Trabalho completo sobre dimensionamento de Pilares com 75 páginas

Prévia do material em texto

Estruturas de Concreto II Dimensionamento de Pilares 
Página:1/75 
 
UNIVERSIDADE FEDERAL DO ESPÍRITO SANTO – UFES 
DEE - DEPARTAMENTO DE ESTRUTIURAS E EDIFICAÇÕES 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
TRABALHO DE CONCRETO II 
(Dimensionamento de Pilares) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Alunos: 
 
 
Cláudio R. Ceotto 
Valéria A. Merlo 
 
 
 
 
 
Estruturas de Concreto II Dimensionamento de Pilares 
Página:2/75 
Introdução 
 
Pilares são “elementos lineares de eixo retos, usualmente dispostos na vertical, em que as forças 
normais de compressão são preponderantes” (NBR 6118/2003). 
 
O dimensionamento dos pilares é feito em função dos esforços externos solicitantes de cálculo, 
que compreendem os esforços normais (Nd), os momentos fletores (Mdx e Mdy) e os esforços 
cortantes (Vdx e Vdy) no caso de ação horizontal. 
 
Para avaliarmos os momentos de 2º ordem usaremos o método do pilar padrão com curvatura 
aproximada. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Estruturas de Concreto II Dimensionamento de Pilares 
Página:3/75 
 
 
Carregamento no Pilar Intermediário 
 
Pilar Intermediário 
Pavimento Carga(KN) Pré-Dimensionamento Aréa (cm²) Aréa Adotada (cm²)
294,00 
4,07 8º 
298,07 
329,28 15x35=525 
718,07 
7,75 7º 
725,82 
804,24 25x40=1000 
1145,82 
7,75 6º 
1153,57 
1283,32 25x40=1000 
1573,57 
7,75 5º 
1581,32 
1762,40 25x40=1000 
2001,32 
17,44 4º 
2018,76 
2241,48 25x90=2250 
2438,76 
17,44 3º 
2456,19 
2731,41 25x90=2250 
2876,19 
17,44 2º 
2893,63 
3221,34 25x90=2250 
3313,63 
17,44 1º 
3331,07 
3711,27 25x90=2250 
3751,07 
30,00 Térreo 
3781,07 
4201,20 25x120=3000 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Estruturas de Concreto II Dimensionamento de Pilares 
Página:4/75 
Cálculo dos Pilares Intermediários – P7 
 
 
Carregamento nos Pilares P7, por andar 
 
Oitavo Pavimento 
 
No pilar intermediário, devido à continuidade das vigas e lajes no pilar, tem-se: 
Ma=Mb=0 , em ambas as direções do pilar, o que leva a M1d,a=0 e e1=0. 
 
 
 
hy= 15cm, hx= 35cm. 
Ac= 525 cm ² 
lex= ley= 310cm 
 
Força Normal de Cálculo 
 
KNNkNd 30,41707,2984,1 =×=×= γ 
 
Índice de Esbeltez 
 
65,30
35
31046,3 =×=xλ 
 
51,71
15
31046,3 =×=yλ 
 
Momento Fletor 
 ( )hNddM 03,05,1min,1 +×= 
Em x: ( ) cmKNxdM .11,10643503,05,130,417min,1 =×+×= 
cmxe 55,21 = 
Em y: ( ) cmKNydM .73,8131503,05,130,417min,1 =×+×= 
cmxe 95,11 = 
 
Esbeltez Limite 
 
b
h
e
αλ
15,1225
1
×+
= com 90135 ≤≤ λ 
X
Y 
Estruturas de Concreto II Dimensionamento de Pilares 
Página:5/75 
 
sendo 1=bα , para pilares biapoiados com cargas transversais significativas ao longo 
da altura. 
 
3525,1,1 ≤== yx λλ 
35,1,1 == yx λλ 
 
Então: 
xx ,165,30 λλ <= , não são considerados os efeitos de 2º ordem na direção x; 
yy ,151,71 λλ >= , são considerados os efeitos de 2º ordem na direção y. 
 
Momento de 2º Ordem 
 
Será avaliado pelo método do pilar-padrão com curvatura aproximada. 
 



≥×+×=
min,1
,1
10
,1,
2
dM
dAM
r
leNdAdMbtotMd α 
 
74,0
4,1
10250525,0
103,417
6
3
=××
×=×= fcdAc
Ndν 
 
Curvatura segundo a direção y sujeita a esforços de 2º ordem; 
 
( ) hhr
005,0
5,0
005,01 ≤+= ν 
 
cmcm
r
44 1033,31068,21 −− ×≤×= 
 
Excentricidade de 2º ordem na direção y; 
 
cm
r
leye 58,21068,2
10
3101
10
2 4
22
=××=×= − 
Então temos; 
 
Em x; 
cmKNxdMxtotMd .11,1064min,,1,, == 
 
Em y; 
cmKNytotMd .13,18901068,2
10
3103,41721,8711,, 4
2
=×××+×= − 
 
Em x; 
 
Estruturas de Concreto II Dimensionamento de Pilares 
Página:6/75 
03,0
4,1
5,252535
11,1064 =
××
=××= fcdAchx
Mdtotxµ 
No ábaco determinamos o valor de w=zero 
 
 
Em y; 
 
13,0
4,1
5,252515
13,1890 =
××
=××= fcdAchy
Mdtotyµ 
No ábaco determinamos o valor de w=0,25 
 
Área de Aço 
 
239,5
15,1
500
4,1
2552525,0
cm
fyd
fcdAcwAs =
××
=××= 
 
Detalhamento 
 
Armadura mínima 
 
Ac
fyd
NdAs 004,015,0min, ≥×= 
 
210,2min, cmAs = 
min39,5 AsAs ≥= 
 
12Φ8mm (6,0cm²) 
 
 
A taxa de armadura 
 
ok
Ac
As %,4%14,1100 <=×=ρ 
 
Diâmetro do estribo (Φt) e espaçamento(t) dos estribos; 
 
mm
mm
mml
t 5
5
2
4 =





 =≥
φ
φ 
cmt 1020 =φ 
 
Estruturas de Concreto II Dimensionamento de Pilares 
Página:7/75 
cmtmm
mm
s 10
812
15
20
max ==






×
≤ 
 
 
 
Espaçamento horizontal 
 ( )[ ] cmeh 44,5
2
8,0
5
8,0650,02235 =+×++×−= 
 
Sétimo Pavimento 
 
No pilar intermediário, devido à continuidade das vigas e lajes no pilar, tem-se: 
Ma=Mb=0 , em ambas as direções do pilar, o que leva a M1d,a=0 e e1=0. 
 
 
 
 
hy= 25cm, hx= 40cm. 
Ac= 1000 cm ² 
lex= ley= 310cm 
 
Força Normal de Cálculo 
 
KNNkNd 15,101682,7254,1 =×=×= γ 
 
Índice de Esbeltez 
 
82,26
40
31046,3 =×=xλ 
 
90,42
25
31046,3 =×=yλ 
 
Momento Fletor 
 ( )hNddM 03,05,1min,1 +×= 
Em x: ( ) cmKNxdM .60,27434003,05,115,1016min,1 =×+×= 
cmxe 70,21 = 
Em y: ( ) cmKNydM .73,33813,22862503,05,115,1016min,1 =×+×= 
X
Y 
Estruturas de Concreto II Dimensionamento de Pilares 
Página:8/75 
cmxe 25,21 = 
 
Esbeltez Limite 
 
b
h
e
αλ
15,1225
1
×+
= com 90135 ≤≤ λ 
 
sendo 1=bα , para pilares biapoiados com cargas transversais significativas ao longo 
da altura. 
 
3525,1,1 ≤== yx λλ 
35,1,1 == yx λλ 
 
Então: 
xx ,182,26 λλ <= , não são considerados os efeitos de 2º ordem na direção x; 
yy ,190,42 λλ >= , são considerados os efeitos de 2º ordem na direção y. 
 
Momento de 2º Ordem 
 
Será avaliado pelo método do pilar-padrão com curvatura aproximada. 
 



≥×+×=
min,1
,1
10
,1,
2
dM
dAM
r
leNdAdMbtotMd α 
 
57,0
4,1
10251000,0
1015,1016
6
3
=××
×=×= fcdAc
Ndν 
 
Curvatura segundo a direção y sujeita a esforços de 2º ordem; 
 
( ) hhr
005,0
5,0
005,01 ≤+= ν 
 
cmcm
r
44 1000,21087,11 −− ×≤×= 
 
Excentricidade de 2º ordem na direção y; 
 
cm
r
leye 8,11087,1
10
3101
10
2 4
22
=××=×= − 
Então temos; 
 
Em x; 
cmKNxdMxtotMd .60,2743min,,1,, == 
 
Em y; 
Estruturas de Concreto II Dimensionamento de Pilares 
Página:9/75 
cmKNytotMd .24,41131087,1
10
31015,101638,22861,, 4
2
=×××+×= − 
 
Em x; 
 
04,0
4,1
5,2100040
60,2743 =
××
=××= fcdAchx
Mdtotxµ 
No ábaco determinamos o valor de w=zero 
 
Em y; 
 
09,0
4,1
5,2100025
24,4113 =
××
=××= fcdAchy
Mdtotyµ 
No ábaco determinamos o valor de w=0,01 
 
 
 
 
 
Área de Aço 
 
241,0
15,1
500
4,1
25100001,0
cm
fyd
fcdAcwAs =
××
=××= 
 
Detalhamento 
 
Armadura mínima 
 
Ac
fyd
NdAs 004,015,0min, ≥×= 
 
20,4min, cmAs = 
 
 
8Φ8mm (4,0cm²) 
 
A taxa de armadura 
 
ok
Ac
As %,4%4,0100 <=×=ρ 
 
Diâmetro do estribo (Φt) e espaçamento(t) dos estribos; 
 
Estruturas de Concreto II Dimensionamento de PilaresPágina:10/75 
mm
mm
mml
t 5
5
2
4 =





 =≥
φ
φ 
cmt 1020 =φ 
 
cmtmm
mm
s 10
812
25
20
max ==






×
≤ 
 
Espaçamento horizontal 
 ( )[ ] cmeh 00,11
2
8,0
3
8,0450,02240 =+×++×−= 
 
 
 
Sexto Pavimento 
 
No pilar intermediário, devido à continuidade das vigas e lajes no pilar, tem-se: 
Ma=Mb=0 , em ambas as direções do pilar, o que leva a M1d,a=0 e e1=0. 
 
 
 
 
hy= 25cm, hx= 40cm. 
Ac= 1000 cm ² 
lex= ley= 310cm 
 
Força Normal de Cálculo 
 
KNNkNd 00,161557,11534,1 =×=×= γ 
 
Índice de Esbeltez 
 
82,26
40
31046,3 =×=xλ 
 
90,42
25
31046,3 =×=yλ 
 
Momento Fletor 
 ( )hNddM 03,05,1min,1 +×= 
X
Y 
Estruturas de Concreto II Dimensionamento de Pilares 
Página:11/75 
Em x: ( ) cmKNxdM .50,43604003,05,11615min,1 =×+×= 
cmxe 70,21 = 
Em y: ( ) cmKNydM .75,36332503,05,11615min,1 =×+×= 
cmxe 25,21 = 
 
Esbeltez Limite 
 
b
h
e
αλ
15,1225
1
×+
= com 90135 ≤≤ λ 
 
sendo 1=bα , para pilares biapoiados com cargas transversais significativas ao longo 
da altura. 
 
3525,1,1 ≤== yx λλ 
35,1,1 == yx λλ 
 
Então: 
xx ,182,26 λλ <= , não são considerados os efeitos de 2º ordem na direção x; 
yy ,190,42 λλ >= , são considerados os efeitos de 2º ordem na direção y. 
 
 
Momento de 2º Ordem 
 
Será avaliado pelo método do pilar-padrão com curvatura aproximada. 
 



≥×+×=
min,1
,1
10
,1,
2
dM
dAM
r
leNdAdMbtotMd α 
 
90,0
4,1
10251000,0
101615
6
3
=××
×=×= fcdAc
Ndν 
 
Curvatura segundo a direção y sujeita a esforços de 2º ordem; 
 
( ) hhr
005,0
5,0
005,01 ≤+= ν 
 
cmcm
r
44 1000,21042,11 −− ×≤×= 
 
Excentricidade de 2º ordem na direção y; 
 
cm
r
leye 37,11042,1
10
3101
10
2 4
22
=××=×= − 
Estruturas de Concreto II Dimensionamento de Pilares 
Página:12/75 
Então temos; 
 
Em x; 
cmKNxdMxtotMd .50,4360min,,1,, == 
 
Em y; 
cmKNytotMd .96,58431042,1
10
310161575,36331,, 4
2
=×××+×= − 
 
Em x; 
 
061,0
4,1
5,2100040
50,4360 =
××
=××= fcdAchx
Mdtotxµ 
No ábaco determinamos o valor de w=0,15 
 
 
Em y; 
 
13,0
4,1
5,2100025
96,5843 =
××
=××= fcdAchy
Mdtotyµ 
No ábaco determinamos o valor de w=0,52 
 
 
Área de Aço 
 
236,21
15,1
500
4,1
25100052,0
cm
fyd
fcdAcwAs =
××
=××= 
 
Detalhamento 
 
Armadura mínima 
 
Ac
fyd
NdAs 004,015,0min, ≥×= 
 
20,4min, cmAs = 
 
 
12Φ16mm (24cm²) 
 
A taxa de armadura 
 
ok
Ac
As %,4%4,2100 <=×=ρ 
Estruturas de Concreto II Dimensionamento de Pilares 
Página:13/75 
 
 
 
 
Diâmetro do estribo (Φt) e espaçamento(t) dos estribos; 
 
mm
mm
mml
t 5
5
4
4 =





 =≥
φ
φ 
cmt 1020 =φ 
 
cmtmm
mm
s 20
1612
25
20
max ==






×
≤ 
 
 
Espaçamento horizontal 
 ( )[ ] cmeh 88,5
2
6,1
5
6,1650,02240 =+×++×−= 
 
 
Quinto Pavimento 
 
No pilar intermediário, devido à continuidade das vigas e lajes no pilar, tem-se: 
Ma=Mb=0 , em ambas as direções do pilar, o que leva a M1d,a=0 e e1=0. 
 
 
 
 
hy= 25cm, hx= 40cm. 
Ac= 1000 cm ² 
lex= ley= 310cm 
 
Força Normal de Cálculo 
 
KNNkNd 00,220357,15734,1 =×=×= γ 
 
Índice de Esbeltez 
 
82,26
40
31046,3 =×=xλ 
 
X
Y 
Estruturas de Concreto II Dimensionamento de Pilares 
Página:14/75 
90,42
25
31046,3 =×=yλ 
 
Momento Fletor 
 ( )hNddM 03,05,1min,1 +×= 
Em x: ( ) cmKNxdM .10,59484003,05,12203min,1 =×+×= 
cmxe 70,21 = 
Em y: ( ) cmKNydM .75,49562503,05,12203min,1 =×+×= 
cmxe 25,21 = 
 
Esbeltez Limite 
 
b
h
e
αλ
15,1225
1
×+
= com 90135 ≤≤ λ 
 
sendo 1=bα , para pilares biapoiados com cargas transversais significativas ao longo 
da altura. 
 
3525,1,1 ≤== yx λλ 
35,1,1 == yx λλ 
 
Então: 
xx ,182,26 λλ <= , não são considerados os efeitos de 2º ordem na direção x; 
yy ,190,42 λλ >= , são considerados os efeitos de 2º ordem na direção y. 
 
 
Momento de 2º Ordem 
 
Será avaliado pelo método do pilar-padrão com curvatura aproximada. 
 



≥×+×=
min,1
,1
10
,1,
2
dM
dAM
r
leNdAdMbtotMd α 
 
23,1
4,1
10251000,0
102203
6
3
=××
×=×= fcdAc
Ndν 
 
Curvatura segundo a direção y sujeita a esforços de 2º ordem; 
 
( ) hhr
005,0
5,0
005,01 ≤+= ν 
 
Estruturas de Concreto II Dimensionamento de Pilares 
Página:15/75 
cmcm
r
44 1000,21015,11 −− ×≤×= 
 
Excentricidade de 2º ordem na direção y; 
 
cm
r
leye 11,11015,1
10
3101
10
2 4
22
=××=×= − 
Então temos; 
 
Em x; 
cmKNxdMxtotMd .10,5948min,,1,, == 
 
Em y; 
cmKNytotMd .04,73991015,1
10
310220375,49561,, 4
2
=×××+×= − 
 
Em x; 
 
083,0
4,1
5,2100040
10,5948 =
××
=××= fcdAchx
Mdtotxµ 
No ábaco determinamos o valor de w=0,60 
 
 
Em y; 
 
17,0
4,1
5,2100025
04,7399 =
××
=××= fcdAchy
Mdtotyµ 
No ábaco determinamos o valor de w=0,82 
 
Área de Aço 
 
268,33
15,1
500
4,1
25100082,0
cm
fyd
fcdAcwAs =
××
=××= 
 
 
Detalhamento 
 
Armadura mínima 
 
Ac
fyd
NdAs 004,015,0min, ≥×= 
 
20,4min, cmAs = 
 
Estruturas de Concreto II Dimensionamento de Pilares 
Página:16/75 
 
18Φ16mm (36cm²) 
 
A taxa de armadura 
 
ok
Ac
As %,4%6,3100 <=×=ρ 
 
Diâmetro do estribo (Φt) e espaçamento(t) dos estribos; 
 
mm
mm
mml
t 5
5
4
4 =





 =≥
φ
φ 
cmt 1020 =φ 
 
cmtmm
mm
s 20
1612
25
20
max ==






×
≤ 
 
 
Espaçamento horizontal 
 ( )[ ] cmeh 93,2
2
6,1
8
2950,02240 =+×++×−= 
 
 
Quarto Pavimento 
 
No pilar intermediário, devido à continuidade das vigas e lajes no pilar, tem-se: 
Ma=Mb=0 , em ambas as direções do pilar, o que leva a M1d,a=0 e e1=0. 
 
 
 
 
hy= 25cm, hx= 90cm. 
Ac= 2250 cm ² 
lex= ley= 310cm 
 
Força Normal de Cálculo 
 
KNNkNd 26,282676,20184,1 =×=×= γ 
 
 
X
Y 
Estruturas de Concreto II Dimensionamento de Pilares 
Página:17/75 
Índice de Esbeltez 
 
92,11
90
31046,3 =×=xλ 
 
90,42
25
31046,3 =×=yλ 
 
Momento Fletor 
 ( )hNddM 03,05,1min,1 +×= 
Em x: ( ) cmKNxdM .31,118709003,05,126,2826min,1 =×+×= 
cmxe 2,41 = 
Em y: ( ) cmKNydM .09,63592503,05,126,2826min,1 =×+×= 
cmxe 25,21 = 
 
 
Esbeltez Limite 
 
b
h
e
αλ
15,1225
1
×+
= com 90135 ≤≤ λ 
 
sendo 1=bα , para pilares biapoiados com cargas transversais significativas ao longo 
da altura. 
 
3525,1,1 ≤== yx λλ 
35,1,1 == yx λλ 
 
Então: 
xx ,192,11 λλ <= , não são considerados os efeitos de 2º ordem na direção x; 
yy ,190,42 λλ >= , são considerados os efeitos de 2º ordem na direção y. 
 
 
Momento de 2º Ordem 
 
Será avaliado pelo método do pilar-padrão com curvatura aproximada. 
 



≥×+×=
min,1
,1
10
,1,
2
dM
dAM
r
leNdAdMbtotMd α 
 
70,0
4,1
10252250,0
1026,2826
6
3
=××
×=×= fcdAc
Ndν 
 
Estruturas de Concreto II Dimensionamento de Pilares 
Página:18/75 
Curvatura segundo a direção y sujeita a esforços de 2º ordem; 
 
( ) hhr
005,05,0
005,01 ≤+= ν 
 
cmcm
r
44 1000,21066,11 −− ×≤×= 
 
Excentricidade de 2º ordem na direção y; 
 
cm
r
leye 60,11066,1
10
3101
10
2 4
22
=××=×= − 
Então temos; 
 
 
Em x; 
cmKNxdMxtotMd .31,11870min,,1,, == 
 
Em y; 
cmKNytotMd .94,108721060,1
10
31026,282609,63591,, 4
2
=×××+×= − 
 
Em x; 
 
033,0
4,1
5,2225090
31,11870 =
××
=××= fcdAchx
Mdtotxµ 
No ábaco determinamos o valor de w=zero 
 
 
Em y; 
 
11,0
4,1
5,2225025
94,10872 =
××
=××= fcdAchy
Mdtotyµ 
No ábaco determinamos o valor de w=0,23 
 
Área de Aço 
 
225,21
15,1
500
4,1
25225023,0
cm
fyd
fcdAcwAs =
××
=××= 
Detalhamento 
 
Armadura mínima 
 
Estruturas de Concreto II Dimensionamento de Pilares 
Página:19/75 
Ac
fyd
NdAs 004,015,0min, ≥×= 
 
20,9min, cmAs = 
 
 
18Φ12,5mm (22,50cm²) 
 
 
A taxa de armadura 
 
ok
Ac
As %,4%1100 <=×=ρ 
 
Diâmetro do estribo (Φt) e espaçamento(t) dos estribos; 
 
mm
mm
mml
t 5
5
13,3
4 =





 =≥
φ
φ 
cmt 1020 =φ 
 
cmtmm
mm
s 15
5,1212
25
20
max ==






×
≤ 
 
 
Espaçamento horizontal 
 ( )[ ] cmeh 00,9
2
25,1
8
2950,02290 =+×++×−= 
 
Terceiro Pavimento 
 
No pilar intermediário, devido à continuidade das vigas e lajes no pilar, tem-se: 
Ma=Mb=0 , em ambas as direções do pilar, o que leva a M1d,a=0 e e1=0. 
 
 
 
 
hy= 25cm, hx= 90cm. 
Ac= 2250 cm ² 
lex= ley= 310cm 
X
Y 
Estruturas de Concreto II Dimensionamento de Pilares 
Página:20/75 
 
Força Normal de Cálculo 
 
KNNkNd 67,343819,24564,1 =×=×= γ 
 
 
Índice de Esbeltez 
 
92,11
90
31046,3 =×=xλ 
 
90,42
25
31046,3 =×=yλ 
 
Momento Fletor 
 ( )hNddM 03,05,1min,1 +×= 
Em x: ( ) cmKNxdM .40,144429003,05,167,3438min,1 =×+×= 
cmxe 2,41 = 
Em y: ( ) cmKNydM .00,77372503,05,167,3438min,1 =×+×= 
cmxe 25,21 = 
 
Esbeltez Limite 
 
b
h
e
αλ
15,1225
1
×+
= com 90135 ≤≤ λ 
 
sendo 1=bα , para pilares biapoiados com cargas transversais significativas ao longo 
da altura. 
 
3525,1,1 ≤== yx λλ 
35,1,1 == yx λλ 
 
Então: 
xx ,192,11 λλ <= , não são considerados os efeitos de 2º ordem na direção x; 
yy ,190,42 λλ >= , são considerados os efeitos de 2º ordem na direção y. 
 
 
Momento de 2º Ordem 
 
Será avaliado pelo método do pilar-padrão com curvatura aproximada. 
 



≥×+×=
min,1
,1
10
,1,
2
dM
dAM
r
leNdAdMbtotMd α 
 
Estruturas de Concreto II Dimensionamento de Pilares 
Página:21/75 
86,0
4,1
10252250,0
1067,3438
6
3
=××
×=×= fcdAc
Ndν 
 
Curvatura segundo a direção y sujeita a esforços de 2º ordem; 
 
( ) hhr
005,0
5,0
005,01 ≤+= ν 
 
cmcm
r
44 1000,21048,11 −− ×≤×= 
 
Excentricidade de 2º ordem na direção y; 
 
cm
r
leye 42,11048,1
10
3101
10
2 4
22
=××=×= − 
Então temos; 
 
 
Em x; 
cmKNxdMxtotMd .40,14442min,,1,, == 
 
Em y; 
cmKNytotMd .53,126111048,1
10
31067,343877371,, 4
2
=×××+×= − 
 
Em x; 
 
04,0
4,1
5,2225090
40,14442 =
××
=××= fcdAchx
Mdtotxµ 
No ábaco determinamos o valor de w=0,09 
 
 
Em y; 
 
13,0
4,1
5,2225025
53,12611 =
××
=××= fcdAchy
Mdtotyµ 
No ábaco determinamos o valor de w=0,47 
 
Área de Aço 
 
270,41
15,1
500
4,1
25225047,0
cm
fyd
fcdAcwAs =
××
=××= 
 
Estruturas de Concreto II Dimensionamento de Pilares 
Página:22/75 
 
Detalhamento 
 
Armadura mínima 
 
Ac
fyd
NdAs 004,015,0min, ≥×= 
 
20,9min, cmAs = 
 
 
14Φ20mm (44,10cm²) 
 
A taxa de armadura 
 
ok
Ac
As %,4%96,1100 <=×=ρ 
 
Diâmetro do estribo (Φt) e espaçamento(t) dos estribos; 
 
mm
mm
mml
t 5
5
5
4 =





 =≥
φ
φ 
cmt 1020 =φ 
 
cmtmm
mm
s 20
2012
25
20
max ==






×
≤ 
 
 
Espaçamento horizontal 
 ( )[ ] cmeh 83,12
2
0,2
6
2750,02290 =+×++×−= 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Estruturas de Concreto II Dimensionamento de Pilares 
Página:23/75 
Segundo Pavimento 
 
No pilar intermediário, devido à continuidade das vigas e lajes no pilar, tem-se: 
Ma=Mb=0 , em ambas as direções do pilar, o que leva a M1d,a=0 e e1=0. 
 
 
 
 
hy= 25cm, hx= 90cm. 
Ac= 2250 cm ² 
lex= ley= 310cm 
 
Força Normal de Cálculo 
 
KNNkNd 08,405163,28934,1 =×=×= γ 
 
Índice de Esbeltez 
 
92,11
90
31046,3 =×=xλ 
 
90,42
25
31046,3 =×=yλ 
 
Momento Fletor 
 ( )hNddM 03,05,1min,1 +×= 
Em x: ( ) cmKNxdM .54,170149003,05,108,4051min,1 =×+×= 
cmxe 2,41 = 
Em y: ( ) cmKNydM .94,91142503,05,108,4051min,1 =×+×= 
cmxe 25,21 = 
 
Esbeltez Limite 
 
b
h
e
αλ
15,1225
1
×+
= com 90135 ≤≤ λ 
 
sendo 1=bα , para pilares biapoiados com cargas transversais significativas ao longo 
da altura. 
 
X
Y 
Estruturas de Concreto II Dimensionamento de Pilares 
Página:24/75 
3525,1,1 ≤== yx λλ 
35,1,1 == yx λλ 
 
Então: 
xx ,192,11 λλ <= , não são considerados os efeitos de 2º ordem na direção x; 
yy ,190,42 λλ >= , são considerados os efeitos de 2º ordem na direção y. 
 
 
Momento de 2º Ordem 
 
Será avaliado pelo método do pilar-padrão com curvatura aproximada. 
 



≥×+×=
min,1
,1
10
,1,
2
dM
dAM
r
leNdAdMbtotMd α 
 
01,1
4,1
10252250,0
1008,4051
6
3
=××
×=×= fcdAc
Ndν 
 
Curvatura segundo a direção y sujeita a esforços de 2º ordem; 
 
( ) hhr
005,0
5,0
005,01 ≤+= ν 
 
cmcm
r
44 1000,21033,11 −− ×≤×= 
 
Excentricidade de 2º ordem na direção y; 
 
cm
r
leye 27,11033,1
10
3101
10
2 4
22
=××=×= − 
Então temos; 
 
 
Em x; 
cmKNxdMxtotMd .54,17014min,,1,, == 
 
Em y; 
cmKNytotMd .26,142771033,1
10
31008,405194,91141,, 4
2
=×××+×= − 
 
Em x; 
 
05,0
4,1
5,2225090
54,17014 =
××
=××= fcdAchx
Mdtotxµ 
No ábaco determinamos o valor de w=0,31 
Estruturas de Concreto II Dimensionamento de Pilares 
Página:25/75 
 
 
Em y; 
 
14,0
4,1
5,2225025
26,14277 =
××
=××= fcdAchy
Mdtotyµ 
No ábaco determinamos o valor de w=0,63 
 
Área de Aço 
 
222,58
15,1
500
4,1
25225063,0
cm
fyd
fcdAcwAs =
××
=××= 
 
 
Detalhamento 
 
Armadura mínima 
 
Ac
fyd
NdAs 004,015,0min, ≥×= 
 
20,9min, cmAs = 
 
 
20Φ20mm (63,00cm²) 
 
 
A taxa de armadura 
 
ok
Ac
As %,4%8,2100 <=×=ρ 
 
Diâmetro do estribo (Φt) e espaçamento(t) dos estribos; 
 
mm
mm
mml
t 5
5
5
4 =





 =≥
φ
φ 
cmt 1020 =φ 
 
cmtmm
mm
s 20
2012
25
20
max ==






×
≤ 
 
 
Estruturas de Concreto II Dimensionamento de Pilares 
Página:26/75 
Espaçamento horizontal 
 ( )[ ] cmeh 22,8
2
0,2
9
21050,02290 =+×++×−= 
 
Primeiro Pavimento 
 
No pilar intermediário, devido à continuidade das vigas e lajes no pilar, tem-se: 
Ma=Mb=0 , em ambas as direções do pilar, o que leva a M1d,a=0 e e1=0. 
 
 
 
 
hy= 25cm, hx= 90cm. 
Ac= 2250 cm ² 
lex= ley= 310cm 
 
Força Normal de Cálculo 
 
KNNkNd 50,466307,33314,1 =×=×= γ 
 
 
Índice de Esbeltez 
 
92,11
90
31046,3 =×=xλ90,42
25
31046,3 =×=yλ 
 
Momento Fletor 
 ( )hNddM 03,05,1min,1 +×= 
Em x: ( ) cmKNxdM .69,195869003,05,150,4663min,1 =×+×= 
cmxe 2,41 = 
Em y: ( ) cmKNydM .87,104922503,05,150,4663min,1 =×+×= 
cmxe 25,21 = 
 
 
 
 
 
X
Y 
Estruturas de Concreto II Dimensionamento de Pilares 
Página:27/75 
Esbeltez Limite 
 
b
h
e
αλ
15,1225
1
×+
= com 90135 ≤≤ λ 
 
sendo 1=bα , para pilares biapoiados com cargas transversais significativas ao longo 
da altura. 
 
3525,1,1 ≤== yx λλ 
35,1,1 == yx λλ 
 
Então: 
xx ,192,11 λλ <= , não são considerados os efeitos de 2º ordem na direção x; 
yy ,190,42 λλ >= , são considerados os efeitos de 2º ordem na direção y. 
 
 
Momento de 2º Ordem 
 
Será avaliado pelo método do pilar-padrão com curvatura aproximada. 
 



≥×+×=
min,1
,1
10
,1,
2
dM
dAM
r
leNdAdMbtotMd α 
 
16,1
4,1
10252250,0
1050,4663
6
3
=××
×=×= fcdAc
Ndν 
 
Curvatura segundo a direção y sujeita a esforços de 2º ordem; 
 
( ) hhr
005,0
5,0
005,01 ≤+= ν 
 
cmcm
r
44 1000,21020,11 −− ×≤×= 
 
Excentricidade de 2º ordem na direção y; 
 
cm
r
leye 16,11020,1
10
3101
10
2 4
22
=××=×= − 
Então temos; 
 
 
Em x; 
cmKNxdMxtotMd .69,19586min,,1,, == 
 
Em y; 
Estruturas de Concreto II Dimensionamento de Pilares 
Página:28/75 
cmKNytotMd .16,158901020,1
10
31050,466387,104921,, 4
2
=×××+×= − 
 
Em x; 
 
054,0
4,1
5,2225090
69,19586 =
××
=××= fcdAchx
Mdtotxµ 
No ábaco determinamos o valor de w=0,44 
 
 
Em y; 
 
16,0
4,1
5,2225025
16,15890 =
××
=××= fcdAchy
Mdtotyµ 
No ábaco determinamos o valor de w=0,88 
 
 
 
Área de Aço 
 
232,81
15,1
500
4,1
25225088,0
cm
fyd
fcdAcwAs =
××
=××= 
 
 
Detalhamento 
 
Armadura mínima 
 
Ac
fyd
NdAs 004,015,0min, ≥×= 
 
20,9min, cmAs = 
 
 
26Φ20mm (81,90cm²) 
 
 
A taxa de armadura 
 
ok
Ac
As %,4%64,3100 <=×=ρ 
 
Diâmetro do estribo (Φt) e espaçamento(t) dos estribos; 
 
Estruturas de Concreto II Dimensionamento de Pilares 
Página:29/75 
mm
mm
mml
t 5
5
5
4 =





 =≥
φ
φ 
cmt 1020 =φ 
 
cmtmm
mm
s 20
2012
25
20
max ==






×
≤ 
 
 
Espaçamento horizontal 
 ( )[ ] cmeh 92,5
2
0,2
12
21350,02290 =+×++×−= 
Pavimento Térreo 
 
No pilar intermediário, devido à continuidade das vigas e lajes no pilar, tem-se: 
Ma=Mb=0 , em ambas as direções do pilar, o que leva a M1d,a=0 e e1=0. 
 
 
 
 
hy= 25cm, hx= 120cm. 
Ac= 3000 cm ² 
lex= ley= 400cm 
 
Força Normal de Cálculo 
 
KNNkNd 50,529307,37814,1 =×=×= γ 
 
 
Índice de Esbeltez 
 
53,11
120
40046,3 =×=xλ 
 
36,55
25
40046,3 =×=yλ 
 
Momento Fletor 
 ( )hNddM 03,05,1min,1 +×= 
Em x: 
X
Y 
Estruturas de Concreto II Dimensionamento de Pilares 
Página:30/75 
( ) cmKNxdM .84,2699612003,05,15,5293min,1 =×+×= 
cmxe 1,51 = 
Em y: ( ) cmKNydM .37,119102503,05,15,5293min,1 =×+×= 
cmxe 25,21 = 
 
 
 
 
 
Esbeltez Limite 
 
b
h
e
αλ
15,1225
1
×+
= com 90135 ≤≤ λ 
 
sendo 1=bα , para pilares biapoiados com cargas transversais significativas ao longo 
da altura. 
 
3525,1,1 ≤== yx λλ 
35,1,1 == yx λλ 
 
Então: 
xx ,153,11 λλ <= , não são considerados os efeitos de 2º ordem na direção x; 
yy ,136,55 λλ >= , são considerados os efeitos de 2º ordem na direção y. 
 
 
Momento de 2º Ordem 
 
Será avaliado pelo método do pilar-padrão com curvatura aproximada. 
 



≥×+×=
min,1
,1
10
,1,
2
dM
dAM
r
leNdAdMbtotMd α 
 
99,0
4,1
10253000,0
1050,5293
6
3
=××
×=×= fcdAc
Ndν 
 
Curvatura segundo a direção y sujeita a esforços de 2º ordem; 
 
( ) hhr
005,0
5,0
005,01 ≤+= ν 
 
cmcm
r
44 1000,21034,11 −− ×≤×= 
 
Excentricidade de 2º ordem na direção y; 
 
Estruturas de Concreto II Dimensionamento de Pilares 
Página:31/75 
cm
r
leye 15,21034,1
10
4001
10
2 4
22
=××=×= − 
Então temos; 
 
 
Em x; 
cmKNxdMxtotMd .84,26996min,,1,, == 
 
Em y; 
cmKNytotMd .32,232931034,1
10
40050,529337,119101,, 4
2
=×××+×= − 
 
Em x; 
 
04,0
4,1
5,23000120
84,26996 =
××
=××= fcdAchx
Mdtotxµ 
No ábaco determinamos o valor de w=0,27 
 
 
Em y; 
 
17,0
4,1
5,2300025
32,23293 =
××
=××= fcdAchy
Mdtotyµ 
No ábaco determinamos o valor de w=0,78 
 
 
 
Área de Aço 
 
211,96
15,1
500
4,1
25300078,0
cm
fyd
fcdAcwAs =
××
=××= 
 
 
Detalhamento 
 
Armadura mínima 
 
Ac
fyd
NdAs 004,015,0min, ≥×= 
 
20,12min, cmAs = 
 
 
32Φ20mm (100.8cm²) 
Estruturas de Concreto II Dimensionamento de Pilares 
Página:32/75 
 
 
A taxa de armadura 
 
ok
Ac
As %,4%36,3100 <=×=ρ 
 
Diâmetro do estribo (Φt) e espaçamento(t) dos estribos; 
 
mm
mm
mml
t 5
5
5
4 =





 =≥
φ
φ 
cmt 1020 =φ 
 
cmtmm
mm
s 20
2012
25
20
max ==






×
≤ 
 
 
Espaçamento horizontal 
 ( )[ ] cmeh 53,6
2
0,2
15
21650,022120 =+×++×−= 
 
 
Cálculo dos Pilares Extremidade – P8 
 
 
Nos pilares intermediários teremos que considerar as cargas que vem da laje e da viga que chega 
no pilar P8. 
 
Da Laje; 
 
2/39,8 mKNQ = 
 
19,62 m ² área de influência da viga VC6; 
carregamento da laje que passa a viga = 8,39x19,62/9,2=17,89KN/m 
 
Da Viga; 
 
Seção 12cmx50cm 
PP=0,12x0,50x25=1,5KN/m 
Paredes= 13x0,15x3,10=6,045KN/m 
 
2/44,255,1045,689,17 mKNQ =++= 
 
 
Estruturas de Concreto II Dimensionamento de Pilares 
Página:33/75 
 
 
 
Carregamento nos Pilares P8, por andar 
 
 
Pilar Extremidade 
Pavimento Carga(KN) Pré-Dimensionamento Área (cm²) Área Adotada (cm²) Hx Hy
154,00 
2,33 8º 
156,33 
172,48 300 20 15 
376,33 
5,81 7º 
382,14 
421,484 750 30 25 
602,14 
5,81 6º 
607,95 
674,394 750 30 25 
827,95 
5,81 5º 
833,76 
927,304 750 30 25 
1053,76 
5,81 4º 
1059,58 
1180,214 750 30 25 
1279,58 
11,63 3º 
1291,20 
1433,124 1500 60 25 
1511,20 
11,63 2º 
1522,83 
1692,544 1500 60 25 
1742,83 
11,63 1º 
1754,45 
1951,964 1500 60 25 
1974,45 
15,00 Térreo 
1989,45 
2211,384 1500 60 25 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Estruturas de Concreto II Dimensionamento de Pilares 
Página:34/75 
Do Oitavo Pavimento 
 
No pilar de extremidade, alem da força normal de compressão ocorrem também 
momentos fletores nos extremos do pilar na direção x, em função de existir a viga VC6 
sobre o pilar. 
 
 
 
 
 
hy= 15cm, hx= 20m. 
Ac= 300 cm ² 
lex= ley= 310cm 
 
Força Normal de Cálculo 
 
KNNkNd 86,21833,1564,1 =×=×= γ 
 
Índice de Esbeltez 
 
63,53
20
31046,3 =×=xλ 
 
50,71
15
31046,3 =×=yλ 
 
Excentricidade de 1º ordem 
 
Nd
Mxdxe =1 
Mxd= momento fletor de ligação entre a viga VC6 e o pilar P8, na direção x. 
 
inf,sup,
,sup,inf,
pvigap
pilar
rrr
r
engMkMkMk ++=== 
Supondo que a seção transversal do pilar não varia ao longo de sua altura. 
 
3
3
inf,sup, 26,32310
12
2015
cm
lex
I
rrr pilatpppilar =
×
==== 
 
A rigidez da viga VC6(12x50cm) e com vão de 5,40m. 
4
3
125000
12
5012 cmIviga =×= 
 
X
Y 
Estruturas de Concreto II Dimensionamento de Pilares 
Página:35/75 
348,231
540
125000 cm
l
I
r vigaviga === 
 
 
Para o momento de engastamento perfeito da viga no pilar será usada a carga de 
25,44KN/m 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
cmKNlqMeng .92,6181
12
2
=×= 
 
 
 
cmKNMM kk .71,67326,3248,23126,32
26,3292,6181sup,inf, =++×== 
 
KNcmbaseMdtopoMd 79,1414
2
71,67371,6734,1,, =

 +=−= 
 
cmxe 46,6
86,218
79,14141 == 
 
Momento Fletor Mínimo 
 ( )hNddM 03,05,1min,1 +×= 
Em x: ( ) cmKNxdM .61,4592003,05,186,218min,1 =×+×= 
 
 
Em y: ( ) cmKNydM .78,4261503,05,186,218min,1 =×+×= 
 
Esbeltez Limite 
 
b
h
e
αλ
15,1225
1
×+
= com 90135 ≤≤ λ 
 
P8 P7 
5,40m 
25,44KN/m 
Estruturas de Concreto II Dimensionamento de Pilares 
Página:36/75 
Em X: 
 
A excentricidade de 1º ordem e1 na direção x é 6,46cm. Os momentos fletores de 1º 
ordem na direção x são KNcmMM xBdxdA 79,1414,,1,1 =−= , maiores que o momento fletor 
mínimo nesta direção, que leva o calculo de bα . 
 
4,0
4,02,0
79,1414
79,14144,06,0
=
<=

 −×+=
b
b
α
α
 
 
3560,72
4,0
20
46,65,1225
,1 >=
×+
=xλ 60,72,1 =xλ 
 
Em Y: 
Na direção y não ocorrem momentos fletores e excentricidades de 1º ordem, portanto 
e1=0 e bα =1. 
 
3525
1
25
05,1225
,1 <=
×+
=yλ 35,1 =yλ 
 
Então: 
60,7263,53 <=xλ , não são considerados os efeitos de 2º ordem na direção x; 
355,71 >=yλ , são considerados os efeitos de 2º ordem na direção y. 
 
Momento Fletores Totais 
 
Será avaliado pelo método do pilar-padrão com curvatura aproximada. 
 



≥×+×=
min,1
,1
10
,1,
2
dM
dAM
r
leNdAdMbtotMd α 
 
68,0
4,1
10250300,0
1086,218
6
3
=××
×=×= fcdAc
Ndν 
 
Curvatura segundo a direção y sujeita a esforços de 2º ordem; 
 
( ) hhr
005,0
5,0
005,01 ≤+= ν 
( ) cmcmr 44 1033,31082,25,068,015
005,01 −− ×≤×=+= 
 
Fazendo min,1,1 dAd MM = em cada direção, tem o momento total maximo. 
 
Estruturas de Concreto II Dimensionamento de Pilares 
Página:37/75 
Em X; 
KNcmM totoxd 79,1414, = 
 
Em Y; 
 
KNcmM totyd 47,10201082,210
31086,21878,4261 4
2
, =×××+×= − 
 
Em x; 
 
13,0
4,1
5,230020
79,1414 =
××
=××= fcdAchx
Mdtotxµ 
No ábaco determinamos o valor de w=0,13 
 
 
Em y; 
 
13,0
4,1
5,230015
47,1020 =
××
=××= fcdAchy
Mdtotyµ 
No ábaco determinamos o valor de w=0,28 
 
 
Área de Aço 
 
245,3
15,1
500
4,1
2530028,0
cm
fyd
fcdAcwAs =
××
=××= 
 
Detalhamento 
 
Armadura mínima 
 
Ac
fyd
NdAs 004,015,0min, ≥×= 
 
22,1min, cmAs = 
min45,3 AsAs ≥= 
 
12Φ6,3mm (3,72cm²) 
 
A taxa de armadura 
 
ok
Ac
As %,4%24,1100 <=×=ρ 
 
Estruturas de Concreto II Dimensionamento de Pilares 
Página:38/75 
Diâmetro do estribo (Φt) e espaçamento(t) dos estribos; 
 
mm
mm
mml
t 5
5
2,3
4 =





 =≥
φ
φ 
cmt 1020 =φ 
 
cmtmm
mm
s 8
3,612
15
20
max ==






×
≤ 
 
Espaçamento horizontal 
 ( )[ ] cmeh 56,2
2
63,0
5
63,065,02220 =+×++×−= 
 
Do Sétimo Pavimento 
 
No pilar de extremidade, alem da força normal de compressão ocorrem também 
momentos fletores nos extremos do pilar na direção x, em função de existir a viga VC6 
sobre o pilar. 
 
 
 
 
 
hy= 25cm, hx= 30m. 
Ac= 750 cm ² 
lex= ley= 310cm 
 
Força Normal de Cálculo 
 
KNNkNd 00,53514,3824,1 =×=×= γ 
 
Índice de Esbeltez 
 
75,35
30
31046,3 =×=xλ 
 
90,42
25
31046,3 =×=yλ 
 
 
X
Y 
Estruturas de Concreto II Dimensionamento de Pilares 
Página:39/75 
Excentricidade de 1º ordem 
 
Nd
Mxdxe =1 
Mxd= momento fletor de ligação entre a viga VC6 e o pilar P8, na direção x. 
 
inf,sup,
,sup,inf,
pvigap
pilar
rrr
r
engMkMkMk ++=== 
Supondo que a seção transversal do pilar não varia ao longo de sua altura. 
 
3
3
inf,sup, 45,181310
12
3025
cm
lex
I
rrr pilatpppilar =
×
==== 
 
A rigidez da viga VC6 (12x50cm) e com vão de 5,40m. 
4
3
125000
12
5012 cmIviga =×= 
 
348,231
540
125000 cm
l
I
r vigaviga === 
 
 
Para o momento de engastamento perfeito da viga no pilar será usada a carga de 
25,44KN/m 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
cmKNlqMeng .92,6181
12
2
=×= 
 
 
 
cmKNMM kk .19,188745,18148,23145,181
45,18192,6181sup,inf, =++×== 
 
KNcmbaseMdtopoMd 11,3963
2
19,188719,18874,1,, =

 +=−= 
 
P8 P7 
5,40m 
25,44KN/m 
Estruturas de Concreto II Dimensionamento de Pilares 
Página:40/75 
cmxe 41,7
00,535
11,39631 == 
 
Momento Fletor Mínimo 
 ( )hNddM 03,05,1min,1 +×= 
Em x: ( ) cmKNxdM .99,12833003,05,100,535min,1 =×+×= 
 
Em y: ( ) cmKNydM .74,12032503,05,100,535min,1 =×+×= 
 
Esbeltez Limite 
 
b
h
e
αλ
15,1225
1
×+
= com 90135 ≤≤ λ 
 
Em X: 
A excentricidade de 1º ordem e1 na direção x é 7,41. Os momentos fletores de 1º 
ordem na direção x são KNcmMM xBdxdA 11,3963,,1,1 =−= , maiores que o momento fletor 
mínimo nesta direção, que leva o calculo de bα . 
 
4,0
4,02,0
11,3963
11,39634,06,0
=
<=

 −×+=
b
b
α
α
 
 
3522,70
4,0
30
41,75,1225
,1 >=
×+
=xλ 22,70,1 =xλ 
 
Em Y: 
Na direção y não ocorrem momentos fletores e excentricidades de 1º ordem, portanto 
e1=0 e bα =1. 
 
3525
1
25
05,1225
,1 <=
×+
=yλ 35,1 =yλ 
 
Então: 
22,7075,35 <=xλ , não são considerados os efeitos de 2º ordem na direção x; 
3590,42 >=yλ , são considerados os efeitos de 2º ordem na direção y. 
 
Momento Fletores Totais 
 
Será avaliado pelo método do pilar-padrão com curvatura aproximada. 
 
Estruturas de Concreto II Dimensionamento de Pilares 
Página:41/75 



≥×+×=
min,1
,1
10
,1,
2
dM
dAM
r
leNdAdMbtotMd α 
 
40,0
4,1
10250750,0
1000,535
6
3
=××
×=×= fcdAc
Ndν 
 
Curvatura segundo a direção y sujeita a esforços de 2º ordem; 
 
( ) hhr
005,0
5,0
005,01 ≤+= ν 
( ) cmcmr 44 105,21022,25,040,025
005,01 −− ×≤×=+= 
 
Fazendo min,1,1 dAd MM = em cada direção, tem o momento total maximo. 
 
Em X; 
KNcmM totoxd 11,3963, = 
 
Em Y; 
 
KNcmM totyd 94,23461022,210
31000,53574,12031 4
2
, =×××+×= − 
 
Em x; 
 
10,0
4,1
5,275030
11,3963 =
××
=××= fcdAchx
Mdtotxµ 
No ábaco determinamos o valor de w=0,0 
 
 
Em y; 
 
07,0
4,1
5,275025
94,2346 =
××
=××= fcdAchy
Mdtotyµ 
No ábaco determinamos o valor de w=0,0 
 
 
Área de Aço 
 
20,0
15,1
500
4,1
257500,0
cm
fyd
fcdAcwAs =
××
=××= 
 
Estruturas de Concreto II Dimensionamento de Pilares 
Página:42/75 
Detalhamento 
 
Armadura mínima 
 
Ac
fyd
NdAs 004,015,0min, ≥×= 
 
20,3min, cmAs = 
min0,0 AsAs ≤= 
 
10Φ6,3mm (3,0 cm²) 
 
A taxa de armadura 
 
ok
Ac
As %,4%4,0100 <=×=ρ 
 
Diâmetro do estribo (Φt) e espaçamento(t) dos estribos; 
 
mm
mm
mml
t 5
5
2,3
4 =





 =≥
φ
φ 
cmt 1020 =φ 
 
cmtmm
mm
s 8
3,61225
20
max ==






×
≤ 
 
Espaçamento horizontal 
 ( )[ ] cmeh 78,5
2
63,0
4
63,055,02230 =+×++×−= 
 
Do Sexto Pavimento 
 
No pilar de extremidade, alem da força normal de compressão ocorrem também 
momentos fletores nos extremos do pilar na direção x, em função de existir a viga VC6 
sobre o pilar. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Estruturas de Concreto II Dimensionamento de Pilares 
Página:43/75 
 
 
 
hy= 25cm, hx= 30m. 
Ac= 750 cm ² 
lex= ley= 310cm 
 
Força Normal de Cálculo 
 
KNNkNd 13,85195,6074,1 =×=×= γ 
 
Índice de Esbeltez 
 
75,35
30
31046,3 =×=xλ 
 
90,42
25
31046,3 =×=yλ 
 
Excentricidade de 1º ordem 
 
Nd
Mxdxe =1 
Mxd= momento fletor de ligação entre a viga VC6 e o pilar P8, na direção x. 
 
inf,sup,
,sup,inf,
pvigap
pilar
rrr
r
engMkMkMk ++=== 
Supondo que a seção transversal do pilar não varia ao longo de sua altura. 
 
3
3
inf,sup, 45,181310
12
3025
cm
lex
I
rrr pilatpppilar =
×
==== 
 
A rigidez da viga VC6 (12x50cm) e com vão de 5,40m. 
4
3
125000
12
5012 cmIviga =×= 
 
348,231
540
125000 cm
l
I
r vigaviga === 
 
 
Para o momento de engastamento perfeito da viga no pilar será usada a carga de 
25,44KN/m 
X
Y 
Estruturas de Concreto II Dimensionamento de Pilares 
Página:44/75 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
cmKNlqMeng .92,6181
12
2
=×= 
 
 
 
cmKNMM kk .19,188745,18148,23145,181
45,18192,6181sup,inf, =++×== 
 
KNcmbaseMdtopoMd 11,3963
2
19,188719,18874,1,, =

 +=−= 
 
cmxe 66,4
13,851
11,39631 == 
 
Momento Fletor Mínimo 
 ( )hNddM 03,05,1min,1 +×= 
Em x: ( ) cmKNxdM .71,20423003,05,113,851min,1 =×+×= 
 
Em y: ( ) cmKNydM .04,19152503,05,113,851min,1 =×+×= 
 
Esbeltez Limite 
 
b
h
e
αλ
15,1225
1
×+
= com 90135 ≤≤ λ 
 
Em X: 
A excentricidade de 1º ordem e1 na direção x é 4,66. Os momentos fletores de 1º 
ordem na direção x são KNcmMM xBdxdA 11,3963,,1,1 =−= , maiores que o momento fletor 
mínimo nesta direção, que leva o calculo de bα . 
 
P8 P7 
5,40m 
25,44KN/m 
Estruturas de Concreto II Dimensionamento de Pilares 
Página:45/75 
4,0
4,02,0
11,3963
11,39634,06,0
=
<=

 −×+=
b
b
α
α
 
 
3535,67
4,0
30
66,45,1225
,1 >=
×+
=xλ 35,67,1 =xλ 
 
Em Y: 
Na direção y não ocorrem momentos fletores e excentricidades de 1º ordem, portanto 
e1=0 e bα =1. 
 
3525
1
25
05,1225
,1 <=
×+
=yλ 35,1 =yλ 
 
Então: 
35,6775,35 <=xλ , não são considerados os efeitos de 2º ordem na direção x; 
3590,42 >=yλ , são considerados os efeitos de 2º ordem na direção y. 
 
Momento Fletores Totais 
 
Será avaliado pelo método do pilar-padrão com curvatura aproximada. 
 



≥×+×=
min,1
,1
10
,1,
2
dM
dAM
r
leNdAdMbtotMd α 
 
64,0
4,1
10250750,0
1013,851
6
3
=××
×=×= fcdAc
Ndν 
 
Curvatura segundo a direção y sujeita a esforços de 2º ordem; 
 
( ) hhr
005,0
5,0
005,01 ≤+= ν 
( ) cmcmr 44 100,21076,15,064,025
005,01 −− ×≤×=+= 
 
Fazendo min,1,1 dAd MM = em cada direção, tem o momento total maximo. 
 
Em X; 
KNcmM totoxd 11,3963, = 
 
Em Y; 
 
Estruturas de Concreto II Dimensionamento de Pilares 
Página:46/75 
KNcmM totyd 69,33551076,110
31013,85104,19151 4
2
, =×××+×= − 
 
Em x; 
 
10,0
4,1
5,275030
11,3963 =
××
=××= fcdAchx
Mdtotxµ 
No ábaco determinamos o valor de w=0,06 
 
 
Em y; 
 
10,0
4,1
5,275025
69,3355 =
××
=××= fcdAchy
Mdtotyµ 
No ábaco determinamos o valor de w=0,12 
 
 
Área de Aço 
 
270,3
15,1
500
4,1
2575012,0
cm
fyd
fcdAcwAs =
××
=××= 
 
Detalhamento 
 
Armadura mínima 
 
Ac
fyd
NdAs 004,015,0min, ≥×= 
 
20,3min, cmAs = 
min7,3 AsAs ≥= 
 
14Φ6,3mm (4,05 cm²) 
 
A taxa de armadura 
 
ok
Ac
As %,4%54,0100 <=×=ρ 
 
Diâmetro do estribo (Φt) e espaçamento(t) dos estribos; 
 
Estruturas de Concreto II Dimensionamento de Pilares 
Página:47/75 
mm
mm
mml
t 5
5
2,3
4 =





 =≥
φ
φ 
cmt 1020 =φ 
 
cmtmm
mm
s 8
3,612
25
20
max ==






×
≤ 
 
Espaçamento horizontal 
 ( )[ ] cmeh 75,3
2
63,0
6
63,075,02230 =+×++×−= 
 
DoQuinto Pavimento 
 
No pilar de extremidade, alem da força normal de compressão ocorrem também 
momentos fletores nos extremos do pilar na direção x, em função de existir a viga VC6 
sobre o pilar. 
 
 
 
 
 
hy= 25cm, hx= 30m. 
Ac= 750 cm ² 
lex= ley= 310cm 
 
Força Normal de Cálculo 
 
KNNkNd 26,116776,8334,1 =×=×= γ 
 
Índice de Esbeltez 
 
75,35
30
31046,3 =×=xλ 
 
90,42
25
31046,3 =×=yλ 
 
 
 
 
X
Y 
Estruturas de Concreto II Dimensionamento de Pilares 
Página:48/75 
Excentricidade de 1º ordem 
 
Nd
Mxdxe =1 
Mxd= momento fletor de ligação entre a viga VC6 e o pilar P8, na direção x. 
 
inf,sup,
,sup,inf,
pvigap
pilar
rrr
r
engMkMkMk ++=== 
Supondo que a seção transversal do pilar não varia ao longo de sua altura. 
 
3
3
inf,sup, 45,181310
12
3025
cm
lex
I
rrr pilatpppilar =
×
==== 
 
A rigidez da viga VC6 (12x50cm) e com vão de 5,40m. 
4
3
125000
12
5012 cmIviga =×= 
 
348,231
540
125000 cm
l
I
r vigaviga === 
 
 
Para o momento de engastamento perfeito da viga no pilar será usada a carga de 
25,44KN/m 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
cmKNlqMeng .92,6181
12
2
=×= 
 
 
 
cmKNMM kk .19,188745,18148,23145,181
45,18192,6181sup,inf, =++×== 
 
KNcmbaseMdtopoMd 11,3963
2
19,188719,18874,1,, =

 +=−= 
 
P8 P7 
5,40m 
25,44KN/m 
Estruturas de Concreto II Dimensionamento de Pilares 
Página:49/75 
cmxe 40,3
26,1167
11,39631 == 
 
Momento Fletor Mínimo 
 ( )hNddM 03,05,1min,1 +×= 
Em x: ( ) cmKNxdM .11,39633003,05,126,1167min,1 =×+×= 
 
Em y: ( ) cmKNydM .06,42622503,05,126,1167min,1 =×+×= 
 
Esbeltez Limite 
 
b
h
e
αλ
15,1225
1
×+
= com 90135 ≤≤ λ 
 
Em X: 
A excentricidade de 1º ordem e1 na direção x é 3,40. Os momentos fletores de 1º 
ordem na direção x são KNcmMM xBdxdA 11,3963,,1,1 =−= , maiores que o momento fletor 
mínimo nesta direção, que leva o calculo de bα . 
 
4,0
4,02,0
11,3963
11,39634,06,0
=
<=

 −×+=
b
b
α
α
 
 
3504,66
4,0
30
40,35,1225
,1 >=
×+
=xλ 04,66,1 =xλ 
 
Em Y: 
Na direção y não ocorrem momentos fletores e excentricidades de 1º ordem, portanto 
e1=0 e bα =1. 
 
3525
1
25
05,1225
,1 <=
×+
=yλ 35,1 =yλ 
 
Então: 
04,6675,35 <=xλ , não são considerados os efeitos de 2º ordem na direção x; 
3590,42 >=yλ , são considerados os efeitos de 2º ordem na direção y. 
 
Momento Fletores Totais 
 
Será avaliado pelo método do pilar-padrão com curvatura aproximada. 
 
Estruturas de Concreto II Dimensionamento de Pilares 
Página:50/75 



≥×+×=
min,1
,1
10
,1,
2
dM
dAM
r
leNdAdMbtotMd α 
 
87,0
4,1
10250750,0
1026,1167
6
3
=××
×=×= fcdAc
Ndν 
 
Curvatura segundo a direção y sujeita a esforços de 2º ordem; 
 
( ) hhr
005,0
5,0
005,01≤+= ν 
( ) cmcmr 44 100,21046,15,087,025
005,01 −− ×≤×=+= 
 
Fazendo min,1,1 dAd MM = em cada direção, tem o momento total maximo. 
 
Em X; 
KNcmM totoxd 11,3963, = 
 
Em Y; 
 
KNcmM totyd 06,42621046,110
31026,116734,26261 4
2
, =×××+×= − 
 
Em x; 
 
10,0
4,1
5,275030
11,3963 =
××
=××= fcdAchx
Mdtotxµ 
No ábaco determinamos o valor de w=0,27 
 
 
Em y; 
 
13,0
4,1
5,275025
06,4262 =
××
=××= fcdAchy
Mdtotyµ 
No ábaco determinamos o valor de w=0,48 
 
 
Área de Aço 
 
279,14
15,1
500
4,1
2575048,0
cm
fyd
fcdAcwAs =
××
=××= 
 
Estruturas de Concreto II Dimensionamento de Pilares 
Página:51/75 
Detalhamento 
 
Armadura mínima 
 
Ac
fyd
NdAs 004,015,0min, ≥×= 
 
20,3min, cmAs = 
min79,14 AsAs ≥= 
 
12Φ12,50mm (15,00cm²) 
 
A taxa de armadura 
 
ok
Ac
As %,4%00,2100 <=×=ρ 
 
Diâmetro do estribo (Φt) e espaçamento(t) dos estribos; 
 
mm
mm
mml
t 5
5
2,3
4 =





 =≥
φ
φ 
cmt 1020 =φ 
 
cmtmm
mm
s 15
25,112
25
20
max ==






×
≤ 
 
Espaçamento horizontal 
 ( )[ ] cmeh 13,4
2
25,1
5
25,165,02230 =+×++×−= 
 
Do Quarto Pavimento 
 
No pilar de extremidade, alem da força normal de compressão ocorrem também 
momentos fletores nos extremos do pilar na direção x, em função de existir a viga VC6 
sobre o pilar. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Estruturas de Concreto II Dimensionamento de Pilares 
Página:52/75 
 
 
 
 
hy= 25cm, hx= 30m. 
Ac= 750 cm ² 
lex= ley= 310cm 
 
Força Normal de Cálculo 
 
KNNkNd 41,148358,10594,1 =×=×= γ 
 
Índice de Esbeltez 
 
75,35
30
31046,3 =×=xλ 
 
90,42
25
31046,3 =×=yλ 
 
Excentricidade de 1º ordem 
 
Nd
Mxdxe =1 
Mxd= momento fletor de ligação entre a viga VC6 e o pilar P8, na direção x. 
 
inf,sup,
,sup,inf,
pvigap
pilar
rrr
r
engMkMkMk ++=== 
Supondo que a seção transversal do pilar não varia ao longo de sua altura. 
 
3
3
inf,sup, 45,181310
12
3025
cm
lex
I
rrr pilatpppilar =
×
==== 
 
A rigidez da viga VC6 (12x50cm) e com vão de 5,40m. 
4
3
125000
12
5012 cmIviga =×= 
 
348,231
540
125000 cm
l
I
r vigaviga === 
 
 
X
Y 
Estruturas de Concreto II Dimensionamento de Pilares 
Página:53/75 
Para o momento de engastamento perfeito da viga no pilar será usada a carga de 
25,44KN/m 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
cmKNlqMeng .92,6181
12
2
=×= 
 
 
 
cmKNMM kk .19,188745,18148,23145,181
45,18192,6181sup,inf, =++×== 
 
KNcmbaseMdtopoMd 11,3963
2
19,188719,18874,1,, =

 +=−= 
 
cmxe 67,2
41,1483
11,39631 == 
 
Momento Fletor Mínimo 
 ( )hNddM 03,05,1min,1 +×= 
Em x: ( ) cmKNxdM .19,35603003,05,141,1483min,1 =×+×= 
 
Em y: ( ) cmKNydM .68,33372503,05,141,1483min,1 =×+×= 
 
Esbeltez Limite 
 
b
h
e
αλ
15,1225
1
×+
= com 90135 ≤≤ λ 
 
Em X: 
A excentricidade de 1º ordem e1 na direção x é 2,67. Os momentos fletores de 1º 
ordem na direção x são KNcmMM xBdxdA 11,3963,,1,1 =−= , maiores que o momento fletor 
mínimo nesta direção, que leva o calculo de bα . 
 
P8 P7 
5,40m 
25,44KN/m 
Estruturas de Concreto II Dimensionamento de Pilares 
Página:54/75 
4,0
4,02,0
11,3963
11,39634,06,0
=
<=

 −×+=
b
b
α
α
 
 
3528,65
4,0
30
67,25,1225
,1 >=
×+
=xλ 28,65,1 =xλ 
 
Em Y: 
Na direção y não ocorrem momentos fletores e excentricidades de 1º ordem, portanto 
e1=0 e bα =1. 
 
3525
1
25
05,1225
,1 <=
×+
=yλ 35,1 =yλ 
 
Então: 
28,6575,35 <=xλ , não são considerados os efeitos de 2º ordem na direção x; 
3590,42 >=yλ , são considerados os efeitos de 2º ordem na direção y. 
 
Momento Fletores Totais 
 
Será avaliado pelo método do pilar-padrão com curvatura aproximada. 
 



≥×+×=
min,1
,1
10
,1,
2
dM
dAM
r
leNdAdMbtotMd α 
 
11,1
4,1
10250750,0
1041,1483
6
3
=××
×=×= fcdAc
Ndν 
 
Curvatura segundo a direção y sujeita a esforços de 2º ordem; 
 
( ) hhr
005,0
5,0
005,01 ≤+= ν 
( ) cmcmr 44 100,21024,15,011,125
005,01 −− ×≤×=+= 
 
Fazendo min,1,1 dAd MM = em cada direção, tem o momento total maximo. 
 
Em X; 
KNcmM totoxd 11,3963, = 
 
Em Y; 
 
Estruturas de Concreto II Dimensionamento de Pilares 
Página:55/75 
KNcmM totyd 19,51111024,110
31041,148368,33371 4
2
, =×××+×= − 
 
Em x; 
 
10,0
4,1
5,275030
11,3963 =
××
=××= fcdAchx
Mdtotxµ 
No ábaco determinamos o valor de w=0,50 
 
 
Em y; 
 
13,0
4,1
5,275025
19,5111 =
××
=××= fcdAchy
Mdtotyµ 
No ábaco determinamos o valor de w=0,76 
 
 
Área de Aço 
 
241,23
15,1
500
4,1
2575076,0
cm
fyd
fcdAcwAs =
××
=××= 
 
Detalhamento 
 
Armadura mínima 
 
Ac
fyd
NdAs 004,015,0min, ≥×= 
 
20,3min, cmAs = 
min41,23 AsAs ≥= 
 
12Φ16,00mm (24,00cm²) 
 
A taxa de armadura 
 
ok
Ac
As %,4%20,3100 <=×=ρ 
 
Diâmetro do estribo (Φt) e espaçamento(t) dos estribos; 
 
Estruturas de Concreto II Dimensionamento de Pilares 
Página:56/75 
mm
mm
mml
t 5
5
0,4
4 =





 =≥
φ
φ 
cmt 1020 =φ 
 
cmtmm
mm
s 19
6,112
25
20
max ==






×
≤ 
 
Espaçamento horizontal 
 ( )[ ] cmeh 88,3
2
6,1
5
6,165,02230 =+×++×−= 
 
Do Terceiro Pavimento 
 
No pilar de extremidade, alem da força normal de compressão ocorrem também 
momentos fletores nos extremos do pilar na direção x, em função de existir a viga VC6 
sobre o pilar. 
 
 
 
 
 
 
 
hy= 25cm, hx= 60m. 
Ac= 15000 cm ² 
lex= ley= 310cm 
 
Força Normal de Cálculo 
 
KNNkNd 68,18072,12914,1 =×=×= γ 
 
Índice de Esbeltez 
 
88,17
60
31046,3 =×=xλ 
 
90,42
25
31046,3 =×=yλ 
 
 
X
Y 
Estruturas de Concreto II Dimensionamento de Pilares 
Página:57/75 
Excentricidade de 1º ordem 
 
Nd
Mxdxe =1 
Mxd= momento fletor de ligação entre a viga VC6 e o pilar P8, na direção x. 
 
inf,sup,
,sup,inf,
pvigap
pilar
rrr
r
engMkMkMk ++=== 
Supondo que a seção transversal do pilar não varia ao longo de sua altura. 
 
3
3
inf,sup, 61,1451310
12
6025
cm
lex
I
rrr pilatpppilar =
×
==== 
 
A rigidez da viga VC6 (12x50cm) e com vão de 5,40m. 
4
3
125000
12
5012 cmIviga =×= 
 
348,231
540
125000 cm
l
I
r vigaviga === 
 
 
Para o momento de engastamento perfeito da viga no pilar será usada a carga de 
25,44KN/m 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
cmKNlqMeng .92,6181
12
2
=×= 
 
 
 
cmKNMM kk .71,286261,145148,23161,1451
61,145192,6181sup,inf, =++×== 
 
KNcmbaseMdtopoMd 69,6011
2
71,286271,28624,1,, =

 +=−= 
 
P8 P7 
5,40m 
25,44KN/m 
Estruturas de Concreto II Dimensionamento de Pilares 
Página:58/75 
cmxe 33,3
68,1807
69,60111 == 
 
Momento Fletor Mínimo 
 ( )hNddM 03,05,1min,1 +×= 
Em x: ( ) cmKNxdM .34,59656003,05,168,1807min,1 =×+×= 
 
Em y: ( ) cmKNydM .28,40672503,05,168,1807min,1 =×+×= 
 
Esbeltez Limite 
 
b
h
e
αλ
15,1225
1
×+
= com 90135 ≤≤ λ 
 
Em X: 
A excentricidade de 1º ordem e1 na direçãox é 3,33. Os momentos fletores de 1º 
ordem na direção x são KNcmMM xBdxdA 69,6011,,1,1 =−= , maiores que o momento fletor 
mínimo nesta direção, que leva o calculo de bα . 
 
4,0
4,02,0
69,6011
69,60114,06,0
=
<=

 −×+=
b
b
α
α
 
 
3523,64
4,0
60
33,35,1225
,1 >=
×+
=xλ 23,64,1 =xλ 
 
Em Y: 
Na direção y não ocorrem momentos fletores e excentricidades de 1º ordem, portanto 
e1=0 e bα =1. 
 
3525
1
25
05,1225
,1 <=
×+
=yλ 35,1 =yλ 
 
Então: 
28,6588,17 <=xλ , não são considerados os efeitos de 2º ordem na direção x; 
3590,42 >=yλ , são considerados os efeitos de 2º ordem na direção y. 
 
Momento Fletores Totais 
 
Será avaliado pelo método do pilar-padrão com curvatura aproximada. 
 
Estruturas de Concreto II Dimensionamento de Pilares 
Página:59/75 



≥×+×=
min,1
,1
10
,1,
2
dM
dAM
r
leNdAdMbtotMd α 
 
67,0
4,1
10251500,0
1068,1807
6
3
=××
×=×= fcdAc
Ndν 
 
Curvatura segundo a direção y sujeita a esforços de 2º ordem; 
 
( ) hhr
005,0
5,0
005,01 ≤+= ν 
( ) cmcmr 44 100,21070,15,067,025
005,01 −− ×≤×=+= 
 
Fazendo min,1,1 dAd MM = em cada direção, tem o momento total maximo. 
 
Em X; 
KNcmM totoxd 69,6011, = 
 
Em Y; 
 
KNcmM totyd 52,70241070,110
31068,180728,40671 4
2
, =×××+×= − 
 
Em x; 
 
04,0
4,1
5,2150060
69,6011 =
××
=××= fcdAchx
Mdtotxµ 
No ábaco determinamos o valor de w=0,00 
 
 
Em y; 
 
10,0
4,1
5,2150025
52,7024 =
××
=××= fcdAchy
Mdtotyµ 
No ábaco determinamos o valor de w=0,16 
 
 
Área de Aço 
 
286,9
15,1
500
4,1
25150016,0
cm
fyd
fcdAcwAs =
××
=××= 
 
Estruturas de Concreto II Dimensionamento de Pilares 
Página:60/75 
Detalhamento 
 
Armadura mínima 
 
Ac
fyd
NdAs 004,015,0min, ≥×= 
 
223,6min, cmAs = 
min86,9 AsAs ≥= 
 
20Φ8,00mm (10,00cm²) 
 
A taxa de armadura 
 
ok
Ac
As %,4%67,0100 <=×=ρ 
 
Diâmetro do estribo (Φt) e espaçamento(t) dos estribos; 
 
mm
mm
mml
t 5
5
2,3
4 =





 =≥
φ
φ 
cmt 1020 =φ 
 
cmtmm
mm
s 10
8,012
25
20
max ==






×
≤ 
 
Espaçamento horizontal 
 ( )[ ] cmeh 62,5
2
8,0
9
8,0105,02260 =+×++×−= 
 
Do Segundo Pavimento 
 
No pilar de extremidade, alem da força normal de compressão ocorrem também 
momentos fletores nos extremos do pilar na direção x, em função de existir a viga VC6 
sobre o pilar. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Estruturas de Concreto II Dimensionamento de Pilares 
Página:61/75 
 
 
 
 
 
hy= 25cm, hx= 60m. 
Ac= 1500 cm ² 
lex= ley= 310cm 
 
Força Normal de Cálculo 
 
KNNkNd 96,213183,15224,1 =×=×= γ 
 
Índice de Esbeltez 
 
88,17
60
31046,3 =×=xλ 
 
90,42
25
31046,3 =×=yλ 
 
Excentricidade de 1º ordem 
 
Nd
Mxdxe =1 
Mxd= momento fletor de ligação entre a viga VC6 e o pilar P8, na direção x. 
 
inf,sup,
,sup,inf,
pvigap
pilar
rrr
r
engMkMkMk ++=== 
Supondo que a seção transversal do pilar não varia ao longo de sua altura. 
 
3
3
inf,sup, 61,1451310
12
6025
cm
lex
I
rrr pilatpppilar =
×
==== 
 
A rigidez da viga VC6 (12x50cm) e com vão de 5,40m. 
4
3
125000
12
5012 cmIviga =×= 
 
348,231
540
125000 cm
l
I
r vigaviga === 
 
 
X
Y 
Estruturas de Concreto II Dimensionamento de Pilares 
Página:62/75 
Para o momento de engastamento perfeito da viga no pilar será usada a carga de 
25,44KN/m 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
cmKNlqMeng .92,6181
12
2
=×= 
 
 
 
cmKNMM kk .71,286261,145148,23161,1451
61,145192,6181sup,inf, =++×== 
 
KNcmbaseMdtopoMd 69,6011
2
71,286271,28624,1,, =

 +=−= 
 
cmxe 82,2
96,2131
69,60111 == 
 
Momento Fletor Mínimo 
 ( )hNddM 03,05,1min,1 +×= 
Em x: ( ) cmKNxdM .47,70356003,05,196,2131min,1 =×+×= 
 
Em y: ( ) cmKNydM .91,47962503,05,196,2131min,1 =×+×= 
 
Esbeltez Limite 
 
b
h
e
αλ
15,1225
1
×+
= com 90135 ≤≤ λ 
 
Em X: 
A excentricidade de 1º ordem e1 na direção x é 2,82. Os momentos fletores de 1º 
ordem na direção x são KNcmMM xBdxdA 69,6011,,1,1 =−= , maiores que o momento fletor 
mínimo nesta direção, que leva o calculo de bα . 
 
P8 P7 
5,40m 
25,44KN/m 
Estruturas de Concreto II Dimensionamento de Pilares 
Página:63/75 
4,0
4,02,0
69,6011
69,60114,06,0
=
<=

 −×+=
b
b
α
α
 
 
3597,63
4,0
60
82,25,1225
,1 >=
×+
=xλ 97,63,1 =xλ 
 
Em Y: 
Na direção y não ocorrem momentos fletores e excentricidades de 1º ordem, portanto 
e1=0 e bα =1. 
 
3525
1
25
05,1225
,1 <=
×+
=yλ 35,1 =yλ 
 
Então: 
97,6388,17 <=xλ , não são considerados os efeitos de 2º ordem na direção x; 
3590,42 >=yλ , são considerados os efeitos de 2º ordem na direção y. 
 
Momento Fletores Totais 
 
Será avaliado pelo método do pilar-padrão com curvatura aproximada. 
 



≥×+×=
min,1
,1
10
,1,
2
dM
dAM
r
leNdAdMbtotMd α 
 
80,0
4,1
10251500,0
1096,2131
6
3
=××
×=×= fcdAc
Ndν 
 
Curvatura segundo a direção y sujeita a esforços de 2º ordem; 
 
( ) hhr
005,0
5,0
005,01 ≤+= ν 
( ) cmcmr 44 100,21054,15,080,025
005,01 −− ×≤×=+= 
 
Fazendo min,1,1 dAd MM = em cada direção, tem o momento total maximo. 
 
Em X; 
KNcmM totoxd 47,7035, = 
 
Em Y; 
 
Estruturas de Concreto II Dimensionamento de Pilares 
Página:64/75 
KNcmM totyd 83,79581054,110
31096,213191,47961 4
2
, =×××+×= − 
 
Em x; 
 
04,0
4,1
5,2150060
47,7035 =
××
=××= fcdAchx
Mdtotxµ 
No ábaco determinamos o valor de w=0,05 
 
 
Em y; 
 
12,0
4,1
5,2150025
83,7958 =
××
=××= fcdAchy
Mdtotyµ 
No ábaco determinamos o valor de w=0, 37 
 
 
Área de Aço 
 
279,22
15,1
500
4,1
25150037,0
cm
fyd
fcdAcwAs =
××
=××= 
 
Detalhamento 
 
Armadura mínima 
 
Ac
fyd
NdAs 004,015,0min, ≥×= 
 
235,7min, cmAs = 
min79,22 AsAs ≥= 
 
20Φ12,50mm (25,00cm²) 
 
A taxa de armadura 
 
ok
Ac
As %,4%67,1100 <=×=ρ 
 
Diâmetro do estribo (Φt) e espaçamento(t) dos estribos; 
 
Estruturas de Concreto II Dimensionamento de Pilares 
Página:65/75 
mm
mm
mml
t 5
5
2,3
4 =





 =≥
φ
φ 
cmt 1020 =φ 
 
cmtmm
mm
s 15
25,112
25
20
max ==






×
≤ 
 
Espaçamento horizontal 
 ( )[ ] cmeh 35,5
2
25,1
9
25,1105,02260 =+×++×−= 
 
Do Primeiro Pavimento 
 
No pilar de extremidade, alem da força normal de compressão ocorrem também 
momentos fletores nos extremos do pilar na direção x, em função de existir a viga VC6 
sobre o pilar. 
 
 
 
 
 
 
hy= 25cm, hx= 60m. 
Ac= 1500 cm ² 
lex= ley= 310cm 
 
Força Normal de Cálculo 
 
KNNkNd 23,245645,17544,1 =×=×= γ 
 
Índice de Esbeltez 
 
88,17
60
31046,3 =×=xλ 
 
90,42
25
31046,3 =×=yλ 
 
Excentricidade de 1º ordem 
 
X
Y 
Estruturas de Concreto II Dimensionamento de Pilares 
Página:66/75 
Nd
Mxdxe =1 
Mxd= momento fletor de ligação entre a viga VC6 e o pilar P8, na direção x. 
 
inf,sup,
,sup,inf,
pvigap
pilar
rrr
r
engMkMkMk ++===Supondo que a seção transversal do pilar não varia ao longo de sua altura. 
 
3
3
inf,sup, 61,1451310
12
6025
cm
lex
I
rrr pilatpppilar =
×
==== 
 
A rigidez da viga VC6 (12x50cm) e com vão de 5,40m. 
4
3
125000
12
5012 cmIviga =×= 
 
348,231
540
125000 cm
l
I
r vigaviga === 
 
 
Para o momento de engastamento perfeito da viga no pilar será usada a carga de 
25,44KN/m 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
cmKNlqMeng .92,6181
12
2
=×= 
 
 
 
cmKNMM kk .71,286261,145148,23161,1451
61,145192,6181sup,inf, =++×== 
 
KNcmbaseMdtopoMd 69,6011
2
71,286271,28624,1,, =

 +=−= 
 
cmxe 45,2
23,2456
69,60111 == 
 
P8 P7 
5,40m 
25,44KN/m 
Estruturas de Concreto II Dimensionamento de Pilares 
Página:67/75 
Momento Fletor Mínimo 
 ( )hNddM 03,05,1min,1 +×= 
Em x: ( ) cmKNxdM .56,81056003,05,123,2456min,1 =×+×= 
 
Em y: ( ) cmKNydM .52,55262503,05,123,2456min,1 =×+×= 
 
Esbeltez Limite 
 
b
h
e
αλ
15,1225
1
×+
= com 90135 ≤≤ λ 
 
Em X: 
A excentricidade de 1º ordem e1 na direção x é 2,45. Os momentos fletores de 1º 
ordem na direção x são KNcmMM xBdxdA 69,6011,,1,1 =−= , maiores que o momento fletor 
mínimo nesta direção, que leva o calculo de bα . 
 
4,0
4,02,0
69,6011
69,60114,06,0
=
<=

 −×+=
b
b
α
α
 
 
3577,63
4,0
60
45,25,1225
,1 >=
×+
=xλ 77,63,1 =xλ 
 
Em Y: 
Na direção y não ocorrem momentos fletores e excentricidades de 1º ordem, portanto 
e1=0 e bα =1. 
 
3525
1
25
05,1225
,1 <=
×+
=yλ 35,1 =yλ 
 
Então: 
77,6388,17 <=xλ , não são considerados os efeitos de 2º ordem na direção x; 
3590,42 >=yλ , são considerados os efeitos de 2º ordem na direção y. 
 
Momento Fletores Totais 
 
Será avaliado pelo método do pilar-padrão com curvatura aproximada. 
 



≥×+×=
min,1
,1
10
,1,
2
dM
dAM
r
leNdAdMbtotMd α 
 
Estruturas de Concreto II Dimensionamento de Pilares 
Página:68/75 
92,0
4,1
10251500,0
1023,2456
6
3
=××
×=×= fcdAc
Ndν 
 
Curvatura segundo a direção y sujeita a esforços de 2º ordem; 
 
( ) hhr
005,0
5,0
005,01 ≤+= ν 
( ) cmcmr 44 100,21041,15,092,025
005,01 −− ×≤×=+= 
 
Fazendo min,1,1 dAd MM = em cada direção, tem o momento total maximo. 
 
Em X; 
KNcmM totoxd 56,8105, = 
 
Em Y; 
 
KNcmM totyd 13,88581041,110
31023,245652,55261 4
2
, =×××+×= − 
 
Em x; 
 
05,0
4,1
5,2150060
56,8105 =
××
=××= fcdAchx
Mdtotxµ 
No ábaco determinamos o valor de w=0,17 
 
 
Em y; 
 
12,0
4,1
5,2150025
13,8858 =
××
=××= fcdAchy
Mdtotyµ 
No ábaco determinamos o valor de w=0, 48 
 
 
Área de Aço 
 
257,29
15,1
500
4,1
25150048,0
cm
fyd
fcdAcwAs =
××
=××= 
 
 
 
 
Estruturas de Concreto II Dimensionamento de Pilares 
Página:69/75 
Detalhamento 
 
Armadura mínima 
 
Ac
fyd
NdAs 004,015,0min, ≥×= 
 
247,8min, cmAs = 
min57,29 AsAs ≥= 
 
18Φ16,00mm (36,00cm²) 
 
A taxa de armadura 
 
ok
Ac
As %,4%4,2100 <=×=ρ 
 
Diâmetro do estribo (Φt) e espaçamento(t) dos estribos; 
 
mm
mm
mml
t 5
5
4
4 =





 =≥
φ
φ 
cmt 1020 =φ 
 
cmtmm
mm
s 19
6,112
25
20
max ==






×
≤ 
 
Espaçamento horizontal 
 ( )[ ] cmeh 88,5
2
6,1
8
6,195,02260 =+×++×−= 
 
Do Térreo 
 
No pilar de extremidade, alem da força normal de compressão ocorrem também 
momentos fletores nos extremos do pilar na direção x, em função de existir a viga VC6 
sobre o pilar. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Estruturas de Concreto II Dimensionamento de Pilares 
Página:70/75 
 
 
 
 
 
hy= 25cm, hx= 60m. 
Ac= 1500 cm ² 
lex= ley= 400cm 
 
Força Normal de Cálculo 
 
KNNkNd 23,278545,19894,1 =×=×= γ 
 
Índice de Esbeltez 
 
07,23
60
40046,3 =×=xλ 
 
36,55
25
40046,3 =×=yλ 
 
Excentricidade de 1º ordem 
 
Nd
Mxdxe =1 
Mxd= momento fletor de ligação entre a viga VC6 e o pilar P8, na direção x. 
 
inf,sup,
,sup,inf,
pvigap
pilar
rrr
r
engMkMkMk ++=== 
Supondo que a seção transversal do pilar não varia ao longo de sua altura. 
 
3
3
inf,sup, 00,1125400
12
6025
cm
lex
I
rrr pilatpppilar =
×
==== 
 
A rigidez da viga VC6 (12x50cm) e com vão de 5,40m. 
4
3
125000
12
5012 cmIviga =×= 
 
348,231
540
125000 cm
l
I
r vigaviga === 
 
 
X
Y 
Estruturas de Concreto II Dimensionamento de Pilares 
Página:71/75 
Para o momento de engastamento perfeito da viga no pilar será usada a carga de 
25,44KN/m 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
cmKNlqMeng .92,6181
12
2
=×= 
 
 
 
cmKNMM kk .62,280200,112548,23100,1125
00,112592,6181sup,inf, =++×== 
 
KNcmbaseMdtopoMd 51,5885
2
62,280262,28024,1,, =

 +=−= 
 
cmxe 11,2
23,2785
51,58851 == 
 
Momento Fletor Mínimo 
 ( )hNddM 03,05,1min,1 +×= 
Em x: ( ) cmKNxdM .26,91916003,05,123,2785min,1 =×+×= 
 
Em y: ( ) cmKNydM .77,62662503,05,123,2785min,1 =×+×= 
 
Esbeltez Limite 
 
b
h
e
αλ
15,1225
1
×+
= com 90135 ≤≤ λ 
 
Em X: 
A excentricidade de 1º ordem e1 na direção x é 2,11. Os momentos fletores de 1º 
ordem na direção x são KNcmMM xBdxdA 51,5885,,1,1 =−= , maiores que o momento fletor 
mínimo nesta direção, que leva o calculo de bα . 
 
P8 P7 
5,40m 
25,44KN/m 
Estruturas de Concreto II Dimensionamento de Pilares 
Página:72/75 
4,0
4,02,0
51,5885
51,58854,06,0
=
<=

 −×+=
b
b
α
α
 
 
3560,63
4,0
60
11,25,1225
,1 >=
×+
=xλ 60,63,1 =xλ 
 
Em Y: 
Na direção y não ocorrem momentos fletores e excentricidades de 1º ordem, portanto 
e1=0 e bα =1. 
 
3525
1
25
05,1225
,1 <=
×+
=yλ 35,1 =yλ 
 
Então: 
60,6307,23 <=xλ , não são considerados os efeitos de 2º ordem na direção x; 
3536,55 >=yλ , são considerados os efeitos de 2º ordem na direção y. 
 
Momento Fletores Totais 
 
Será avaliado pelo método do pilar-padrão com curvatura aproximada. 
 



≥×+×=
min,1
,1
10
,1,
2
dM
dAM
r
leNdAdMbtotMd α 
 
04,1
4,1
10251500,0
1023,2785
6
3
=××
×=×= fcdAc
Ndν 
 
Curvatura segundo a direção y sujeita a esforços de 2º ordem; 
 
( ) hhr
005,0
5,0
005,01 ≤+= ν 
( ) cmcmr 44 100,21030,15,004,125
005,01 −− ×≤×=+= 
 
Fazendo min,1,1 dAd MM = em cada direção, tem o momento total maximo. 
 
Em X; 
KNcmM totoxd 26,9191, = 
 
Em Y; 
 
Estruturas de Concreto II Dimensionamento de Pilares 
Página:73/75 
KNcmM totyd 94,120541030,110
40023,278577,62661 4
2
, =×××+×= − 
 
Em x; 
 
06,0
4,1
5,2150060
26,9191 =
××
=××= fcdAchx
Mdtotxµ 
No ábaco determinamos o valor de w=0,33 
 
 
Em y; 
 
18,0
4,1
5,2150025
94,12054 =
××
=××= fcdAchy
Mdtotyµ 
No ábaco determinamos o valor de w=0,92 
 
 
Área de Aço 
 
268,56
15,1
500
4,1
25150092,0
cm
fyd
fcdAcwAs =
××
=××= 
 
Detalhamento 
 
Armadura mínima 
 
Ac
fyd
NdAs 004,015,0min, ≥×= 
 
26,9min, cmAs = 
min68,56 AsAs ≥= 
 
18Φ20,00mm (56,70cm²) 
 
A taxa de armadura 
 
ok
Ac
As %,4%78,3100 <=×=ρ 
 
Diâmetro do estribo (Φt) e espaçamento(t) dos estribos;Estruturas de Concreto II Dimensionamento de Pilares 
Página:74/75 
mm
mm
mml
t 5
5
5
4 =





 =≥
φ
φ 
cmt 1020 =φ 
 
cmtmm
mm
s 20
2012
25
20
max ==






×
≤ 
 
Espaçamento horizontal 
 ( )[ ] cmeh 625,5
2
0,2
8
0,295,02260 =+×++×−= 
 
 
 
 
QUADRO DE FERROS 
COMPRIMENTO 
AÇO Nº Ф QUANT. UNIT. TOTAL(m) 
N2 5.0 110 228 250,8 
N3 5.0 931 36 335,16 
N9 5.0 79 128 101,12 
N13 5.0 31 98 30,38 
N14 5.0 89 168 149,52 
N15 5.0 99 118 116,82 
N18 5.0 39 76 29,64 
N19 5.0 62 26 16,12 
N16 6.3 32 310 99,2 
N17 6.3 4 370 14,8 
N12 8.0 40 310 124 
N7 12.5 44 310 136,4 
N8 12.5 8 370 29,6 
N10 16.0 44 310 136,4 
N11 16.0 12 370 44,4 
N1 20.0 42 400 168 
N4 20.0 8 460 36,8 
N5 20.0 48 310 148,8 
C
A
-5
0 
N6 20.0 12 370 44,4 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Estruturas de Concreto II Dimensionamento de Pilares 
Página:75/75 
RESUMO 
AÇO Ф C. TOTAL (m) PESO (Kg) 
5.0 1029,56 164,73 
6.3 114,00 28,50 
8.0 124,00 49,60 
12.5 166,00 166,00 
16,00 180,80 289,28 
20,00 398,00 995,00 
 
C
A
 - 
50
 
Total em (Kg) 1693,11 
 
 
Volume de Concreto (m³) 8,1
IC (Kg/m³) 209,03