avaliacao calculo numerico av2

Prévia do material em texto

1a Questão (Ref.: 201307290475)
	Pontos: 0,2  / 1,5
	O que entende por matriz mal condicionada? Que cuidados devem ser tomados quando aparecem em sistemas lineares. (0,5 ponto) O que entende por convergência linear e convergência quadrática, no cálculo de raízes ?(0,5 ponto) Explique a importância do Método LU.
		
	
Resposta: uma matriz mal condicionada e os cuidados que devemos ter quando aparecem em sistemas, é a posição na qual a mesma esta no sistema, pois podemos alterar a posição do sistema da melhor forma para que possamos calcular, ou então efetuar a simplificação de uma linha para que possamos calcular. convergencia linear e quadradita, são metodos numericos para que possamos chegar a raizes,onde as mesmas podem se convergir ou nao dentro do calculo... assim como o metodo da bisseção,ponto fixo, falsa posição..
	
Gabarito: Entende-se por Matriz Mal Condicionada a matriz cujo determinante é muito pequeno quando comparado com a ordem de grandeza de seus elementos. (uma definição mais precisa exigiria definir norma de matriz). São matrizes que, quando envolvidas na solução de sistemas lineares, tornam os resultados pouco confiáveis, pois pequenos arredondamentos nos componentes da matriz, ou em resultados intermediários, alteram profundamente o cálculo final das raízes do sistema. Tendo um Sistema Linear uma matriz mal condicionada, os cálculos deverão ser feitos com a maior precisão possível, procurando-se minimizar a propagação desses erros, que são críticos nesse caso, podendo levar a resultados profundamente diferentes dos verdadeiros. Convergência¿ quando se calcula uma raiz de uma equação por um processo iterativo, busca-se, a cada nova iteração, aproximar-se mais e mais do verdadeiro valor da raiz. Em cada iteração, entretanto, há um erro associado a ela. Num método que convirja, a tendência é a da diminuição dos erros, que deverão tender a zero. Se o erro de uma iteração é aproximadamente proporcional ao erro da iteração anterior, isto é, ei+1 » k.ei , diz que a convergência é linear, sendo |k| < 1. Se ei+1 » k ei2 , isto é, se cada novo erro é proporcional ao quadrado do erro anterior, diz-se que a convergência é quadrática. Admitindo-se que os erros sejam pequenos, o quadrado do erro tende a zero mais rapidamente, daí a convergência quadrática ser mais rápida que a convergência linear. Método LU para resolução de Sistemas Lineares¿ nesse método, fatora-se a matriz do sistema no produto de duas matrizes: uma triangular inferior e outra triangular superior. Assim, transforma-se um sistema A.X = B num sistema L.U.X = B, onde L é uma matriz triangular inferior e U uma matriz triangular superior. Chamando-se U.X de Y , tem-se o sistema L.Y = B, de imediata solução, pois L é uma matriz triangular. Calculado o vetor Y, passa-se ao sistema U.X = Y, também triangular e de solução imediata. Assim calcula-se X, que é a solução do sistema A.X = B. É muito comum, na prática, ter-se que resolver sistemas onde só muda o vetor B, considerado, em geral, a carga do sistema. A solução fica acelerada pela fatoração inicial da matriz A e a resolução posterior de dois sistemas triangulares. Para cada novo vetor B, lado direito do sistema, repete-se a solução dos dois sistemas triangulares, de solução rápida.
	
	
	 2a Questão (Ref.: 201307326309)
	Pontos: 1,5  / 1,5
	Considere a integral definida I. Utilizando o método de Romberg para determinação desta integral determinou-se o quadro abaixo.
 
	0
	-
	-
	-
	1,587
	2,128
	-
	-
	1,874
	2,026
	2,100
	-
	1,996
	2,008
	2,000
	2,000
 
Considere que o valor exato desta integral é 2,003. Determine:
 
a) O valor de I pelo método de Romberg
b) O erro absoluto neste cálculo
		
	
Resposta: a = 2.000 b=0.003
	
Gabarito:
a) 2,000
b) 0,003
	
	
	 3a Questão (Ref.: 201307796438)
	Pontos: 0,0  / 0,5
	A Matemática traduz as ideias desenvolvidas em diversas ciências, como a Física, a Química e as Engenharias, em uma linguagem algébrica clara, que nos possibilita a manipulação de equações matemáticas e, desta forma, o descobrimento e entendimento dos fenômenos naturais que nos rodeiam. Neste universo de conhecimento matemático, existem as funções que seguem o padrão f(x)=ax2+bx+c, onde "a", "b" e "c" representam números reais, com "a" diferente de zero. Com relação a este tipo de função, PODEMOS AFIRMAR:
		
	
	A forma gráfica destas funções sempre apresentam interseções com o eixo horizontal.
	 
	O coeficiente "a" está relacionado a forma crescente ou decrescente da forma gráfica associada a função.
	 
	Estas funções possuem em suas representações gráficas pontos que são denominados vértice da parábola.
	
	Estas funções são adequadas a representação de fenômenos constantes ao longo do tempo.
	
	Estas funções apresentam comportamento crescente ou decrescente, porém nunca ambos.
	
	
	 4a Questão (Ref.: 201307785398)
	Pontos: 0,5  / 0,5
	Considere o conjunto de instruções: If A > B then C = A x B Else C = A/B Se os valores de A e B são, respectivamente, 10 e 2, determine o valor de C após esse conjunto de instruções ser executado.
		
	
	Indefinido
	
	5
	
	Qualquer valor entre 2 e 10
	 
	20
	
	0
	
	
	 5a Questão (Ref.: 201307451220)
	Pontos: 0,0  / 0,5
	Com relação ao método da falsa posição para determinação de raízes reais é correto afirmar, EXCETO, que:
		
	 
	A raiz determinada é sempre aproximada
	
	É um método iterativo
	
	A precisão depende do número de iterações
	
	Necessita de um intervalo inicial para o desenvolvimento
	 
	Pode não ter convergência
	
	
	 6a Questão (Ref.: 201307850325)
	Pontos: 0,0  / 0,5
	O Método do Ponto Fixo inicia-se reescrevendo a função f(x) como: f(x)=φ(x)-x=0, assim para calcular a raiz da equação x2-3x+ex=2 empregando o MPF, determine qual função abaixo NÃO corresponde a uma função de iteração.
 
 
		
	
	φ(x)=2-exx-3
	
	φ(x)=2-x2-ex-3
	 
	φ(x)=ln(2-x2+3x)
	 
	φ(x)=-x2+3x+2
	
	φ(x)=2+3x-ex
	
	
	 7a Questão (Ref.: 201307796544)
	Pontos: 0,0  / 0,5
	A Pesquisa Operacional é uma forte ferramenta matemática que se utiliza basicamente de sistemas lineares para "modelar" uma determinado contexto em que temos um problema físico, econômico, financeiro etc. Entre as opções oferecidas a seguir, identifique qual método numérico PODE ser utilizado para a resolução de sistemas lineares.
		
	
	Método da falsa-posição.
	
	Método do ponto fixo.
	 
	Método de Gauss-Jordan.
	 
	Método da bisseção.
	
	Método de Newton-Raphson.
	
	
	 8a Questão (Ref.: 201307796560)
	Pontos: 0,0  / 0,5
	Em experimentos empíricos, é comum a coleta de informações relacionando a variáveis "x" e "y", tais como o tempo (variável x) e a quantidade produzida de um bem (variável y) ou o tempo (variável x) e o valor de um determinado índice inflacionário (variável y), entre outros exemplos. Neste contexto, geralmente os pesquisadores desejam interpolar uma função que passe pelos pontos obtidos e os represente algebricamente, o que pode ser feito através do Método de Lagrange. Com relação a este método, NÃO podemos afirmar:
		
	
	Na interpolação para obtenção de um polinômio de grau "n", precisamos de "n+1" pontos.
	 
	As interpolações linear (obtenção de reta) e quadrática (obtenção de parábola) podem ser consideradas casos particulares da interpolação de Lagrange.
	
	A interpolação de polinômios de grau "n+10" só é possível quando temos "n+11" pontos.
	 
	Na interpolação quadrática, que representa um caso particular do polinômio de Lagrange, precisamos de dois pontos (x,y).
	
	Na interpolação linear, que pode ser obtida através do polinômio de Lagrange, precisamos de dois pontos (x,y).
	
	
	 9a Questão (Ref.: 201307322136)
	Pontos: 1,0  / 1,0O valor de aproximado da integral definida   utilizando a regra dos trapézios com n = 1 é: 
		
	
	24,199
	
	11,672
	 
	20,099
	
	30,299
	
	15,807
	
	
	 10a Questão (Ref.: 201307406093)
	Pontos: 1,0  / 1,0
	Considere a equação diferencial y´= y, sendo y uma função de x. Sua solução geral é y(x) = a.e^x, onde a é um numero real e e um número irracional cujo valor aproximado é 2,718. Se a condição inicial é tal que y(0) = 2, determine o valor de a para esta condição.
		
	
	1
	
	0
	
	1/2
	
	3
	 
	2