EXERCÍCIOS D3 INTEGRAIS 001

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Lista de Exercícios - 
 
1) Determine o domínio das funções abaixo e represente graficamente: 
 
a)   2
2
xy
1x
1
y,xf 

 . b)   )yxln(.4yy,xf 2  . c)    22 yxlny,xf  . 
 
d)   




 

x
1yx
lny,xf
22
. e)    yxy,xf  arccos . f)  
1x
36x9y4
y,xf
2
22


 . 
 
 
2) Para esboçar o gráfico das funções abaixo determine o domínio; determine e trace as 
interseções da superfície com os planos coordenados; determine e trace as curvas de nível; 
 
a) 
2216 yx)y,x(f  . b) 22 49 yx)y,x(f  . c) 2x)y,x(f  . 
 
d) y4x28)y,x(f  . e) 122  yx)y,x(f f) 21 y)y,x(f  
 
 
3) Seja   






9
y
xlny,xf
2
2 . Determine (e esboce) a equação da curva de nível que 
passa pelo ponto  0,1 . 
 
4) Se  y,xT for a temperatura em um ponto  y,x sobre uma placa lisa de metal no plano 
XOY, então as curvas de nível de T são chamadas de curvas isotérmicas. Todos os pontos 
sobre tal curva têm a mesma temperatura. Suponha que uma placa ocupa o 1o quadrante e 
  xyy,xT  . 
 
a) Esboce as curvas isotérmicas sobre as quais T = 1 e T = 2. 
 
b) Uma formiga, inicialmente sobre o ponto (1, 4), anda sobre a placa de modo que a 
temperatura ao longo de sua trajetória permanece constante. Qual é a trajetória tomada pela 
formiga e qual é a temperatura ao longo de sua trajetória? 
 
 
5) Se V(x,y) for a voltagem ou potencial sobre um ponto (x,y) no plano XOY, então as curvas 
de nível de V são chamadas de curvas equipotenciais. Ao longo de tal curva a voltagem 
permanece constante. Dado que 
22 yx16
8
)y,x(V

 , identifique e trace a curva 
equipotencial na qual V = 1. 
 
6) Determine os limites a seguir: 
a) 
yx
xy
lim
3
)2,1()y,x( 
 ; b) 
22
3223
yx
yxyyxx
lim
)0,0()y,x( 


; c) 
 
)3y()1x(
)xyx)(4yx(
lim
2
)3,1()y,x( 


. 
 
7) Calcule 
yx
yx
lim
)0,0()y,x( 


 ao longo dos caminhos abaixo e conclua sobre a existência do 
mesmo. 
a) y = x. b) y = x2. c) y = 2x. 
 
8) Para as funções abaixo, calcule as derivadas parciais no ponto Po indicado. 
 
a) ; .)2,1(P)xyln(e)y,x(f o
x 
 
b)    .)1,0(Pyxcosx)y,x(f o ;  
c)      .1,0P;yxlnyy,xf o222  
 
d)        .1,1P;yxyxy,xf o2222  
e)      .2,2P;xyarctgy,xf o  
 
f)      .2,1P;yxlney,xf o
x  
g)       ).4,4,4(P;ztg.ysenxz,y,xg o
2  
 
h)        .1,1,1P;xyzzyxz,y,xg o222  
 
9) Considere a função 
22
2
yx
xy
z

 . Verifique se a equação z
y
z
y
x
z
x 





 é verdadeira 
   0,0y,x  . 
 
10) Determine o coeficiente angular da reta tangente no ponto (1,1,5) à curva obtida pela 
interseção da superfície 
22 y4xz  com plano: a) x = 1; b) y = 1. 
 
11) Seja  
2xyey,xf  uma superfície e Po(1,2)   fD . Determine a equação da reta 
tangente à curva obtida pela interseção dessa superfície com o plano: 
 
a) x = 1 no ponto (1, 2, 2/e); b) y = 2 no ponto (1, 2, 2/e). 
 
 
12) A área A da superfície lateral de um cone circular reto de altura h e raio da base r é dada 
por. 
A = .r .rh 22  
 
a) Se r é mantido fixo em 3 cm, enquanto h varia, encontre a taxa de variação de A em relação 
a h, no instante em que h = 7cm. 
 
b) Se h é mantido fixo em 7cm, enquanto r varia, encontre a taxa de variação de A em relação 
a r, no instante em que r = 3cm. 
 
13) Um ponto move-se ao longo da interseção do parabolóide elíptico 
22 y3xz  e do 
plano 
 x = 2. A que taxa está variando z em relação a y quando o ponto está em (2,1,7). 
 
14) Uma placa de metal aquecida está situada em um plano XOY de modo que a temperatura 
T no ponto (x,y) é dada por T x y x y( , ) ( ) . 10 2 2 2 Determine a taxa de variação de T em 
relação à distância percorrida ao longo da placa a partir do ponto (1,2), nas direções positivas 
de: 
 
a) OX. b) OY. 
 
 
15) Verifique se as derivadas parciais de segunda ordem mistas ( fxy e fyx ) são iguais. 
 
a)   3xy7xy8x4y,xf 42  . b)   22 yxy,xf  . 
 
16) Mostre que a função    Ctxsent,xu  é uma solução da equação da onda 
2
2
2
2
2
x
u
C
t
u





. 
17) Verifique se as funções abaixo satisfazem a equação de Laplace 
0
y
z
x
z
2
2
2
2






 para todo x e y. 
a) 223 yxxz  . b)    xcoseysenez yx  . 
 
18) Mostre que a função 





 
C
x
senez t , C constante, satisfaz a equação do calor 
2
2
2
x
z
C
t
z





. 
 
19) Quando dois resistores de resistências R1 ohms e R2 ohms são conectados em 
paralelo, sua resistência combinada R em ohms é 
21
21
RR
RR
R

 . 
 
Verifique se é verdadeira a equação: 
4
21
2
2
2
2
1
2
2
)RR(
R4
R
R
R
R







. 
 
20) Usando a regra da cadeia encontre as derivadas parciais das seguintes funções: 
 
a) z = 4x3  3x2y2; 





vsenuy
vcosux
; 
u
z


 e 
v
z


 b) z = ln(u2 + v2); 






xy3x2v
yxu
2
22
x
z


 
e 
y
z


 
 
21) Determine a derivada total em cada caso 
 
a) 






tlny
ex
;
y
x
z
t
; b) 






xcosv
xsenu
;uz v 
 
22) O raio r e a altura h de um cilindro circular reto aumentam à razão de 2 cm/min 
e 6 cm/min, respectivamente. Num determinado instante sabe-se que cm8r  e 
cm14h  . A que taxa a área da superfície total está variando neste instante? 
 
Obs.: A área da superfície total do cilindro é    hrr2rh2r2h,rS 2  . 
 
23) O comprimento l, a largura w e a altura h de uma caixa variam com o tempo. As 
arestas l e w estão aumentando a uma taxa de 0,2m/s, ao passo que h está 
diminuindo a uma taxa de 0,3m/s. Num certo instante as dimensões da caixa são l = 
1m, w = 2m e h = 2m. Neste instante: 
 
 
a) Como está variando o volume da 
caixa? 
b) Como está variando a diagonal* AB 
da caixa? 
 
*Sugestão: Calcule a diagonal AB da 
caixa 
usando o triângulo retângulo ABC. 
 
 
24) Suponha que a parte de uma árvore que é utilizável como madeira é um cilindro 
circular reto. Se a altura utilizável da árvore cresce a uma taxa de 2 pés por 
ano e o diâmetro utilizável cresce 3 pés por ano, com que velocidade cresce o 
volume da madeira utilizável quando a altura utilizável da árvore for 20 pés e o 
diâmetro utilizável for de 2,5 pés? 
 
25) Um circuito elétrico simples consiste em um resistor R e uma força eletromotriz V. 
Em certo instante, a força eletromotriz é 100v e aumenta à taxa de 3 volts/min, 
enquanto a resistência é de 50 ohms e decresce à razão de 2 ohms/min. A que taxa 
varia a corrente I (em amperes) nesse instante? 
 
Obs.: Use a lei de Ohm RIV  . 
 
26) Num triângulo, dois lados a e b crescem a uma taxa de 1 cm/s. Se a área do 
triângulo permanece constante, a que taxa está variando ângulo , entre os lados, 
quando =/ rad, a=4cm e b=3cm? 
Sugestão: A área (A) do triângulo é dada por   2senabA  . 
 
 
Respostas: 
1) 
a) {(x,y)  R2; x2 –1  0 e y 
 x2}. 
 
 
b) {(x,y)  R2; y  2 ou y  -2 
e x > y }. 
 
c) {(x,y)  R2; x2 – y2 > 0}. 
 
 
 
 
d) {(x,y)  R2; x  0 e 
  0x1yx22  } 
 
 
 
 
e) {(x,y)  R2; -1 x – y  1}. 
 
 
f) {(x,y)  R2; (x2/4)+( y2/9) 
1, x1 e x-1}. 
 
 
 
 
 
2a) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3) 1
9
y
x
2
2  . Uma elipse de centro (0,0) e semi-eixos e tamanho 1 (ox) e 3 (oy). 
 
4) a) b) O caminho é xy = 4 e a temperatura 
T = 4 
 
 
 
 
 
 
 
2b) 
 
2c) 
 2d) 
 
2f) 
 
2e) 
 
 
5) A curva é x2 + y2 = 48 (circunferência). 6) a) 8, b) 0, c) 4 7) a) 0; b) 1; c) 1/3 . 
limite. 
8) a) fx(Po) = e[ln(2) + 1]; fy(Po) = e/2; b) fx(Po) = 1 ; fy(Po) = 0; 
c) fx(Po) = 0; fy(Po) = 2; d) fx(Po) = 1; fy(Po) = 1 ; 
e) fx(Po) = 1/4 ; fy(Po) = 1/4; f) fx(Po) = eln3 + e/3; fy(Po) = e/3; 
g) gx(Po) = 1/4; gy(Po) = 1; gz(Po) = 1; h) gx(Po) = 1 ; gy(Po) =  1; gz(Po) = 1 
9) sim. 10) a) 8; b) 2. 11) a) 





ezy
1x
 b) 





6ezx4
2y
 12) a) 
21
58

. 
b) 
67
58

. 
13) 6 14) a) 200; b) 400 
15) a) fxy = fyx = 32y3 + 7; b)   2/322yxxy yxxyff

 ; 
17) a) não; b)sim 19) sim. 
20) a) ucosyvx6vcos)xy6x12(
u
z 222 


; 
usenyx6)vsenu)(xy6x12(
v
z 222 


 
b) )y3x4(
vu
v2
x2
vu
u2
x
z
2222







; x3
vu
v2
y2
vu
u2
y
z
2222 





 
21) a) 
tlnt
e
tln
e
dt
dz
2
tt
 ; b) xsen)xln(sen)x(sen)x(senxcos
dx
dz xcos1xcos2   
 
22) 216 cm2/min. 23) a) 0,6 m3/s; b) 0 m/s; 24) (625/8) pés3/ano. 25) 
0,14 A/min . 
26) s/rad3
36
7
  .