Medidas de Dispersão

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Me. Clóvis José Ramos Ferraro
Dra. Kelly Cristina Rosa Drudi
Medidas de Dispersão
Estatística Descritiva
▪ Mantenham os microfones e câmeras desligados;
▪ Dúvidas podem ser postadas via chat e serão respondidas durante ou ao final da 
aula;
▪ O material estará disponível em: https://online.unip.br/.
▪ Ao final das aulas semanais, serão propostos 3 exercícios (por disciplina) os quais o 
aluno deverá escolher 1 (entre os 3) e compor uma lista de exercícios que será 
entregue ao seu professor no retorno das aulas. 
Orientações
https://online.unip.br/
▪ Variável 𝑥𝑖 : cada um dos valores coletados
▪ Rol relação ordenada das informações coletadas (crescente ou decrescente)
▪ Frequência absoluta 𝑓𝑖 : número de repetições de cada variável 𝑥𝑖
▪ Frequência acumulada 𝑓𝑎𝑐 : soma acumulada das frequências absolutas
▪ Frequência relativa 𝑓𝑟 : frequência relativa de cada variável em relação ao total:
𝑓𝑟 =
𝑓𝑖
𝑛
Revisão de conceitos: distribuição de frequências 
▪ Média aritmética 
▪ Moda 𝑀𝑜: valor que mais aparece no conjunto de dados. As medidas de tendência 
central são sempre em relação a variável 𝑥𝑖
▪ Mediana 𝑀𝑑 : item de posição central no rol, ou seja, valor que divide o conjunto de 
dados ao meio, sendo 50% dos valores maiores do que a mediana e 50% dos valores 
menores do que a mediana
• Se 𝑛 é par, utiliza-se a média aritmética dos dois elementos centrais do rol:
𝑀𝑑 =
𝑥 𝑛
2
+𝑥 𝑛
2+1
2
• Se 𝑛 é nº ímpar, utiliza-se valor do elemento na posição central do rol: 𝑀𝑑 = 𝑥 𝑛
2
Revisão de conceitos: medidas de tendência central
ҧ𝑥 =
σ𝑖=1
𝑛 𝑥𝑖 × 𝑓𝑖
𝑛
▪ Medidas de tendência central fornecem um resumo parcial das informações de 
um conjunto de dados. A necessidade de uma medida de variação é aparente, 
para que nos permita, por exemplo, comparar conjuntos diferentes de valores. 
▪ Características: 
▪ permitem avaliar o grau de variabilidade dos valores;
▪ menor dispersão → mais homogêneo o conjunto de dados.
Introdução: medidas de Dispersão
▪ Amplitude do conjunto 𝑨𝒅 : diferença entre o maior e o menor valor de um conjuntos 
de dados.
▪ Variância amostral 𝑠2 =
σ𝑖=1
𝑛 (𝑥𝑖− ҧ𝑥)
2×𝑓𝑖
𝑛−1
: é a soma ao quadrado dos desvios dos 
elementos em relação à sua média dividido por (n-1).
▪ Desvio padrão amostral 𝑠 =
σ𝑖=1
𝑛 (𝑥𝑖− ҧ𝑥)2×𝑓𝑖
𝑛−1
: é a raiz quadrada positiva da 
variância.
▪ Coeficiente de Variação 𝐶𝑉 =
𝑠
ҧ𝑥
: é uma medida relativa de variabilidade. Ele 
independe da unidade de medida utilizada.
Principais medidas de dispersão
1) Considere as seguintes idades coletadas em um curso: 25, 23,
22, 24, 21, 22, 20, 23, 22, 20
▪ 1º passo: ordenar os dados: 20, 20, 21, 22, 22, 22, 23, 23, 24, 25
▪ 2º passo: construir a tabela de distribuição de frequência:
Exemplo
xi fi
20 2
21 1
22 3
23 2
24 1
25 1
෍ 10
▪ 3º passo: multiplicar a coluna 𝑥𝑖 × 𝑓𝑖
▪ 4º passo: fazer a frequência acumulada
▪ 5º passo: fazer frequência relativa
▪ 6º passo: calcule a média
ҧ𝑥 =
222
10
= 22,2 anos
▪ 7º passo: identifique a moda
𝑀0 = 22 anos
▪ 8° passo: identifique a mediana
▪ elementos centrais: posições 5 e 6
▪ 𝑀𝑑 𝑝𝑎𝑟 =
𝑥(5)+𝑥(6)
2
𝑀𝑑 =
22+22
2
= 22 anos
Exemplo
xi fi xi fi fac fr
20 2 40 2
2
10
= 0,2 = 20%
21 1 21 3
1
10
= 0,1 = 10%
22 3 66 6
3
10
= 0,3 = 30%
23 2 46 8
2
10
= 0,2 = 20%
24 1 24 9
1
10
= 0,1 = 10%
25 1 25 10
1
10
= 0,1 = 10%
෍ 10 222 100%
▪ 9º passo: calcular o quadrado da diferença entre o valor medido e a média
Exemplo
xi fi xi fi fac fr (xi – média)
2 fi
20 2 40 2
2
10
= 0,2 = 20% (20-22,2)2×2= 9,68
21 1 21 3
1
10
= 0,1 = 10% (21-22,2)2×1= 1,44
22 3 66 6
3
10
= 0,3 = 30% (22-22,2)2×3= 0,12
23 2 46 8
2
10
= 0,2 = 20% (23-22,2)2×2= 1,28
24 1 24 9
1
10
= 0,1 = 10% (24-22,2)2× 1= 1,24
25 1 25 10
1
10
= 0,1 = 10% (25-22,2)2× 1= 7,84
෍ 10 222 100% 23,6
▪ 10º passo: calcular a variância amostral
𝑠2 =
σ(𝑥𝑖− ҧ𝑥)
2×𝑓𝑖
𝑛−1
=
23,6
10−1
= 2,62
▪ 11 º passo: calcular o desvio padrão amostral
𝑠 =
σ(𝑥𝑖− ҧ𝑥)
2×𝑓𝑖
𝑛−1
= 2,62 = 1,62
▪ 12º passo: calcular o coeficiente de variação
𝐶𝑉 =
𝑠
ҧ𝑥
=
1,62
22,2
= 7,29%
Exemplo
▪ Problema: Em um campeonato de tiro ao alvo a quantidade de acertos em 30
tiros de dois atletas segue a tabela abaixo. Pergunta-se:
▪ a) qual o atirador de melhor desempenho ?
▪ b) qual o atirador mais regular ?
Exercício 1
Resolução do primeiro atirador
▪ ҧ𝑥 =
σ 𝑥𝑖
𝑛
=
27+25+23+26+24
5
= 25
▪ 𝑠2 =
σ( 𝑥𝑖 − ҧ𝑥)
2
𝑛−1
𝑠2 =
(27−25)2+(25−25)2+(23−25)2+(26−25)2+(24−25)2
5−1
𝑠2 = 2,5
▪ 𝑠 =
σ( 𝑥𝑖 − ҧ𝑥)
2
𝑛−1
= 2,5 = 1,58
▪ 𝐶𝑉 =
𝑠
ҧ𝑥
=
1,58
25
= 0,0632 𝑜𝑢 6,32%
Resolução do segundo atirador
▪ ҧ𝑥 =
σ 𝑥𝑖
𝑛
=
29+27+20+23+27
5
= 25,2
▪ 𝑠2 =
σ( 𝑥𝑖 − ҧ𝑥)
2
𝑛−1
= 13,2
▪ 𝑠 =
σ( 𝑥𝑖 − ҧ𝑥)
2
𝑛−1
= 13,2 = 3,63
▪ 𝐶𝑉 =
𝑠
ҧ𝑥
=
3,63
25,2
= 0,1452 𝑜𝑢 14,52 %
Resultado final
Estatísticas Atirador 1 Atirador 2
Média 25 25,2
Variância 2,5 13,2
Desvio-padrão 1,58 3,63
Coeficiente de variação (%) 6,32 14,40
▪ Problema: Em um campeonato de tiro ao alvo a quantidade de acertos em 30
tiros de dois atletas segue a tabela abaixo. Pergunta-se:
▪ a) qual o atirador de melhor desempenho ?
▪ b) qual o atirador mais regular ?
Os salários iniciais de funcionários de uma empresa estão descritos na
tabela abaixo. Construa a tabela de distribuição de frequências e
determine a média e o desvio padrão.
Exercício 2
Classes de salários
(em reais)
Número de 
funcionários
800|— 1000 15
1000|— 1200 25
1200 |— 1400 16
1400 |— 1600 20
1600 |— 1800 14
1800 |— 2000 10
Exercícios
Classes de salários
Número de 
funcionários
xi xi fi
800|— 1000 15
800 + 1000
2
= 900
900 × 15 = 13.500
1000|— 1200 25
1000 + 1200
2
= 1100
1100 × 25 = 27.500
1200 |— 1400 16
1200 + 1400
2
= 1300
1300 × 16 = 20.800
1400 |— 1600 20
1400 + 1600
2
= 1500
1500 × 20 = 30.000
1600 |— 1800 14
1600 + 1800
2
= 1700
1700 × 14 = 23.800
1800 |— 2000 10
1800 + 2000
2
= 1900
1900 × 10 = 19.000
100 134.600
ҧ𝑥 =
134.600
100
= 1346
Exercícios
Classes de 
salários 
Número de 
funcionários
xi xifi (xi – média)
2 fi
800|— 1000 15 900 13.500 (900-1346)2×15 = 2.983.740
1000|— 1200 25 1100 27.500 (1100-1346)2×25 = 1.512.900
1200 |— 1400 16 1300 20.800 (1300-1346)2×16 = 33.856
1400 |— 1600 20 1500 30.000 (1500-1346)2×20 = 474.320
1600 |— 1800 14 1700 23.800 (1700-1346)2×14 = 1.754.424
1800 |— 2000 10 1900 19.000 (1900-1346)2×15 = 3.069.160
100 134.600 9.828.400
𝑠2 =
σ(𝑥𝑖− ҧ𝑥)
2×𝑓𝑖
𝑛−1
=
9.828.400
100−1
= 99.276,77
𝑠 =
σ(𝑥𝑖− ҧ𝑥)2×𝑓𝑖
𝑛−1
= 99.276,77 = 315,08
Exercícios
Um aluno de uma turma de Engenharia deve ser escolhido para representar a
turma em uma olimpíada nacional de Matemática. As notas dos 3 melhores
alunos estão na tabela abaixo. Qual aluno deve ser escolhido ?
Exercício 3
Resolução do primeiro aluno
▪ ҧ𝑥 =
σ 𝑥𝑖
𝑛
=
9,5+8,5+9,0+9,5
4
= 9,125
▪ 𝑠2 =
σ( 𝑥𝑖 − ҧ𝑥)
2
𝑛−1
𝑠2 =
(9,5−9,125)2+(8,5−9,125)2+(9,0−9,125)2+(9,5−9,125)2
4−1
𝑠 2 = 0,2292
▪ 𝑠 =
σ( 𝑥𝑖 − ҧ𝑥)
2
𝑛−1
= 0,2292 = 0,4787
▪ 𝐶𝑉 =
𝑠
ҧ𝑥
=
0,4787
9,125
= 0,0525 𝑜𝑢 5,25%
Resolução do segundo aluno
▪ ҧ𝑥 =
σ 𝑥𝑖
𝑛
=
8,5+10+10+8
4
= 9,125
▪ 𝑠2 =
σ( 𝑥𝑖 − ҧ𝑥)
2
𝑛−1
= 1,0625
▪ 𝑠 =
σ( 𝑥𝑖 − ҧ𝑥)
2
𝑛−1
= 1,0625 = 1,0308
▪ 𝐶𝑉 =
𝑠
ҧ𝑥
=
1,0308
9,125
= 0,1130 𝑜𝑢 11,30%
Resolução do terceiro aluno
▪ ҧ𝑥 =
σ 𝑥𝑖
𝑛
=
9,5+10,0+8,5+8,5
4
= 9,125
▪ 𝑠2 =
σ( 𝑥𝑖 − ҧ𝑥)
2
𝑛−1
= 0,5625
▪ 𝑠 =
σ( 𝑥𝑖 − ҧ𝑥)
2
𝑛−1
= 0,5625 = 0,75
▪ 𝐶𝑉 =
𝑠
ҧ𝑥
=
0,75
9,125
= 0,0822 𝑜𝑢 8,22%
Resultado final
Estatísticas Aluno 1 Aluno 2 Aluno 3
Média 9,125 9,125 9,125
Variância 0,2292 1,0625 0,5625
Desvio-padrão 0,4787 1,0308 0,7500
Coeficiente de variação 5,25% 11,30% 8,22%
3) Um aluno de uma turma de Engenharia deve ser escolhido para representar a
turma em uma concurso nacional de Matemática. As notas dos 3 melhores
alunos estão na tabela abaixo. Qual aluno deveser escolhido ?
Exercícios propostos
1) Os dados a seguir são referentes o tempo médio (em minutos) gasto para a realização de 
uma lista de exercícios de estatística por alunos de um curso de graduação.
Dada a tabela, construa uma tabela de distribuição de frequência (sem classes) e determine o 
que se pede:
a) Determine as medidas de tendência central: média, moda e mediana;
b) Determine as medidas de dispersão: variância amostral, desvio padrão amostral e 
coeficiente de variação.
32 33 32 32 32
33 34 23 30 33
33 33 31 33 32
33 32 33 32 32
31 32 33 33 32
32 33 33 32 31
Exercícios propostos
2) Os dados a seguir são referente as notas de alunos de um curso de Engenhara na disciplina 
de Estatística: 1;10;9;7;7;1;8;1;2;6;6;5;4;2;7;7;2;2;10;10;3;4;5;6;6;7;7;8;9;9;10;10.
Construa uma tabela de distribuição de frequências, iniciando pela nota 0 com amplitude de 
classe igual a 2. Utilize 5 classes e determine o que se pede:
a) Determine a média;
b) Determine as medidas de dispersão: variância amostral, desvio padrão amostral e 
coeficiente de variação.
Exercícios propostos
3) A poluição causada por óleo em mares e oceanos estimula o crescimento de certos tipos de 
bactérias. Uma contagem de microrganismos presentes no petróleo (número de bactérias por 
100 mililitros), em 10 porções de água do mar, indicou as seguintes medidas:
49 70 54 67 59 40 71 67 67 52
a) Determine a média, mediana e moda; 
b) Determine as medidas de dispersão: variância amostral, desvio padrão amostral e 
coeficiente de variação.
ATÉ A PRÓXIMA!