Estudo dirigido 2011L2

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UFPE – CCEN – DEPARTAMENTO DE MATEMA´TICA – A´REA II
CA´LCULO 3 —– SEGUNDO SEMESTRE DE 2011
Estudo dirigido 2: Campos conservativos
1. Se φ(x, y, z) = x3y + (y − 1)ex cos(piz) e C e´ a curva parametrizada por r(t) = (t, t2, t3)
para 1 ≤ t ≤ 2, calcule o valor de ´
C
∇φ · dr.
2. Quais dos seguintes campos vetoriais definidos no R2 sa˜o conservativos? Em caso
afirmativo, deˆ exemplo de uma func¸a˜o potencial.
F1(x, y) = (x, 0); F2(x, y) = (0, x); F3(x, y) = (2xy sen (x
2y), ey + x2 sen (x2y)).
(b) Fac¸a um desenho para o campo F1(x, y) = (x, 0) e procure ilustrar o fato que o campo
e´ conservativo considerando a integral de linha ao longo da fronteira de um retaˆngulo (com
lados paralelos aos eixos, mas na˜o necessariamente com centro na origem); na˜o e´ preciso
fazer ca´lculos: entenda pela figura por que uma tal integral de linha se anula.
3. (a) Se C e´ a elipse x
2
9
+ y
2
4
= 1, e F1(x, y) = (y + arctgx, x + ln(y
4 + 1)), calcule
(rapidamente!)
´
C
F1 · dr. Justifique.
(b) Se F2(x, y) = (y+ arctgx, 2x+ ln(y
4 + 1)), use o fato que F2(x, y) = F1(x, y) + (0, x)
para calcular
´
C
F2 · dr.
4. Seja F o campo vetorial em R3 dado por F(x, y, z) = (z2, 2y, 2xz).
(a) Justifique: se A, B sa˜o pontos do R3 e γ, η sa˜o caminhos com ponto inicial A e ponto
final B, enta˜o
´
γ
F · dr = ´
η
F · dr.
(b) Se P0 = (1, 0, 1), P1 = (2, 3, 7), P2 = (1, 1, 2), P3 = (3, 2, 5) e P4 = (1, 2, 3), qual e´ o
valor da integral de linha de F sobre a poligonal P0P1P2P3P4?
(c) Se C e´ o arco da curva obtida pela intersec¸a˜o do cone z2 = x2+y2 com o plano z = 1+y,
compreendido entre o ponto inicial P1 = (0,−1/2, 1/2) e o ponto final P2 = (1, 0, 1), qual
e´ o valor de
´
C
F · dr? (Pense na maneira mais eficiente de resolver isto.)
5. Considere o campo vetorial em R2 − {(0, 0)} dado por F(x, y) = (−y, x)
x2 + y2
.
(a) Vimos em aula que o rotacional escalar deste campo e´ nulo mas o campo na˜o e´ con-
servativo em R2 − {(0, 0)}. Fac¸a um desenho do campo e repita o argumento.
(b) Se D e´ o semi-plano superior y > 0, enta˜o o campo F e´ conservativo em D. Justi-
fique isto de duas maneiras: (i) Por um argumento teo´rico; (ii) calculando explicitamente
uma func¸a˜o potencial φ para F em D. Analise a resposta encontrada e comente: por que
φ na˜o pode ser estendido para um potencial em R2 − {(0, 0)}?
(c) Se C e´ o c´ırculo x2 + (y − 2)2 = 1, quanto vale ´
C
F · dr? Justifique.
(d) Se C1 e´ a metade superior deste c´ırculo, orientada “da direita para a esquerda”, calcule
o valor de
´
C1
F · dr em menos de 30 segundos (na˜o aproxime a resposta).