*k(2)) + k(3) - 1.61
endfunction
function [y] = J(k)
y(1,1) = 1
y(1,2) = 0
y(1,3) = 1
y(2,1) = exp(k(2))
y(2,2) = k(1)*exp(k(2))
y(2,3) = 1
y(3,1) = exp(2*k(2))
y(3,2) = 2*k(1)*exp(2*k(2))
y(3,3) = 1
endfunction
Por inspeção, observamos que k(0) = (1, 0, −1, 0, 1, 0) é uma aproximação inicial razoável. Calculando
as iterações de Newton, obtemos:
-->k = [1 -1 1]’;
-->k = k - inv(J(k))*F(k)
k =
1.4862672
- 1.5721982
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1.5637328
-->k = k - inv(J(k))*F(k)
k =
1.5329223
- 1.3624775
1.5170777
-->k = k - inv(J(k))*F(k)
k =
1.5377495
- 1.3776479
1.5122505
-->k = k - inv(J(k))*F(k)
k =
1.5377907
- 1.3776363
1.5122093
-->k = k - inv(J(k))*F(k)
k =
1.5377907
- 1.3776363
1.5122093
Para verificação, observe que:
-->deff(’y = f(x)’,’y = k(1)*exp(k(2)*x) + k(3)’)
-->f(0)
ans =
3.05
-->f(1)
ans =
1.9
-->f(2)
ans =
1.61
Concluímos que os parâmetros procurados são: k1 = 1, 5378, k2 = −1, 3776 e k3 = 1, 5122.
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