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UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA “JU´LIO DE MESQUITA FILHO” CAˆMPUS DE ILHA SOLTEIRA unesp AULAS DE MATEMA´TICA APLICADA Versa˜o 2015 Prof. Ernandes Rocha de Oliveira Departamento de Matema´tica Ilha Solteira - SP 2015 I´ndice de Aulas Apresentac¸a˜o iv Aula 1 1 A equac¸a˜o de conduc¸a˜o do calor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Princ´ıpio da superposic¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 O me´todo de separac¸a˜o de varia´veis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 Aula 2 8 Se´ries de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 As fo´rmulas de Euler-Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 Aula 3 17 O Teorema de Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 Aula 4 25 Desenvolvimento de meio per´ıodo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 Forma complexa da se´rie de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 Aula 5 36 Desigualdade de Bessel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 Sobre convergeˆncia da se´rie de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 Identidade de Parseval . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 Aula 6 46 Resoluc¸a˜o do problema do calor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 Barra sujeita a outras condic¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 I´NDICE DE AULAS iii Equac¸a˜o do calor na˜o homogeˆnea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 Aula 7 54 A equac¸a˜o da corda vibrante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 Exemplos de acordo com o tipo de forc¸as externas . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 Exemplos de problemas de contorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 Resoluc¸a˜o por se´ries de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 Harmoˆnicos, frequ¨eˆncia e amplitude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 Vibrac¸o˜es forc¸adas e ressonaˆncia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 Aula 8 64 Corda infinita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 Soluc¸a˜o geral do problema de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 A Fo´rmula de D’Alembert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 Um problema com extremidade livre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 Uma se´rie de Fourier especial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 Aula 9 76 O problema de Dirichlet em retaˆngulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 Aula 10 77 Noc¸o˜es sobre a transformada de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 Algumas propriedades da transformada de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 Convoluc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 Algumas aplicac¸o˜es da transformada de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 Um problema unidimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 Refereˆncias Bibliogra´ficas 92 MATEMA´TICA APLICADA ENG. MEC. E.R.O. Apresentac¸a˜o Esta apostila tem como objetivo servir de aux´ılio aos alunos das disciplinas de Ma- tema´tica Aplicada a` Engenharia, disciplinas que usualmente teˆm sido oferecidas aos es- tudantes do curso de Engenharia Mecaˆnica da FE-UNESP/Ilha Solteira. O conteu´do deste trabalho corresponde aos programas atuais dessas disciplinas, que consistem em alguns to´picos de Equac¸o˜es Diferenciais Ordina´rias, sobre a Transformada de Laplace e sua aplicac¸a˜o a problemas de valor inicial em equac¸o˜es diferenciais ordina´rias e se´ries de Fourier com aplicac¸a˜o a problemas de contorno para as classes de equac¸o˜es diferenciais parciais lineares importantes: a equac¸a˜o do calor (ou de difusa˜o), a equac¸a˜o de ondas e a equac¸a˜o de Laplace. Ainda que na˜o conste do programa da disciplina, dedicamos pelo menos uma aula ao to´pico Transformada de Fourier de modo muito ingeˆnuo, servindo apenas como uma introduc¸a˜o ao assunto. A organizac¸a˜o deste trabalho visa facilitar sua utilizac¸a˜o como material dida´tico por isso fizemos a divisa˜o por Aulas, cada Aula cor- responde a 4h de trabalho na disciplina. E´ importante lembrar que esta apostila na˜o pretende substituir os bons livros existentes sobre transformada de Laplace, equac¸o˜es di- ferenciais ordina´rias e equac¸o˜es diferenciais parciais e que fazem parte das bibliografias das disciplinas, por exemplo [1],[3],[5], dentre outros, sa˜o, na minha opinia˜o, excelentes refereˆncias para um curso no mesmo n´ıvel em que tenho ministrado esta disciplina. Este trabalho certamente apresenta erros e, desde ja´, agradec¸o a colaborac¸a˜o das pessoas in- teressadas no assunto e que gostariam que um trabalho como este tivesse continuac¸a˜o, apresentasse melhoras e pudesse cumprir seu destino. Ilha Solteira, 21 de janeiro de 2015 Ernandes Rocha de Oliveira Aula 1 O objetivo desta aula e´ apresentar um modelo matema´tico que descreve processos de difusa˜o e o me´todo de separac¸a˜o de varia´veis, ou me´todo de Fourier, frequ¨entemente usado para tentar resolveˆ-lo. Ao final, veremos como naturalmente surgem as chamadas se´ries trigonome´tricas para o estudo desse e de outros fenoˆmenos f´ısicos. A equac¸a˜o de conduc¸a˜o do calor Vamos considerar um problema de conduc¸a˜o de calor numa barra cil´ındrica retil´ınea, de sec¸a˜o reta uniforme e feita de um material homogeˆneo. - .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. x=0 x=l x � � � ��� u(x,t) Sejam x o eixo da barra, x = 0 e x = l as extremidades da barra. Suponhamos que as superf´ıcies laterais da barra estejam perfeitamente isoladas, de modo que na˜o haja passagem de calor atrave´s delas. Admitiremos tambe´m, que as dimenso˜es da sec¸a˜o reta sa˜o ta˜o pequenas que a temperatura, que aqui denotaremos por u, pode ser considerada uniforme sobre qualquer sec¸a˜o reta da barra. Assim, a temperatura u, e´ func¸a˜o somente da coordenada x e do tempo t. A equac¸a˜o da conduc¸a˜o do calor tem a seguinte forma (para uma deduc¸a˜o dessa equac¸a˜o, a partir das hipo´teses consideradas aqui, consulte [4, pa´g. 1-11] ou [1, pa´g. 431-434]). ∂u ∂t (x, t) = α2 ∂2u ∂x2 (x, t), 0 < x < l , t > 0 . (1.1) Na equac¸a˜o (1.1), α2 e´ uma constante, chamada constante de difusividade te´rmica e so´ depende do material da barra. Vamos supor tambe´m que a distribuic¸a˜o inicial de Princ´ıpio da superposic¸a˜o 2 temperatura seja dada por uma func¸a˜o f(x) u(x, 0) = f(x), 0 6 x 6 l . Vamos admitir que u(0, t) = 0 e u(l, t) = 0, t > 0 . O problema da conduc¸a˜o do calor consiste em determinar uma func¸a˜o u(x, t) satisfazendo ∂u ∂t (x, t) = α2 ∂2u ∂x2 (x, t) (equac¸a˜o do calor homogeˆnea) u(x, 0) = f(x) (condic¸a˜o inicial) u(0, t) = 0 , e u(l, t) = 0 (condic¸o˜esde fronteira) . (1.2) Observe que procuramos uma soluc¸a˜o u(x, t) definida na faixa 0 6 x 6 l, t > 0. Usaremos as seguintes notac¸o˜es: Q := {(x, t) / 0 < x < l, t > 0} , Q = {(x, t) / 0 6 x 6 l, t > 0} . Princ´ıpio da superposic¸a˜o O princ´ıpio de superposic¸a˜o e´ uma propriedade caracter´ıstica de problemas lineares, essencialmente diz que qualquer combinac¸a˜o linear de soluc¸o˜es ainda e´ uma soluc¸a˜o. A seguinte extensa˜o, para se´ries, pode ser encontrada com mais detalhes em [7, pa´g. 9]. Suponha que (um)m=1,2,... seja uma famı´lia de func¸o˜es de classe C 2(Q), isto e´, cont´ınuas e com derivadas primeiras e segundas cont´ınuas, satisfazendo a equac¸a˜o do calor (1.1), isto e´, ∂um ∂t = α2 ∂2um ∂x2 , ∀ m = 1, 2, . . . Se (αm)m=1,2,... for uma sequ¨eˆncia de nu´meros reais tal que a se´rie u(x, t) = +∞∑ m=1 amum(x, t) seja convergente e duas vezes deriva´vel termo a termo em Q, enta˜o a func¸a˜o u(x, t) satisfaz a equac¸a˜o ∂u ∂t (x, t) = α2 ∂2u ∂x2 (x, t), 0 < x < l , t > 0 . MATEMA´TICA APLICADA ENG. MEC. E.R.O. O me´todo de separac¸a˜o de varia´veis 3 O me´todo de separac¸a˜o de varia´veis O me´todo de separac¸a˜o de varia´veis consiste em buscar soluc¸o˜es do problema do calor (1.2)) na forma u(x, t) = X(x).T(t) . Substituindo essa forma na equac¸a˜o (1.1), obtemos X(x)T ′(t) = α2X ′′(x)T(t) . Da´ı, separando (considerando intervalos nos quais as func¸o˜es na˜o sa˜o nulas) resulta T ′(t) α2T(t) = X ′′(x) X(x) . (1.3) Observe que o primeiro membro de (1.3) so´ depende de t e o segundo membro so´ depende de x. Ora, sendo x e t varia´veis independentes uma da outra, segue-se que os dois membros so´ podem ser iguais se o forem a uma mesma constante, digamos σ. Assim devemos ter X ′′(x) X(x) = T ′(t) α2T(t) = σ . Obtemos enta˜o duas equac¸o˜es diferenciais ordina´rias X ′′(x) − σX(x) = 0 , (1.4) T ′(t) − α2σT(t) = 0 . (1.5) Observe que a equac¸a˜o diferencial ∂u ∂t = α2 ∂2u ∂x2 foi substitu´ıda pelas equac¸o˜es (1.4) e (1.5), sendo σ uma constante a determinar. No entanto, so´ estamos interessados nas soluc¸o˜es de (1.4) e (1.5), que denotaremos por Xσ e Tσ, tais que, ao definirmos uσ(x, t) = Xσ(x)Tσ(t), tenhamos tambe´m uσ(0, t) = uσ(l, t) = 0 . Logo, devemos ter ∥∥∥∥∥∥ Xσ(0)Tσ(t) = 0 eXσ(l)Tσ(t) = 0 para todo t > 0. Na primeira equac¸a˜o, se Tσ(t) ≡ 0 enta˜o uσ(x, t) ≡ 0 e, se f(x) 6= 0, na˜o ter´ıamos uσ(x, 0) = f(x). Portanto, devemos ter Xσ(0) = Xσ(l) = 0. Essa segunda condic¸a˜o decorre da segunda equac¸a˜o. Vamos enta˜o estudar o seguinte problema: determinar Xσ(x) 6≡ 0 soluc¸a˜o de X ′′(x) − σX(x) = 0 , 0 < x < lX(0) = 0 e X(l) = 0 . (1.6) MATEMA´TICA APLICADA ENG. MEC. E.R.O. O me´todo de separac¸a˜o de varia´veis 4 E´ poss´ıvel mostrar, facilmente, que σ ∈ R. Assim, vamos estudar os treˆs casos poss´ıveis. Caso A: Caso em que σ = 0. A equac¸a˜o em (1.6) se torna X ′′(x) = 0 cuja soluc¸a˜o geral e´ dada por X(x) = c1x+ c2 . Como X(0) = 0, devemos ter c2 = 0 e, para que tenhamos X(l) = 0, c1 deve ser tambe´m igual a 0. O que nos da´ X(x) ≡ 0. Como queremos soluc¸o˜es na˜o identicamente nulas, este caso na˜o nos interessa. Caso B: Caso em que σ < 0. Vamos supor que σ tenha a forma σ = −λ2 com λ > 0 . Nesse caso, equac¸a˜o (1.6) se torna X ′′(x) + λ2X(x) = 0X(0) = 0 X(l) = 0 . (1.7) Vamos usar transformada de Laplace para resolver (1.7). L { X ′′ } + λ2L { X } = 0 . Temos L { X ′′ } = s2L { X } − X ′(0) . Substituindo resulta (s2 + λ2)L { X } = X ′(0) . Da´ı, L { X } = X ′(0) s2 + λ2 . Ou seja, X(x) = X ′(0) λ sen(λx) e, como queremos X(x) 6= 0, devemos ter X ′(0) 6= 0 . Por outro lado, X(l) = 0, da´ı resulta que sen(λl) = 0⇒ λl = npi, n = 1, 2, . . . . MATEMA´TICA APLICADA ENG. MEC. E.R.O. O me´todo de separac¸a˜o de varia´veis 5 Ou seja, λ = npi l . Assim, (1.7) tem soluc¸a˜o X(x) 6≡ 0 se e somente se λ = npi l , n = 1, 2, . . ., isto e´, se e somente se σ = − n2pi2 l2 , n = 1, 2, . . . . (1.8) Nesse caso, para cada n = 1, 2, . . . temos Xn(x) = cn sen( npix l ) . Vamos usar o valor de σ obtido acima e estudar a equac¸a˜o (1.5). Para cada n = 1, 2, . . . teremos T ′(t) + α2n2pi2 l2 T(t) = 0 . Da´ı, L { T ′(t) } + α2n2pi2 l2 L { T(t) } = 0 . Logo, sL { T(t) } − T(0) + α2n2pi2 l2 L { T(t) } = 0 . Da´ı, (s+ α2n2pi2 l2 )L { T(t) } = T(0) . Portanto, L { T(t) } = T(0) (s+ α 2n2pi2 l2 ) . Assim, para cada n = 1, 2, . . . teremos Tn(t) = dne −α 2n2pi2 l2 t . Logo, para cada n = 1, 2, . . ., un(x, t) = kne −α 2n2pi2 l2 t sen( npix l ) e´ soluc¸a˜o da equac¸a˜o diferencial ∂u ∂t = α2 ∂2u ∂x2 e satisfaz tambe´m as condic¸o˜es u(0, t) = u(l, t) = 0 . Pelo princ´ıpio da superposic¸a˜o devemos ter u(x, t) = +∞∑ n=1 un(x, t) = +∞∑ n=1 kne −α 2n2pi2 l2 t sen( npix l ) MATEMA´TICA APLICADA ENG. MEC. E.R.O. Exerc´ıcios 6 como candidata a soluc¸a˜o do problema (1.2). Para que isso de fato ocorra, ainda devemos ter u(x, 0) = f(x) ou seja, devemos ter f(x) = +∞∑ n=1 kn sen( npix l ) . Nosso problema fica resolvido, se soubermos como expressar uma dada func¸a˜o numa se´rie em senos. Ale´m disso devemos tambe´m investigar quando e´ poss´ıvel fazeˆ-lo. Devemos ainda estudar o caso em que σ > 0. Caso C: Caso em que σ > 0. Vamos supor que σ tenha a seguinte forma σ = λ2, com λ > 0 . A equac¸a˜o (1.4) assume a forma X ′′(x) − λ2X(x) = 0X(0) = 0 X(l) = 0 . (1.9) Usando novamente a transformada de Laplace, verifica-se facilmente que a u´nica soluc¸a˜o desse problema e´ X(x) ≡ 0 o que na˜o nos interessa. Nosso objetivo enta˜o para as pro´ximas aulas sera´ estudar como expressar func¸o˜es em se´ries envolvendo func¸o˜es trigonome´tricas e assim podermos resolver completamente o problema de conduc¸a˜o de calor proposto. Exerc´ıcios 1. Enunciar o problema de valor de contorno que determina a temperatura em uma barra de cobre (α2 = 1, 71cm2/s), com 1 metro de comprimento, se toda a barra estiver inicialmente a 10oC e uma das extremidades e´ enta˜o aquecida a 30oC e mantida nesta temperatura, enquanto a outra extremidade fica a 10oC . 2. Dar uma interpretac¸a˜o e achar a soluc¸a˜o do problema de calor 100uxx = ut , 0 < x < 1 , t > 0 u(0, t) = 0 , u(1, t) = 0 , t > 0 u(x, 0) = sen(2pix) − sen(5pix) , 0 6 x 6 1 MATEMA´TICA APLICADA ENG. MEC. E.R.O. Exerc´ıcios 7 3. Dar uma interpretac¸a˜o e achar a soluc¸a˜o do problema de calor uxx = 4ut , 0 < x < 2 , t > 0 u(0, t) = 0 , u(2, t) = 0 , t > 0 u(x, 0) = 2 sen(pix/2) − sen(pix) + 4 sen(2pix) , 0 6 x 6 2 4. Considere a equac¸a˜o auxx − but + cu = 0 (1.10) na qual a,b e c sa˜o constantes. 4.1. Seja u(x, t) = eδtw(x, t), com δ constante. Substitua u(x, t) na equac¸a˜o (1.10) e encontre a equac¸a˜o diferencial parcial correspondente para w(x, t). 4.2. Seja b 6= 0, mostre que δ pode ser escolhido de modo que a equac¸a˜o diferencial parcial encontrada na parte (a) na˜o tenha termo em w. Conclua enta˜o que por uma mudanc¸a de varia´vel dependente e´ poss´ıvel reescrever a equac¸a˜o (1.10) na forma da equac¸a˜o do calor. 5. Mostre que σ em (1.6) e´ real. 6. Mostre que a soluc¸a˜o do problema (1.9) e´ a func¸a˜o identicamente nula. 7. Use o me´todo de separac¸a˜o de varia´veis para estudar o seguinte problema uxx + ux = ut , 0 < x < l , t > 0 u(0, t) = 0 , u(l, t) = 0 , t > 0 u(x, 0) = f(x) , 0 6 x 6 l MATEMA´TICA APLICADA ENG. MEC. E.R.O. Aula 2 Nesta Aula estudaremos a se´rie de Fourier, trigonome´trica, de func¸o˜es. Recordemosque ao tentarmos resolver o problema do calor ∂u ∂t = α2 ∂2u ∂x2 , (x, t) ∈ Q u(0, t) = u(l, t) = 0 , t > 0 u(x, 0) = f(x) , 0 6 x 6 l , f(0) = f(l) = 0 usando o me´todo de separac¸a˜o de varia´veis (u(x, t) = X(x)T(t)) vimos que (i) A equac¸a˜o do calor juntamente com as condic¸o˜es de fronteira nos levam ao problema X ′′(x) − σX(x) = 0 0 < x < lX(0) = 0 X(l) = 0 (2.1) e a` equac¸a˜o T ′(t)−α2σT(t) = 0. Qualquer valor para σ tal que (2.1) tenha soluc¸a˜o X(x) na˜o identicamente nula, e´ chamado um autovalor para (2.1) e as soluc¸o˜es correspondentes sa˜o chamadas autofunc¸o˜es. Vimos que os autovalores de (2.1) sa˜o da forma σn = − n2pi2 l2 , n = 1, 2, 3, . . . e as autofunc¸o˜es correspondentes sa˜o Xn(x) = sen (npix l ) , n = 1, 2, 3, . . . . Vimos tambe´m que a equac¸a˜o T ′(t) + n2pi2α2 l2 T(t) = 0 tem por soluc¸a˜o Tn(t) = bne −n 2pi2α2 l2 t . (ii) Obtivemos as soluc¸o˜es un(x, t) = bnXn(x)Tn(t) isto e´, un(x, t) = bne −n 2pi2α2 l2 t sen (npix l ) , n = 1, 2, 3, . . . . Usando o princ´ıpio da superposic¸a˜o, procuramos uma soluc¸a˜o da forma u(x, t) = +∞∑ n=1 bne −n 2pi2α2 l2 t sen (npix l ) . Se´ries de Fourier 9 Como queremos ainda u(x, 0) = f(x), devemos ter f(x) = +∞∑ n=1 bn sen (npix l ) , 0 6 x 6 l . Se as extremidades da barra tambe´m estiverem isoladas, o problema correspondente sera´ ∂u ∂t = α2 ∂2u ∂x2 , (x, t) ∈ Q ∂u ∂x (0, t) = ∂u ∂x (l, t) = 0 , t > 0 u(x, 0) = f(x) , 0 6 x 6 l , f(0) = f(l) = 0 . (2.2) Usando o me´todo de separac¸a˜o de varia´veis, chegamos ao problema X ′′(x) − σX(x) = 0 , 0 < x < lX ′(0) = 0 X ′(l) = 0 , (2.3) cujos autovalores sa˜o da forma σn = − n2pi2 l2 , n = 0, 1, 2, . . . com autofunc¸o˜es Xn(x) = cos (npix l ) , n = 0, 1, 2, . . . , o que nos leva a escrever f(x) = a0 2 + +∞∑ n=1 an cos (npix l ) , 0 6 x 6 l . O me´todo de separac¸a˜o de varia´veis nos leva enta˜o, ao estudo de se´ries do tipo f(x) = a0 2 + +∞∑ n=1 ( an cos (npix l ) + bn sen (npix l )) , chamada Se´rie de Fourier. Vamos enta˜o tentar responder a`s seguintes questo˜es. (i) Dada uma func¸a˜o f : [0, l]→ R quando e´ poss´ıvel expressar f como se´rie de Fourier ? (ii) Como calcular os coeficientes an e bn, conhecendo f? Se´ries de Fourier Lembremos que uma func¸a˜o f : R→ C e´ perio´dica com um per´ıodo T > 0 se f(t+ T) = f(t), para todo t do domı´nio de f . (2.4) MATEMA´TICA APLICADA ENG. MEC. E.R.O. Se´ries de Fourier 10 O menor valor de T para o qual vale (2.4) e´ chamado per´ıodo fundamental e todos os per´ıodos sa˜o mu´ltiplos inteiros do per´ıodo fundamental. Isso significa que, se T e´ um per´ıodo, enta˜o kT tambe´m e´ um per´ıodo, onde k ∈ Z e´ um inteiro qualquer. Exemplo 2.1. As func¸o˜es sen(t) e cos(t) sa˜o perio´dicas com per´ıodo fundamental T = 2pi. Exemplo 2.2. Se m ∈ N enta˜o cos(mt) e sen(mt) sa˜o perio´dicas com per´ıodo funda- mental T = 2pi m . De fato, cos(m(t+ 2pi m )) = cos(mt+ 2pi) = cos(mt) . Portanto, 2pi m e´ um per´ıodo e, se 0 < T < 2pi m e ainda se cos(m(t + T)) = cos(mt), enta˜o cos(mt+mT) = cos(mt). Como o per´ıodo fundamental da func¸a˜o cosseno e´ 2pi, segue-se que mT = k2pi para algum k ∈ Z . Mas, 0 < T < 2pi e da´ı devemos ter 0 < mT < 2pi. Ou seja, 0 < k2pi < 2pi. Isso e´ imposs´ıvel. De modo semelhante tratamos a func¸a˜o sen(mt). Exemplo 2.3. Se a > 0 enta˜o cos(at) e sen(at) sa˜o perio´dicas e possuem per´ıodo fun- damental T = 2pi a . Em particular, as func¸o˜es cos(2pit) e sen(2pit) teˆm per´ıodo fundamental T = 1. Consideremos agora o espac¸o vetorial das func¸o˜es cont´ınuas em um intervalo [a,b] a valores em C. Nesse espac¸o vamos introduzir o seguinte produto interno. Dadas f : [a,b]→ C e g : [a,b]→ C, definimos < f,g >:= ∫b a f(t)g(t)dt ∈ C . Recordemos, rapidamente, as propriedades do produto interno (tambe´m chamado produto escalar). (i) < f+ g,h > = < f,h > + < g,h >; (ii) < f,g+ h > = < f,g > + < f,h >; (iii) se λ ∈ C, enta˜o < λf,g > = λ < f,g > ; < f, λg > = λ < f,g > ; MATEMA´TICA APLICADA ENG. MEC. E.R.O. Se´ries de Fourier 11 (iv) < f,g > = < g, f >; (v) < f, f > > 0 e < f, f > = 0⇔ f = 0. Para maiores detalhes sobre espac¸os com produto interno e todas as propriedades inerentes a esses objetos matema´ticos consulte a refereˆncia [2, cap. 6]. Grac¸as a`s propri- edades acima, podemos definir os seguintes conceitos geome´tricos: (a) Norma (ou comprimento) de um vetor (no caso em que estamos interessados os vetores sa˜o func¸o˜es) ‖f‖ = √ < f, f > . (b) Ortogonalidade entre vetores (func¸o˜es): diremos que as func¸o˜es f e g sa˜o ortogo- nais se seu produto interno for igual a zero, isto e´, f ⊥ g⇐⇒< f,g > = 0 . Observe que a func¸a˜o f(t) ≡ 0 e´ ortogonal a todas as outras func¸o˜es cont´ınuas e, e´ claro, que se < f,g > = 0 para toda g cont´ınua enta˜o, em particular, < f, f > = 0. Portanto, f = 0. (c) Se f e´ ortogonal a g enta˜o vale o Teorema de Pita´goras ‖f+ g‖2 = ‖f‖2 + ‖g‖2 . De modo geral, vale a identidade do paralelogramo ‖f+ g‖2 + ‖f− g‖2 = 2 (‖f‖2 + ‖g‖2) . Diremos que um conjunto de func¸o˜es e´ mutuamente ortogonal (ou apenas orto- gonal) se qualquer par de func¸o˜es do conjunto for ortogonal. Para facilitar as notac¸o˜es usaremos ϕ0(t) ≡ 1 e, para cada m = 1, 2, 3, . . ., definimos ϕm(t) = cos( mpit l ) , −l 6 t 6 l ψm(t) = sen( mpit l ) , −l 6 t 6 l . Essas func¸o˜es teˆm per´ıodo fundamental T = 2l m . Portanto, todas teˆm per´ıodo 2l. Teorema 2.4 (Relac¸o˜es de ortogonalidade). Sa˜o va´lidas as seguintes relac¸o˜es. (i) ∫ l −l cos( mpit l ) dt = 2l se m = 00 se m = 1, 2, 3, . . . MATEMA´TICA APLICADA ENG. MEC. E.R.O. Se´ries de Fourier 12 (ii) ∫ l −l sen( mpit l ) dt = 0 para cada m = 1, 2, 3, . . . (iii) < ϕm,ϕn > = ∫ l −l cos( mpit l ) cos( npit l ) dt = 0 se m 6= nl se m = n (iv) < ϕm,ψn > = ∫ l −l cos( mpit l ) sen( npit l ) dt = 0 para cada m,n. (v) < ψm,ψn > = ∫ l −l sen( mpit l ) sen( npit l ) dt = 0 se m 6= nl se m = n Demonstrac¸a˜o. (i) e (ii) sa˜o imediatas. Para verificar as outras relac¸o˜es, devemos recordar as identidades trigonome´tricas cos(a± b) = cos(a) cos(b)∓ sen(a) sen(b) e sen(a± b) = sen(a) cos(b)± sen(b) cos(a) da´ı, fazendo a = mpit l e b = npit l resulta a+ b = (m+ n)pit l a− b = (m− n)pit l assim, cos( mpit l ) cos( npit l ) = 1 2 [ cos( (m+ n)pit l ) + cos( (m− n)pit l ) ] e sen( mpit l ) sen( npit l ) = 1 2 [ cos( (m− n)pit l ) − cos( (m+ n)pit l ) ] e cos( mpit l ) sen( npit l ) = 1 2 [ sen( (m+ n)pit l ) − sen( (m− n)pit l ) ] usando essas identidades segue facilmente os itens (iii),(iv) e (v). Observac¸a˜o 2.5. O Teorema 2.4 nos diz que o conjunto de func¸o˜es cont´ınuas B definido por B := { 1, cos( mpit l ), sen( mpit l ) / m = 1, 2, 3, . . . } e´ um conjunto ortogonal e, consequ¨entemente, forma um conjunto infinito linearmente independente de func¸o˜es cont´ınuas. MATEMA´TICA APLICADA ENG. MEC. E.R.O. Se´ries de Fourier 13 As fo´rmulas de Euler-Fourier Suponhamos que uma dada func¸a˜o f, cont´ınua e perio´dica de per´ıodo 2l, possa ser expressa na forma f(t) = a0 2 + +∞∑ k=1 ( ak cos( kpit l ) + bk sen( kpit l ) ) . (2.5) Isto e´, que f seja igual a sua se´rie de Fourier. Conhecida f como determinar os coeficientes ak e bk ? Usaremos asrelac¸o˜es de ortogonalidade para responder essa questa˜o. Para cada n = 0, 1, 2, 3, . . . , consideramos o produto interno de ϕn com a se´rie (2.5) < f,ϕn > =< a0 2 ,ϕn > + +∞∑ k=1 [ak < ϕk,ϕn > + bk < ψk,ϕn > ] . Das relac¸o˜es de ortogonalidade resulta < f,ϕn > = an < ϕn,ϕn > = lan para cada n = 0, 1, 2, . . . . Ou seja, an = 1 l ∫ l −l f(t) cos( npit l ) dt . Em particular, a0 = 1 l ∫ l −l f(t) dt . Agora, para cada n = 1, 2, 3, . . . , consideremos o produto interno de ψn com a se´rie (2.5) < f,ψn > =< a0 2 ,ψn > + +∞∑ k=1 [ak < ϕk,ψn > + bk < ψk,ψn > ] . Das relac¸o˜es de ortogonalidade resulta < f,ψn > = bn < ψn,ψn > = lbn para cada n = 1, 2, . . . . Ou seja, bn = 1 l ∫ l −l f(t) sen( npit l ) dt . Observac¸a˜o 2.6. Como as func¸o˜es ϕm(t) = cos( mpit l ) e ψm(t) = sen( mpit l ) sa˜o perio´dicas de per´ıodo 2l, segue-se que as relac¸o˜es de ortogonalidade sa˜o as mesmas se em lugar de integrarmos em [−l, l] usa´ssemos qualquer intervalo de comprimento 2l. Definic¸a˜o 2.7. Seja l > 0 e seja f : [−l, l]→ C uma func¸a˜o integra´vel e tal que a func¸a˜o |f| tambe´m seja integra´vel. Definimos a Se´rie de Fourier de f como a se´rie Sf(t) = a0 2 + +∞∑ n=1 ( an cos (npit l ) + bn sen (npit l )) MATEMA´TICA APLICADA ENG. MEC. E.R.O. Se´ries de Fourier 14 com os coeficientes a0, an e bn sendo calculados por a0 = 1 l ∫ l −l f(t) dt , an = 1 l ∫ l −l f(t) cos( npit l ) dt e bn = 1 l ∫ l −l f(t) sen( npit l ) dt . Observac¸a˜o 2.8. Na˜o se exige, na definic¸a˜o acima, que a func¸a˜o f esteja definida em toda a reta. Definic¸a˜o 2.9. Seja l > 0 e seja f : [−l, l]→ C uma func¸a˜o integra´vel e tal que a func¸a˜o |f| tambe´m seja integra´vel. Para cada n ∈ N, definimos a n-e´sima soma parcial de Fourier de f por Sn(t) = a0 2 + n∑ k=1 ( ak cos (kpit l ) + bk sen (kpit l )) . Exemplo 2.10. Determinar os coeficientes da se´rie de Fourier da func¸a˜o f(t) = 1 se −1 6 t < 00 se 0 6 t < 1 , sabendo-se que f e´ perio´dica de per´ıodo 2. Isto e´, f(t+ 2) = f(t) para todo t ∈ R. 6 - 1 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 Figura 2.1: Gra´fico de f(t) Neste exemplo temos l = 1. Assim, a0 = ∫ 2 0 f(t) dt = ∫ 2 1 dt = 1 , e an = ∫ 2 0 f(t) cos(npit) dt = ∫ 2 1 cos(npit) dt = sen(npit) npi ∣∣∣∣2 1 , MATEMA´TICA APLICADA ENG. MEC. E.R.O. Se´ries de Fourier 15 an = 1 npi {sen(2npi) − sen(npi)} = 0 . Assim, a0 = 1 e an = 0 para todo n = 1, 2, . . . . Por outro lado, bn = ∫ 2 0 f(t) sen(npit) dt = ∫ 2 1 sen(npit) dt = − cos(npit) npi ∣∣∣∣2 1 . Da´ı, bn = 1 npi {cos(npi) − cos(2npi)} = 1 npi [(−1)n − 1] . Logo, Figura 2.2: Soma parcial para n = 1 Figura 2.3: Soma parcial para n = 5 Figura 2.4: Soma parcial n = 15 Figura 2.5: Soma parcial n = 25 bn = 0 se n e´ par− 2 npi se n e´ ı´mpar. Podemos enta˜o escrever b2n = 0 e b2n−1 = − 2 (2n− 1)pi , n = 1, 2, 3, . . . . A se´rie de Fourier de f sera´ (veja as Figuras 2.2, 2.3, 2.4 e 2.5) Sf(t) = 1 2 − +∞∑ n=1 2 (2n− 1)pi sen[(2n− 1)pit] . MATEMA´TICA APLICADA ENG. MEC. E.R.O. Exerc´ıcios 16 Exerc´ıcios 1. Seja f(t) = −t , −2 6 t < 0t , 0 6 t < 2 e f(t + 4) = f(t) para todo t ∈ R. Esboce o gra´fico de f e determine os coeficientes de sua se´rie de Fourier. 2. Seja f(t) = 0 , −3 6 t < −1 1 , −1 6 t < 1 0 , 1 6 t < 3 e f(t + 6) = f(t) para todo t ∈ R. Esboce o gra´fico de f e determine os coeficientes de sua se´rie de Fourier. 3. Seja f(t) = t+ 1 , −1 6 t < 0t , 0 6 t < 1 e f(t+2) = f(t) para todo t ∈ R. Esboce o gra´fico de f e determine os coeficientes de sua se´rie de Fourier. 4. Seja f(t) = −t, −pi 6 t < pi com f(t + 2pi) = f(t) para todo t ∈ R. Esboce o gra´fico de f e determine os coeficientes de sua se´rie de Fourier. 5. Suponha que g seja uma func¸a˜o integra´vel e perio´dica de per´ıodo T . 5.1. Se 0 6 a 6 T , mostre que ∫T 0 g(t) dt = ∫a+T a g(t)dt 5.2. Mostre que qualquer que seja a, na˜o necessariamente em [0, T ], ainda vale∫T 0 g(t) dt = ∫a+T a g(t) dt 5.3. Mostre que quaisquer que sejam a e b, vale∫b+T b g(t) dt = ∫a+T a g(t) dt 6. Se f e´ deriva´vel e perio´dica, com per´ıodo T , mostre que f ′ tambe´m e´ perio´dica com per´ıodo T . Determine as condic¸o˜es para que F(t) = ∫ t 0 f(ξ) dξ tambe´m seja uma func¸a˜o perio´dica. 7. Estude o problema (2.2) usando o me´todo de separac¸a˜o de varia´veis. 8. Sejam m e n naturais. Mostre que a func¸a˜o f(t) = A cos(mt) +B sen(nt) e´ perio´dica. 9. Sejam m e n racionais. Mostre que a func¸a˜o f(t) = A cos(mt)+B sen(nt) e´ perio´dica. 10. Sejam n natural e α irracional. Mostre que a func¸a˜o f(t) = A cos(nt) +B sen(αt) na˜o e´ perio´dica se A e B sa˜o diferentes de zero. MATEMA´TICA APLICADA ENG. MEC. E.R.O. Aula 3 O Teorema de Dirichlet Dada uma func¸a˜o f definida no intervalo [−l, l], consideramos sua se´rie de Fourier Sf(t) = a0 2 + +∞∑ n=1 ( an cos( npit l ) + bn sen( npit l ) ) (3.1) cujos coeficientes sa˜o dados por an = 1 l ∫ l −l f(t) cos( npit l ) dt , n = 0, 1, 2, . . . , bn = 1 l ∫ l −l f(t) sen( npit l ) dt , n = 1, 2, . . . . Como as func¸o˜es cos( npit l ) e sen( npit l ) sa˜o perio´dicas de per´ıodo 2l se, (3.1) representar uma func¸a˜o em R, enta˜o essa func¸a˜o e´ perio´dica de per´ıodo 2l. A questa˜o que se po˜e e´ a seguinte: quando e´ que (3.1) converge para f? Uma resposta para essa questa˜o e´ dada pelo seguinte Teorema 3.1 (Teorema de Dirichlet). Se f e f ′ sa˜o func¸o˜es cont´ınuas por partes no intervalo −l 6 t < l e, se f e´ definida fora desse intervalo, de modo a ser perio´dica com per´ıodo 2l, enta˜o a se´rie de Fourier de f converge para f(t) em cada ponto no qual f seja cont´ınua e converge para o valor me´dio dos limites laterais, f(t+) + f(t−) 2 nos pontos de descontinuidade de f. Demonstrac¸a˜o. Para uma demonstrac¸a˜o desse teorema veja [7, pa´g. 135]. Exemplo 3.2. Determinar a se´rie de Fourier da func¸a˜o f(t) = −1 , −pi 6 t < 01 , 0 6 t < pi . O Teorema de Dirichlet 18 Procedemos do seguinte modo: inicialmente estendemos a definic¸a˜o da func¸a˜o dada a` reta toda de modo a torna´-la 2pi-perio´dica f(t+ 2pi) = f(t) , para todo t ∈ R . 6 - 0 1 f(t) t −1 −pi pi Vamos agora calcular os coeficientes da se´rie. Sf(t) = a0 2 + +∞∑ n=1 (an cos(nt) + bn sen(nt)) a0 = 1 pi ∫pi −pi f(t) dt = 1 pi { − ∫ 0 −pi dt+ ∫pi 0 dt } = 0 e an = 1 pi ∫pi −pi f(t) cos(nt) dt = 1 pi {∫ 0 −pi cos(nt) dt+ ∫pi 0 cos(nt) dt } = 0 . Tambe´m, bn = 1 pi ∫pi −pi f(t) sen(nt) dt = 1 pi {∫ 0 −pi sen(nt) dt+ ∫pi 0 sen(nt) dt } . Da´ı, bn = 2 pi ∫pi 0 sen(nt) dt = 2 pi ( − cos(nt) n ∣∣∣∣pi 0 ) . Portanto, bn = 2 npi (1 − (−1)n) = 0 se n e´ par4 npi se n e´ ı´mpar. Assim obtemos Sf(t) = 4 pi ( sen(t) + 1 3 sen(3t) + 1 5 sen(5t) + · · · ) . Pelo teorema de Dirichlet resulta Sf(t) = f(t) , se − pi < t < 0 ou 0 < t < pi . Se t = ±pi, ou t = 0, teremos Sf(−pi) = Sf(pi) = Sf(0) = 0 . MATEMA´TICA APLICADA ENG. MEC. E.R.O. O Teorema de Dirichlet 19 Figura 3.1: Soma parcial n = 15 Figura 3.2: Soma parcial n = 50 Figura 3.3: Soma parcial para n = 505 Para facilitar alguns ca´lculos de integrais, vamos introduzir as noc¸o˜es importantes de func¸o˜es pares e func¸o˜es ı´mpares . Definic¸a˜o 3.3.Diremos que uma func¸a˜o f, definida em um intervalo da forma ] − a,a[, e´ par, se f(t) = f(−t) para todo t ∈] − a,a[ . Diremos que uma func¸a˜o f, definida em um intervalo da forma ] − a,a[, e´ ı´mpar, se f(t) = −f(−t) para todo t ∈] − a,a[ . Exemplo 3.4. As func¸o˜es f(t) = cos(nt) e g(t) = tk, com k inteiro par, sa˜o exemplos de func¸o˜es pares. As func¸o˜es f(t) = sen(nt) e g(t) = tk, com k inteiro ı´mpar sa˜o exemplos de func¸o˜es ı´mpares. Veremos agora algumas propriedades das func¸o˜es pares e das func¸o˜es ı´mpares. Proposic¸a˜o 3.5. As seguintes propriedades sa˜o verdadeiras. (a) Se f for uma func¸a˜o par e se g for uma func¸a˜o ı´mpar, enta˜o o produto h(t) = f(t).g(t) MATEMA´TICA APLICADA ENG. MEC. E.R.O. O Teorema de Dirichlet 20 e´ uma func¸a˜o ı´mpar. Se f e g forem func¸o˜es pares, enta˜o o produto h(t) = f(t).g(t) e´ uma func¸a˜o par. Se f e g forem func¸o˜es ı´mpares, enta˜o o produto h(t) = f(t).g(t) e´ uma func¸a˜o par. (b) Se f for uma func¸a˜o par e a > 0, enta˜o∫a −a f(t) dt = 2 ∫a 0 f(t) dt . Se f for uma func¸a˜o ı´mpar, enta˜o∫a −a f(t) dt = 0 . (c) Se f(t) for uma func¸a˜o qualquer, enta˜o P(t) := f(t) + f(−t) 2 e´ uma func¸a˜o par e I(t) := f(t) − f(−t) 2 e´ uma func¸a˜o ı´mpar . (d) Qualquer func¸a˜o f(t) pode ser escrita como soma de uma func¸a˜o par com uma func¸a˜o ı´mpar. Demonstrac¸a˜o. (a) Suponhamos que f(t) seja uma func¸a˜o par e que g(t) seja uma func¸a˜o ı´mpar. Considerando o produto h(t) = f(t).g(t), enta˜o h(−t) = f(−t).g(−t) = f(t).(−g(t)) = −f(t).g(t) = −h(t) . Portanto, a func¸a˜o h(t) e´ ı´mpar. De modo ana´logo, prova-se as outras duas afirmac¸o˜es. (b) De fato, teremos ∫a −a f(t) dt = ∫ 0 −a f(t) dt+ ∫a 0 f(t) dt . Fazendo a mudanc¸a de varia´vel de integrac¸a˜o, t = −u, na primeira integral do segundo membro da igualdade, e, usando a hipo´tese de f ser uma func¸a˜o par, obtemos∫a −a f(t) dt = − ∫ 0 a f(−u) du+ ∫a 0 f(t) dt = − ∫ 0 a f(u) du+ ∫a 0 f(t) dt = = ∫a 0 f(u) du+ ∫a 0 f(t) dt = 2 ∫a 0 f(t) dt MATEMA´TICA APLICADA ENG. MEC. E.R.O. O Teorema de Dirichlet 21 De modo ana´logo verifica-se a outra afirmac¸a˜o. (c) Basta observar que P(−t) = P(t) e que I(−t) = −I(t). (d) De fato, dada uma func¸a˜o qualquer f(t), escrevemos f(t) = f(t) + f(−t) 2 + f(t) − f(−t) 2 = P(t) + I(t) . Exemplo 3.6. Escreva f(t) = et como soma de uma func¸a˜o par com uma func¸a˜o ı´mpar. Teremos P(t) = et + e−t 2 = cosh(t) e I(t) = et − e−t 2 = senh(t) . Portanto, et = cosh(t) + senh(t) . Teorema 3.7. Se f(t) for uma func¸a˜o par e perio´dica de per´ıodo 2l, enta˜o os coeficientes da se´rie de Fourier de f sera˜o dados por an = 2 l ∫ l 0 f(t) cos( npit l ) dt , n = 0, 1, 2, 3, . . . e bn = 0 , n = 1, 2, 3, . . . . Demonstrac¸a˜o. Basta usar as definic¸o˜es correspondentes para cada coeficiente e aplicar o item (b) da proposic¸a˜o (3.5). Teorema 3.8. Se f(t) for uma func¸a˜o ı´mpar e perio´dica de per´ıodo 2l, enta˜o os coefici- entes da se´rie de Fourier de f sera˜o dados por an = 0 , n = 0, 1, 2, 3, . . . e bn = 2 l ∫ l 0 f(t) sen( npit l ) dt , n = 1, 2, 3, . . . . Demonstrac¸a˜o. Basta usar as definic¸o˜es correspondentes para cada coeficiente e aplicar o item (b) da proposic¸a˜o (3.5). Exemplo 3.9. Seja f(t) = t definida no intervalo −pi < t < pi. Determine a se´rie de Fourier de f. MATEMA´TICA APLICADA ENG. MEC. E.R.O. O Teorema de Dirichlet 22 Estendemos a func¸a˜o f como uma func¸a˜o perio´dica de per´ıodo 2pi f(t+ 2pi) = f(t) para cada t ∈ R . Observamos que a func¸a˜o dada e´ uma func¸a˜o ı´mpar. Assim, seus coeficientes de Fourier sa˜o calculados de acordo com a proposic¸a˜o (3.8), isto e´, an = 0 , n = 0, 1, 2, . . . e bn = 2 pi ∫pi 0 t sen(nt) dt , n = 1, 2, 3, . . . . Integrando por partes, resulta bn = 2 pi { −t cos(nt) n ∣∣∣∣pi 0 + 1 n ∫pi 0 cos(nt) dt } . Da´ı, bn = 2 pi { −pi cos(npi) n + 1 n2 sen(nt) ∣∣∣∣pi 0 } = − 2(−1)n n = 2 n (−1)n+1 para cada n = 1, 2, 3, . . . . Logo, Sf(t) = +∞∑ n=1 2 n (−1)n+1 sen(nt) . Ou seja, Sf(t) = 2 ( sen(t) − sen(2t) 2 + sen(3t) 3 − sen(4t) 4 + · · · ) . Figura 3.4: Soma parcial com n = 5 Figura 3.5: Soma parcial n = 20 Pelo teorema de Dirichlet, teremos Sf(t) = f(t), para cada −pi < t < pi. Em particular, para t = pi/2 teremos pi 2 = 2 ( 1 − 1 3 + 1 5 − 1 7 + 1 9 − · · · ) . Da´ı, pi 4 = 1 − 1 3 + 1 5 − 1 7 + 1 9 − 1 11 + · · · . MATEMA´TICA APLICADA ENG. MEC. E.R.O. Exerc´ıcios 23 Figura 3.6: Soma parcial com n = 80 Exerc´ıcios 1. Em cada um dos itens abaixo e´ dada uma func¸a˜o f(t) perio´dica de per´ıodo 2l. Fac¸a um esboc¸o do gra´fico da func¸a˜o dada e encontre sua se´rie de Fourier. 1.1. f(t) = 1, se −pi < t < pi e perio´dica de per´ıodo 2pi. 1.2. f(t) = 0 se −pi < t 6 01 se 0 < t 6 pi e perio´dica de per´ıodo 2pi. 1.3. f(t) = 3 se −pi < t 6 0−2 se 0 < t 6 pi e perio´dica de per´ıodo 2pi. 1.4. f(t) = t se 0 < t < 2pi e perio´dica de per´ıodo 2pi. 1.5. f(t) = |t| se −pi < t < pi e perio´dica de per´ıodo 2pi. 1.6. f(t) = t2 se −pi < t < pi e perio´dica de per´ıodo 2pi. 2. Nos itens abaixo, determine se a func¸a˜o dada e´ par, ı´mpar ou nem uma coisa nem outra. 2.1. f(t) = t3 − 2t 2.2. f(t) = tg(2t) 2.3. f(t) = t3 − 2t+ 1 2.4. f(t) = sen(t2) 3. Seja f(t) = t se 0 6 t < 21 se 2 6 t < 3 . Esboce o gra´fico das extenso˜es perio´dicas par e ı´mpar de f(t) de per´ıodo 6. 4. Seja f(t) = 4 − t2, com 0 < t < 1. Esboce os gra´ficos das extenso˜es perio´dicas par e ı´mpar de f(t) de per´ıodo 2. 5. Achar os coeficientes de Fourier das func¸o˜es dos exerc´ıcios (3) e (4). MATEMA´TICA APLICADA ENG. MEC. E.R.O. Exerc´ıcios 24 6. Encontre a se´rie de Fourier em cossenos da func¸a˜o f(t) = 1 se 0 < t < 10 se 1 < t < 2 . Esboce o gra´fico da func¸a˜o para a qual a se´rie converge (pontualmente) no intervalo −2 6 t 6 2. 7. Encontre a se´rie de Fourier em senos da func¸a˜o f(t) = t se 0 < t < 11 se 1 6 t < 2 . Esboce o gra´fico da func¸a˜o para a qual a se´rie converge (pontualmente) no intervalo −2 6 t 6 2. 8. Prove que a derivada de uma func¸a˜o par e´ uma func¸a˜o ı´mpar e que a derivada de uma func¸a˜o ı´mpar e´ par. Vale o mesmo resultado para integrais indefinidas? MATEMA´TICA APLICADA ENG. MEC. E.R.O. Aula 4 Desenvolvimento de meio per´ıodo Vamos, nesta aula, considerar a possibilidade de representac¸a˜o em se´rie de Fourier de func¸o˜es que esta˜o definidas apenas em intervalos limitados da reta. Dada uma func¸a˜o f : [0, l] → R, para obtermos uma representac¸a˜o em se´rie de Fourier para essa func¸a˜o, devemos em primeiro lugar defini-la no intervalo [−l, 0] e, em seguida, estendeˆ-la a reta toda como uma func¸a˜o perio´dica de per´ıodo 2l. Dentre os poss´ıveis modos de se fazer essa extensa˜o vamos destacar os dois seguintes. Extensa˜o par: definimos fp(t) := f(t) se 0 6 t 6 lf(−t) se −l < t < 0 , fp(t+ 2l) = fp(t) para cada t ∈ R . 6 - 0 l fp(t) t−l Figura 4.1: Esboc¸o de uma extensa˜o par Assim, fp e´ uma func¸a˜o par, perio´dica de per´ıodo 2l e, portanto, sua se´rie de Fourier e´ da forma Sp(t) = a0 2 + +∞∑ n=1 an cos( npit l ) . Extensa˜o ı´mpar: definimos fi(t) := f(t) se 0 6 t 6 l−f(−t) se −l < t < 0 , fi(t+ 2l) = fi(t) para cada t ∈ R . Desenvolvimento de meio per´ıodo 26 6 - 0 l fi(t) t−l Figura 4.2: Esboc¸o de uma extensa˜o ı´mpar Assim, fi e´ uma func¸a˜o ı´mpar,perio´dica de per´ıodo 2l e, portanto, sua se´rie de Fourier e´ da forma Si(t) = +∞∑ n=1 bn sen( npit l ) . Exemplo 4.1. Seja f(t) = t, definida no intervalo 0 6 t < pi. Obtenha uma se´rie em cossenos que represente f nesse intervalo. Figura 4.3: Extensa˜o par de f Consideremos a func¸a˜o fp(t) = t se 0 6 t < pi−t se −pi 6 t < 0 com fp(t+ 2pi) = fp(t). Assim, fp e´ uma func¸a˜o par e perio´dica, com per´ıodo 2pi. Temos bn = 0 , n = 1, 2, 3, . . . a0 = 2 pi ∫pi 0 t dt = 2 pi pi2 2 = pi MATEMA´TICA APLICADA ENG. MEC. E.R.O. Desenvolvimento de meio per´ıodo 27 e, para cada n = 1, 2, 3, . . . an = 2 pi ∫pi 0 t cos(nt) dt = − 2 pin ∫pi 0 sen(nt) dt . Da´ı, an = 2 n2pi {cos(npi) − 1} = 2 n2pi ((−1)n − 1) = 0 se n e´ par− 4 n2pi se n e´ ı´mpar . Podemos enta˜o escrever a0 = pi , a2n = 0 e a2n−1 = − 4 (2n− 1)2pi , n = 1, 2, 3, . . . . Figura 4.4: Soma parcial n = 2 Figura 4.5: Soma parcial n = 20 Assim, pelo teorema de Fourier, teremos f(t) = pi 2 − 4 pi +∞∑ n=1 cos(nt) (2n− 1)2 , 0 6 t < pi . Em particular, para t = 0, pi2 8 = 1 + 1 32 + 1 52 + 1 72 + · · · . Exemplo 4.2. Seja f(t) = t2 definida no intervalo 0 6 t < 1. Obtenha (a) uma se´rie em cossenos que represente f; (b) uma se´rie em senos que represente f. (a) Em primeiro lugar, para que possamos ter uma se´rie em cossenos representando uma dada func¸a˜o, devemos estender essa func¸a˜o a reta toda como uma func¸a˜o par e perio´dica. Estendemos f como uma func¸a˜o par e perio´dica de per´ıodo 2 (ver figura 4.6). Consideremos a extensa˜o par, definida por fp(t) = f(t) se 0 6 t < 1f(−t) se −1 < t < 0 , fp(t+ 2) = fp(t) para todo t ∈ R . MATEMA´TICA APLICADA ENG. MEC. E.R.O. Desenvolvimento de meio per´ıodo 28 Figura 4.6: Extensa˜o par de f Escrevemos agora a se´rie de Fourier de fp. a0 = ∫ 1 −1 fp(t) dt = ∫ 1 −1 t2 dt = t3 3 ∣∣∣∣1 −1 = 2 3 , an = ∫ 1 −1 fp(t) cos(npit) dt = ∫ 1 −1 t2 cos(npit) dt , an = t2 sen(npit) npi ∣∣∣∣1 −1 − 2 npi ∫ 1 −1 t sen(npit) dt = − 2 npi ∫ 1 −1 t sen(npit) dt . Logo, an = − 2 npi ∫ 1 −1 t sen(npit) dt . Mais uma integrac¸a˜o por partes nos da´ an = 2 npi { t cos(npit) npi ∣∣∣∣1 −1 − 1 npi ∫ 1 −1 cos(npit) dt } an = 2 npi { cos(npi) npi + cos(npi) npi − sen(npit) n2pi2 ∣∣∣∣1 −1 } . Assim, an = 4(−1)n n2pi2 , n = 1, 2, 3, . . . . Por outro lado, sendo fp uma func¸a˜o par, resulta bn = 0 n = 1, 2, 3, . . . . Assim, de acordo com o teorema de Fourier, teremos fp(t) = 1 3 + 4 +∞∑ n=1 (−1)n n2pi2 cos(npit) , para cada − 1 < t < 1 . Da´ı, MATEMA´TICA APLICADA ENG. MEC. E.R.O. Desenvolvimento de meio per´ıodo 29 Figura 4.7: Soma parcial para n = 5 Figura 4.8: Soma parcial para n = 30 t2 = 1 3 + 4 +∞∑ n=1 (−1)n n2pi2 cos(npit) , para cada 0 6 t < 1 . (b) Estendemos f a reta toda como uma func¸a˜o ı´mpar e perio´dica de per´ıodo 2 ( ver figura 4.9). Figura 4.9: Extensa˜o ı´mpar de f Consideremos fi(t) = t2 se 0 6 t < 1−t2 se −1 6 t < 0 . Escrevemos agora a se´rie de Fourier de fi. Teremos a0 = 0 e an = 0 , n = 1, 2, 3, . . . , pois fi e´ ı´mpar. bn = ∫ 1 −1 fi(t) sen(npit)︸ ︷︷ ︸ e´ par ! dt = 2 ∫ 1 0 t2 sen(npit) dt . Usando integrac¸a˜o por partes, resulta bn = 2 { − t2 cos(npit) npi ∣∣∣∣1 0 + 2 npi ∫ 1 0 t cos(npit)dt } . MATEMA´TICA APLICADA ENG. MEC. E.R.O. Desenvolvimento de meio per´ıodo 30 Da´ı, bn = 2 { − (−1)n npi + 2 npi ∫ 1 0 t cos(npit)dt } . Uma nova integrac¸a˜o por partes nos da´ bn = 2(−1)n+1 npi + 4 npi { t sen(npit) npi ∣∣∣∣1 0 − 1 npi ∫ 1 0 sen(npit)dt } = = 2(−1)n+1 npi + 4 npi { cos(npit) n2pi2 ∣∣∣∣1 0 } . Logo bn = 2(−1)n+1 npi + 4 npi { (−1)n n2pi2 − 1 n2pi2 } = 2 npi [ (−1)n+1 + 2 n2pi2 {(−1)n − 1} ] . Da´ı, Figura 4.10: Soma parcial n = 3 Figura 4.11: Soma parcial n = 15 Figura 4.12: Soma parcial n = 60 fi(t) = +∞∑ n=1 2 npi [ (−1)n+1 + 2 n2pi2 {(−1)n − 1} ] sen(npit) . MATEMA´TICA APLICADA ENG. MEC. E.R.O. Forma complexa da se´rie de Fourier 31 Forma complexa da se´rie de Fourier Um modo muito conveniente de se escrever uma se´rie de Fourier e´ usando a notac¸a˜o complexa. Recordemos a Fo´rmula de Euler eiθ = cos(θ) + i sen(θ) . Enta˜o cos(θ) = eiθ + e−iθ 2 e sen(θ) = eiθ − e−iθ 2i . Assim, an cos( npit l ) + bn sen( npit l ) = an ei npit l + e −i npit l 2 + bn ei npit l − e −i npit l 2i . Ou seja, an cos( npit l ) + bn sen( npit l ) = ( an 2 + bn 2i ) e i npit l + ( an 2 − bn 2i ) e −i npit l . Logo, se consideramos uma se´rie trigonome´trica S(t) = a0 2 + +∞∑ n=1 ( an cos( npit l ) + bn sen( npit l ) ) , enta˜o podemos escrever S(t) = a0 2 + +∞∑ n=1 ( an − ibn 2 ) e i npit l + +∞∑ n=1 ( an + ibn 2 ) e −i npit l e, trocando n por −n no segundo somato´rio, resulta S(t) = a0 2 + +∞∑ n=1 ( an − ibn 2 ) e i npit l + −∞∑ n=−1 ( a−n + ib−n 2 ) e i npit l . Definimos enta˜o, para cada n ∈ Z, a sequ¨eˆncia de nu´meros complexos cn := an − ibn 2 se n > 0 a0 2 se n = 0 a−n + ib−n 2 se n < 0 . Desse modo podemos escrever S(t) = +∞∑ n=−∞ cne i npit l . MATEMA´TICA APLICADA ENG. MEC. E.R.O. Forma complexa da se´rie de Fourier 32 Essa expressa˜o e´ a forma complexa da se´rie de Fourier . Agora, dada uma func¸a˜o f(t) perio´dica de per´ıodo 2l, teremos an = 1 l ∫ l −l f(t) cos( npit l )dt = a−n , n ∈ Z e bn = 1 l ∫ l −l f(t) sen( npit l )dt = −b−n , n ∈ Z . Da´ı, −ibn = ib−n , n ∈ Z . Logo, a fo´rmula para o ca´lculo dos coeficientes da se´rie de Fourier na forma complexa, e´ dada por cn = 1 2l ∫ l −l f(t)e−i npit l dt , n ∈ Z . Observe que c0 = 1 2l ∫ l −l f(t)dt . Exemplo 4.3. Escrever a se´rie de Fourier na forma complexa da func¸a˜o f(t) = et , definida no intervalo − pi 6 t < pi e estendida a reta toda como uma func¸a˜o perio´dica de per´ıodo 2pi; ou seja, f(t+ 2pi) = f(t) . Figura 4.13: Extensa˜o de f(t) = et de per´ıodo 2pi Temos l = pi e c0 = 1 2pi ∫pi −pi et dt = epi − e−pi 2pi . Para cada n ∈ Z\{0}, teremos cn = 1 2pi ∫pi −pi ete−int dt = 1 2pi ∫pi −pi e(1−in)t dt , MATEMA´TICA APLICADA ENG. MEC. E.R.O. Forma complexa da se´rie de Fourier 33 cn = 1 2pi [ e(1−in)t 1 − in ∣∣∣∣pi −pi ] = 1 2pi [ e(1−in)pi−e −(1−in)pi 1 − in ] . Da definic¸a˜o da exponencial complexa, teremos e−inpi = einpi = cos(npi) = (−1)n . Segue-se enta˜o que cn = (−1)n 2pi [ epi − e−pi 1 − in ] = (−1)n senhpi pi [ 1 + in 1 + n2 ] . Logo, observando que essa u´ltima expressa˜o tambe´m inclui o caso n = 0, teremos Sf(t) = senhpi pi +∞∑ n=−∞(−1) n ( 1 + in 1 + n2 ) eint . Exemplo 4.4. Encontre a se´rie de Fourier na forma complexa da onda quadrada de per´ıodo 4 dada por f(t) = 0 se −2 6 t 6 −1 1 se −1 < t < 1 0 se 1 6 t 6 2 , f(t+ 4) = f(t) ∀ t ∈ R . Figura 4.14: Gra´fico de f Temos l = 2 e c0 = 1 4 ∫ 2 −2 f(t)dt = 1 2 . Para cada n ∈ Z\{0}, teremos cn= 1 4 ∫ 2 −2 f(t)e− inpit 2 dt = 1 4 ∫ 1 −1 e− inpit 2 dt = 1 4 [ − 2e− inpit 2 inpi ∣∣∣∣1 −1 ] = = 1 4 [ − 2 inpi { e−inpi/2 − einpi/2 }] . Podemos enta˜o escrever cn = einpi/2 − e−inpi/2 2inpi = sen(npi/2) npi . MATEMA´TICA APLICADA ENG. MEC. E.R.O. Exerc´ıcios 34 Definindo a func¸a˜o sinc(t) := sen(pit) pit se t 6= 0 1 se t = 0 , podemos escrever, sinc( n 2 ) = sen(npi 2 ) npi 2 = 2cn . Essa expressa˜o valendo inclusive para o caso n = 0. Portanto, cn = 1 2 sinc( n 2 ) . Da´ı, Sf(t) = +∞∑ n=−∞ 1 2 sinc( n 2 )e inpit 2 . Figura 4.15: Gra´fico da func¸a˜o sinc(t) Exerc´ıcios 1. Seja f(t) = 0 , 0 < t < 11 , 1 < t < 2 . Obtenha 1.1 Uma se´rie em senos que represente f 1.2 Uma se´rie em cossenos que represente f Como deve ser definida a func¸a˜o f em t = 0, t = 1 e t = 2, para que as se´ries obtidas convirjam para f em todos os pontos de [0, 2]? 2. Seja f(t) = cos(t), para 0 6 t < pi. Obtenha uma se´rie em senos para f. 3. Seja f(t) = sen(t), para 0 6 t < pi. Obtenha uma se´rie em cossenos para f. 4. Seja f(t) = 0 , 0 < t < 11 , 1 < t < 2 e perio´dica de per´ıodo T = 2. Obtenha a se´rie de Fourier na forma complexa. MATEMA´TICA APLICADA ENG. MEC. E.R.O. Exerc´ıcios 35 5. Seja f(t) = t, para 0 6 t < 1 e perio´dica de per´ıodo T = 1. Obtenha a se´rie de Fourier de f na forma complexa. MATEMA´TICA APLICADA ENG. MEC. E.R.O. Aula 5 Nesta aula veremos algumas propriedades importantes das se´ries de Fourier. Duas o´timas refereˆncias para o conteu´do desta aula sa˜o [9] e, e´ claro, [4]. Desigualdade de Bessel Dada uma func¸a˜o f : R→ C perio´dica de per´ıodo 2l, vimos que sua se´rie de Fourier e´ escrita na forma Sf(t) = +∞∑ n=−∞ cne inpit l com os coeficientes cn calculados pela fo´rmula cn = 1 2l ∫ l −l f(t)e −inpit l dt para cada n ∈ Z . Recordemos, mais uma vez, as relac¸o˜es de ortogonalidade entre as exponenciais complexas.∫ l −l e inpit l e −impit l dt = 2l se m = n0 se m 6= n . (5.1) Para cada N ∈ N, definimos a truncada de ordem N, ou N-e´sima soma parcial da se´rie de Fourier complexa de f, por SN(t) := N∑ n=−N cne inpit l . (5.2) E´ claro que Sf(t) = lim N→+∞SN(t) . Ale´m disso, observe que |cn| 6 1 2l ∫ l −l |f(t)|dt , para cada n ∈ Z . (5.3) Os coeficientes (cn)n∈Z formam uma sequ¨eˆncia de nu´meros complexos e, essa sequ¨eˆncia, e´ algumas vezes chamada transformada de Fourier de f. De modo mais preciso, a Trans- formada de Fourier de uma func¸a˜o f, perio´dica de per´ıodo 2l, e´ a func¸a˜o fˆ : Z→ C , Desigualdade de Bessel 37 definida por fˆ(n) := 1 2l ∫ l −l f(t)e −inpit l dt = cn . Assim, podemos escrever SN(t) = N∑ n=−N fˆ(n)e inpit l . Observe que (5.3) tambe´m pode ser vista como |fˆ(n)| 6 1 2l ∫ l −l |f(t)| dt 6 Cte para cada n ∈ Z. Recordemos que a notac¸a˜o < f,g >= ∫ l −l f(t)g(t)dt define um produto interno no espac¸o vetorial das func¸o˜es cont´ınuas e perio´dicas de per´ıodo 2l, com norma dada por ‖f‖2 = ∫ l −l |f(t)|2dt . Uma propriedade importante das se´ries trigonome´tricas, e´ a de que, dentre todos os polinoˆmios trigonome´tricos, a N-e´sima soma parcial da se´rie de Fourier de uma func¸a˜o f, SN, fornece a melhor aproximac¸a˜o quadra´tica para a func¸a˜o. De modo mais preciso, temos Teorema 5.1. Seja f(t) uma func¸a˜o cont´ınua por partes e perio´dica de per´ıodo 2l. Seja SN(t) a N-e´sima soma parcial de sua se´rie de Fourier na forma complexa. Se (rn)n∈Z for uma sequ¨eˆncia limitada de nu´meros complexos e, se definirmos, para cada N ∈ N, o polinoˆmio trigonome´trico RN(t) := N∑ n=−N rne inpit l enta˜o, para cada N ∈ N, teremos∫ l −l |f(t) − SN(t)| 2dt 6 ∫ l −l |f(t) − RN(t)| 2dt . Ou ainda, ‖f− SN‖ 6 ‖f− RN‖ , para cada N ∈ N . A igualdade vale se e somente se SN = RN. Demonstrac¸a˜o. Seja g(t) := f(t) − N∑ n=−N fˆ(n)e inpit l = f(t) − SN(t) . MATEMA´TICA APLICADA ENG. MEC. E.R.O. Desigualdade de Bessel 38 Das relac¸o˜es de ortogonalidade (5.1), obtemos∫ l −l g(t)e− ikpit l dt = 0 , para cada k = −N , . . . , N . Em particular, se h(t) := N∑ n=−N (fˆ(n) − rn)e inpit l , teremos ∫ l −l g(t)h(t)dt = 0 . Logo, g e´ ortogonal a h e, usando as notac¸o˜es da pa´gina 11 e o teorema de Pita´goras, ‖g+ h‖2 = ‖g‖2 + ‖h‖2 > ‖g‖2 . Ou seja, como g(t) + h(t) = f(t) − RN(t) obtemos ‖f− SN‖2 6 ‖f− RN‖2 . Da´ı conclu´ımos o teorema. Vamos agora verificar uma importante desigualdade, chamada desigualdade de Bessel. Teorema 5.2 (Desigualdade de Bessel). Seja f(t) uma func¸a˜o cont´ınua por partes e perio´dica de per´ıodo 2l e seja Sf(t) = +∞∑ n=−∞fˆ(n)e inpit l sua se´rie de Fourier. Enta˜o +∞∑ n=−∞ |fˆ(n)| 2 6 1 2l ∫ l −l |f(t)|2dt . Em particular, teremos lim |n|→+∞ fˆ(n) = 0 . Proposic¸a˜o 5.3. Se f(t) for uma func¸a˜o cont´ınua por partes e perio´dica de per´ıodo 2l e se Sf(t) = a0 2 + +∞∑ n=1 ( an cos( npit l ) + bn sen( npit l ) ) for sua se´rie de Fourier, enta˜o (i) as se´ries +∞∑ n=1 a2n e +∞∑ n=1 b2n sa˜o convergentes; (ii) a20 2 + +∞∑ n=1 (a2n + b 2 n) 6 1 l ∫ l −l |f(t)|2dt. MATEMA´TICA APLICADA ENG. MEC. E.R.O. Desigualdade de Bessel 39 Prova do Teorema e da Proposic¸a˜o. Seja SN(t) = N∑ n=−N fˆ(n)e inpit l a N-e´sima soma parcial da se´rie de Fourier de f. Enta˜o SN(t) = N∑ n=−N fˆ(n)e −inpit l . Ora, 0 6 ‖f− SN‖2 =< f− SN, f− SN >= (5.4) = ‖f‖2− < f,SN > − < SN, f > + < SN,SN > . Agora, < f,SN >= ∫ l −l f(t)SN(t)dt = = N∑ n=−N fˆ(n) ∫ l −l f(t)e −inpit l dt = = N∑ n=−N fˆ(n)fˆ(n) = 2l N∑ n=−N |fˆ(n)|2 . Como < SN, f >= < f,SN > = 2l N∑ n=−N |fˆ(n)|2 e < SN,SN >= ∫ l −l SN(t)SN(t)dt = 2l N∑ n=−N |fˆ(n)|2 , teremos, substituindo essas duas expresso˜es em (5.4), 0 6 ‖f‖2 − 2l N∑ n=−N |fˆ(n)|2 . Ou seja, N∑ n=−N |fˆ(n)|2 6 1 2l ∫ l −l |f(t)|2 dt . Da´ı obtemos, passando ao limite, N→∞, +∞∑ n=−∞ |fˆ(n)| 2 6 1 2l ∫ l −l |f(t)|2dt . Essa e´ a desigualdade de Bessel. Lembrando que os coeficientes de Fourier na forma complexa esta˜o relacionados com os coeficientes de Fourier na forma trigonome´trica por fˆ(n) = an − ibn 2 se n > 0 a0 2 se n = 0 a−n + ib−n 2 se n < 0 MATEMA´TICA APLICADA ENG. MEC. E.R.O. Desigualdade de Bessel 40 segue-se que, se n > 0, |fˆ(n)|2 = a2n 4 + b2n 4 e, se n < 0, |fˆ(n)|2 = a2−n 4 + b2−n 4 . Em qualquer caso, a desigualdade de Bessel nos da´ a20 2 + +∞∑ n=1 a2n + +∞∑ n=1 b2n 6 1 l ∫ l −l |f(t)|2dt . Em particular, teremos (i) As se´ries ∞∑ n=1 a2n e ∞∑ n=1 b2n sa˜o convergentes, assim como a se´rie +∞∑ n=−∞|fˆ(n)| 2. (ii) lim n→+∞an = limn→+∞bn = 0, e (iii) lim |n|→∞|fˆ(n)| = lim|n|→∞fˆ(n) = 0. Em outros termos lim |n|→∞ ∫ l −l f(t)e− inpit l dt = 0 . Esse resultado e´ chamado Lema de Riemann-Lebesgue. Quando uma func¸a˜o f(t) tiver derivada, existira´ uma relac¸a˜o muito importante entre os coeficientes de Fourier de f e os coeficientes de Fourier de f ′. Teorema 5.4 (Transformada da Derivada). Seja f(t) uma func¸a˜o cont´ınua e perio´dica de per´ıodo 2l. Suponha que f ′(t) seja uma func¸a˜o cont´ınua por partes. Enta˜o fˆ ′(n) = inpi l fˆ(n) , para cada n ∈ Z . (5.5) Demonstrac¸a˜o. Temos fˆ ′(n) = 1 2l ∫ l −l f ′(t)e− inpit l dt integrando por partes resulta fˆ′(n) = inpi 2l2 ∫ l −l f(t)e− inpit l dt = inpi l fˆ(n) Observac¸a˜o 5.5. Observe que (5.5) nos diz que fˆ(n) = l inpi fˆ ′(n) , se n ∈ Z , n 6= 0 . Como |fˆ ′(n)| 6 Cte , para cada n ∈ Z, segue-se que, para cada n ∈ Z, com n 6= 0, |fˆ(n)| 6 Cte |n| . MATEMA´TICA APLICADA ENG. MEC. E.R.O. Sobre convergeˆncia da se´rie de Fourier 41 Ou seja, temos uma estimativa para a velocidade de convergeˆncia da se´rie de Fourier. Generalizando, se f(t) tem derivada de ordem k cont´ınua por partes enta˜o fˆ(n) = ( l inpi )k d̂kf dtk (n) , se n ∈ Z , n 6= 0 . (5.6) Da´ı, |fˆ(n)| 6 Cte |n|k . Sobre convergeˆncia da se´rie de Fourier Vamos aqui apenas citar alguns resultados que garantem que as operac¸o˜es que fizemos ate´ agora com as se´ries de Fourier sa˜o permitidas, dentro de certas restric¸o˜es. Seja I ⊂ R um intervalo da reta. Para cada nu´mero natural n ∈ N, suponhamos dada uma func¸a˜o fn : I → C, diremos enta˜o que esta´ dada uma sequ¨eˆncia de func¸o˜es (fn) em I. E´ sempre conveniente pensar numa sequ¨eˆncia como uma listagem de func¸o˜es f1 , f2 , f3 , . . . , fn , . . . . Diremos que uma sequ¨eˆncia de func¸o˜es fn : I → C converge pontualmente (ou converge ponto a ponto) a uma func¸a˜o f : I → C, se, para cada t0 ∈ I, a sequ¨eˆncia de nu´meros complexos (f1(t0), f2(t0), . . . , fn(t0), . . .) convergir a f(t0). Isso sera´ escrito na forma lim n→+∞ fn(t0) = f(t0) , para cada t0 ∈ I . Exemplo 5.6. A sequ¨eˆncia fn : [0, 1]→ R definida por fn(t) := t n converge pontualmente para a func¸a˜o f(t) = 0 , se 0 6 t < 11 , se t = 1 . Exemplo 5.7. A sequ¨eˆncia de func¸o˜es fn : [0, 1]→ R definida por fn(t) := t n(1 − tn) converge pontualmente para a func¸a˜o f(t) ≡ 0 em [0, 1]. Observamos que para cada n ∈ N fixado, fn( n √ 1/2) = 1/4 . MATEMA´TICA APLICADA ENG. MEC. E.R.O. Sobre convergeˆncia da se´rie de Fourier 42 Exemplo 5.8. Vimos no Exemplo 3.2 (ver pa´g. 17), que a sequ¨eˆncia de func¸o˜es cont´ınuas Sn : [−pi,pi]→ R, definida por Sn(t) := 4 pi n∑ k=1 1 (2k− 1) sen((2k− 1)t) converge pontualmente para a func¸a˜o f(t) = −1 se −pi < t < 0 1 se 0 < t < pi 0 se t = −pi ou t = 0 ou t = pi Na verdade, no nosso estudo sobre se´ries de Fourier, trabalhamos com um tipo de sequ¨eˆncia obtida a partir de uma dada sequ¨eˆncia de func¸o˜es, sa˜o as se´ries. Dada uma sequ¨eˆncia de func¸o˜es fn : I→ C consideremos a sequ¨eˆncia sn : I→ C definida do seguinte modo s1 := f1 , s2 := f1 + f2 , s3 := f1 + f2 + f3 , . . . , sn := n∑ k=1 fk , . . . . A sequ¨eˆncia sn : I→ C e´ chamada uma se´rie de func¸o˜es. Assim, diremos que a se´rie (sn) converge pontualmente a uma func¸a˜o s (chamada soma da se´rie) se, para cada t0 ∈ I, tivermos lim n→+∞ sn(t0) = s(t0) . (5.7) E´ usual que se escreva s(t0) = +∞∑ n=1 sn(t0) para representar o limite em (5.7). Infelizmente, por certas deficieˆncias, a convergeˆncia pontual e´ pouco u´til quando desejamos aplicar sobre sequ¨eˆncias (ou se´ries) as operac¸o˜es fundamentais do Ca´lculo, derivac¸a˜o e integrac¸a˜o, principalmente a derivac¸a˜o. Para corrigir esse defeito, e´ que se introduz a noc¸a˜o de convergeˆncia uniforme. Diremos que a sequ¨eˆncia (ou se´rie) sn : I→ C converge uniformemente em I a uma func¸a˜o s : I→ C se, para cada ε > 0 dado, existir um ı´ndice n0 ∈ N tal que, para qualquer n > n0, vale |sm(t) − s(t)| < ε qualquer que seja t ∈ I . E´ claro que se uma sequ¨eˆncia (sn)n∈N converge uniformemente a s, ela tambe´m converge pontualmente para s em I. Um importante crite´rio para decidir sobre a convergeˆncia uniforme de func¸o˜es e´ o Crite´rio de Cauchy. Teorema 5.9 (Crite´rio de Cauchy). Uma sequ¨eˆncia (sn)n∈N de func¸o˜es complexas defi- nidas num intervalo I converge uniformemente em I, se e somente se, para cada ε > 0 dado, existir um ı´ndice n0 ∈ N, a partir do qual temos |sm(t) − sn(t)| < ε MATEMA´TICA APLICADA ENG. MEC. E.R.O. Sobre convergeˆncia da se´rie de Fourier 43 qualquer que seja t ∈ I e quaisquer que sejam m > n > n0. Um outro crite´rio muito usado e´ o Teste de Weierstrass. Teorema 5.10. Considere dadas (fn)n∈Z uma sequ¨eˆncia de func¸o˜es complexas e (an)n∈Z uma sequ¨eˆncia de nu´meros reais positivos tais que • |fn(t)| 6 an para cada n ∈ Z e todo t. • A se´rie ∑ n∈Z an e´ convergente. Enta˜o, as se´ries ∑ n∈Z fn, ∑ n∈Z |fn|, sa˜o uniformemente convergentes. Vamos agora enunciar alguns teoremas sobre convergeˆncia de sequ¨eˆncias e suas con- sequ¨eˆncias no estudo de se´ries de Fourier. Proposic¸a˜o 5.11. Sejam I = [a,b] um intervalo e sn : [a,b] → C uma sequ¨eˆncia de func¸o˜es cont´ınuas por partes em [a,b]. Suponha que (sn) convirja pontualmente para uma func¸a˜o s(t), integra´vel em [a,b]. Enta˜o lim n→+∞ ∫b a sn(t)dt = ∫b a s(t)dt . Esse teorema so´ tem utilidade se conhecemos de antema˜o a integrabilidade da func¸a˜o limite. Na pra´tica, so´ conhecemos a sequ¨eˆncia (sn) e na verdade queremos tirar concluso˜es sobre a func¸a˜o limite, mesmo sem conheceˆ-la explicitamente. Proposic¸a˜o 5.12 (Integrac¸a˜o de se´ries de Fourier). Seja f(t) uma func¸a˜o cont´ınua por partes e perio´dica de per´ıodo 2l. Se Sf(t) = a0 2 + +∞∑ n=1 ( an cos( npit l ) + bn sen( npit l ) ) for a se´rie de Fourier de f, enta˜o∫ t 0 f(t)dt = ∫ t 0 a0 2 dt+ +∞∑ n=1 ( an ∫ t 0 cos( npit l )dt+ bn ∫ t 0 sen( npit l )dt ) . Isto e´, mesmo que a se´rie de Fourier na˜o seja convergente para f, podemos integrar termo a termo a se´rie e o resultado e´ a integral de f. Podemos concluir que o limite de uma sequ¨eˆncia e´ uma func¸a˜o cont´ınua, desde que a convergeˆncia da sequ¨eˆncia seja uniforme. Proposic¸a˜o 5.13. Se sn : I→ C for uma sequ¨eˆncia de func¸o˜es cont´ınuas e (sn) convergir uniformemente a uma func¸a˜o s, enta˜o s e´ cont´ınua. MATEMA´TICA APLICADA ENG. MEC. E.R.O. Identidade de Parseval 44 A convergeˆncia uniforme de uma se´rie de Fourier e´ garantida pelo seguinte resultado. Proposic¸a˜o 5.14. Seja f(t) uma func¸a˜o cont´ınua por partes e perio´dica de per´ıodo 2l. Suponha que f ′(t) seja cont´ınua por partes. Enta˜o a se´rie de Fourier de f(t) converge uniformemente para f em cada intervalo fechado no qual f seja cont´ınua. Em particular, se f(t) for cont´ınua, a convergeˆncia e´ uniforme em toda a reta. Proposic¸a˜o 5.15 (Derivac¸a˜o de se´ries de Fourier). Suponha que Sf(t) = a0 2 + +∞∑ n=1 ( an cos( npit l ) + bn sen( npit l ) ) seja a se´rie de Fourier de uma func¸a˜o f. Se soubermos que f ′(t) e Sf ′ existem e que f ′ e´ cont´ınua por partes, enta˜o a se´rie de Fourier para f ′ e´ obtida derivando-se a se´rie Sf(t) termo a termo. Sf ′(t) = +∞∑ n=1 ( npibn l cos( npit l ) − npian l sen( npit l ) ) . Um problema interessante e´ saber se uma dada se´rie trigonome´trica e´ a se´rie de Fourier de alguma func¸a˜o. Mas isso, em muitos casos, pode ser resolvido pelo seguinte resultado que e´ uma espe´cie de releitura de (5.6). Proposic¸a˜o 5.16. Seja dada a se´rie trigonome´trica S(t) = a0 2 + +∞∑ n=1 ( an cos( npit l ) + bn sen( npit l ) ) . Se existir k de tal modo que as seguintes relac¸o˜es sa˜o verificadas |nkan| 6M , |nkbn| 6M (n > 2 ,M = Cte) enta˜o S(t) e´ uma func¸a˜o cont´ınua, perio´dica de per´ıodo 2l, com (k−2) derivadas cont´ınuas, que podem ser obtidas derivando-se a se´rie termo a termo. Identidade de Parseval Suponhamos agora que f : R→ C seja uma func¸a˜o cont´ınua perio´dica de per´ıodo 2l e com f ′ cont´ınua por partes. O Teorema de Fourier nos diz enta˜o que nesse caso f(t) = +∞∑ n=−∞fˆ(n)einpit l (5.8) como f(t) = ∑ fˆ(n)e− inpit l . MATEMA´TICA APLICADA ENG. MEC. E.R.O. Identidade de Parseval 45 Usando as relac¸o˜es de ortogonalidade e supondo que podemos comutar a passagem ao limite com a integrac¸a˜o, teremos∫ l −l |f(t)|2dt = ∫ l −l f(t)f(t)dt = +∞∑ n=−∞ |fˆ(n)| 2 . Essa e´ a chamada identidade de Parseval . Observe tambe´m que se em (5.8) fizermos t = 0, resultara´ f(0) = +∞∑ n=−∞ fˆ(n) . Ou seja, a se´rie +∞∑ n=−∞fˆ(n) e´ convergente. Por enquanto, isto e´, com as hipo´teses que temos, nada podemos afirmar sobre a convergeˆncia da se´rie +∞∑ n=−∞|fˆ(n)|. Observac¸a˜o 5.17. A identidade de Parseval (ou a desigualdade de Bessel) tambe´m e´ u´til para verificarmos se uma dada se´rie trigonome´trica e´ a se´rie de Fourier de alguma func¸a˜o cont´ınua definida num intervalo ] − l, l[. MATEMA´TICA APLICADA ENG. MEC. E.R.O. Aula 6 Vamos, nesta aula, retomar o problema de conduc¸a˜o do calor que foi o nosso ponto de partida para o estudo das se´ries de Fourier. Resoluc¸a˜o do problema do calor - .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. x=0 x=l x � � � ��� u(x,t) Ao estudarmos o problema da conduc¸a˜o do calor em uma barra com extremidades mantidas a` temperatura zero, obtivemos o seguinte problema: determinar uma func¸a˜o u(x, t) (temperatura na sec¸a˜o de coordenada x no instante t) definida para t > 0 e 0 6 x 6 l e satisfazendo as condic¸o˜es ut(x, t) = α 2 uxx(x, t) , t > 0 , 0 < x < l u(0, t) = u(l, t) = 0 , t > 0 u(x, 0) = f(x) , 0 6 x 6 l (6.1) onde a constante α2 e a func¸a˜o f sa˜o conhecidas. Esse tipo de problema e´ chamado problema de valor inicial e de fronteira, ou de forma abreviada, PVIF. Usando o me´todo de separac¸a˜o de varia´veis obtivemos a expressa˜o u(x, t) = +∞∑ n=1 cne −n 2pi2α2t l2 sen( npix l ) (6.2) na qual os coeficientes cn devem ser dados de tal modo que a terceira condic¸a˜o em (6.1) seja verdadeira. Isto e´, devemos ter f(x) = u(x, 0) = +∞∑ n=1 cn sen( npix l ) . Resoluc¸a˜o do problema do calor 47 Portanto, os coeficientes cn devem ser os coeficientes de Fourier da func¸a˜o f, definida no intervalo [0, l] e estendida para a reta toda de modo ı´mpar e perio´dico de per´ıodo 2l. Antes de aceitarmos (6.2) como soluc¸a˜o do PVIF (6.1), devemos dizer o que se entende por soluc¸a˜o do PVIF (6.1). Isso pode parecer estranho em um primeiro momento, mas observando a equac¸a˜o em (6.1), vemos que devem existir restric¸o˜es quanto ao tipo de func¸a˜o que esperamos como soluc¸a˜o. Em primeiro lugar, devemos ser capazes de derivar a soluc¸a˜o uma vez em relac¸a˜o a t e duas vezes em relac¸a˜o a x. Pore´m, so´ isso na˜o basta. Por exemplo, suponhamos que a temperatura inicial seja uma func¸a˜o f(x) definida para 0 6 x 6 l. E´ razoa´vel supor que essa func¸a˜o na˜o apresente descontinuidades no intervalo 0 < x < l mas que possivelmente seja descont´ınua nas extremidades x = 0 e x = l. Tomemos por exemplo f(x) ≡ 0. Ora, por substituic¸a˜o direta vemos que u(x, t) := 0 , se t = 0 e 0 6 x 6 l 0 , se x = 0 ou x = l e t > 0 1 , se t > 0 , 0 < x < l (6.3) satisfaz todas as condic¸o˜es em (6.1), mas na˜o pode ser uma “soluc¸a˜o” aceita´vel, pois, nesse exemplo, estamos com a situac¸a˜o de termos uma barra isolada termicamente, sem fontes internas de calor e inicialmente sua temperatura e´ constante e igual a zero. Logo, o modelo nos diz que devemos esperar que, em qualquer outro instante, t > 0, a temperatura permanec¸a constante e igual a zero. Por isso devemos ter um certo cuidado em selecionar o tipo de soluc¸a˜o matema´tica que estamos buscando; evitamos frases do tipo “a teoria diz uma coisa e a pra´tica outra”, simplesmente compreendendo os limites que a pro´pria teoria impo˜e a` interpretac¸a˜o dos resultados. Recordemos duas notac¸o˜es ja´ utilizadas: Q := { (x, t) ∈ R2 / 0 < x < l e t > 0 } , Q := { (x, t) ∈ R2 / 0 6 x 6 l e t > 0 } . Definic¸a˜o 6.1 (Definic¸a˜o de soluc¸a˜o para o PVIF (6.1)). Uma func¸a˜o u : Q −→ R e´ uma soluc¸a˜o do problema (6.1) se ela for cont´ınua em Q, tiver derivadas parciais ut e uxx em Q e verificar as treˆs condic¸o˜es em (6.1). Observac¸a˜o 6.2. Observe que na˜o exigimos continuidade das derivadas parciais, mas isso na˜o e´ importante, pois existe um teorema que mostra que qualquer func¸a˜o cont´ınua que satisfac¸a a equac¸a˜o do calor (6.1) possui derivadas cont´ınuas de todas as ordens. Com essa definic¸a˜o exclu´ımos, pelo menos, (6.3) de ser considerada soluc¸a˜o de (6.1). MATEMA´TICA APLICADA ENG. MEC. E.R.O. Resoluc¸a˜o do problema do calor 48 Como o me´todo de separac¸a˜o de varia´veis nos leva a` representac¸a˜o em se´rie de Fourier, devemos tambe´m impor certas restric¸o˜es ao dado inicial f(x). A mais simples e´ a seguinte. Definic¸a˜o 6.3. Diremos que uma func¸a˜o f : [0, l] −→ C tem quadrado integra´vel se∫ l 0 |f(x)|2dx < +∞ . Temos enta˜o o seguinte resultado Teorema 6.4 (Existeˆncia e unicidade). Seja f : [0, l] −→ R uma func¸a˜o cont´ınua com f(0) = f(l) = 0 e tal que sua derivada f ′(x) exista em [0, l] e seja uma func¸a˜o de quadrado integra´vel. Enta˜o a func¸a˜o definida por u(x, t) = +∞∑ n=1 cne −n 2pi2α2t l2 sen( npix l ) (6.4) com cn = 2 l ∫ l 0 f(x) sen( npix l )dx e´ a soluc¸a˜o do problema (6.1). Demonstrac¸a˜o. Veja [4, pa´g. 107 e pa´g. 121] Exemplo 6.5. Achar a temperatura u(x, t) em uma barra cil´ındrica de alumı´nio, α2 = 0, 86, de comprimento unita´rio, com sua superf´ıcie lateral isolada termicamente, inicial- mente com temperatura uniforme de 10oC em todo seu comprimento e cujas extremidades sa˜o mantidas a 0oC para todo t > 0. Temos que ut(x, t) = 0, 86uxx(x, t) t > 0 , 0 < x < 1 u(0, t) = u(1, t) = 0 , t > 0 u(x, 0) = 10 , 0 6 x 6 1 . Observe que f(x) ≡ 10 na˜o satisfaz f(0) = f(1) = 0, mas mesmo assim podemos achar uma soluc¸a˜o, u(x, t), pelo me´todo de separac¸a˜o de varia´veis, na forma u(x, t) = +∞∑ n=1 cne −0,86n2pi2t sen(npix) com cn = 20 ∫ 1 0 sen(npix)dx = 40 npi , se n e´ ı´mpar 0 , se n e´ par. Da´ı, u(x, t) = 40 pi +∞∑ n=1 1 2n− 1 e−0,86(2n−1) 2pi2t sen((2n− 1)pix) . MATEMA´TICA APLICADA ENG. MEC. E.R.O. Resoluc¸a˜o do problema do calor 49 Barra sujeita a outras condic¸o˜es Veremos agora exemplos de alguns outros problemas de contorno para a equac¸a˜o do calor, e que podem tambe´m ser resolvidos usando o me´todo de Fourier. Barra com extremidades isoladas O problema matema´tico consiste em determinar uma func¸a˜o u : Q −→ R verificando as condic¸o˜es ut(x, t) = α 2uxx(x, t) , em Q ux(0, t) = ux(l, t) = 0 , para t > 0 u(x, 0) = f(x) , para 0 6 x 6 l . (6.5) Usando o me´todo de separac¸a˜o de varia´veis, vamos considerar soluc¸o˜es da forma u(x, t) = X(x)T(t) . Substituindo essa expressa˜o na equac¸a˜o (6.5), resulta X(x)T ′(t) = α2X ′′(x)T(t) . Da´ı, X ′′(x) X(x) = T ′(t) α2T(t) = σ = cte . Assim X ′′(x) − σX(x) = 0T ′(t) − σT(t) = 0 . Usando as condic¸o˜es de contorno, teremos ux(0, t) = X ′(0)T(t) = 0 =⇒ X ′(0) = 0 e ux(l, t) = X ′(l)T(t) = 0 =⇒ X ′(l) = 0 . Devemos enta˜o determinar σ e X(x) tais que X ′′(x) − σX(x) = 0 e X(x) 6≡ 0 X ′(0) = X ′(l) = 0 . (6.6) Usando, por exemplo, a transformada de Laplace para resolver (6.6), obtemos o se- guinte: para cada n = 0, 1, 2, 3, . . . , o valor σn = − n2pi2 l2 e´ um autovalor para (6.6), com autofunc¸a˜o correspondente dada por Xn(x) = cos( npix l ). Agora, o problema T ′n(t) + n2pi2 l2 α2Tn(t) = 0 , MATEMA´TICA APLICADA ENG. MEC. E.R.O. Resoluc¸a˜o do problema do calor 50 temcomo soluc¸a˜o Tn(t) = e −n 2pi2α2t l2 . Constru´ımos enta˜o a famı´lia de soluc¸o˜es un(x, t) = cne −n 2pi2α2t l2 cos( npix l ) . O princ´ıpio da superposic¸a˜o nos diz que devemos tentar como soluc¸a˜o a expressa˜o u(x, t) = +∞∑ n=0 cne −n 2pi2α2t l2 cos( npix l ) . (6.7) Como, para satisfazer a condic¸a˜o inicial, devemos ter f(x) = u(x, 0) = +∞∑ n=0 cn cos( npix l ) , 0 6 x 6 l , devemos enta˜o tomar a extensa˜o par e perio´dica de per´ıodo 2l de f e cn como os coeficientes da se´rie de Fourier ; isto e´, cn = 2 l ∫ l 0 f(x) cos( npix l )dx . Condic¸o˜es de contorno na˜o homogeˆneas Suponhamos agora que uma das extremidades da barra seja mantida na temperatura constante T1 e a outra extremidade mantida na temperatura constante T2. Temos enta˜o u(0, t) = T1 e u(l, t) = T2 , para todo t > 0 assim, vamos estudar o problema: determinar uma func¸a˜o u : Q → R, cont´ınua satisfa- zendo as condic¸o˜es ut(x, t) = α 2uxx(x, t) , (x, t) ∈ Q u(0, t) = T1 , u(l, t) = T2 , para todo t > 0 u(x, 0) = f(x) , 0 6 x 6 l (6.8) Ide´ia: fazer uma mudanc¸a na inco´gnita u de modo a recairmos no problema (6.1). Para isso vamos escolher uma func¸a˜o qualquer v(x, t), cont´ınua e verificando as condic¸o˜es vt(x, t) = α2vxx(x, t) , (x, t) ∈ Qv(0, t) = T1 , v(l, t) = T2 , para todo t > 0 (6.9) e substitu´ımos a inco´gnita u(x, t) em (6.8) pela nova inco´gnita w(x, t) definida por w(x, t) := u(x, t) − v(x, t) (6.10) MATEMA´TICA APLICADA ENG. MEC. E.R.O. Resoluc¸a˜o do problema do calor 51 assim teremos wt(x, t) = α 2 wxx(x, t) , (x, t) ∈ Q w(0, t) = 0 , w(l, t) = 0 , para todo t > 0 w(x, 0) = f(x) − v(x, 0) , 0 6 x 6 l (6.11) Uma func¸a˜o v(x, t) que verifica as condic¸o˜es (6.9) e´ v(x, t) = v(x) = (T2 − T1) x l + T1 Agora, a soluc¸a˜o do problema (6.11) e´ dada por w(x, t) = +∞∑ n=1 bne −n 2pi2α2t l2 sen( npix l ) com os coeficientes bn calculados por bn = 2 l ∫ l 0 [f(x) − v(x)] sen( npix l )dx segue-se enta˜o que u(x, t) = (T2 − T1) x l + T1 + +∞∑ n=1 bne −n 2pi2α2t l2 sen( npix l ) A func¸a˜o v(x) dada acima e´ chamada distribuic¸a˜o permanente de temperatura (corres- ponde ao estado estaciona´rio obtido tomando lim t→+∞u(x, t)). A func¸a˜o w(x, t) e´ chamada a parte transiente da soluc¸a˜o u(x, t). Equac¸a˜o do calor na˜o homogeˆnea A equac¸a˜o do calor na˜o homogeˆnea tem a forma ut(x, t) = α 2uxx(x, t) + g(x, t) ela aparece quando levamos em considerac¸a˜o a existeˆncia de uma fonte de calor (interna ao sistema). Vamos aqui tratar apenas do seguinte problema: determinar uma func¸a˜o u : Q→ R, cont´ınua e satisfazendo as condic¸o˜es ut(x, t) = α 2uxx(x, t) + g(x, t) , (x, t) ∈ Q u(0, t) = u(l, t) = 0 , para todo t > 0 u(x, 0) = f(x) , 0 6 x 6 l (6.12) Recordemos que se g(x, t) ≡ 0 enta˜o u(x, t) e´ dada por u(x, t) = +∞∑ n=1 bne −n 2pi2α2t l2 sen( npix l ) MATEMA´TICA APLICADA ENG. MEC. E.R.O. Resoluc¸a˜o do problema do calor 52 Vamos usar um me´todo chamado me´todo de variac¸a˜o de paraˆmetros para estudar (6.12): consiste em tentar uma soluc¸a˜o com a forma u(x, t) = +∞∑ n=1 bn(t) sen( npix l ) e determinar as func¸o˜es bn(t). Suponhamos que para cada t > 0 fixado, possamos escrever g(x, t) = +∞∑ n=1 gn(t) sen( npix l ) com os coeficientes gn(t) dados por gn(t) = 2 l ∫ l 0 g(x, t) sen( npix l )dx isto e´, fixado t0 > 0 consideramos uma extensa˜o ı´mpar e perio´dica de per´ıodo 2l de g(x, t0) e escrevemos sua se´rie de Fourier, supondo ainda que essa se´rie seja convergente para g(x, t0) de tal modo que todas as operac¸o˜es que faremos na sequ¨eˆncia fiquem justificadas. Substituindo as expresso˜es para u(x, t) e g(x, t) na equac¸a˜o (6.12) e supondo que podemos derivar as se´ries termo a termo, resulta +∞∑ n=1 b ′n(t) sen( npix l ) = − +∞∑ n=1 α2 pi2 l2 bn(t)n 2 sen( npix l ) + +∞∑ n=1 gn(t) sen( npix l ) ou seja, para cada n = 1, 2, 3, . . . teremos b ′n(t) = − n2pi2α2 l2 bn(t) + gn(t) , para todo t > 0 como u(x, 0) = f(x) = +∞∑ n=1 bn(0) sen( npix l ) enta˜o bn(0) = 2 l ∫ l 0 f(x) sen( npix l )dx ou seja, bn(0) e´, para cada n ∈ N, o coeficiente de Fourier da extensa˜o ı´mpar e perio´dica de per´ıodo 2l de f. Assim, a soluc¸a˜o u(x, t) sera´ escrita na forma u(x, t) = +∞∑ n=1 bn(t) sen( npix l ) com os coeficientes bn(t) sendo, para cada n = 1, 2, 3, . . . a soluc¸a˜o do problema b ′n(t) + n2pi2α2 l2 bn(t) = gn(t) , t > 0 e com gn(t) = 2 l ∫ l 0 g(x, t) sen( npix l )dx bn(0) = 2 l ∫ l 0 f(x) sen( npix l )dx (6.13) O problema (6.13) pode, por exemplo, ser resolvido usando a transformada de Laplace. MATEMA´TICA APLICADA ENG. MEC. E.R.O. Exerc´ıcios 53 Exerc´ıcios 1. Considere o conjunto de dados em relac¸a˜o ao problema (6.1) e resolva cada um dos casos. 1.1. α2 = 1, 71cm2/s, l = 10cm, f(x) = sen(0, 1pix) 1.2. α2 = 1, 14cm2/s, l = 20cm, f(x) = x(400 − x2) 2. Com o mesmo conjunto de dados do problema anterior, estude o problema (6.5). 3. Considere o conjunto de dados em relac¸a˜o ao problema (6.8) e resolva cada um dos casos. 3.1. α2 = 0, 86cm2/s, l = 10cm,f(x) ≡ 1, T1 = 0oC, T2 = 15oC. 3.2. α2 = 0, 011cm2/s, l = 10cm,f(x) = x2, T1 = 10 oC, T2 = 25 oC. MATEMA´TICA APLICADA ENG. MEC. E.R.O. Aula 7 A equac¸a˜o da corda vibrante O modelo que vamos estudar e´ o de pequenas vibrac¸o˜es transversais de uma corda per- feitamente flex´ıvel. Uma deduc¸a˜o deste modelo pode ser vista em [1, p.434]. Consideremos a figura 6 - � � � � � �� ~Fa a x .. .. .. .. .. .. ~Fb b .. .. .. .. .. θb θa u x . . . . . . . . . .u(x,t) Configurac¸a˜o num instante t • u(x, t) representa a posic¸a˜o do ponto x da corda no instante t; • ρ(x, t) representa a densidade da corda; como as vibrac¸o˜es sa˜o transversais (isto e´, perpendiculares a` direc¸a˜o x) segue-se que podemos considerar que ρ = ρ(x); A quantidade de movimento da porc¸a˜o da corda entre a e b e´ dada por M(t) = ∫b a ρ(x)ut(x, t)dx as tenso˜es : ~Fa e ~Fb com | ~Fa| = f(a, t) e | ~Fb| = f(b, t), onde ~Fa e ~Fb sa˜o forc¸as que o restante da corda exerce sobre o trecho entre a e b. Como na˜o ha´ quantidade de movimento na direc¸a˜o x, teremos f(a, t) cos(θa) = f(b, t) cos(θb) . Logo, a componente horizontal da tensa˜o so´ depende de t, vamos denota´-la por τ(t). A forc¸a total na direc¸a˜o vertical e´ dada por | ~Fb| sen(θb) − | ~Fa| sen(θa) = | ~Fb| cos(θb) tg(θb) − | ~Fa| cos(θa) tg(θa) = = τ(t) tg(θb) − τ(t) tg(θa) . Exemplos de acordo com o tipo de forc¸as externas 55 Ou seja, τ(t) tg θb − τ(t) tg θa ∼= τ(t)ux(x, t) ∣∣∣∣x=b x=a = ∫b a τ(t)uxx(x, t)dx Ale´m das forc¸as de tensa˜o, o sistema pode estar sujeito a` ac¸a˜o de forc¸as externas. Se h1(x, t,u,ut) denotar a densidade linear dessas forc¸as ao longo da corda, usando a Lei de Newton, teremos: d dt ∫b a ρ(x)ut(x, t)dx = ∫b a τ(t)uxx(x, t)dx+ ∫b a h1(x, t,u,ut)dx ou ainda, ∫b a {ρ(x)utt(x, t) − τ(t)uxx(x, t) − h1(x, t,u,ut)}dx = 0 Como a e b sa˜o arbitra´rios obtemos a equac¸a˜o da corda vibrante ρ(x)utt(x, t) = τ(t)uxx(x, t) + h1(x, t,u,ut) ou seja, utt(x, t) = c 2uxx(x, t) + h1(x, t,u,ut) (7.1) com c2(x, t) = τ(t) ρ(x) . Como [τ] = ML T 2 e [ρ] = M L resulta que [c] = L T , isto e´, c tem dimensa˜o de velocidade. Vamos nos limitar ao caso em que c e´ constante. Exemplos de acordo com o tipo de forc¸as externas (1) Vibrac¸o˜es livres: forc¸as
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