Unid. IV - Medidas de Posição

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Medidas de 
Posição
Introdução
Para ressaltar as tendências características de cada distribuição necessitamos
introduzir conceitos que se expressem através de números, que nos permitem
traduzir essas tendências. Esses conceitos são denominados elementos típicos
da distribuição, e são:
a.Medidas de posição
b.Medidas de variabilidade ou dispersão;
c.Medidas de assimetria;
d.Medidas de curtose.
Introdução
Dentre os elementos típicos, destacamos aqui as medidas de posição _
estatísticas que representam uma série de dados orientando-nos quanto à
posição da distribuição em relação ao eixo horizontal (eixo das abscissas).
As medidas de posição mais importantes são as medidas de tendência
central. Dentre elas, destacamos: média aritmética, mediana, moda.
As outras medidas de posição são as separatrizes, que englobam: mediana,
quartis, percentis.
MÉDIA ARITMÉTICA
Média aritmética - 𝒙
Média aritmética é o quociente da divisão da soma dos valores da variável 
pelo número deles:
 𝑥 =
 𝑥𝑖
𝑛
 𝑥 − 𝑚é𝑑𝑖𝑎 𝑎𝑟𝑖𝑡𝑚é𝑟𝑖𝑐𝑎;
𝑥𝑖 − 𝑚é𝑑𝑖𝑎 𝑎𝑟𝑖𝑡𝑚é𝑟𝑖𝑐𝑎;
𝑛 − 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠;
Dados não-agrupados
Quando desejamos conhecer a média dos dados não-agrupados,
determinamos a média aritmética simples.
Exemplo: sabendo-se que a produção leiteira diária da vaca A, durante uma
semana, foi de 10, 14, 13, 15, 16, 18 e 12 litros, temos, para a produção
média da semana:
litrosx 14
7
12181615131410



Desvio em relação à média
Denominamos desvio em relação à média a diferença entre cada elemento
de um conjunto de valores e a média aritmética.
xxd ii 
Desvio em relação à média
Propriedades da média
1ª propriedade: A soma algébrica dos desvios tomados em relação à média é 
nula. 
0
1


k
i
id
Propriedades da média
2ª propriedade: Somando-se (ou subtraindo-se) uma constante (c) de todos 
os valores de uma variável, a média do conjunto fica aumentada (ou 
diminuída) de c. 
cxycxy ii 
Propriedades da média
3ª propriedade: Multiplicando-se (ou dividindo-se) todos os valores de uma
variável por uma constante (c), a média do conjunto fica multiplicada (ou
dividida) por essa constante:
c
x
y
c
x
y
cxycxy
i
i
ii


Dados agrupados
Sem intervalos de classe
Consideremos a distribuição
relativa a 34 famílias de quatro
filhos, tomando para variável o
número de filhos do sexo
masculino:
Dados agrupados
Neste caso, como as frequências são números indicadores da intensidade de 
cada valor da variável, elas funcionam como fatores de ponderação, o que 
nos leva a calcular a média aritmética ponderada dada pela fórmula:



i
ii
f
fx
x
Dados agrupados
O modo mais prático de obtenção da média ponderada é abrir, na tabela,
uma coluna correspondente aos produtos xifi:
Dados agrupados
Dados agrupados
Dados agrupados
Com intervalos de classe
Neste caso, convencionamos que todos os valores incluídos em um
determinado intervalo de classe coincidem com o seu ponto médio, e
determinamos a média aritmética ponderada por meio da fórmula:
𝑥𝑖 é 𝑜 𝑝𝑜𝑛𝑡𝑜 𝑚é𝑑𝑖𝑜 𝑑𝑎 𝑐𝑙𝑎𝑠𝑠𝑒



i
ii
f
fx
x
Dados agrupados
Dados agrupados
Dados agrupados
Como, neste caso:
Temos:
,40,440.6


 
i
ii
iii
f
fx
xeffx
cmxx 161161
40
440.6

Processo breve
Com o intuito de eliminarmos o grande número de cálculos que às vezes se
apresentam na determinação da média, empregamos o que denominamos
processo breve (em oposição ao processo longo), baseado em uma mudança
da variável x por outra y, tal que:
Onde x0 é uma constante arbitrária escolhida convenientemente dentre os pontos
médios da distribuição.
h
xx
y ii
0
Processo breve
Fazendo essa mudança na variável, de acordo com a segunda e terceira 
propriedade de média, ela resulta diminuída de x0 e dividida por h: mas isso 
pode ser compensado somando x0 à média da nova variável e, ao mesmo 
tempo, multiplicando-a por h. Resulta a seguinte fórmula. 
 

 

i
ii
f
hfy
xx 0
Processo breve
Considerando a tabela:
Processo breve
Tomando para o valor de x0 o ponto médio de maior frequência, isto é:
Como h=4, temos:
1600 x
Processo breve
Processo breve
Como:
Substituindo na fórmula:
  .440,10,1600 heffyx iii
cmx 1611160
40
410
160 


Dados agrupados
Dados agrupados
Emprego da média
A média é utilizada quando:
 Desejamos obter a medida de posição que possui a maior estabilidade;
 Houver necessidade de um tratamento algébrico ulterior.
MODA
A moda (Mo)
Denominamos moda o valor que ocorre com maior frequência em uma série
de valores.
Desse modo, o salário modal dos empregados de uma indústria é o salário
mais comum, isto é, o salário recebido pelo maior número de empregados
dessa indústria.
Dados não-agrupados
Quando lidamos com valores não-agrupados, a moda é facilmente
reconhecida: basta, de acordo com a definição, procurar o valor que mais se
repete.
A série de dados 7, 8, 9, 10, 10, 10, 11, 12, 13 e 15, tem moda igual a 10.
Séries que não apresentam moda são chamadas amodal; nos casos onde
houver dois ou mais valores de concentração para a moda, a série é
chamada bimodal.
Dados agrupados
Sem intervalos de classe
Uma vez agrupados os dados, é possível determinar imediatamente a moda:
basta fixar o valor da variável de maior frequência.
Dados agrupados
Com intervalos de classe
A classe que apresenta a maior frequência é denominada classe modal. Pela
definição, podemos afirmar que a moda, neste caso, é o valor dominante que
está compreendido entre os limites da classe modal.
O método mais simples para o cálculo da moda consiste em tomar o ponto
médio da classe modal. Damos a esse valor denominação de moda bruta.
Dados agrupados
Temos então:
Onde:
l* é o limite inferior da classe modal;
L* é o limite superior da classe modal.
2
** Ll
Mo


Dados agrupados
Para a distribuição temos que a classe modal é i=3, l*=158 e L*=162.
Dados agrupados
As expressões gráficas da moda
Emprego da moda
A moda é utilizada:
 quando desejamos obter uma medida rápida e aproximada de posição;
 quando a medida de posição deve ser o valor mais típico da distribuição.
MEDIANA
A mediana (Md)
A mediana é outra medida de posição definida como o número que se
encontra no centro de uma série de números, estando estes dispostos
segundo uma ordem.
Em outras palavras, a mediana de um conjunto de valores, ordenados
segundo uma ordem de grandeza, é o valor situado de tal forma no conjunto
que o separa em dois subconjuntos de mesmo número de elementos.
Dados não-agrupados
Dada uma série de valores, como por exemplo:
5, 13, 10, 2, 18, 15, 6, 16, 9
de acordo com a definição de mediana, o primeiro passo a ser dado é
ordenar os valores:
2, 5, 6, 9, 10, 13, 15, 16, 18.
Dados não-agrupados
Em seguida, tomamos aquele valor central que apresenta o mesmo número
de elementos à direita e à esquerda.
No nosso caso, Md=10.
Se a série dada tiver um número par de termos, a mediana será, por
definição, qualquer dos números compreendidos entre os dois valores
centrais da série. Convencionou-se utilizar o ponto médio.
Dados agrupados
Se os dados se agrupam em uma distribuição de frequência, o cálculo da
mediana se processa de modo muito semelhante àquele dos dados não-
agrupados.
Implicando, porém, a determinação prévia das frequências acumuladas.
Para o caso de uma distribuição, a ordem, a partir de qualquerum dos
extremos, é dada por:
2
 if
Dados agrupados
Sem intervalos de classe
Neste caso, é o bastante identificar a frequência acumulada imediatamente
superior à metade da soma das frequências. A mediana será aquele valor da
variável que corresponde a tal frequência acumulada.
Dados agrupados
Sem intervalos de classe
Calcule a mediana.
 𝑓𝑖
2
=
34
2
= 17
A menos frequência acumulada que supera esse 
valor é 18, que corresponde ao valor 2 da variável.
Md= 2
Dados agrupados
Com intervalos de classe
Neste caso, o problema consiste em determinar o ponto do intervalo em que
está compreendida a mediana.
Para tanto, temos que determinar a classe na qual se acha a mediana _
classe mediana. Tal classe será aquela correspondente à frequência
acumulada imediatamente superior a
2
 if
Dados agrupados
Feito isto, um problema de interpolação resolver a questão, admitindo-se, 
agora, que os valores se distribuam uniformemente em todo o intervalo de 
classe. 
Dados agrupados
Com intervalos de classe
Calcule a mediana.
20 − 13
11
. 4 =
7
11
. 4
𝑀𝑑 = 158 +
7
11
. 4 = 160,54
1. Calcular a classe mediana Classe 3
2. São 24 valores até a terceira classe. E o valor 
procurado ocupa o 20º lugar.
Calcular a distância (a partir do limite inferior):
3. Encontrar a mediana
Dados agrupados
Emprego da mediana
Empregamos a mediana quando:
 Desejamos obter o ponto que divide a distribuição em partes iguais;
 Há valores extremos que afetam de uma maneira acentuada a média;
POSIÇÃO RELATIVA DA 
MÉDIA, MEDIANA E 
MODA
Posição relativa da média, 
mediana e moda
Quando uma distribuição é simétrica, as três medidas coincidem. A
assimetria, porém, torna-as diferentes e essa diferença é tanto maior quanto
maior é a assimetria. Assim, em uma distribuição em forma de sino, temos:
Posição relativa da média, 
mediana e moda
AS SEPARATRIZES
As separatrizes
A mediana caracteriza uma série de valores devido à sua posição central,
mas também separa a série em dois grupos que apresentam o mesmo
número de valores.
Assim, além das medidas de posição, há outras que, consideradas
individualmente, não são medidas de tendência central, mas estão ligadas à
mediana relativamente à sua segunda característica.
Essas medidas - os quartis, os percentis e os decis - são, juntamente com
a mediana, conhecidas pelo nome genérico de separatrizes.
Os quartis
Denominamos quartis os valores de uma série que a dividem em quatro
partes iguais.
Há três quartis:
- o primeiro quartil;
- o segundo quartil (igual à mediana);
- o terceiro quartil.
Os quartis
Os quartis
Os percentis
Denominamos percentis os 99 valores que separam uma série em 100 
partes iguais.
Indicamos
O cálculo de um percentil segue a mesma técnica do cálculo da mediana,
porém a fórmula passa a ser:
.,...,...,,, 993221 PPPP
100
 ifk