2ª Aula de Cálculo II

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CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II
A U L A 0 2
0 3 A B R I L 2 0 1 2
Técnicas de IntegraçãoTécnicas de Integração
Prof. Cacico
01 de 09
francis@vm.uff.br francis@poli.ufrj.br francis@uenf.br
Técnicas de Integração (Primitivação)
OBJETIVO: Apresentar técnicas para determinar a função F(x) –
conhecida como primitiva – tal que F’(x) = f(x) ou:
∫ = F(x)dx f(x)
– INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO DE VARIÁVEL
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Seguem algum exercícios onde estas técnicas são aplicadas.
– INTEGRAÇÃO POR PARTES
– INTEGRAÇÃO POR DECOMPOSIÇÃO EM FRAÇÕES
PARCIAIS
– INTEGRAÇÃO UTILIZANDO SUBSTITUIÇÕES (POR MEIO
DE IDENTIDADES) TRIGONOMÉTRICAS
EXERCÍCIO 01
Calcular ∫ + dx2x1)(x 502
Solução
Seja u = x2 + 1
INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO
2x
dx
du
=
Logo: 2xdx = du
Assim, a integral dada pode ser escrita como:
∫ du(u)50
C
51
1)(xC
51
udu(u)
51251
50 +
+
=+=∫
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EXERCÍCIO 02
Calcular ∫ + dx9)sen(x
Solução
Seja u = x + 9
INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO
1
dx
du
=
Logo: dx = du
Assim, a integral dada pode ser escrita como:
∫ dusen(u)
C9)cos(xCcos(u)dusen(u) ++−=+−=∫
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EXERCÍCIO 03
Calcular ∫ dxcos(x)(x)sen2
Solução
Seja u = sen(x) cos(x)
dx
du
=
INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO
Logo: cos(x)dx = du
Assim, a integral dada pode ser escrita como:
∫ duu
2
C
3
(x)senC
3
uduu
33
2 +=+=∫
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EXERCÍCIO 04
Calcular ∫ dx
x
e x
Solução

Seja u = x
INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO
Então
x2
1
x
1
2
1
x
2
1
x
dx
d
dx
du
2
1
2
1
2
1
===








=
−
Logo: = du dx
x2
1
Antes da substituição, a função dada será escrita de outra 
forma.
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Assim, a integral dada pode ser escrita como:
∫∫∫ == dx
x2
12edx
x2
2
1
edx
x
e x
xx
∫∫ = du2edx
x2
12e ux
du2dx
x
1dudx
x2
1
=⇒=
outra maneira de chegar aqui 
sem manipular a função 
dada é fazendo:
Ce2Ce2due2du2e xuuu +=+== ∫∫
Ou seja: Ce2dx
x
e x
x
+=∫
xx2
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EXERCÍCIO 05
Calcular ∫ − dx1xx
2
Solução
Seja u = x – 1 
Logo: dx = du 
INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO
Logo: dx = du 
Se u = x – 1 
Então x = u + 1
x2 = (u+1)2
x2 = u2 + 2u + 1 
Assim, a integral dada pode ser escrita como:
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∫ ++ duu1)2u(u2
ou:
∫
∫∫








++=








++=++
duu2uu
du1uu2uuuduu1)2u(u
2
1
2
3
2
5
2
1
2
1
2
1
22
1
2
∫ 



Portanto:
C
1
2
1
u
1
2
3
u2
1
2
5
uduu2uu
1
2
11
2
31
2
5
2
1
2
3
2
5
+
+
+
+
+
+
=








++
+++
∫
09 de 09