Algebra booleana - portas logicas5

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Álgebra booleana
Programação
Variáveis booleanas
I = idade > 18
P = peso < 100
Equação
IF = I + (I.P)	( idade > 18 || (idade > 18 && peso < 100) )
IF = I.1 + I.P	(AND: X.1 = X)
IF = I.(1 + P)	(Distributividade)
IF = I.(1)	(OR: X + 1 = 1)
IF = I		(AND: X.1 = X)
if ( idade > 18 || (idade > 18 && peso < 100) )
	printf(“...”);
True (1) or False (0)
Álgebra booleana
Programação
if ( idade > 18 || (idade > 18 && peso < 100) )
	printf(“...”);
if ( idade > 18 )
	printf(“...”);
Equivalentes
Álgebra booleana
Programação
Variáveis booleanas
D0 = (digito == 0)
(digito != 0) ↔ !(digito == 0)
!D0 = (digito != 0)
T = tempo > 100
Equação
IF = D0 + (!D0.T) ( digito == 0 || (digito != 0 && tempo > 100) )
IF = (D0 + !D0).(D0 + T)	(distributividade: X + Y.Z = (X+Y).(X+Z) )
IF = (1).(D0 + T) 	(OR: X + !X = 1)
IF = D0 + T		(AND: X.1 = X)
if ( digito == 0 || (digito != 0 && tempo > 100) )
	printf(“fim”);
True (1) or False (0)
Álgebra booleana
Programação
if ( digito == 0 || (digito != 0 && tempo > 100) )
	printf(“fim”);
if (digito == 0 || tempo > 100) )
	printf(“fim”);
Equivalentes
Álgebra booleana
Derivação de equações booleanas
Até agora
Obtenção de tabelas verdade a partir de equações booleanas
Obtenção de circuitos lógicos a partir de equações booleanas e vice-versa
A partir da tabela verdade é possível obter a equação booleana que ela define através de dois métodos
Soma de produtos
Exemplo: F = A.B + !A.C + B.!C.D
Produto de somas
Exemplo: F = (X + Y).(!X + Y + Z).(!Y + Z) 
Qualquer função booleana pode ser descrita por meio de soma de produtos ou produto de somas
Álgebra booleana
Derivação de equações booleanas
Soma de produtos
Para cada linha da tabela verdade onde a saída é 1, cria-se um termo produto (AND entre todas as variáveis de entrada)
Em cada termo produto as variáveis de entrada iguais a 0 aparecem negadas e aquelas iguais a 1 aparecem não negadas
Em seguida todos os temos obtidos são somados (OR)
Exemplo
A
B
C
F
0
0
0
0
0
0
1
0
0
1
0
1
0
1
1
1
1
0
0
0
1
0
1
1
1
1
0
1
1
1
1
0
Equação boolena:
F = !A.B.!C + !A.B.C + A.!B.C + A.B.!C 
→ !A.B.!C
→ !A.B.C
→ A.!B.C
→ A.B.!C
Álgebra booleana
Derivação de equações booleanas
Produto de somas
Para cada linha da tabela verdade onde a saída é 0, cria-se um termo soma (OR de todas variáveis de entrada)
Em cada termo soma as variáveis de entrada iguais a 1 aparecem negadas e aquelas iguais a 0 aparecem não negadas
Em seguida todos os temos são multiplicados (AND)
Exemplo
A
B
C
F
0
0
0
0
0
0
1
0
0
1
0
1
0
1
1
1
1
0
0
0
1
0
1
1
1
1
0
1
1
1
1
0
Equação booleana:
F = (A+B+C).(A+B+!C).(!A+B+C).(!A+!B+!C) 
→ A+B+C
→ A+B+!C
→ !A+B+C
→ !A+!B+!C
Álgebra booleana
Derivação de equações booleanas
Derivar as expressões por soma de produtos e produto de somas
A
B
C
F
0
0
0
1
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
1
1
1
0
0
0
1
0
1
0
1
1
0
1
1
1
1
1
A
B
F
0
0
0
0
1
1
1
0
1
1
1
0
Soma de produtos
Saídas = 1
Variáveis = 0 aparecem negadas na expressão
Produto de somas
Saídas = 0
Variáveis = 1 aparecem negadas na expressão
Álgebra booleana
Derivação de equações booleanas
Derivar as expressões por soma de produtos e produto de somas
A
B
F
0
0
0
0
1
1
1
0
1
1
1
0
→ !A . B
→ A . !B
→ A + B
→ !A + !B
F = (A + B).(!A + !B) 
F = !A.B + A.!B 
Equações equivalentes
F = (A + B).(!A + !B)
F = (A + B).!A + (A + B).!B	 (Distributividade)
F = !A.(A + B) + !B.(A + B)	 (Comutatividade)
F = !A.A + !A.B + !B.A + !B.B (Distributividade)
F = 0 + !A.B + !B.A + 0 (AND: X . !X = 0)
F = !A.B + !B.A (OR: X + 0 = X)
F = !A.B + A.!B (Comutatividade)
Álgebra booleana
Derivação de equações booleanas
Derivar as expressões por soma de produtos e produto de somas
A
B
F
0
0
0
0
1
1
1
0
1
1
1
0
→ !A . B
→ A . !B
→ A + B
→ !A + !B
F = (A + B).(!A + !B) 
F = !A.B + A.!B 
Equações equivalentes
F = !A.B + A.!B 
F = (!A .B + A ).(!A.B + !B)	 (Distributividade)
F = (A + !A.B). (!B + !A.B)	 (Comutatividade)
F = (A + !A).(A + B).(!B + !A).(!B + B) (Distributividade)
F = (1).(A + B).(!B + !A).(1) (OR: X + !X = 1)
F = (A + B).(!B + !A) (AND: X .1 = X)
F = (A + B).(A + !B) (Comutatividade)
Álgebra booleana
Derivação de equações booleanas
Derivar as expressões por soma de produtos e produto de somas
A
B
C
F
0
0
0
1
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
1
1
1
0
0
0
1
0
1
0
1
1
0
1
1
1
1
1
→ !A . !B . !C
→ !A . !B . C
→ !A . B . !C
→ !A . B . C
→ A . B . !C
→ A . B . C
F = !A.!B.!C + !A.!B.C + !A.B.!C + !A.B.C +
A.B.!C + A.B.C
→ !A + B + C
→ !A + B + !C
F = (!A + B + C).(!A + B + !C)
Equações equivalentes
Álgebra booleana
Derivação de equações booleanas
Derivar as expressões por soma de produtos e produto de somas
A
B
C
F
0
0
0
1
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
1
1
1
0
0
0
1
0
1
0
1
1
0
1
1
1
1
1
→ !A . !B . !C
→ !A . !B . C
→ !A . B . !C
→ !A . B . C
→ A . B . !C
→ A . B . C
Visto que as equações obtidas pelos dois métodos são equivalentes equivalentes, dependendo da quantidade de 1s e 0s na coluna de saída, pode-se optar por um ou outro a fim de obter uma equação menor
Poucos 1s: soma de produto
Poucos 0s: produto de somas
→ !A + B + C
→ !A + B + !C
Álgebra booleana
Projeto de circuitos
Em geral, os problemas de projeto são apresentados através de uma descrição verbal
A fim de criar um circuito para resolver um determinado problema, o primeiro passo é traduzir a descrição verbal para uma tabela verdade
A tabela verdade permite que o projetista examine todas a combinações de entradas e as saídas correspondentes
Circuito
IN0
IN1
INn
OUT0
OUT1
OUTm
...
...
Álgebra booleana
Projeto de circuitos
Baseado em tabela-verdade
A tabela verdade é usada para descrever o comportamento do circuito
Tabela verdade
Equação booleana
Especificação
Circuito lógico
Soma de produtos ou produto de somas
Álgebra booleana
Projeto de circuitos
Igualdade de 2 números de 2 bits
A: A1 A0
B: B1 B0
Igual ← 1 quando A = B, senão 0
=
Iguais
A
B
2
2
Álgebra booleana
Projeto de circuitos
Igualdade de 2 números de 2 bits
A1
A0
B1
B0
Iguais
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
1
0
0
0
1
1
0
1
0
0
0
1
0
1
0
1
1
0
0
1
1
1
1
0
0
0
1
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
1
1
1
0
0
1
1
0
1
1
1
1
0
1
1
1
1
Álgebra booleana
Projeto de circuitos
Igualdade de 2 números de 2 bits
A1
A0
B1
B0
Iguais
0
0
0
0
1
0
0
0
1
0
0
0
1
0
0
0
0
1
1
0
0
1
0
0
0
0
1
0
1
1
0
1
1
0
0
0
1
1
1
0
1
0
0
0
0
1
0
0
1
0
1
0
1
0
1
1
0
1
1
0
1
1
0
0
0
1
1
0
1
0
1
1
1
0
0
1
1
1
1
1
→ !A1.!A0.!B1.!B0
→ !A1.A0.!B1.B0
Iguais = !A1.!A0.!B1.!B0 + !A1.A0.!B1.B0 + 
A1.!A0.B1.!B0 + A1.A0.B1.B0 
→ A1.!A0.B1.!B0
→ A1.A0.B1.B0
Álgebra booleana
Projeto de circuitos
Igualdade de 2 números de 2 bits
Iguais = !A1.!A0.!B1.!B0 + !A1.A0.!B1.B0 + 
A1.!A0.B1.!B0 + A1.A0.B1.B0 
Álgebra booleana
Projeto de circuitos
Igualdade de 2 números de 2 bits
Logisim
Álgebra booleana
Projeto de circuitos
Detector de número de 0s par em um número de 4 bits
A: A3 A2 A1 A0
Par0 ← 1 quando A tiver um número par de zeros
#0s par
Par0
A
4
Álgebra booleana
Projeto de circuitos
Detector de número de 0s par em um número de 4 bits
A3
A2
A1
A0
Par0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
1
0
0
0
1
1
0
1
0
0
0
1
0
1
0
1
1
0
0
1
1
1
1
0
0
0
1
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
1
1
1
0
0
1
1
0
1
1
1
1
0
1
1
1
1
Álgebra booleana
Projeto de circuitos
Detector de número de 0s par em um número de 4 bits
A3
A2
A1
A0
Par0
0
0
0
0
1
0
0
0
1
0
0
0
1
0
0
0
0
1
1
1
0
1
0
0
0
0
1
0
1
1
0
1
1
0
1
0
1
1
1
0
1
0
0
0
0
1
0
0
1
1
1
0
1
0
1
1
0
1
1
0
1
1
0
0
1
1
1
0
1
0
1
1
1
0
0
1
1
1
1
1
→ !A3.!A2.!A1.!A0
→ !A3.!A2.A1.A0
→ !A3.A2.!A1.A0
→ !A3.A2.A1.!A0
→ A3.!A2.!A1.A0
→ A3.!A2.A1.!A0
→ A3.A2.!A1.!A0
Par0 = !A3.!A2.!A1.!A0 + !A3.!A2.A1.A0 + !A3.A2.!A1.A0 + !A3.A2.A1.!A0 + A3.!A2.!A1.A0 + A3.!A2.A1.!A0 + A3.A2.!A1.!A0 + 
A3.A2.A1.A0 
→ A3.A2.A1.A0
Álgebra booleana
Projeto de circuitos
Detector de número de 0s par em um número de 4 bits
Par0 = !A3.!A2.!A1.!A0 + !A3.!A2.A1.A0 + !A3.A2.!A1.A0 + !A3.A2.A1.!A0 + A3.!A2.!A1.A0 + A3.!A2.A1.!A0 + A3.A2.!A1.!A0 +
A3.A2.A1.A0 
Álgebra booleana
Projeto de circuitos
Detector de número de 0s par em um número de 4 bits
Logisim
Álgebra booleana
Projeto de circuitos
Baseado em tabela-verdade
Adição da simplificação ao fluxo de projeto
Tabela verdade
Equação booleana
Especificação
Circuito lógico
Simplificação
Álgebra booleana
Projeto de circuitos
Detector de número signed (complemento de 2) ≥ 5
A: A3 A2 A1 A0
A é um número binário em complemento de 2
MaiorIgual ← 1 quando A ≥ 5
≥ 5
MaiorIgual
A
4
Álgebra booleana
Projeto de circuitos
Detecção de maioria
O sistema tem 4 entradas (v1, v2, v3, v4)
Maioria ← 1 quando a maioria das entradas é igual a 1
Maioria
v1
v2
v3
v4