Quest~oes de Integrais Duplas e Triplas - Hamilton UFMG

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Questo˜es de Integrais Duplas e Triplas
1. Resolva as integrais duplas:
(a)
∫ 5
0
∫ 10
2x
y4exy
2
dydx. Resp.: 2e
500−1002
3
.
(b)
∫ 3
−3
∫ 5
√
2
sen x cos y2dydx. Resp.: 0.
(c)
∫ 2
0
∫ 2
x
y4 sen (xy2) dydx. Resp. 8−sin 8
3
.
(d)
∫ 1.010
−1.010
∫ 4
2
[
y5ex
2+y2 + 1
]
dxdy. Resp.: 4040.
(e)
∫ 1
0
∫ 1
x2
√
ye
√
yxdydx. Resp.: e− 2.
(f)
∫ 2
0
∫ 2
y
3x4eyx
2
dxdy. Resp.: e8 − 9.
(g)
∫ 14
−14
∫ 1081
392
e−(x
2+9y2) sen (y191) dxdy. Resp.: 0.
(h)
∫ √3
−√3
∫ 5
2
y171 sen (x2) dxdy. Resp.: 0.
2. Resolva as integrais duplas utilizando coordenadas polares:
(a)
∫ ∫
D
cos (x2 + y2) dydx em que D e´ a parte do disco x2 + y2 ≤ 1 que esta´ no primeiro
quadrante e acima da reta y = x. Resp.: pi sen 1
8
.
(b)
∫ √2
0
∫ √4−y2
y
1
1 + x2 + y2
dxdy. Resp.: pi
8
ln 5.
3. Utilize a mudanc¸a de varia´veis x =
√
u e y = v para calcular a integral∫ ∫
R
xex
2+ydxdy
em que R e´ a regia˜o do primeiro quadrante limitada pela para´bola y = 1− x2 e pela retas x = 0
e y = 0. Resp.: 1
2
.
4. Utilize a mudanc¸a de varia´veis x = u2 (com u ≥ 0) e y = v para calcular a integral∫ ∫
R
sen(
√
x + y)√
x
dxdy
em que R e´ a regia˜o do primeiro quadrante limitada pelo gra´fico da func¸a˜o y =
√
x e pela retas
x = 1 e y = 0. Resp.: 2 sen 1− sen 2.
5. Utilize coordenadas esfe´ricas para calcular a integral∫∫∫
E
1
x2 + y2 + z2
dV
em que E e´ o so´lido limitado acima pelo cone z =
√
3 (x2 + y2) e abaixo pela esfera z2+y2+x2 =
z. Resp.: 3pi
4
6. Utilize coordenadas esfe´ricas para calcular a integral∫∫∫
E
x2
(x2 + y2 + z2)2
dV
em que E e´ o so´lido limitado pelo cone z =
√
3 (x2 + y2) e pelo paraboloide z = x2 + y2. Resp.:
3pi
8
7. Calcule a integral ∫∫∫
E
zdV
em que E e´ o so´lido limitado abaixo pelo plano z = 2 e acima pelo paraboloide
z = 6− x2 − y2.
Resp.: 80pi
3
.
8. Calcule o volume do so´lido limitado pelas superf´ıcies z = x2 + y2 e z = 1−√x2 + y2. Resp.:
pi(13−5√5)
12
.
9. Calcule, utilizando coordenadas cil´ındricas, o volume do so´lido E, limitado abaixo pelo
plano z = k e acima pela esfera z =
√
1− x2 − y2. (0 < k < 1.) Resp.: pi(2−3k+k3)
3
.
10. Considere o so´lido E exterior ao cone z =
√
3(x2 + y2) e interior a` esfera x2 + y2 + z2 = 2z.
Calcule, utilizando coordenadas esfe´ricas, a massa total do so´lido sabendo que a densidade de
massa em cada ponto do so´lido e´ proporcional a` distaˆncia desse ponto a` origem. Resp.: 9kpi
√
3
20
.
11. Calcule, utilizando coordenadas esfe´ricas, o volume do so´lido E, limitado abaixo pelo plano
z = k e acima pela esfera z =
√
1− x2 − y2. (0 < k < 1) Resp.: pi(2−3k+k3)
3
.
12. Calcule a massa do so´lido limitado pelo cone z =
√
x2 + y2 e pelo plano z = 1, se a densidade
de massa e´ dada por f(x, y, z) = x2 + y2 + z2. Resp.: 3pi
10
.