Cálculo Numérico: Erros

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REDEMAT - Métodos Numéricos e Estatísticos
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Cálculo Numérico
Erros
Prof. Elizeu Melo da Silva
EQ/IGE/UNIFESSPA
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CAPÍTULO I - ERROS
1) Conversão de nºs binários em decimais:
N= (bm bm-1 ... b1 b0 )2 = (bm2m + bm-12m-1 + ... + b121 + b020)10
Onde bi  {0,1} i=1,...,m
Ex1: (1001)2 = (b3 b2 b1 b0 )2 = 
= (123 + 022 + 021 + 120)10 =
= (8 + 0 + 0 + 1)10 = 
= (9 )10
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2) Conversão de nºs decimais em binários:
N=(dn dn-1 ... d1 d0 )10 = (bm bm-1 ... b1 b0 )2 = 
Onde m é a maior potência de 2 tal que 2m  N
Ex2: (47)10 = (b5 b4 b3 b2 b1 b0 )2 = 
= b525 + b424 + b323 + b222 + b121 + b020 =
= 32b5 + 16b4 + 8b3 + 4b2 + 2b1 + b0 = 
= ( 1 0 1 1 1 1 )2
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3) Representação de nºs decimais fracionários:
f=(0.d1 d2 ... dk ...)10 = d110-1 + d210-2 + ... + dk10-k + ... 
Onde dj  {0,1,...9}
Se existir m tal que dk=0 k > m  f tem representação decimal finita
Ex3: f = 1/8 = 0.125 = 110-1 + 210-2 + 510-3
Ex4: f = 1/9 = 0.111... = 110-1 + 110-2 + 110-3 + ...
 finita
 não finita
4) Conversão de nºs decimais fracionários em binários:
f=(0.d1 d2 ... dk ...)10 = (0.b1 b2 ... bk ...)2 = b12-1 + b22-2 + ... + bk2-k + ... 
Onde bj  {0,1}
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5) Aritmética de ponto flutuante
Seja x um número qualquer na base  em aritmética de ponto flutuante de t dígitos:
x = ±(.d1 d2 ... dt) e
Onde: (i) ±(.d1 d2 ... dt) e é uma fração na base 
(ii) dj {0,1,2,..., -1} 
(iii) e  [m, M]
(iv) t = número máximo de dígitos da mantissa 
Ex: 0.25312 x 10-1 representa 0.025312 na base 10 
Ex: 0.25312 x 102 representa 25312 na base 10 
As limitações no expoente e na mantissa introduzem erro de arredondamento na representação de números reais.
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Um número não pode ser representado se o expoente “e” estiver fora dos limites m e M.
“Underflow” se e < m
“Overflow” se e > M
Números cuja representação em aritmética de ponto flutuante de t dígitos extrapolam os t dígitos da mantissa são armazenados por arredondamento ou por truncamento.
truncagem: descartar todos os decimais a partir de um específico 
arredondamento: 
para cima, descartado para > 5
para baixo, descartado para < 5
0,57  0,6
0,52  0,5
0,57  0,5
0,52  0,5
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Ex5: Seja um sistema de aritmética de ponto flutuante cuja mantissa tenha t=3 dígitos, base =10, m=-4 e M=4.
Ex6: Dados x = 0.937104 e y = 0.127102, calcule x + y para um sistema em que t=4 e =10.
x + y = 0.9370104 + 0.0013104 = 0.9383104 
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Estimativa de erros
Definição de erro:
 = a - ã , onde 
erro relativo:
Tipos de erros:
operações (truncagens e arredondamento)
experimentais
ã = valor aproximado
a = valor verdadeiro (não conhecido)
Na prática,  também não é conhecido. Assim, devemos definir um valor limite para o erro:   |  |
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Propagação de erros
Seja y uma função das variáveis x1, x2, x3, ... xn, ou seja,
y = f (x1, x2, x3, ... xn )
onde xi é uma medida com um erro experimental xi, ou seja
xi = xi  xi 
O erro y em y devido aos erros xi das medidas de xi pode ser obtido como:
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Ex7: Para determinar o período de oscilação de um sistema massa-mola, um aluno mediu a constante elástica da mola e a massa do bloco, encontrando:
m = (100,36  0,03)x 10-3 kg
e
k = (200,4  0,7)x102 N/m
O período de oscilação do sistema é:
O erro T no período será dado por
onde m = 0,03x10-3 kg e k=0,7 x 102 N/m
Substituindo esses valores na equação, obtém-se
T = 2,66 x10-5 s = 0,00266 x 10-2 s
T=(1,406  0,003) x 10-2 s
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Acurácia de Resultados Numéricos
Está relacionada com a solução de EDP’s
Está relacionada com a amplificação de pequenos erros
Estabilidade Numérica