Dinâmica_Aplicações_leis_Newton

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Universidade Federal do Rio Grande do Norte
Centro de Ciências Exatas e da Terra
Departamento de Física Teórica e Experimental
FIS0311 – Mecânica Clássica
Prof. Matthieu Castro
Dinâmica da partícula
Aplicações das leis de Newton
As três leis de Newton contêm todos os princípios básicos necessários para resolver uma 
grande variedade de problemas de mecânica. Porém, as aplicações dessas leis não são sempre 
simples e a resolução de problemas é específica a cada situação. Nesse capítulo, aprofundaremos as 
habilidades e apresentaremos noções e técnicas para a solução de problemas referentes à leis de 
Newton. Em todos os casos, utilizaremos o conceito de força.
1. O diagrama de corpo livre
A primeira e a segunda lei de Newton se aplicam a um corpo específico ou um sistema de 
corpos. Quando usar a primeira lei de Newton, no caso de equilíbrio, ou a segunda lei de Newton, 
na situação sem equilíbrio, é necessário definir logo do início o corpo ao qual a lei se aplica.
Depois de identificar o corpo ou o sistema de corpos a ser analisado, é necessário descrever 
todas as forças que atuam sobre ele. Só importam as forças que atuam sobre o corpo, e não as forças 
internas ao corpo ou ao sistema, nem as forças exercidas por ele sobre outros corpos.
Um diagrama de corpo livre é um diagrama que mostra um ponto no centro de um sistema 
de coordenadas representando o corpo escolhido “livre” das suas vizinhanças , com vetores 
mostrando o módulo, a direção e o sentido de todas as forças que atuam sobre o corpo e que são 
resultantes de vários outros corpos que interagem com ele.
Quando o problema envolve mais de um corpo, é necessário desenhar um diagrama de corpo 
livre para cada corpo. 
2. Exemplos de aplicações das leis de Newton
Equilíbrio em uma dimensão:
Uma ginasta com massa mG = 50,0 kg está no repouso, pronta a subir em uma corda presa ao 
teto de um ginásio. Qual é o peso da ginasta? Qual força (módulo e orientação) a corda exerce sobre 
ela? Qual é a tensão na extremidade superior da corda? Considere primeiramente que a massa da 
corda em si é desprezível, e em seguida que seu peso é de 120 N.
A ginasta e a corda estão em equilíbrio; logo, podemos aplicar a primeira lei de Newton em 
ambos os corpos. As forças que atuam sobre a ginasta são seu peso PG e a tensão exercida pela 
corda sobre ela TC→G. As forças que atuam sobre a corda são a tensão que a ginasta exerce sobre ela 
TG→C, que forma um par de ação e reação com TC→G, e a força que o teto exerce sobre a extremidade 
superior da corda TT→C.
Diagrama de corpo livre para a ginasta: Diagrama de corpo livre para a corda:
Cada força atua na direção vertical e, portanto, possui somente uma componente y. As forças 
TC→G e TG→C formam um par de ação e reação, portanto possuem o mesmo módulo.
O módulo do peso da ginasta é dado por: 
PG=mG g=50,0∗9,8=490 N
Essa força aponta na direção negativa de y, portanto sua componente y é PGy = -PG. A força exercida 
pela corda sobre a ginasta, de baixo para cima, tem componente y positiva T(C→G)y = +TC→G. Como a 
ginasta está em equilíbrio, pela primeira lei de Newton, a soma das componentes y da força 
resultante que atua sobre ela deve ser zero:
∑ F y=T (C→G) y+PGy=T C→G−PG=0 logo
TC→G=PG=490 N
A corda puxa a ginasta para cima com uma força TC→G de módulo 490 N. Pela terceira lei de 
Newton, a ginasta puxa a corda para baixo com uma força de mesmo módulo, TG→C = 490 N.
A corda também está em equilíbrio. Consideramos que o seu peso é desprezível, portanto a 
força de baixo para cima de módulo TT→C que o teto exerce sobre a sua extremidade superior deve 
igualar a força para baixo exercida pela ginasta:
∑ F y=T (T→C ) y+T (G→C ) y=T T→C−T G→C=0 logo
TT→C=T G→C=490N
Para uma corda ideal sem peso, a tensão possui o mesmo valor em qualquer ponto ao longo do seu 
comprimento.
No caso que o peso da corda não é desprezível, há três forças atuando sobre a corda: a força 
de cima para baixo exercida pela ginasta TG→C, a força de baixo para cima exercida pelo teto TT→C e 
o peso da corda, de módulo PC = 120 N. O diagrama de corpo livre para a ginasta fica o mesmo. 
Sua condição de equilíbrio fica o mesmo e utilizando a terceira lei de Newton, temos:
x
y
TC→G
PG
x
y
TT→C
TG→C
mG
TG→C=TC→G=PG=490 N
Diagrama de corpo livre para a corda:
A condição de equilíbrio para a corda é:
∑ F y=T T→C+(−T G→C)+(−PC)=0 ou seja
TT→C=T G→C+PG=490+120=610 N
Quando incluímos o peso da corda, a tensão é diferente em ambas as extremidades da corda. 
A força exercida pelo teto precisa sustentar tanto o peso de 490 N da ginasta quanto o peso de 120 
N da corda.
Equilíbrio em duas dimensões:
Uma caixa de massa m = 15 kg está suspensa por uma corda C que está ligada por um nó a 
duas outras cordas A e B, amarradas no teto, e fazendo com ele os ângulos 28º e 47º, 
respectivamente. As massas e elasticidades das cordas são consideradas desprezíveis. Ache as 
tensões na três cordas.
Consideramos dois corpos em equilíbrio: a caixa e o nó. As forças existentes são a tensão da 
corda C T'C e ou peso P da caixa, atuando sobre a caixa, e as tensões TA, TB e TC das cordas A, B e C 
atuando sobre o nó. Como a corda C possui massa e elasticidade desprezíveis, ela exerce forças de 
módulo igual a TC em ambas as suas extremidades: de baixo para cima sobre a caixa (força T'C) e de 
cima para baixo sobre o nó (força TC).
x
y
TT→C
TG→C
PC
mC
m
C
A B
Nó
28º 47º
Diagrama de corpo livre para a caixa: Diagrama de corpo livre para o nó:
Os dois corpos estão em equilíbrio, portanto podemos usar a primeira lei de Newton. As 
forças que atuam na caixa estão orientadas somente ao longo do eixo y. Do acordo com a primeira 
lei de Newton na direção y:
Caixa: ∑ F y=T 'Cy+Py=T C−mg=0 e TC=mg=15∗9,8=147 N
O nó está também em equilíbrio. Aplicamos a primeira lei de Newton nele nas direções x e 
y:
Nó: ∑ F x=T Ax+T Bx+T Cx=(−T A cos28+T B cos 47+0)=0 (1)
 ∑ F y=T Ay+T By+T Cy=(T A sen 28+T B sen 47−TC )=0 (2)
A equação (1) permite de escrever: T A=T B
cos47
cos28
,
que injetamos na equação (2): T B( cos 47cos28 . sen28+sen47)=TC ou seja
T B=
T C
tan28.cos 47+sen 47
= 147
tan28.cos 47+sen 47
=134N e
T A=T B .
cos 47
cos28
=134. cos 47
cos28
=104 N
Equilíbrio em um plano inclinado:
Um bloco de massa m = 15 kg está em repouso sobre uma rampa. Um cabo ligando o bloco 
à parede no topo da rampa impede o bloco de deslizar para baixo ao longo da rampa. Se a 
inclinação da rampa é θ = 27°, qual é a tensão no cabo? Que força é exercida pela rampa sobre o 
bloco? Suponha que o cabo seja cortado, qual é a aceleração do bloco?
x
y
P
T'C
y
xm
TC
28º 47º
TA
TB
 
O bloco está em equilíbrio, usamos a primeira lei de Newton. A rampa exerce uma força 
normal N sobre o bloco, perpendicular ao plano inclinado. O cabo exerce uma força de tensão T na 
sua direção e no sentido do bloco para o cabo. O peso P atua sobre o bloco de cima para baixo. No 
diagrama de corpo livre, escolhemos os eixos x e y para serem perpendicular e paralela ao plano da 
rampa, simplificando a resolução do problema.
Diagrama de corpo livre para o bloco:
Primeira lei de Newton nas direções x e y:
∑ Fx=Px+T x+N x=−mg senθ+T+0=0 ou seja T=mg senθ (1)
∑ F y=P y+T y+N y=−mg cosθ+0+N=0 ou seja N=mgcosθ (2)
Calculamos os módulos da tensão e da força normal:
T=15∗9,8∗sen27=67 N e
N=15∗9,8∗cos27=131 N
Quando o cabo é cortado, a tensão T deixa de existir e o bloco desliza a rampa para baixo, 
acelerando na direção negativa de x sob o efeito da componente do peso paralela à rampa. Como o 
bloco não está mais em equilíbrio, usamos a segunda lei de Newton:
∑ F⃗=N⃗+ P⃗=m a⃗
Na direção x, temos:
m
θm θ
x
y
θP
N
T
∑ Fx=0−mg sen θ=m ax ou seja
ax=−g senθ=−9,8∗sen27=−4,4 m /s
2
Como o bloco desliza ao longo da rampa, sua aceleração é paralela ao eixo x e então o módulo da 
aceleração é igual ao valor absoluto da sua componente em x:
a=4,4 m /s2
Bloco deslizante e bloco suspenso:
Um bloco de massa m1 = 3,3 kg se move livremente, sem atrito, sobre uma fina camada de ar 
na superfície horizontal. Ele está ligado por um corda passando por uma polia a um bloco suspenso 
de massa m2 = 2,1 kg. Massa e o atrito da corda e da polia são desprezíveis. A corda é considerada 
sem elasticidade. Quais são a aceleração do bloco deslizante, do bloco suspenso e a tensão na 
corda?
Os dois corpos estão acelerados, portanto, devemos usar a segunda lei de Newton. Não 
existe atrito na polia, e consideramos a corda sem massa, de modo que a tensão T é a mesma em 
todos os pontos da corda, que aplica uma força de módulo T em cada corpo. Embora as direções das 
duas acelerações de cada corpo sejam diferentes, seus módulos são iguais. Isso ocorre porque a 
corda não se estica. Portanto, os dois corpos devem percorrer as mesmas distâncias, no mesmo 
intervalo de tempo, e as suas velocidades escalares em qualquer instantes devem ser iguais. Quando 
a velocidade varia, isso se dá por valores iguais em um dado tempo, de modo que as acelerações de 
ambos os corpos devem ter o mesmo módulo a. 
Diagrama de corpo livre para o bloco 1: Diagrama de corpo livre para o bloco 2:
m2
m1
Bloco deslizante
Bloco 
suspenso
m1
P1
T
N
a1
P2
m2
a2
T
x x
y y
Aplicando a segunda lei de Newton:
Bloco 1: em x ∑ Fx=T x+N x+P x=m1 a1x ou seja T=m1a (1)
 em y ∑ F y=T y+N y+Py=m1 a1y ou seja N−m1 g=0 e N=m1 g (2)
Bloco 2: em y ∑ F y=T y+P y=m2 a2y ou seja T−m2 g=−m2 a (3)
Reescrevemos a equação (3) usando a equação (1):
m1a−m2 g=−m2a ou seja a=
m2
m1+m2
g
Calculando: a= 2,1
2,1+3,3
. 9,8=3,8 m/s²
Usando de novo a equação (1): T=m1a=
m1 m2
m1+m2
g ou seja T=13N
Da expressão da aceleração a, podemos ver que a < g. O bloco 2 não cai em queda livre pois 
a corda o puxa para cima. Da expressão da tensão T, podemos concluir que T < m2g, o que é normal 
senão o bloco se moveria para cima. Podemos verificar também que se m1 = 0, então o bloco 2 
estaria em queda livre e não teria nenhuma tensão na corda. Se m2 = 0, nada puxa o bloco 1, e a 
aceleração e a tensão são nulos.
Pesos e polia
Dois blocos de massas m1 = 1,3 kg e m2 = 2,8 kg são ligados por uma corda que passa 
através de uma polia. A corda e a polia têm massa e atrito desprezíveis. A corda não tem 
elasticidade.
Qual é a tensão na corda e o módulo da aceleração dos dois blocos?
Os dois blocos estão acelerados, portanto a segunda lei de Newton se aplica. Cada bloco é 
submetido a seu peso para baixo e a tensão da corda para cima. Como a corda é inextensível e sem 
massa, a tensão na corda é a mesma nos dois blocos. 
m1
m2
Diagrama de corpo livre para o bloco 1: Diagrama de corpo livre para o bloco 2:
É fácil entender que o bloco mais leve tem uma aceleração para cima e o bloco mais pesado, 
uma aceleração para baixo. Para cumprir essa condição, precisa que P1 < T < P2. Como a corda é 
inextensível, a aceleração dos dois blocos têm mesmo módulo em cada instante, e sentido oposto: 
a1=a2=a
Segunda lei de Newton aplicada aos blocos na direção y:
Bloco 1: ∑ F y=T y+P1y=m1 a1y (1)
Bloco 2: ∑ F y=T y+P2y=m2 a2y (2)
ou seja
T−m1 g=m1a1=m1a (1)
T−m2 g=−m2 a2=−m2 a (2)
Se subtrairmos (2) a (1), temos:
−m1 g+m2 g=m1a+m2 a ou seja
a=
m2−m1
m2+m1
g
Calculando: a=2,8−1,3
2,8+1,3
∗9,8=3,6 m.s−2
Injetando o valor de a na equação (1):
T−m1 g=m1
m2−m1
m2+m1
g ou seja
T=m1 g(m2−m1m2+m1 +1) e
T=
2m1 m2
m1+m2
g
m1
P1
T
y
x
a1
m2
P2
T
x
a2
y
Calculando: T=2∗1,3∗2,8
1,3+2,8
∗9,8=17 N
Da expressão da tensão T, podemos verificar que: m1 g<T <m2 g .
Verificamos também que se m1 = m2, então a = 0 e T = P1 = P2 e o sistema está no equilíbrio. 
Bloco empurrado por uma haste:
Em uma superfície horizontal sem atrito, uma pessoa empurra a partir do repouso, um bloco 
de massa M = 33,0 kg com uma haste de massa m = 3,20 kg, sobre uma distância d = 77,0 cm em 
1,70 s com uma aceleração constante.
 
Quais são as pares de ação e reação? Que força a mão exerce sobre a haste? Com que força a 
haste empurra o bloco? Qual a força resultante na haste?
Dois pares de ação e reação existem entre a mão e a haste e entre a haste e o bloco:
Mão e haste: F⃗M→H=−F⃗H →M
Haste e bloco: F⃗H→B=−F⃗B→H
Como o sistema (haste + bloco) se desloca junto com aceleração constante ao longo do eixo 
horizontal x, podemos utilizar a equação x−x0=v0x t+
1
2
ax t² para determinar a aceleração.
Temos: x−x0=d , v0x=0 e a aceleração apontando no sentido positivo de x, ax=a , então
a=2d
t 2
=2∗77,0 .10
−2
1,702
=0,533 m/s2
A única força horizontal que atua sobre o sistema (haste + bloco) é a força exercida pela mão 
sobre a haste. Aplicando a segunda lei de Newton ao sistema (haste + bloco) na direção x:
Calculando: FM→H=(33,0+3,20)∗0,533=19,3N
Se considerarmos agora somente o bloco, a única força atuando na direção x é a força 
exercida pela haste sobre o bloco. Aplicando de novo a segunda lei de Newton ao bloco só na 
direção x:
FH→B=Ma
Calculando: FH→B=33,0∗0,533=17,6N
M
x
y
FM→H=(M+m)a
A força resultante na haste é a soma das forças atuando nela. Na direção x, temos a força 
atuada pela mão da esquerda para a direita, já calculada, e a força atuada pelo bloco sobre a haste, 
que, pela terceira lei de Newton, tem mesmo módulo que a força atuada pela haste sobre o bloco, e 
sentido oposto. Assim, podemos escrever a força resultante:
FR=∑ F x=FM→H−FB→H
Calculando: FR=19,3−17,6=1,70N
Podemos também calcular FR usando a segunda lei de Newton aplicada à haste só, na direção x:
FR=ma=3,20∗0,533=1,71 N
Peso aparente dentro de um elevador acelerado:
Um passageiro de massa m = 72,2 kg está de pé sobre uma balança, dentro de um elevador. 
Quais são as leituras na balança para as diferentes acelerações: 
a1 = 0 m/s², a2 = +3,20 m/s², a3 = -3,20 m/s² e a4 = -9,8 m/s².
Consideramos um observador em um referencial inercial fixo em relação à Terra. A forças 
atuando sobre o passageiro são o seu peso e a força normal exercida pela balança. A leitura da 
balança é o módulo da força de cima para baixo exercida pelo passageiro sobre a balança. Pela 
terceira lei de Newton, essa força possui mesmo módulo ao da força normal de baixo para cima 
exercida pela balança sobre o passageiro.
Diagrama de corpo livre para o passageiro:
Aplicamos a segunda lei de Newton na direção vertical ao passageiro, que tem a mesma 
aceleração do que o elevador em relação ao observador externo:
∑ F y=N−m g=m a ou seja
N=m(g+a)
Calculando para cada caso:
N1=m(g+a1)=m g=72,2∗9,8=708N
Quando o elevador está parado ou em movimento com velocidade constante, ele se comporta como 
um referencial inercial, e a leitura da balança é o peso real do passageiro.
m
P
N
x
y
a
N2=m(g+a2)=72,2∗(9,8+3,2)=939N
O elevador está acelerado para cima. A leitura da balança é de 231 N a mais do que o peso real, é o 
peso aparente. A tensão que o passageiro sente nas pernas durante o movimento acelerado é maior 
do que a tensão que ele sente quando o elevador está parado ou se movendo com velocidade 
constante.
N3=m(g+a3)=72,2∗(9,8−3,2)=477N
Agora o passageiro sente que se pesasse somente 477 N, 231 N a menos do que seu peso real, 
quando o elevador está acelerado para baixo.
N4=m(g+a4)=72,2∗(9,8−9,8)=0N
Quando o elevador está em queda livre, o peso aparente é zero, dando a impressão de gravidade 
zero, ou aparente imponderabilidade.É o mesmo do que um astronauta orbitando a Terra num 
espaçonave. O peso real não é zero porque ainda existe a força gravitacional. Porém, no referencial 
acelerado do elevador, o efeito dessa queda livre é semelhante ao caso no qual nenhuma força 
gravitacional atua sobre o passageiro. O passageiro e o elevador estão caindo juntos com a mesma 
aceleração g, de modo que não existe nenhuma força empurrando a pessoa contra o piso do 
elevador.
3. Forças de atrito
Quando dois corpos interagem por contato direto entre suas superfícies, tratamos essa 
interação como força de atrito. O atrito faz parte do cotidiano. O atrito entre os pneus do carro ou 
da bicicleta e o solo permite de avançar. O atrito permite de segurar objetos, de escrever, de utilizar 
pregos e parafusos, de costurar roupas,... Consideramos nesse capítulo as forças de atrito que 
existem entre as superfícies sólidas não-lubrificadas, que se movem a velocidades relativamente 
baixas, umas sobre as outras.
Imagine um caixote pesado parado sobre o solo em um depósito de mercadorias. Uma 
primeira força relativamente fraca é aplicada horizontalmente ao caixote, mas esse não se move. 
Nesse caso, a força aplicada é equilibrada pela força de atrito exercida na horizontal pelo chão sobre 
o fundo do caixote, no sentido oposto ao empurro. A intensidade da força é aumentado aos poucos, 
mas o caixote ainda não se mexe. A intensidade da força de atrito se ajusta automaticamente para 
equilibrar o empurro. 
P
N
P
N
Ffe
P
N
Ffe
Em repouso
Quando o caixote fica ao repouso, apesar da força de empurro sendo aplicada nele, a força 
de atrito que equilibra essa força de empurro se chama força de atrito estático fe. Quando a força de 
empurro aumenta, o módulo de fe aumenta junto, até atingir um valor máximo que a superfície pode 
exercer. Então o caixote 'quebra o vínculo' e começa a deslizar.
Quando o caixote está deslizando sobre a superfície, o atrito denomina-se força de atrito 
cinético fc. O módulo dessa força de atrito cinético é em geral menor do que o valor máximo da 
força de atrito estático que é necessário ultrapassar para iniciar o movimento. Manter a caixa 
deslizando é mais fácil do que produzir o início do movimento. Esse módulo também cresce quando 
a força normal cresce, ou seja quando a componente perpendicular à superfície do peso cresce. 
Precisa uma força maior para empurrar uma caixa cheia de livros do que para empurrá-la quando 
ela está vazia.
Propriedades:
1) Se o corpo não se move, então a força de atrito fe e a componente da força F paralela à 
superfície são iguais em módulo e têm sentidos opostos.
2) O módulo de fe tem um valor máximo fe,máx que depende da força normal. A experiência 
mostra que esse valor máximo é aproximadamente proporcional ao módulo N da força 
normal: 
f e,máx=μe N
com μe o coeficiente de atrito estático.
Se o módulo da componente de F paralela à superfície for maior do que fe,máx, então o corpo 
começa a deslizar.
3) Se o corpo começar a deslizar sobre a superfície, o módulo da força de atrito decresce 
rapidamente para o valor fc. O módulo da força de atrito cinético geralmente cresce quando a 
força normal cresce. Verifica-se experimentalmente que o módulo da força de atrito cinético 
fc é proporcional ao módulo N da força normal:
f c=μc N
onde μc é o coeficiente de atrito cinético. 
4) A expressões anteriores são equações escalares. Os coeficientes μe e μc são adimensionais e 
determinados experimentalmente, dependendo dos materiais do corpo e da superfície.
Essas equações são apenas um modelo aproximado de um fenômeno muito complexo. Em 
nível microscópico, a força de atrito e a força normal decorrem de interações intermoleculares (de 
P
N
Ffc
a
Movimento acelerado
natureza eletromagnética) entre duas superfícies rugosas nos pontos salientes onde se tocam. A área 
microscópica real de contato entre duas superfícies é muito inferior a área macroscópica aparente, 
for um fator ~104. À medida que duas superfícies deslizam uma sobre a outra, ligações 
microscópicas se formam e se rompem nos pontos salientes, e o número total dessas ligações é 
variável, portanto, a força de atrito cinético não rigorosamente constante. 
A transição atrito estático-atrito cinético não é instantânea. Em alguns casos, as superfícies 
podem alternadamente aderir e deslizar, por um processo de “prende-e-desliza”, devido às fusões e 
rupturas microscópicas dos pontos salientes das superfícies. Essa é a causa do rangido do giz no 
quadro-negro, do pneu deslizando no asfalto ou das dobradiças enferrujadas, mas também do som 
agradável do arco nas cordas do violino.
A figura seguinte mostra a evolução teórica do módulo das forças de atrito estático e cinético 
em função do tempo, quando passa de um regime para outro.
Exemplos:
1) Uma moeda está imóvel sobre um livro inclinado de um ângulo θ com a horizontal. Quando 
aumentamos o ângulo θ, a moeda começa a deslizar quando θmáx = 13º. Determine o 
coeficiente de atrito estático μe entre a moeda e o livro. 
2) As rodas de uma carro estão travadas durante uma freada. O carro desliza então sobre a 
pista. A fusão dos resíduos de pneus e partes derretidas de asfalto durante o deslizamento 
formam as marcas de derrapagem. A maior marca já registrada foi de um Jaguar em 1960, 
com 290 m de comprimento. Supondo o coeficiente de atrito cinético entre os pneus e o 
asfalto μc = 0,60, qual era a velocidade do veículo no momento em que as rodas foram 
bloqueadas?
3) Um homem puxa um trenó de massa m = 75 kg com velocidade constante sobre a neve, com 
uma corda que faz um ângulo θ = 42º com a horizontal. O coeficiente de atrito cinético entre 
o trenó e a neve é μc = 0,10. 
a. Qual é a tensão T na corda?
b. Qual é a força normal N?
O
In
te
ns
id
ad
e 
da
 fo
r ç
a 
de
 a
tri
to
Tempo
fe,máx Início do movimento
Superfícies em 
repouso: atrito 
estático é igual à 
força aplicada.
Superfícies em movimento: atrito cinético é 
essencialmente constante.
fc ~ constante
4) Um bloco deslizante de massa m1 = 14 kg sobre um plano inclinado de um ângulo θ = 30º 
com a horizontal, e um bloco suspenso de massa m2 = 14 kg, estão ligados por uma corda de 
massa e elasticidade desprezíveis e deslizando sem atrito sobre uma polia de massa também 
desprezível. O bloco 2 desce a velocidade constante.
a. Quais são o módulo e o sentido da força de atrito entre o plano inclinado e o bloco 1?
b. Qual é o valor de μc?
4. Força de viscosidade e velocidade limite
Um fluido é uma substância que pode escorrer (líquido, gás, plasma). Quando existe uma 
velocidade relativa entre um corpo sólido e um fluido, esse exerce sobre o corpo uma força de 
viscosidade Fv, ou força de resistência, que se opõe ao movimento relativo e aponta no sentido da 
corrente do fluido em relação ao corpo. O módulo da força de resistência de um fluido 
normalmente cresce com a velocidade do corpo através do fluido. Esse comportamento é muito 
diferente da força de atrito cinético entre duas superfícies em contato, que normalmente não 
depende da velocidade.
Nesse capítulo, consideramos somente o movimento no ar de corpos arredondados e 
volumosos. O movimento relativo é rápido o suficiente para produzir uma turbulência no ar atrás do 
corpo. Nesse caso, a força de viscosidade chama-se força de arrasto (ou arraste) do are é 
aproximadamente proporcional a v², com v a velocidade relativa do corpo no ar:
F v=
1
2
Cρ A v²
com C o coeficiente de viscosidade entre o corpo e o ar (entre 0,4 e 1,0), ρ a densidade do ar e A a 
área da seção reta efetiva do corpo no fluido.
Devido aos efeitos do resistência do ar, um objeto caindo comalta velocidade não terá 
aceleração constante. Quando o corpo cair no ar, a sua velocidade aumenta sob o efeito da 
gravitação, fazendo que o módulo da força de arrasto do ar no sentido oposto à queda aumenta. 
m θ
m2
θ
m1
Devido à dependência com v², o arraste do ar cresce rapidamente com a velocidade, fazendo 
diminuir a aceleração, até ter o mesmo módulo do que o peso do corpo. Nesse momento, essas duas 
forças verticais se equilibram e, segunda a Segunda Lei de Newton, o corpo não sofre mais 
aceleração. O corpo atinge então uma velocidade limite constante vl. Quando a equilíbrio entre a 
força de arrasto e o peso, temos:
F v=mg ou seja 
1
2
Cρ A v l
2=mg
Assim, v l=√ 2m gCρ A
Essa expressão da velocidade limite explica porque um objeto mais pesado tende a 
cair no ar com uma velocidade maior do que a de um objeto mais leve. Da mesma forma, uma folha 
de papel cai mais rapidamente quando é amassada em forma de bola, o seja quando a área da seção 
reta é menor. Paraquedistas usam o mesmo princípio para controlar a velocidade de descida.
Exemplo:
Uma gota de chuva esférica, com raio R = 1,5 mm, cai de uma nuvem que está a uma altura 
h = 1200 m acima do solo. O coeficiente de viscosidade da gota no ar é C = 0,60. A densidade da 
água é ρág = 1000 kg/m³ e a densidade do ar é ρar = 1,2 kg/m³.
a. Qual é a velocidade limite da gota?
b. Qual seria a velocidade da gota antes do impacto no solo se não tivesse a força de arrasto?
5. Dinâmica do movimento circular uniforme
Mostramos no capítulo sobre a cinemática que, quando uma partícula se desloca ao longo de 
uma circunferência com velocidade escalar constante, a aceleração da partícula é orientada para o 
centro do círculo ou arco de círculo, perpendicular ao vetor velocidade. O módulo dessa aceleração 
centrípeta é constante:
ac=
v²
R
com v a velocidade escalar da partícula e R o raio da circunferência.
A partícula em movimento circular uniforme, sendo acelerada, tem seu movimento 
governado pela segunda lei de Newton. A aceleração centrípeta é produzida por alguma força, ou a 
soma vetorial de algumas forças, orientada para o centro do círculo. O módulo da aceleração é 
constante, logo o módulo dessa força resultante centrípeta também é constante. Caso a força 
centrípeta deixe de atuar, a partícula é expelida para fora do círculo descrevendo uma linha reta 
tangente ao círculo.
Usando a segunda lei de Newton, o módulo da força centrípeta agindo sobre uma partícula 
de massa m em um movimento circular uniforme é dado por:
Fc=mac=
m v²
R
O movimento circular uniforme pode ser produzido por qualquer força ou conjunto de 
forças, desde que a força resultante seja orientada para o centro do círculo ou arco de círculo, e 
possua módulo constante.
Exemplos:
1) Um engenheiro de bordo, de massa m = 79 kg, encontra-se em uma nave espacial orbitando 
a Terra a uma altura h = 520 km, com uma velocidade escalar v = 7,6 km/s.
a. Qual é sua aceleração?
b. Qual é a força gravitacional centrípeta que exerce a Terra sobre o engenheiro?
2) Uma bicicleta anda numa pista em “loop” de raio R = 2,7 m no plano vertical. Qual a menor 
velocidade escalar v necessária para permanecer em contato com a pista?
3) Um pêndulo cônico de massa m = 1,5 kg, preso à ponto de um cordão de comprimento L = 
1,7 m descreve um círculo horizontal com velocidade escalar constante v. O cordão faz um 
ângulo θ = 37º com a vertical. Qual é o período T do pêndulo?
 
4) Um carro de massa m = 1600 kg se move com velocidade escalar constante v = 20 m/s sobre 
uma rodovia circular plana de raio R = 190 m. Qual é o valor mínimo necessário de μe entre 
os pneus e a rodovia para evitar a derrapagem do carro?
5) O mesmo carro anda agora numa pista de mesmo raio, inclinada do ângulo θ com a 
horizontal. Para que ângulo de inclinação θ o atrito será desnecessário para evitar a 
m
R
L
θ
m
R
v
derrapagem? 
6) Uma pessoa encontra-se num cilindro girando. A pessoa, a parede e o piso se movem juntos. 
Quando a velocidade de rotação atinge um certo valor o piso desce de forma abrupta. A 
pessoa não desce junto com o pisa mas fica presa à parede enquanto o cilindro gira. Suponha 
que o coeficiente de atrito estático μe entre a roupa da pessoa e a parede do cilindro é 0,40 e 
que o raio do cilindro é R = 2,1 m.
a. Qual é a menor velocidade v que o cilindro e a pessoa devem ter para que a pessoa não 
caia quando o piso é removido?
b. Se a massa da pessoa é 49 kg, qual é o módulo da força centrípeta que age sobre ela?
6. As forças fundamentais da natureza
Discutimos nesse capítulo diversos tipos de forças (tensão, atrito, peso, força normal,...). 
Porém, na Física atual, todas as forças podem ser descritas por apenas quatro classes de força 
fundamentais, ou interações entre partículas. Duas delas agem na nossa escala macroscópica. As 
outras duas involvem interações entre partículas subatômicas que não podem ser observadas 
diretamente com os sentidos.
A força gravitacional foi a primeira a ser estudada. Em 1687, Newton mostrou que as 
mesmas leis são aplicáveis tanto a corpos astronômicos como objetos na Terra, unificando a 
mecância celeste e a mecânica terrestre. O peso de um corpo resulta da atração gravitacional 
exercida pela Terra sobre ele. Da mesma forma, é também a atração gravitacional que o Sol excerce 
sobre a Terra que a mantém em órbita quase circular em torno do Sol. 
A segunda classe, as interações eletromagnéticas, inclui as forças elétricas e magnéticas. 
Todos os átomos contêm cargas elétricas positivas e negativas, de modo que os átomos e moléculas 
interagem por meio das forças elétricas. As forças de contato, incluindo a força normal, o atrito, a 
resistência de um fluido, a tensão de uma corda, são combinações de todas essas forças exercidas 
pelos átomos de um corpo sobre átomos vizinhos de outro corpo. Em 1820, Oersted, e depois nos 
anos 1830, Faraday, mostraram, através do experimento, que a eletricidade e o magnetismo estão 
intimamente ligados. Em 1873, Maxwell elabora sua teoria do eletromagnetismo, unificando 
eletricidade, o magnetismo e a ótica.
As outras duas classes de interações atuam a distâncias microscópicas. A interação nuclear 
forte é responsável pela força de coesão que mantém os núcleos no interior de um átomo. Os 
prótons, de carga positivo se repelem mutualmente pela força elétrica. Os núcleos não seriam 
estáveis caso não existisse uma força atrativa para compensar essa repulsão elétrica e manter 
prótons e neûtrons juntos no núcleo atômico. Elas só atua em distâncias mais curtas do que as 
distâncias de interação eletromagnética (~2.10-15 m), porém com intensidade muito forte. A 
interação forte é também responsável pelas reações termonucleares de fusão que ocorrem no centro 
da estrelas, gerando muita energia.
Finalmente existe a interação nuclar fraca que é responsável pela reação nuclear de 
decaimento radioativo beta, no qual um nêutron de um núcleao radioativo se transforma em próton 
libertando um elétron e um antineutrino.
Em 1979, Glashow, Salam & Weinberg mostraram que a força fraca e a força 
m
R
v
θ
eletromagnética são dois tipos de uma força eletrofraca única. Essa teoria foi verificada 
experimentalmente por Rubbia & van de Meer em 1984.
Essa unificação incentivou os físicos a tentar unificar a interação forte com as interações 
fraca e eletromagnética. Essas tentativas são chamadas de teoria da grande unificação. As teorias 
supersimétricas tentam unificar todas as forças, inclusive a força gravitacional, numa única 
estrutura. Paralelmente, as teorias dassupercordas interpretam as partículas puntiformes como 
linhas formandos circuitos fechados em dimensões extras.