Aula 2 - CalcNum - Erros e Algarismos Significativos

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CÁLCULO 
NUMÉRICO
Prof. Me. Elenilson Tavares Cabral
170101295@prof.uninassau.edu.br
Modelagem Matemática e Soluções
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Definição
Um modelo matemático pode ser definido, de forma geral, como uma
formulação ou equação que expressa as características essenciais de um
sistema ou processo físico em termos matemáticos.
Em um sentido muito geral, ele pode ser representado como uma relação
funcional da forma:
VD: característica, comportamento ou estado do sistema
VI: dimensões, geralmente tempo ou espaço
PARÂMETROS: propriedades ou composição do sistema
FUNÇÕES FORÇANTES: influências externas ao sistema
Modelagem Matemática e Soluções
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Exemplo
Saltador de Bungee Jumping em Queda Livre:
- Prever a velocidade do saltador em função do tempo durante
um período de queda livre.
- Pela segunda Lei de Newton, a força resultante é:
- Fazendo a decomposição de forças no saltador:
Modelagem Matemática e Soluções
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Exemplo
Em que F é a força resultante, FD é a força devido a aceleração da
gravidade e FU é a força devido a resistência do ar.
A força devido a aceleração da gravidade é: FD = m.g
m é a massa em kg.
g é a aceleração da gravidade em m/s2.
A força devido a resistência do ar: FU = - cd.v
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cd é o coeficiente de arrasto concentrado em kg/m.
v e a velocidade em m/s.
Modelagem Matemática e Soluções
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Exemplo
Logo:
Modelagem Matemática e Soluções
6
Exemplo
Logo:
ERROS E ARITMÉTICA DE PONTO FLUTUANTE
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Fases da Resolução de um Problema
Nas aulas seguintes estudaremos métodos numéricos adequados à solução de
diversos tipos de problemas que surgem nas mais diversas áreas da Engenharia
e da Física.
A resolução de tais problemas envolve várias fases que podem ser assim
estruturadas:
ERROS E ARITMÉTICA DE PONTO FLUTUANTE
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Fases da Resolução de um Problema
Não é raro se chegar a resultados finais não esperados ou até mesmo a outros
que não têm relação alguma com a física do problema.
Desta forma, cabe as seguintes questões:
a) Como justificar tais erros?
b) O que se pode fazer para evita-los ou minimizá-los?
Noções básicas de erros que ocorrem em métodos numéricos.
O objetivo é mostrar as principais fontes de erros possíveis e como contorná-los.
Um método numérico é um método não analítico.
Objetivo determinar um ou mais valores numéricos, que são soluções de um certo
problema.
ERROS E ARITMÉTICA DE PONTO FLUTUANTE
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Fases da Resolução de um Problema
Metodologias analíticas conduzem a soluções exatas para os problemas.
Métodos numéricos produzem, em geral, apenas soluções aproximadas.
Antes da utilização de qualquer método numérico é necessário decidir qual a
precisão dos cálculos com que se pretende obter a solução numérica
desejada.
A precisão dos cálculos numéricos é também um importante critério para a
seleção de um algoritmo particular na resolução de um dado problema.
É necessário saber identificar e conhecer a natureza dos principais tipos e
fontes de erros (diferença entre o valor aproximado e o valor exato).
ERROS E ARITMÉTICA DE PONTO FLUTUANTE
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Definição de Erros - Fontes e Tipos
A resolução de um problema de engenharia num computador utilizando um
modelo numérico produz, em geral, uma solução aproximada do problema.
A introdução de erros na resolução do problema pode ser devida a vários
fatores.
Os erros numéricos são causados pelo uso de aproximações para representar
operações e quantidades matemáticas exatas.
Eles incluem erros de truncamento que resultam quando são feitas
aproximações para representar procedimentos matemáticos exatos e erros de
arredondamento que aparecem quando números com uma quantidade limitada
de algoritmos significativos são usados para representar números exatos
ERROS E ARITMÉTICA DE PONTO FLUTUANTE
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Definição de Erros - Fontes e Tipos
Para ambos os tipos, seja o valor aproximado de uma quantidade cujo valor
exato ou valor verdadeiro é x, o erro de verdadeiro, Et , define se como:
O subscrito t é incluído para designar que esse é o erro “verdadeiro” (true em
inglês).
Em outros casos uma estimativa “aproximada” do erro deve ser empregada.
ERROS E ARITMÉTICA DE PONTO FLUTUANTE
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Definição de Erros - Fontes e Tipos
Um defeito dessa definição é que ela não leva em conta a ordem de grandeza
do valor que está sendo examinado.
Um erro de um centímetro é muito mais significativo quando se mede um rebite
do que uma ponte.
Uma forma de considerar o valor das quantidades que estão sendo calculadas é
normalizar o erro com o valor verdadeiro.
ERROS E ARITMÉTICA DE PONTO FLUTUANTE
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Definição de Erros - Fontes e Tipos
O erro relativo como expressa o erro como fração de x está relacionado com o
erro percentual ou percentagem de erro.
OBS: O valor verdadeiro pode ser fornecido em alguns casos.
Nas situações reais, tais informações raramente estão disponíveis.
Métodos numéricos: o valor verdadeiro será conhecido apenas ao se lidar com
funções que podem ser resolvidas analiticamente, caso típico quando se
investiga o comportamento teórico de uma técnica particular para sistemas
simples.
Nas aplicações do mundo real não se conhecerá a priori a resposta verdadeira.
ERROS E ARITMÉTICA DE PONTO FLUTUANTE
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Exemplo
Suponha que você tenha a tarefa de medir os comprimentos de uma ponte
e de um rebite e que conseguiu 9.999 e 9 cm, respectivamente.
Se os valores verdadeiros forem 10.000 e 10 cm, respectivamente,
calcule:
(a) o erro verdadeiro.
(b) o erro relativo porcentual verdadeiro para cada caso.
ERROS E ARITMÉTICA DE PONTO FLUTUANTE
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Definição de Erros - Fontes e Tipos
Uma alternativa é normalizar o erro usando a melhor estimativa disponível do
valor verdadeiro, isto é, a aproximação propriamente dita.
Em que o subscrito a significa que o erro foi normalizado por um valor
aproximado.
Desafio dos métodos numéricos: determinar estimativas de erro na ausência de
conhecimento relativo ao valor verdadeiro.
Certos métodos numéricos usam uma abordagem iterativa para calcular as
respostas: uma aproximação atual é feita com base em uma aproximação prévia.
ERROS E ARITMÉTICA DE PONTO FLUTUANTE
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Definição de Erros - Fontes e Tipos
Esse processo é realizado repetidamente, ou iterativamente, para se calcular com
sucesso (é o que se espera) aproximações cada vez melhores.
O erro é frequentemente estimado como a diferença entre as aproximações
prévia e corrente.
O erro relativo porcentual é determinado de acordo com:
ERROS E ARITMÉTICA DE PONTO FLUTUANTE
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Definição de Erros - Fontes e Tipos
Os sinais nas equações de erros anteriores podem ser tanto positivos quanto
negativos.
Aproximação for maior do que o valor verdadeiro (ou a aproximação prévia for
maior do que a aproximação atual) erro é negativo.
Aproximação for menor do que o valor verdadeiro erro é positivo.
Para as equações de erros relativos o denominador pode ser menor do que zero
o que também pode levar a um erro negativo.
Não há preocupação com o sinal do erro muitas vezes, muitas vezes, mas
interesse em saber se o valor absoluto porcentual é menor que uma tolerância
porcentual pré-especificada εs.
ERROS E ARITMÉTICA DE PONTO FLUTUANTE
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Definição de Erros - Fontes e Tipos
É útil usar o valor absoluto das equações de erros anteriores Ea.
O erro absoluto é o módulo da diferença entre o valor exato do número x e de seu
valor aproximado.
Em geral, apenas o valor de x aproximado é conhecido.
É impossível obter o valor exato do erro absoluto.
Para tais casos, os cálculos são repetidos até que: │εa│ = εs.
Se essa relação for válida, supõe-se que o resultado está dentro do nível
aceitável pré-especificado εs.
ERROS E ARITMÉTICA DE PONTO FLUTUANTE
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Exemplo
Calcule o erro absoluto e o erro aproximado
relativo percentual do número π, se o valor
exato é π = 3,14159265 e o valor aproximado
for:
a) π = 22/7.
b) π = 3,14285714.
ERROS E ARITMÉTICA DE PONTO FLUTUANTE
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Algarismos Significativos
O conceito de um algarismo significativo foi
desenvolvidopara designar formalmente a
confiabilidade de um valor numérico, ou seja,
são aqueles que podem ser usados com
confiança.
Eles correspondem ao número de
algarismos corretos mais um algarismo
estimado.
O velocímetro e o hodômetro fornecem
leituras de três e sete algarismos
significativos, respectivamente.
Um velocímetro e um hodômetro de
automóvel ilustram o conceito de
algarismos significativos.
ERROS E ARITMÉTICA DE PONTO FLUTUANTE
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Para o velocímetro os dois algarismos
corretos são 48.
Convenção: o algarismo estimado é a
metade da menor divisão de escala no
aparelho de medida.
A leitura do velocímetro consistiria em três
algarismos significativos 48,5.
O hodômetro forneceria uma leitura com
sete algarismos significativos, ou seja,
87.324,45.
Algarismos Significativos
Um velocímetro e um hodômetro de
automóvel ilustram o conceito de
algarismos significativos.
ERROS E ARITMÉTICA DE PONTO FLUTUANTE
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Alguns casos podem causar confusão:
Zeros não são sempre algarismos significativos porque eles podem ser
necessários apenas para localizar a vírgula decimal: os números 0,00001845,
0,0001845 e 0,001845 têm quatro algarismos significativos.
Quando zeros à direita são usados em números grandes, não é claro quantos, ou
se algum destes zeros são significativos.
O valor nominal do número 45.300 pode ter três, quatro ou cinco algarismos
significativos, dependendo de os zeros serem conhecidos com confiança.
Algarismos Significativos
ERROS E ARITMÉTICA DE PONTO FLUTUANTE
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Tais incertezas podem ser resolvidas usando-se a notação científica:
4,53.104, 4,530.104 e 4,5300.104 designam que o número é conhecido com três,
quatro ou cinco algarismos significativos, respectivamente.
Duas implicações importantes no estudo de métodos numéricos:
1. Os métodos numéricos fornecem resultados aproximados: necessário
desenvolver critérios para especificar quanta confiança se tem no resultado
aproximado. Uma forma de fazer isso é em termos de algarismos significativos.
Pode-se decidir que a aproximação é aceitável se ela for correta até quatro
algarismos significativos.
Algarismos Significativos
ERROS E ARITMÉTICA DE PONTO FLUTUANTE
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2. Embora quantidades como π, e ou representem quantidades específicas,
elas não podem ser expressas exatamente por um número limitado de
algarismos.
π=3,141592653589793238462643...ad infinitum → jamais pode ser representado
exatamente em computadores.
A omissão dos algarismos significativos remanescentes é chamada de erro de
arredondamento.
Tanto o erro de arredondamento quanto o uso de algarismos significativos para
expressar confiança em um resultado numérico serão explorados em detalhes
posteriormente.
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Algarismos Significativos
ERROS E ARITMÉTICA DE PONTO FLUTUANTE
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Definição de Erros - Fontes e Tipos
OBS: serão utilizados valores absolutos quando forem usados erros relativos.
Também é conveniente relacionar esses erros ao número de algarismos
significativos na aproximação.
Pode ser mostrado que, se o seguinte critério de erro pré-especificado for
satisfeito, é possível ter certeza de que o resultado é correto até pelo menos n
algarismos significativos:
ERROS E ARITMÉTICA DE PONTO FLUTUANTE
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Exemplo
Em matemática, as funções, em geral, podem ser representadas por séries
infinitas. Por exemplo, a função exponencial pode ser calculada usando-se:
Portanto, conforme mais termos forem adicionados em sequência, a aproximação
se torna uma estimativa cada vez melhor do valor verdadeiro de ex. A Equação é
chamada de expansão em série de MacLaurin. Começando com a versão mais
simples, ex = 1, some um termo de cada vez para estimar e0,5. Depois que cada
termo for adicionado, calcule o erro verdadeiro e o erro relativo porcentual
aproximado, respectivamente.
Observe que o valor verdadeiro é e0,5 = 1,648721... Adicione termos até que o
valor absoluto do erro estimado aproximado εa esteja dentro do critério de erro pré-
especificado εs que garanta três algarismos significativos.
!
ERROS E ARITMÉTICA DE PONTO FLUTUANTE
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Classificação dos Erros
Erro inerentes ao modelo ou erros de formulação
Um modelo matemático raramente oferece uma representação exata dos
fenômenos reais.
Na grande maioria dos casos são apenas modelos idealizados.
Ao estudar os fenômenos da natureza nos vemos forçados a aceitar certas
condições que simplificam o problema de forma a torna-lo tratável.
Este tipo de simplificação pode resultar em erro de formulação.
ERROS E ARITMÉTICA DE PONTO FLUTUANTE
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Classificação dos Erros
Erros inerentes aos dados ou incertezas nos dados
Um modelo matemático não contém apenas equações e relações.
Também contém dados e parâmetros.
Frequentemente, são medidos experimentalmente, e portanto, aproximados.
As aproximações nestes dados podem ter grande repercussão no resultado final,
gerando os erros ou incertezas nos dados.
ERROS E ARITMÉTICA DE PONTO FLUTUANTE
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Classificação dos Erros
Erro de truncamento
Muitas equações têm soluções que apenas podem ser construídas no sentido que
um processo de solução infinito possa ser descrito como limite da solução em
questão.
Na prática um processo infinito não pode ser completado e por isso tem de ser
truncado após certo número finito de operações.
A substituição de um processo de solução infinita por um processo finito
(truncamento) resulta num certo tipo de erro designado erro de truncamento.
ERROS E ARITMÉTICA DE PONTO FLUTUANTE
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Classificação dos Erros
Erro de arredondamento
Cálculos que estejam sendo efetuados manualmente ou em cálculos obtidos por
computador somos obrigados a utilizar uma aritmética de precisão finita ou seja,
devemos considerar um número finito de dígitos.
O erro que ocorre ao desconsiderar algarismos e arredondar um número é
designado por erro de arredondamento.
OBS: Os erros inerentes ao modelo e os erros inerentes aos dados são erros
iniciais do problema, exteriores ao processo de cálculo.
Os erros de truncamento e os erros de arredondamento ocorrem no processo de
cálculo de uma solução numérica.
ERROS E ARITMÉTICA DE PONTO FLUTUANTE
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Classificação dos Erros
O erro de arredondamento introduzido em um dado cálculo depende do sistema
usado pela máquina.
Se um número x não têm representação finita na base numérica deste sistema,
ou se o tamanho da palavra da máquina não comporta x, teremos uma
aproximação por arredondamento.
Os erros de arredondamento são associados ao fato de os computadores
utilizarem um número limitado de dígitos para representarem números. O
computador mantém apenas um número fixo de algarismos significativos durante
os cálculos.
Números como π, e ou não podem ser expressos por um número fixo de
algarismos significativos.
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ERROS E ARITMÉTICA DE PONTO FLUTUANTE
32
Classificação dos Erros
Eles não podem ser representados exatamente por um
computador.
Além disso, como os computadores usam uma representação
na base 2 não podem representar precisamente certos
números exatos na base 10.
A discrepância introduzida por essa omissão de algarismos
significativos é chamada de erro de arredondamento.
ERROS E ARITMÉTICA DE PONTO FLUTUANTE
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Representação dos Números no Computador
Os erros numéricos de arredondamento estão diretamente relacionados à
maneira como os números são armazenados no computador.
A unidade fundamental na qual a informação é representada é chamada
de palavra entidade que consiste em uma sequência de dígitos binários
(binary digits) ou bits.
Os números são tipicamente armazenados em uma ou mais palavras.
Sistema numérico é meramente uma convenção para representar
quantidades.
ERROS E ARITMÉTICA DE PONTO FLUTUANTE
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Representação dos Números no Computador
O sistema numérico com o qual há mais familiaridade é o sistema decimal
ou o sistema numérico na base 10.
Base é o número usado como referência para construir o sistema.
O sistema na base 10 usa os 10 algarismos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 (de 0
a 9) pararepresentar os números.
Para quantidades maiores, combinações desses algarismos básicos
devem ser usadas, com a posição ou o valor do lugar especificando a
ordem de grandeza.
ERROS E ARITMÉTICA DE PONTO FLUTUANTE
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Representação dos Números no Computador
O algarismo mais à direita em um número
completo representa um número entre 0 e 9.
O segundo algarismo a partir da direita
representa um múltiplo de 10.
O terceiro algarismo a partir da direita
representa um múltiplo de 100 e assim por
diante.
A figura ao lado mostra como os sistemas (a)
decimal (base 10) e (b) binário (base 2)
funcionam. Em (b), o número binário 10101101
é equivalente ao número decimal 173.
ERROS E ARITMÉTICA DE PONTO FLUTUANTE
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Representação dos Números no Computador
No número 86.409 há oito grupos de 10.000 seis
grupos de 1 000 quatro grupos de 100, zero
grupos de 10 e nove unidades a mais, ou:
A figura (a) fornece uma representação visual de
como o número é formulado no sistema na base
10 notação posicional.
O computador é como um animal de dois dedos
que é limitado a dois estados ou 0 ou 1.
As unidades lógicas primárias dos computadores
digitais são componentes elétricas ligadas ou
desligadas.
ERROS E ARITMÉTICA DE PONTO FLUTUANTE
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Representação dos Números no Computador
Os números em um computador são
representados com um sistema binário ou na
base 2.
As quantidades podem ser representadas
usando se a notação posicional.
O número binário 11 é equivalente a:
(1 + 21 ) + (1 + 20) = 2 + 1 = 3
...no sistema decimal.
ERROS E ARITMÉTICA DE PONTO FLUTUANTE
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Representação dos Números no Computador
Fica mais fácil entender como os inteiros são representados em um computador.
Método dos valores com sinal: utiliza o primeiro bit de uma palavra para indicar o
sinal, com um 0 para positivo e um 1 para negativo e os bits restantes são usados
para armazenar o número.
O valor inteiro 173 seria armazenado em um computador de 16 bits, como na figura
abaixo. Observe que esse método descrito do valor com sinal não é usado para
representar inteiros nos computadores convencionais.
A representação de um inteiro
decimal -173 em um computador
de 16 bits usando-se o método do
valor com sinal
ERROS E ARITMÉTICA DE PONTO FLUTUANTE
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Representação dos Números no Computador
Técnica do complemento de 2: incorpora diretamente o sinal no valor
absoluto do número em vez de fornecer um bit separado para representar
mais ou menos.
Os números acima ou abaixo de um intervalo não podem ser representados.
Uma limitação mais séria é encontrada no armazenamento e na
manipulação de quantidades fracionárias como descrito a seguir.
As quantidades fracionárias são representadas tipicamente em
computadores usando-se a forma de ponto flutuante.
ERROS E ARITMÉTICA DE PONTO FLUTUANTE
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Representação dos Números no Computador
O número é expresso como uma parte fracionária chamada mantissa ou
significando e uma parte inteira chamada de expoente ou característica
como em:
Em que m é a mantissa, b é a base do sistema numérico que está sendo
usado, e e é o expoente (não confundir com o número neperiano).
O número 156,78 poderia ser representado como 0,15678.103 em um
sistema de ponto flutuante na base 10.
ERROS E ARITMÉTICA DE PONTO FLUTUANTE
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Representação dos Números no Computador
A figura abaixo mostra uma forma na qual um número em ponto flutuante
poderia ser armazenado em uma palavra.
O primeiro bit fica reservado para o sinal a próxima série de bits para o
expoente com sinal e os últimos bits para a mantissa.
A maneira como um
número em ponto flutuante
é armazenado em uma
palavra.
ERROS E ARITMÉTICA DE PONTO FLUTUANTE
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Representação dos Números no Computador
Observe que a mantissa está usualmente normalizada se ela tiver o
algarismo dominante nulo.
Suponha que a quantidade 1/34 = 0,029411765... seja armazenada em um
sistema na base 10 em ponto flutuante que permita que apenas quatro
casas decimais sejam armazenadas. A quantidade 1/34 seria armazenada
como: 0,0294x100.
A inclusão do zero inútil à direita da vírgula nos força a abandonar o
algarismo 1 na quinta casa decimal.
ERROS E ARITMÉTICA DE PONTO FLUTUANTE
43
Representação dos Números no Computador
A normalização do número (para se remover o zero dominante) pela
multiplicação da mantissa por 10 e pela diminuição do expoente por 1 para
fornecer 0,2941x10-1.
Manteve se um algarismo significativo adicional quando o número foi
armazenado.
A consequência da normalização é que o valor absoluto de m é limitado:
em que b é a base.
1
𝑏
≤ 𝑚 ≤ 1
ERROS E ARITMÉTICA DE PONTO FLUTUANTE
44
Representação dos Números no Computador
Para um sistema na base 10, m iria variar entre 0,1 e 1, e para um sistema
na base 2 entre 0,5 e 1.
A representação em ponto flutuante permite que tanto frações quanto
números muito grandes sejam expressos em um computador.
Como desvantagens tem-se que: os números em ponto flutuante ocupam
mais espaço e levam mais tempo para processar do que os números inteiros
e; seu uso introduz uma fonte de erros já que a mantissa mantém apenas
um número finito de algarismos significativos, portanto, foi introduzido um
erro de arredondamento.
ERROS E ARITMÉTICA DE PONTO FLUTUANTE
45
Representação dos Números no Computador
O menor número positivo em ponto flutuante
possível para um sistema numérico hipotético
para uma máquina que armazena informação
usando palavras de 7 bits. O primeiro bit indica o
sinal do número, os próximos três para o sinal e
o módulo do expoente, e os três últimos para o
módulo da mantissa. b) Cada valor é indicado
por um traço. Apenas os números positivos são
mostrados. Um conjunto idêntico também se
estenderia na direção negativa.
a) b)
ERROS E ARITMÉTICA DE PONTO FLUTUANTE
46
Exemplo
Analise dois números:
x = 58649656,9 ; y = 58650653,1. 
Use a representação decimal em ponto flutuante com cinco
algarismos significativos na mantissa para representar estes
dois números.
Faça o arredondamento primeiro usando o truncamento e
depois o arredondamento simétrico.
ERROS E ARITMÉTICA DE PONTO FLUTUANTE
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Exemplo
Quando dois números em ponto flutuante são somados, a mantissa com o
número de menor expoente é modificada de forma que os expoentes
sejam os mesmos, o que tem o efeito de alinhar os pontos decimais.
Faça (a + b), com: a = 0,2787x101 e b = 0,3592x10-1
Faça (c – d), com: c = 36,95 e d = 46,74.
Faça (f - g), com: f = 7642 e g = 7641
Faça (f x g), com: f = 1363 e g = 0,06423
ERROS E ARITMÉTICA DE PONTO FLUTUANTE
48
Exemplo
Calcule o polinômio:
y = x3 − 7x2 + 8x − 0,35
em x = 1,37. Use aritmética com 3 algarismos significativos e truncamento.
Calcule o erro relativo percentual.
ERROS E ARITMÉTICA DE PONTO FLUTUANTE
49
Representação dos Números no Computador
Diversos aspectos da representação em ponto flutuante são significativos com
relação aos erros de arredondamento do computador. Dentre eles:
1. Existe um intervalo limitado de quantidades que podem ser representadas.
Exatamente como no caso dos inteiros, há números positivos e negativos grandes
que não podem ser representados.
Tentativas de usar números fora do intervalo aceitável vão resultar no que é
chamado de um erro de overflow.
Além das quantidades grandes, a representação em ponto flutuante tem a limitação
adicional de que números muito pequenos também não podem ser representados
(“buraco” causado pelo underflow entre o zero e o primeiro número positivo na
Figura b).
ERROS E ARITMÉTICA DE PONTO FLUTUANTE
50
Representação dos Números no Computador
Deve ser observado que esse buraco se torna maior por causa da restrição de
normalização:
2 Existe apenas um número finito de quantidades que podem ser
representadas dentro do intervalo.
O grau de precisão é limitado. Os números irracionais não podem ser representados
exatamente.
Os números racionais que não coincidem exatamente com muitos valores no
conjunto também não podem ser representadosprecisamente. Os erros introduzidos
pela aproximação em ambos os casos são chamados de erros de quantização.
1
𝑏
≤ 𝑚 ≤ 1
ERROS E ARITMÉTICA DE PONTO FLUTUANTE
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Representação dos Números no Computador
A aproximação propriamente dita é feita de uma das duas maneiras: truncando ou
arredondando.
Suponha que o valor de π = 3,14159265358... deva ser armazenado em um sistema
numérico na base 10 com sete algarismos significativos.
Um método de aproximação seria simplesmente omitir ou truncar o oitavo termo e os
termos mais altos, como em π = 3,141592... com a introdução de um erro associado
de Et = 0,00000065.
Essa técnica de manter apenas os termos significativos é chamada de truncamento
no jargão da computação.
OBS.: Não confundir esse termo com os erros de truncamento discutidos a seguir.
ERROS E ARITMÉTICA DE PONTO FLUTUANTE
52
Representação dos Números no Computador
Truncar significa que qualquer quantidade que caia dentro de um intervalo de
comprimento Δx será armazenada como a quantidade na extremidade inicial do
intervalo.
O limitante superior do erro para o truncamento é Δx. Um viés é introduzido porque
todos os erros são positivos.
A deficiência do truncamento decorre de que termos mais altos na representação
decimal completa não têm impacto na versão aproximada. No exemplo de π, o
primeiro algarismo descartado é 6.
O último dígito mantido deveria ser arredondado para cima para fornecer 3,141593.
ERROS E ARITMÉTICA DE PONTO FLUTUANTE
53
Representação dos Números no Computador
Tal arredondamento reduz o erro para Et = 0,00000035. O arredondamento fornece
um erro absoluto menor do que o truncamento.
Observe que, para o sistema numérico na base 2 na Figura b:
1. Arredondar significa que qualquer quantidade caindo dentro de um intervalo de
comprimento Δ x será representada pelo número permitido mais próximo.
2. O limitante superior do erro para o arredondamento é Δx/2.
3. Nenhum viés é introduzido porque alguns erros são positivos e alguns são
negativos.
ERROS E ARITMÉTICA DE PONTO FLUTUANTE
54
Representação dos Números no Computador
Alguns computadores usam arredondamento mas isso sobrecarrega a carga
computacional e, consequentemente, muitas máquinas usam simplesmente o
truncamento.
Justificativa hipótese de que o número de algarismos significativos é suficientemente
grande para que o erro de arredondamento resultante seja usualmente desprezível.
3. O intervalo entre os números, Δx, aumenta quando o módulo dos números
cresce.
É essa característica, claro, que permite que a representação em ponto flutuante
preserve os algarismos significativos.
Mas ela também significa que o erro de quantização será proporcional ao módulo do
número que está sendo representado.
ERROS E ARITMÉTICA DE PONTO FLUTUANTE
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Representação dos Números no Computador
Para números em ponto flutuante normalizados, essa proporcionalidade pode ser
expressa, para os casos em que é empregado o truncamento, como:
E, para os casos nos quais o arredondamento é usado, como:
|𝛥𝑥|
|𝑥|
≤ 𝜉
|𝛥𝑥|
|𝑥|
≤
𝜉
2
ERROS E ARITMÉTICA DE PONTO FLUTUANTE
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Representação dos Números no Computador
Em que ξ é chamado de épsilon da máquina. Pode ser calculado como:
Em que b é a base numérica e t é o número de algarismos significativos na
mantissa.
As desigualdades nas equações significam que esses são limitantes para os
erros ou seja, eles especificam os piores casos.
𝜉 = 𝑏1−𝑡
ERROS E ARITMÉTICA DE PONTO FLUTUANTE
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Acurácia e Precisão
Os erros associados tanto aos cálculos
quanto às medidas podem ser
caracterizados com relação a sua acurácia
e precisão.
A acurácia se refere a quão próximo o
valor calculado ou medido está do valor
verdadeiro.
A precisão se refere a quão próximos os
valores individuais calculados ou medidos
estão uns dos outros.
Um exemplo do tiro ao alvo ilustrando os
conceitos de acurácia e precisão. (a)
inacurado e impreciso; (b) acurados e
impreciso; (c) inacurado e preciso; (d)
acurado e preciso.
ERROS E ARITMÉTICA DE PONTO FLUTUANTE
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Acurácia e Precisão
Analogia com a prática de tiro ao alvo
Os buracos de bala em cada alvo podem ser
pensados como previsões de uma técnica
numérica, enquanto a mosca representa a
verdade.
Inacurácia (também chamada viés é definida
como um desvio sistemático da verdade.
Embora os tiros na Fig. (c) estejam
agrupados mais juntos do que aqueles na
Fig. (a) os dois casos são igualmente
inacurados.
Um exemplo do tiro ao alvo ilustrando os
conceitos de acurácia e precisão. (a)
inacurado e impreciso; (b) acurados e
impreciso; (c) inacurado e preciso; (d)
acurado e preciso.
ERROS E ARITMÉTICA DE PONTO FLUTUANTE
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Acurácia e Precisão
Analogia com a prática de tiro ao alvo
As imprecisões (também chamadas
incertezas por outro lado, referem se à
intensidade do espalhamento.
Embora as Fig. (b) e Fig. (d) sejam
igualmente exatas (isto é, centradas na
mosca), a última é mais precisa porque os
tiros estão agrupados mais juntos.
Um exemplo do tiro ao alvo ilustrando os
conceitos de acurácia e precisão. (a)
inacurado e impreciso; (b) acurados e
impreciso; (c) inacurado e preciso; (d)
acurado e preciso.
ERROS E ARITMÉTICA DE PONTO FLUTUANTE
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Acurácia e Precisão
Os métodos numéricos deveriam ser:
Suficientemente acurados ou sem viés para satisfazer os requisitos de um
problema de engenharia particular.
Suficientemente precisos para permitirem projetos adequados de
engenharia.
O erro representa tanto a inacurácia quanto a imprecisão de predições.
Com esses conceitos como base, podem ser discutidos os fatores que
contribuem para o erro dos cálculos numéricos.