Exercícios complementares

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Exercícios Complementares 
 
1) Determine o domínio das funções abaixo, faça um esboço gráfico do domínio encontrado e explique o que 
representa o domínio de uma função de duas variáveis. 
a) 
2 3
( , )
3 2
x y
f x y
x y



 b) ( , )f x y x y  c) 
2 2
3 5
( , )
4
x y
f x y
x y


 
 
2) Diga se as informações abaixo devem (1), podem (2) ou não podem (3) ser verdadeiras. A função z = f (x,y) 
está definida em todo 
2
. 
a) As curvas de nível correspondendo a z = 1 e z = 1 se cruzam na origem. (1) (2) (3) 
b) A curva de nível z = 1 consiste de duas retas que se interceptam na origem. (1) (2) (3) 
c) Se 
2 2( )x yz e  , existe uma curva de nível para todo valor de z. (1) (2) (3) 
3) Considere uma placa de metal no formato de uma elipse dada pela equação 
2
2 1
4
y
x
 
  
 
. Se a temperatura 
em cada ponto da placa é dada pela função  
2
2, 30
4
y
T x y x
 
   
 
, determine onde ocorre sua menor 
temperatura. Sugestão: faça seu gráfico. 
4) Calcule todas as derivadas parciais das funções dadas. 
 a) z = 3e y ln (2x2  1) b) 
32
1 4
x
z
y


 c) 
3 3 2 3
2( , , , ) 3
32
w z xy z
f w x y z xy
y w
   
5) Seja sen
x
z x
y
 . Mostre que 
z z
x y z
x y
 
 
  . 
6) A temperatura em qualquer ponto (x,y) de uma placa de aço é dada por T = 500 – 0,6x2 – 1,5y2 onde x e y são 
medidos em metros. Determine as taxas de variação da temperatura com a distância ao longo dos eixos x e y no 
ponto (2,3). Descreva com palavras o significado do valor de cada uma das taxas encontradas. 
7) Quando o tamanho das moléculas e suas forças de atração são levados em conta, a pressão P, o volume V e a 
temperatura T de um mol de gás confinado estão relacionados pela equação de Van Der Waals 
2
( )
a
P V b kT
V
 
   
 
 
em que a,b e k são constantes positivas. Se t é o tempo, estabeleça uma fórmula para dP/dt em termos de dT/dt, 
dV/dt, T e V. 
8) O raio r e a altura h de um cilindro circular reto aumentam à taxa de 0,01 cm/min e 0,02 cm/min, 
respectivamente. 
a) Encontre a taxa de variação do volume quando r = 4 cm e h = 7 cm. 
b) A que taxa a área da superfície curva está variando neste instante? 
9) A produção de trigo, W, em um determinado ano depende da temperatura média T e da quantidade anual de 
chuva R. Cientistas estimam que a temperatura média anual está crescendo à taxa de 0,015 °C/ano, e a quantidade 
anual de chuva está diminuindo à taxa de 0,1 cm/ano. Eles também estimam que, no corrente nível de produção, 
2
W
T

 

 e 8
W
R



. Estime a taxa de variação corrente da produção de trigo. 
10) A voltagem V num circuito elétrico simples está decrescendo devagar à medida que a bateria se descarrega. 
Se resistência R está aumentando a uma taxa de 0,03 /s e a voltagem está diminuindo a uma taxa de 0,01 V/s, 
use a lei de Ohm, V = IR, para calcular como a corrente I está variando no momento em R = 400 , I = 0,08 A. 
11) Indique a região do 
2
onde as funções dadas são diferenciáveis: 
 a) 
2 2
3 3( , )f x y x y  b) z = x + y c) 
5
2 2
2
, ( , ) (0,0)
( , )
0 , ( , ) (0,0)
x
x y
f x y x y
x y


 


 
12) Determine, se existir, a equação do plano tangente ao gráfico das funções dadas, nos pontos indicados: 
a) 2 2
1 2
1 1 2
( , ) 1 ; (0,0,1) e , ,
2 2 2
f x y x y P P
 
     
 
; 
b) 
2 2
1 22 3 ; (0,0,0) e (1,1, 1)z x y P P   . 
13) Determine o erro decorrente de tomarmos a diferencial dz como uma aproximação da variação exata z 
para as seguintes funções: 
a) 2 0 0( , ) , ( , ) (1,1), 0,01, 1f x y x y xy x y x y        
b) 2 2( , ) ,f x y x y  (x,y) passando de (1,2) para (1,01; 2,01) 
14) A pressão, o volume e a temperatura de um mol de gás ideal estão relacionados pela equação PV = 8,31T, 
onde P é medida em quilopascals, V em litros e T em kelvins. Determine a variação aproximada da pressão se o 
volume aumenta de 12 L para 12,3 L e a temperatura decresce de 310 K para 305 K. Calcule também a variação 
percentual. 
15) O período T de um pêndulo simples com pequenas alterações é calculado através da fórmula 2
L
T
g
 , 
onde L é o comprimento do pêndulo e g é a aceleração da gravidade. Suponha que os valores de L e g tenham 
erros de, no máximo, 0,5% e 0,1% para mais ou para menos, respectivamente. Use diferenciais para calcular o 
erro percentual máximo no valor calculado de T. 
16) Verifique o Teorema de Schwartz para as funções: 
 a) 
2 2
( , )
y
f x y
x y


 b) 
2
( , ) x yf x y xe  
17) A equação de Laplace tridimensional é satisfeita, dentre outras funções, pelas distribuições de temperatura 
no estado estacionário no espaço, pelos potenciais gravitacionais e pelos potenciais eletrostáticos, sendo dada por: 
 
Mostre que a função satisfaz a equação de Laplace. 
18) Determine o polinômio de Taylor para as funções abaixo, no ponto e ordem indicados: 
 a) 0( , ) arctg ; (1,1), ordem 2
x
f x y P
y
 
  
 
; b) 0( , ) ln(1 ), (0,0), ordem 3;
xf x y e y P  
 c) 2 0( , ) cos( ), 1, , ordem 3.
2
f x y x y xy P
 
   
 
 
2 2 2( , , ) 2f x y z x y z  
2 2 2
2 2 2
0
f f f
x y z
  
  
  