TERCEIRA-LISTA-DE-EXERCÍCIOS-DE-MAT001-2014-CCO

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MAT001 - CA´LCULO 1 - CCO
TERCEIRA LISTA DE EXERCI´CIOS
CAPI´TULO 3: INTEGRAIS
SEGUNDO SEMESTRE DE 2014
PROF. JAIR
1. Obter
(a) I =
∫
3
√
xdx. Resp.: 3
4
3
√
x4 + c
(b) I =
∫ (
3x2 + x+ 1
x3
)
dx. Resp.: x3 + x
2
2
− 1
2x2
+ c
(c) I =
∫ (
2
x
+ 3
x2
)
dx. Resp.: 2 ln |x| − 3
x
+ c
(d) I =
∫ (√
x+ 1
x2
)
. Resp.: 2
3
√
x3 − 1
x
+ c
(e) I =
∫
xsenx2dx. Resp.: −1
2
cosx2 + c
(f) I =
∫
x2ex
3
dx. Resp.: 1
3
ex
3
+ c
(g) I =
∫
2
x+3
dx. Resp.: 2 ln |x+ 3|
(h) I =
∫
x
1+4x2
dx. Resp.: 1
8
ln (1 + 4x2) + c
(i) I =
∫
x
(1+4x2)2
dx. Resp.: − 1
8(1+4x2)
+ c
(j) I =
∫
sen2xcosxdx. Resp.: 1
3
sen3x+ c
(k) I =
∫
senx
√
3 + cosxdx. Resp.: −2
3
√
(3 + cosx)3 + c
(l) I =
∫
sec2x
3+2tgx
dx. Resp.: 1
2
ln |3 + 2tgx|+ c
(m) I =
∫
2x−3
1+4x2
dx. Resp.: 1
4
ln(1 + 4x2)− 3
2
arctg2x+ c
2. Obter
(a) I =
∫
x+1
x2−4x+6dx. Resp.:
1
2
ln (x2 − 4x+ 6) + 3√
2
arctg
(
x−2√
2
)
+ c
(b) I =
∫
(sen3xcos3x− e5x+1 + cotg7x)dx. Resp.:
1
6
sen23x− 1
5
e5x+1 + 1
7
ln |sen7x|+ c
(c) I =
∫
[(1 + cos6x)2 + tg3x]dx. Resp.:
3x
2
+ sen6x
3
+ sen12x
24
+ tg
2x
2
+ ln |cosx|+ c
(d) I =
∫
(x+ 10)20(x+ 2)dx, usando integrac¸a˜o por partes. Resp.:
(x+10)21
21
· 21x+34
22
(e) I =
∫
x2−2x+5
ex
dx. Resp.: −e−x(x2 + 5) + c
1
(f) I =
∫
eaxsenbxdx. Resp.: b
a2+b2
eax
(
asenbx
b
− cosbx)+ c
(g) I =
∫
xm lnxdx. Resp.: x
m+1
m+1
(
lnx− 1
m+1
)
+ c
(h) I =
∫
sen(lnx)dx. Resp.: x
2
[sen(lnx)− cos(lnx)] + c
(i) I =
∫
arctg2xdx. Resp.: xarctg2x− 1
4
ln(1 + 4x2) + c
(j) I =
∫
ln(x2 + 16)dx. Resp.: x ln(x2 + 16)− 2x+ 8arct (x
4
)
+ c
(k) I =
∫
ex+3
e2x−4dx. Resp.: −3x4 + 18 ln(ex + 2) + 58 ln |ex − 2|+ c
(l) I =
∫ √
x2+1
x2
dx. Resp.: −
√
x2+1
x
+ ln
∣∣√x2 + 1 + x∣∣+ c
(m) I =
∫
x3
√
4 + x2dx. Resp.:
√
(4+x2)5
5
− 4
3
√
(4 + x2)3 + c
(n) I =
∫
xdx√
4x−x2 . Resp.: 2arcsen
(
x−2
2
)−√4x− x2 + c
3. Mostre que para qualquer n ∈ N, n 6= 0 e n 6= 1, tem-se∫
secnxdx =
1
n− 1 · sec
n−2xtgx+
n− 2
n− 1
∫
secn−2xdx.
4. Se f
′
(x) = cosx− 1
x2
e f
(
pi
2
)
= 2
pi
, obter f
(
pi
6
)
. Resp.: 12−pi
2pi
5. Se f
′
(x) =
(
1− 13√x
)2
e f(8) = −5, obter f(27). Resp.: 2
6. Se f
′
(x) = sec2x+ 3√
x
− cos2x e f (pi
4
)
= 3
√
pi, obter f(x). Resp.:
f(x) = tgx+ 6
√
x− 1
2
sen2x− 1
2
7. Se f
′
(x) = cos2x− sen2x e f (pi
4
)
= 1
4
, obter f(x). Resp.:
f(x) = x
2
+ sen2x
4
+ cos2x
2
− pi
8
8. Uma func¸a˜o f(x) e´ tal que
f
′′
(x) = 2− 6x
(1 + x2)2
− 2
x3
·
Achar f(x), sabendo que a curva definida pelo seu gra´fico passa pelo
ponto P = (1, pi) e que a reta tangente a esta curva no ponto P tem
coeficiente angular igual ao da reta 2y − 9x+ 10 = 0. Resp.:
f(x) = x2 + 3arctgx− 1
x
+ pi
4
9. Obter
(a) I =
∫ pi/2
0
x2cos2xdx. Resp.: −pi
4
2
(b) I =
∫ √pi/2
0
x3cosx2dx. Resp.: pi
4
− 1
2
(c)
∫ 1
0
x2arcsenxdx. Resp.: pi
6
− 2
9
(d) I =
∫ 2
1
ln
(
x
x+ 1
)
dx. Resp.: ln
(
16
27
)
(e) I =
∫ 2+√2
3
dx√
4x− x2 . Resp.:
pi
12
(f) I =
∫ ln 5
0
ex
√
ex − 1
ex + 3
dx. Resp.: 4− pi
2
(g) I =
∫ 3
3/2
√
(9− x2)3
x2
dx. Resp.: 9
(
9
√
3
8
− pi
2
)
(h) I =
∫ 8
−1
dx√
2 + 3
√
x
· Resp.: 26
5
(i) I =
∫ 2
1
√
4−x2
x2
dx. Resp.: 3
√
3−pi
3
(j) I =
∫ 49
4
dx√
2+
√
x
· Resp.: 52
3
10. Obter o valor de a para que se tenha∫ 4
0
(x− a)√4− xdx = 0
Resp.: 8
5
11. Obter
(a) I =
∫
x 3
√
2 + xdx. Resp.: 3
7
3
√
(2 + x)7 − 3
2
3
√
(2 + x)4 + c
(b) I =
∫
dθ
3√
θ ·
√
1+
3√
θ
· Resp.: 2
√
(1 + 3
√
θ)3 − 6
√
1 + 3
√
θ + c
(c) I =
∫ pi2
4
0
sen
√
xdx. Resp.: 2
(d) I =
∫ b/2
0
x2
√
b2 − x2dx. Resp.: b4
16
(
pi
3
−
√
3
4
)
(e) I =
∫
dx
x(4−ln2 x) · Resp.: 14 ln |2 + ln x| − ln |2− lnx|+ c
(f) I =
∫ −3ex−1
ex(e2x−1)dx. Resp.: 3x− e−x − ln(ex + 1)− 2 ln |ex − 1|+ c
(g) I =
∫
cotgxdx
sen2x+7senx+10
· Resp.:
1
10
ln |senx| − 1
6
ln (senx+ 2) + 1
15
ln (senx+ 5) + c
3
(h) I =
∫
4x2−12x−10
(x−2)(x2−4x+3)dx. Resp.:
18 ln |x− 2| − 9 ln |x− 1| − 5 ln |x− 3|+ c
(i) I =
∫
5x2+3x−1
x3−2x2+x−2dx. Resp.: 5 ln |x− 2|+ 3arctgx+ c
(j) I =
∫ 1
0
dx
x2+6x+8
· Resp.: 1
2
ln
(
6
5
)
(k) I =
∫
11x2+9x−12
x(x+3)(x−2)dx. Resp.:
2 ln |x|+ 4 ln |x+ 3|+ 5 ln |x− 2|+ c
(l) I =
∫
dx
(x2−x)(x−2) · Resp.: 12 ln |x| − ln |x− 1|+ 12 ln |x− 2|+ c
(m) I =
∫
cosxdx
sen3x−sen2x+4senx−4 · Resp.:
1
5
ln |senx− 1| − 1
10
ln (sen2x+ 4)− 1
10
arctg
(
senx
2
)
+ c
(n) I =
∫ 3
2
2x+1
x3−x2−x+1dx. Resp.:
1
4
ln
(
3
2
)
+ 3
4
(o) I =
∫
x4+x+1
x3−x dx. Resp.:
x2
2
− ln |x|+ 1
2
ln |x+ 1|+ 3
2
ln |x− 1|+ c
(p) I =
∫
dx
x4+x2
. Resp.: − 1
x
− arctgx+ c
(q) I =
∫
cosx
sen3x−7sen2x+12senxdx. Resp.:
1
12
ln |senx|+ 1
4
ln |senx− 4| − 1
3
ln |senx− 3|+ c
12. Usando a substituic¸a˜o t = tgx, obter I =
∫
dx
1+tgx
·. Resp.:
1
2
ln |1 + tgx| − 1
4
ln (sec2x) + x
2
+ c
13. Usando apenas a geometria elementar, obter I =
∫ a
−a
√
a2 − x2dx, a >
0. Resp.: pia
2
2
14. Obter I =
∫ 29
−29
x29
29+x6
dx e justifique o resultado. Resp.: 0
15. Obter a a´rea da regia˜o do primeiro quadrante limitada pelas curvas
y2 = 2ax e x2 = 2ay, a > 0, de x = 0 a x = 2a. Resp.: 4a
2
3
16. Obter a a´rea da regia˜o limitada pelas curvas y = ln x, x = 1 e y = 4.
Resp.: e4 − 5
17. Obter a a´rea da regia˜o limitada pelas curvas y = x3+9, y = 1 e x = 2.
Resp.: 32
18. Obter a a´rea da regia˜o compreendida pela curva xy = 16, pelo eixo x
e pelas retas x = 4 e x = 8. Resp.: 16 ln 2
19. Obter a a´rea da regia˜o limitada pelas curvas y+x2 = 5 e y−x−3 = 0.
Resp.: 9
2
4
20. Obter a menor a´rea da regia˜o limitada pela para´bola y = x2 e pela
circunfereˆncia (x− 1)2 + y2 = 1. Resp.: pi
4
− 1
3
21. Obter a a´rea da regia˜o limitada pela para´bola y = x2− 3x, pelo eixo x
e pelas retas x = −1 e x = 4. Resp.: 49
6
22. Obter a a´rea da regia˜o comum a`s curvas y =
√
x− 1 e y = (x − 1)2.
Resp.: 1
3
23. Obter a a´rea da regia˜o limitada pelas curvas y = x2 e y = 3x. Resp.:
9
2
24. Obter a a´rea da regia˜o limitada pelo eixo x e pelo gra´fico de
f(x) =

x3 + 1 , −1 ≤ x ≤ 0
1− x , 0 < x ≤ 1
x2 − 1 , 1 < x ≤ 2
x+ 1 , 2 < x ≤ 3
Resp.: 73
12
25. Obter a a´rea da regia˜o limitada pela elipse{
x = 3cost
y = 2sent
Resp.: 6pi
26. Obter o volume do so´lido obtido pela rotac¸a˜o em torno do eixo x da
regia˜o limitada pelas curvas x2 = y− 2, 2y− x− 2 = 0, x = 0 e x = 1.
Resp.: 79pi
20
27. Obter o volume do so´lido obtido pela rotac¸a˜o em torno do eixo x da
regia˜o limitada pela elipse {
x = acosθ
y = bsenθ
onde a > 0 e b > 0. Resp.: 4piab
2
3
28. Obter, usando integral definida, o volume de um cone de raio r e altura
h. Resp.: 1
3
pir2h
29. Obter o volume do so´lido gerado pela rotac¸a˜o em torno do eixo y da
regia˜o compreendida pelas curvas y− x2 = 0 e √x− y = 0. Resp.: 3pi
10
5
30. Obter o volume do so´lido obtido pela rotac¸a˜o em torno do eixo x da
regia˜o limitada pelas curvas y − 4x = 0 e 2x2 − y = 0. Resp.: 256pi
15
31. Sabendo que a func¸a˜o f(x) tem ma´ximo relativo no ponto (x0, 6) e que
f
′
(x) = −12x+ 4, pede-se
(a) obter f(x); Resp.: f(x) = −6x2 + 24x− 18
(b) obter o volume do so´lido obtido pela rotac¸a˜o em tornoda reta
x = 4 da regia˜o limitada pelo gra´fico de f e pelo eixo x. Resp.:
32pi
32. Obter o volume do so´lido gerado pela rotac¸a˜o em torno do eixo y da
regia˜o limitada pelas curvas y = 5x2 e x = 2 e pelo eixo x. Resp.:
40pi
33. Obter o volume do so´lido que se obtem quando se faz a rotac¸a˜o em
torno do eixo x da regia˜o limitada pelas curvas y = ex, y =
√
x, x = 0
e x = 1. Resp.: pi
2
(e2 − 2)
6