Vetores e Grandezas Físicas

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Universidade Federal do Rio Grande do Norte
Centro de Ciências Exatas e da Terra
Departamento de Física Teórica e Experimental
FIS0311 – Mecânica Clássica
Prof. Matthieu Castro
Vetores
Certas grandezas físicas podem ser descritas apenas com um número e uma unidade. É o 
caso por exemplo do tempo, da temperatura, da massa ou da energia. Porém outras grandezas 
precisam ser descritas com uma direção associada. Para descrever o movimento de uma avião em 
voo, não basta dizer com que velocidade ele se desloca a cada momento, é necessário dizer a 
direção e o sentido do seu movimento, em relação ao Norte e à horizontal por exemplo. Esses dois 
tipos de grandezas são representadas por elementos matemáticos diferentes.
1. Definições
Uma grandeza física descrita por um único número com unidade é denominada grandeza 
escalar. Diferentemente, as grandezas que precisam ser descritas com um número e uma orientação 
são as grandezas vetoriais. Um vetor é um elemento geométrico que possui um módulo (que indica 
a quantidade ou o tamanho da grandeza), uma direção e um sentido no espaço.
Por exemplo, o deslocamento é a variação de posição de um ponto. Para descrever esse 
deslocamento, precisa caracterizar a distância percorrida, que é o módulo do deslocamento, mas 
também a direção e o sentido do movimento. Assim, o deslocamento é uma grandeza vetorial 
descrita pelo vetor deslocamento. Na figura abaixo, a variação de posição de um ponto A ao ponto 
B em linha reta unindo estes dois pontos é representada com uma flecha ligando os dois pontos e 
apontando para B. O comprimento do segmento fornece o módulo do vetor, a direção é indicada 
pelo segmento da reta e o sentido é indicado pela flecha.
É importante sempre escrever um vetor com uma seta sobre a letra para não confundir com 
uma grandeza escalar. As grandezas vetoriais e as grandezas escalar são objetos matemáticos 
pertencendo a espaços matemáticos diferentes. Assim, um vetor nunca pode ser igual a um escalar.
O deslocamento entre dois pontos é sempre dado por um flecha que liga o ponto inicial ao 
ponto final da trajetória, mesmo no caso de uma trajetória curva, como visto na figura abaixo. 
Assim, o módulo do vetor não é associado à distância total da trajetória mas à distância em linha 
reta entre o ponto inicial e o ponto final.
A
B
Vetor deslocamento AB
Dois vetores são paralelos quando eles têm mesma direção e mesmo sentido. Se dois vetores 
paralelos têm também mesmo módulo, então eles são iguais, independentemente do local onde se 
encontram no espaço. Na figura seguinte, os vetores AB e A'B' possuem o mesmo módulo, a mesma 
direção e o mesmo sentido. Estes dois deslocamentos são iguais, embora eles comecem em pontos 
diferentes. Contudo, o vetor BA não é igual a AB, porque possui sentido oposto. Dois vetores que 
possuem mesma direção mas sentidos opostos, possuindo ou não o mesmo módulo, são 
antiparalelos. No caso de A e B que têm mesmo módulo, podemos escrever BA = -AB.
O módulo de um vetor é uma grandeza escalar sempre positiva. Ele se escreve então usando 
a(s) letra(s) do vetor associado sem a seta em cima. 
2. Componentes de um vetor
Quando representamos um vetor em um sistema de coordenadas retangular Oxy, podemos 
definir o vetor a partir de suas componentes.
ax e ay são os vetores componentes do vetor a. Eles têm por direção os eixos das coordenadas 
x e y respectivamente. Quando o vetor componente ax aponta para o sentido positivo do eixo x, 
definimos o número ax como igual ao módulo de ax. Quando o vetor componente ax aponta para o 
sentido negativo do eixo x, definimos o número ax como igual ao valor negativo do módulo de ax. 
Da mesma maneira, definimos o número ay. Os números ax e ay são as componentes do vetor a.
Podemos calcular os componentes do vetor a conhecendo seu módulo e sua direção. Seja θ o 
ângulo que ele faz com o eixo positivo Ox. Usando as definições das funções trigonométricas, 
podemos escrever:
ax = a cosθ
ay = a senθ
A
B
AB
Trajetória
A'
B'B
A
AB A'B'
A
BA
B
O
y
x
aay
ax
θ
O módulo do vetor a se calcula usando o teorema de Pitágoras: 
a=√ax2+ay2
onde devemos considerar somente o valor positivo da raiz quadrada. A direção decorre da definição 
da tangente de um ângulo: 
tanθ=
ax
ay
 e θ=arctan
ax
ay
Exemplo:
Um pequeno avião deixa um aeroporto num dia nublado e mais tarde é avistado a 215 km de 
distância, voando numa direção que faz um ângulo de 22º com o Norte para o Leste. A que distância 
a Leste e ao Norte do aeroporto se encontra o avião no momento em que é avistado?
Vetores unitários:
Um vetor unitário é aquele que possui módulo igual a 1 e aponta numa determinada direção.
O referencial ou sistema de coordenadas ortonormal pode ser definido por três vetores unitários i, j 
e k, que têm respectivamente as direções dos eixos Ox, Oy e Oz.
Podemos então escrever um vetor a em termos de vetores unitários com as componentes da 
seguinte forma:
a⃗=ax i⃗ +ay j⃗+az k⃗
3. Soma de vetores
a. Método gráfico
Suponha que uma partícula sofra um deslocamento entre os pontos A e B, seguindo de um 
outro deslocamento entre os pontos B e C. O deslocamento global é igual a um único vetor AC que 
é a resultante ou soma vetorial dos dois vetores deslocamento sucessivos AB e BC:
A⃗C= A⃗B+B⃗C
Desenhamos o início do segundo vetor a partir da extremidade do primeiro. Assim, a 
resultante parte do início do primeiro vetor e chega à extremidade do segundo:
O
x
z
y
i
j
k
Propriedades da soma vetorial:
Seja o vetor s a soma vetorial dos vetores a e b: s = a + b
Comutatividade: a + b = b + a
Associatividade: (a + b) + c = a + (b + c)
Substração: -b é o vetor de mesmo módulo e mesma direção que b, mas com o sentido oposto: 
b + (-b) = 0
 d = a – b = a + (-b)
b. Soma através das componentes
Seja o vetor s a soma vetorial dos vetores a e b:
s⃗= a⃗+b⃗
Cada componente de s deve ser igual à componente correspondente de (a + b). Assim:
sx = ax +bx
sy = ay +by
sz = az +bz
A
B
C
AB
BC
AC
a b
ab
s
a b
a + b
c(a + b) + c
a b
c
b + c
a + (b + c)
b
-b
a
d
Exemplos:
1) Rali: do ponto de partida O, use as estradas disponíveis para viajar 36 km para o 
leste até o ponto de controle A, depois 45 km para o norte até o ponto de controle B 
e, finalmente, 25 km para o noroeste até o ponto de chegada C. Ao chegar ao ponto 
C, quais são o módulo e a orientação do seu deslocamento d em relação ao ponto de 
partida?
2) Se a = 4,2i – 1,6j
 b = -1,6i + 2,9j
 c = -3,7j
Exprime o vetor r = a + b + c em termos de vetores unitários.
4. Produto de vetores
Existem três formas de multiplicar vetores. Nenhuma dessas formas corresponde à 
multiplicação algébrica.
a. Multiplicação de um vetor por um escalar
O produto de um vetor a por um escalar s é um vetor d de:
módulo: o produto do módulo de a pelo valor absoluto de s
direção: a mesma de a
sentido: o mesmo de a se s>0, oposto se s<0
Cada componente do produto d é igual ao produto de s e o componente correspondente de a:
dx = sax
dy = say
dz = saz 
Se a e s forem grandezas físicas, o produto é uma nova grandeza física. Por exemplo, o 
produto do vetor aceleração a pelo escalar massa m é igual ao vetor força F de mesma direção e 
mesmo sentido: F = ma
b. Produto escalar
O produto escalar de dois vetores a e b é igual a um escalar definido por:
a⃗ . b⃗=abcosϕ
onde a é o módulo de a, b é o módulo de b e φ o menor ângulo entre a e b.
b
φ
a
O produto escalar pode ser entendido como o produto do módulo de um dos vetores pela 
componente do segundovetor na direção do primeiro:
O produto escalar é uma grandeza escalar, possuindo um valor positivo, negativo ou zero. 
Quando φ está compreendido entre 0º e 90º, cos φ > 0 e o produto escalar é positivo. Quando φ está 
compreendido entre 90º e 180º, cos φ < 0 e o produto escalar é negativo. Quando φ = 0º, cos φ = 1 e 
a.b = ab, que é o maior valor possível. Finalmente, quando φ = 90º, a.b = 0. O produto escalar de 
dois vetores ortogonais é sempre igual a zero.
O produto escalar é comutativo:
a⃗. b⃗=b⃗ . a⃗=(acosϕ)b=a(bcosϕ)=b(a cosϕ)=(b cosϕ)a=ab cosϕ
Podemos calcular o produto escalar a.b a partir das componentes dos dois vetores, graças a 
distributividade do produto escalar:
a⃗ . b⃗=(ax i⃗ +a y j⃗+az k⃗ ). (bx i⃗ +b y j⃗+bz k⃗ )=ax bx+ay by+az bz
O produto escalar entre dois vetores é igual à soma dos produtos escalares entre suas respectivas 
componentes.
O produto escalar fornece um método direto para o cálculo do ângulo φ entre dois vetores a 
e b cujos componentes sejam conhecidos:
cosϕ=
ax bx+ay by+az bz
ab
Exemplo:
Qual é o ângulo φ entre a = 3,0i – 4,0j e b = -2,0i + 3,0k ?
c. Produto vetorial
O resultado do produto vetorial de dois vetores a e b, designado por a × b, é um terceiro 
vetor c, de módulo c = ab sen φ, com φ o menor ângulo entre a e b, de direção perpendicular ao 
plano que contém a e b, e de sentido dado pela regra da mão direita.
Quando a e b forem dois vetores paralelos ou antiparalelos, φ = 0º ou 180º, então c = 0. O 
b
φ
a
b
φ
a
b c
os
 φ
a cos φ
a
b
c = a × b
φ
produto vetorial de dois vetores paralelos ou antiparalelos é sempre igual ao vetor nulo. Em 
particular, o produto vetorial de qualquer vetor com ele mesmo é igual a zero.
Propriedades do produto vetorial:
Anticomutatividade: a × b = - b × a, 
Distributividade sobre a adição: a × (b + c) = a × b + a × c
Linearidade com a multiplicação escalar: (sa) × b = a × (sb) = s(a × b)
Não é associativo: a × (b × c) ≠ (a × b) × c
Produto vetorial usando as componentes:
O produto vetorial de um vetor com ele mesmo é zero, assim: i⃗× i⃗= j⃗× j⃗=k⃗×k⃗= 0⃗ .
Os vetores unitários são todos ortogonais entre si:
i⃗× j⃗=− j⃗× i⃗= k⃗
j⃗× k⃗=−k⃗× j⃗= i⃗
k⃗× i⃗=− i⃗× k⃗= j⃗
Usando essas equações, temos: a⃗×b⃗=(a y bz−azb y) i⃗ +(az bx−ax bz) j⃗+(ax by−ay bx) k⃗
O produto vetorial também pode ser expresso sob forma de um determinante do seguinte 
modo:
a⃗×b⃗=∣ i⃗ j⃗ k⃗ax ay azbx by bz∣
Exemplos:
1)
a. Calcule a.b
b. Calcule a × b
b
a
z
y
x
250º
2) a = 3i – 4j e b = -2i + 3k
Calcule c = a × b
3) a = 3i + 3j – 2k
 b = -1i – 4k +2k
 c = 2i + 2j + 1k 
a. Calcule a.(b × c)
b. Calcule a.(b + c)
c. Calcule a × (b + c)
4) 
Os módulos dos vetores são a = 3,00, b = 4,00 e c = 10,0
a. Calcule os componentes dos três vetores.
b. Determine os dois números p e q tais que c = pa + qb.
a
b
c
30º