aula 1- resolução das equações algébricas

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AUTARQUIA DO ENSINO SUPERIOR DE GARANHUNS – AESGA
Faculdade de Ciências Exatas de Garanhuns- FACEG
Resolução de equações algébricas e transcendentes
(Aula 1)
amanda27mendy@gmail.com SILVA, A. M.
(Aula 1)
Disciplina: Cálculo numérico
Professora: Amanda Silva
Garanhuns, 2015.
RAÍZES DE EQUAÇÕES
Consiste em encontrar valores de de modo que satisfaçam à 
equação f(x)=0. São chamados de raízes ou zeros da função f(x) e, a título 
de exemplo podem ser vistos na figura a seguir.
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Para equações algébricas de grau até quatro, suas raízes podem ser 
calculadas por meio de uma expressão, como por exemplo Bháskara, para 
determinar duas raízes de função de segundo grau.
No entanto , para equações algébricas de grau maior que quatro não 
podem ser calculadas analiticamente e para isso devem ser usados métodos 
que encontrem uma solução aproximada para essas raízes.
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Isolamento de raízes
O problema de calcular uma raiz pode ser dividido em duas fases:
1. Isolamento da raiz, isto é, encontrar um intervalo [a,b] que contenha 
uma, e somente uma, raiz de f(x)=0.
2. Refinamento da raiz, ou seja, a partir de um valor inicial (x0) 
pertencente a [a,b], gerar uma sequência {x0,x1,x2,x3,...,xk,...} que 
convirja para uma raiz exata Csi de f(x)=0.
A maioria dos métodos para o cálculo de raízes necessita que a mesma 
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A maioria dos métodos para o cálculo de raízes necessita que a mesma 
esteja confinada em um dado intervalo e, além do mais, essa raiz deve 
ser única em tal intervalo. 
Equações algébricas- Avaliação de polinômio
Consideremos uma equação algébrica de grau n (n maior ou igual a 1) 
escrita na forma de potências
Com os coeficientes ci sendo reais e cn diferente de zero. Para obter o 
valor de um polinômio P(x) em um ponto x=a, usualmente faz-se:
Dessa maneira, para avaliar P(x) de grau n, em x=a, são necessárias 
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Dessa maneira, para avaliar P(x) de grau n, em x=a, são necessárias 
n(n+1)/2 multiplicações e n adições. 
Exemplo:
Sendo requeridas 15 multiplicações e 5 adições.
Método de Horner
Meio mais eficiente para se fazer a avaliação de um polinômio. Consiste em 
reescrever o polinômio de modo a evitar potências.
Deste modo:
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O processo de Horner requer apenas n multiplicações e n adições para 
avaliar um polinômio de grau n. 
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Propriedades gerais
Uma equação algébrica de grau n tem exatamente n raízes, 
reais ou complexas, contando cada raiz de acordo com a sua 
multiplicidade. 
Uma raiz tem multiplicidade m se 
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Assim 1 é uma raiz de multiplicidade m=3. Sabendo-se que 
P(-5)=0 o polinômio anterior pode ser escrito na forma fatorada:
Se os coeficientes de uma equação algébrica forem reais, 
então as suas raízes complexas serão complexos conjugados em 
pares, ou seja se 
for uma raiz de multiplicidade m, então
também será uma raiz de mesma multiplicidade. 
Exemplo:
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Exemplo:
Uma equação algébrica de grau ímpar com coeficientes reais tem, no 
mínimo uma raiz real.
Exemplo:
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Dispositivo prático
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